高考理科数学定积分与微积分基本

定积分与微积分基本定理
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身

1．[2011·郑州一中模拟] 已知f(x)为偶函数，且
6
?
f(x)dx＝8，则
?
6
－6f(x)dx＝( )
?
0
?
A．0 B．4 C．8 D．16
x
2
，x∈[0，1]，
?
?
2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝
?
1
(其中e为自然对数的底数)，则
?
e
?
0
?
?
x
，x∈?1，e]
f(x)dx的值为( )
42
A. B．2 C．1 D.
33
3．[2011·临沂模拟] 若a＝
?
2
x
2
dx，b＝
?
2
x
3
dx，c＝
?
2
sinxdx，则a、b、c的大小关系

?
0
?
0
?
0
是( )
A．aC．c4．如图K15－1，阴影部分的面积是( )
图K15－1

3235
A．23 B．2－3 C. D.
33
能力提升

5．设函数f(x)＝ax
2
＋1，若
?
1
f(x)dx＝ 2，则a＝( )
?
0
A．1 B．2 C．3 D．4
ππ
6．[2011·湖南卷] 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面
33
积为( )
13
A. B．1 C. D.3
22
7．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：ms)的速度自由下落，则下落后第二个4 s内经过的路
程是( )
A．260 m B．258 m
C．259 m D．261.2 m
8．若
?
k
(2x－3x
2
)dx＝0，则k等于( )
?
0
A．0 B．1
C．0或1 D．以上均不对
9．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的
功为( )
A．0.28 J B．0.12 J
C．0.26 J D．0.18 J
10．[2011·洛阳模拟] 设函数y＝f( x)的定义域为R
＋
，若对于给定的正数K，定义函数

?
?< br>K，f?x?≤K，
11
f
K
(x)＝
?
则当函数f (x)＝，K＝1时，定积分
?
2
f
K
(x)dx的值为_____ ___．
x
?
4
?
f?x?，f?x?>K，
?

11.
?
1
(x－x
2
)dx＝________.
?
0
π
12．[2011·枣庄模拟] ∫
0
(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a＝________.
2
1
13．由抛物线y
2
＝2x与直线x＝及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋 转体的体
2
积为________．
14．(10分)已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c的图象如图K15－2所示，直线y＝0在原点
27
处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)的解析式．
4
图K15－2

15．(13分)如图K15－3所示，已知曲线C1
：y＝x
2
与曲线C
2
：y＝－x
2
＋2a x(a>1)交于点O、
A，直线x＝t(01
、C
2< br>分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.
(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；
(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．
图K15－3

难点突破

16．(12分)已知点P在曲线y＝x
2
－1上，它的 横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x
2
的切线PQ(Q为切点)．
(1)求切线PQ的方程；
(2)求证：由上述切线与y＝x
2
所围成图形的面积S与a无关．
参考答案：
【基础热身】
1．D [解析]
?
6
－6 f(x)dx＝2
?
6
f(x)dx＝2×8＝16.
?
?
0
2
2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫
e
即∫
e
0
f(x)dx可以分为两段，
0
f(x)dx＝
?
1
xdx
?
0
＋∫
e
1
e11
3
?
1
14
?
dx＝x
?
＋ln x
?
＝＋1＝，所以选A.
x3
0
33
1
21
2
81
2
2
x
3
dx＝x
4
?
＝4，
2
sinxdx＝－cosx
?
3．D [解析] a＝
?
2
x
2
dx＝x
3
?
＝，b＝c＝??
?
0
3
?
0
34
?
0
? ??
0

0

0

＝1－cos2<2，
∴c4．C [解析]
?
?
1
－3(3－x
2
－2x)dx＝
?
3x－
1
x
3
－x< br>2
??
＝
32
.
3
???
－
3
3
1

【能力提升】
5．C [解析]
?
?
0
1
f(x)dx＝
?
?
0
1
(ax
2
＋1)dx＝
ax
3?
1
a
＋x
?
＝＋1＝2，解得a＝3.
33
0

ππ
6．D [解析] 根据定积分的相关 知识可得到：由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝
33
cosx所围成的封闭图形的面积为 ：
πππ
πππ
S＝∫－cosx dx＝sinx
?
－＝sin－sin
?
－
?
＝3，
33
?
33
?
3
?
3
故选D.

7．D [解析]
?
?
4
8
(9.8t＋6.5)dt＝ (4.9t
2
＋6.5t)
?
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－ 6.5×4＝
?
4
?
－x
3
?
＝k
2－k
3
＝0，∴k＝0或k
?
0
?
0
kk8

313.6＋52－78.4－26＝261.2.
8．C [解析]
?
＝1.
9．D [解析] 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100 x，
W＝∫
0.06
0
100xdx＝0.18(J)．
1
1，≤1，
x
111
10．2ln2＋1 [解析] 由题设f< br>1
(x)＝于是定积分
?
2
f
1
(x)dx＝
?
1
dx＋
?
2
?
4
?
4x
1 1
?
1
，>1，
xx
?
0
k
(2x－3x
2
)dx＝
?
?
0
k
2xdx－
?
?
0
k
3x
2
dx＝x
2
?
?
?


1

1dx＝lnx

?
1
＋x

?
2
?
4
?
1
＝2ln2＋1.
231
3
??
1
11
11. [解析]
?
1
(x－x
2
)dx＝
?
?
3
x
2－
3
x
??
0
＝
3
.
3
?
0


π
12．1 [解析] ∫
0
(sinx＋acosx)dx＝(asinx－cosx)错误!＝错误!－asin0＋cos0 ＝a＋1＝
2
2，∴a＝1.
11
π
1
π
0，< br>?
，
所以V＝π∫
0
2xdx＝πx
2
?
0
＝. 13. [解析] 如图所示，因为y
2
＝2x，x∈
?
2< br>?
2
??
244


14．[解答] 由图象过点( 0,0)知c＝0，又由图象与y＝0在原点处相切知b＝0，则有f(x)
＝x
3
＋ ax
2
，令f(x)＝0，得x
3
＋ax
2
＝0，可得x＝ 0或x＝－a(－a>0，即a<0)．可以得到图象
x
4
ax
3
? ?
－
a
a
4
a
4
a
4
27
－
a
?
－－
与x轴交点为(0,0)，(－a,0)，故∫
0－f(x)dx＝
?
43
??
0
＝－
4
＋3
＝
12
＝
4
，a＝－3，
所以f(x)＝x
3
－3x
2
.
2
???
?
y＝x，
?< br>x＝0，
?
x＝a，
??
15．[解答] (1)由
?
解得或
2
＋2ax，
2
.
???y＝－xy＝0y＝a
???
∴O(0,0)，A(a，a
2
)．又由已 知得B(t，－t
2
＋2at)，D(t，t
2
)，
11
∴S＝
?
t
(－x
2
＋2ax)dx－t×t
2
＋ (－t
2
＋2at－t
2
)×(a－t)
22
?


0
1
1
32
－x
3
＋ax
2
?
?
＝
?
－
?
3
?
?
0
2
t＋(－t＋at)×(a－t)
111
＝－t
3
＋ at
2
－t
3
＋t
3
－2at
2
＋a2
t＝t
3
－at
2
＋a
2
t.
3 26
1
故S＝f(t)＝t
3
－at
2
＋a
2t(06
t

1
(2)f′(t )＝t
2
－2at＋a
2
，
2
1
令f′(t)＝ 0，即t
2
－2at＋a
2
＝0，
2
解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a.
∵01，∴t＝(2＋2)a应舍去．
2＋2
1
①若(2－2)a≥1，即a≥＝，
2
2－2
1
∵02
－a＋.
6
2＋2
②若(2－2)a<1，即12
(i)当00，
(ii)当(2－2)a∴f(t)在区间(0，(2－2) a)上单调递增，在区间[(2－2)a，1]上单调递减．∴f(t)的最大
22－2
31
值是f((2－2)a)＝[(2－2)a]
3
－a[(2－2)a]
2
＋a
2
(2－2)a＝a.
63
1
?
2＋2< br>?
a－a＋
?
a≥
?
?
，
6
??
2
?
＝
?
22－2
?
2＋2
?a
?
1?
.
?
?
3
?
2
?
2
3
综上所述f(t)
max


【难点突破】
16．[解答] (1)设点P的坐标为(a，a
2
－1)， 又设切点Q的坐标为(x，x
2
)．
a
2
－1－x
2a
2
－1－x
2
则k
PQ
＝，由y′＝2x知＝2x，
a－xa－x
解得：x＝a＋1或x＝a－1.
所以所求的切线方程为2(a＋1) x－y－(a＋1)
2
＝0或2(a－1)x－y－(a－1)
2
＝0. < br>2
＋
122
(2)证明：S＝
?
a
a－1[x
2
－2(a－1)x＋(a－1)
2
]dx＋∫
a
a
[x －2(a＋1)x＋(a＋1)]dx＝.
3
?
2
故所围成的图形面积S＝，此为与a无关的一个常数．
3