最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么
?
b
a
f(x)dx
=F(b)-f(a).
深化升华
①微积分基本定理也叫牛顿——莱布尼兹公式.
②微积分的基本定理表明,计算 定积分
?
b
a
f(x)dx
的关键是找到满足F′(x)=f(x) 的函数F(x).
n
③通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出F(x). < br>如
?
n
m
(ax
2
?bx?c)dx?
?< br>ax
2
dx?
?
bxdx?
?
cdx
,分成 几个简单函数进行积分较简单.
mmm
a
b
a
,即
nn< br>④F(b)-F(a)记成F(x)
?
b
a
f(x)dx
=F (x)
b
a
=F(b)-F(a).
⑤只有f(x)在［a,b］上连续, 定积分
?
b
a
f(x)dx
才存在.
⑥实际上F(x)+ c(c为常数)的导数和F(x)的导数相同,故
?
b
a
f(x)dx
可以写成［F(b)+c］-
［F(a)+c］,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.
二、复杂函数的定积分
求复杂函数的定积分主要依据是定积分的性质.
(1)有限个函数代数和的积分,等于各个函数积分的代数和,即
?
b
a< br>[f
1
(x)?f
2
(x)?
?
?f
n(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2< br>(x)dx?
?
?
?
f
n
(x)dx
aaa
bbb
(2)常数因子可提到积分符号外面,即
?
b
a< br>kf(x)dx?k
?
f(x)dx
.
a
b
(3) 当积分上限与下限交换时,积分值一定要反号,即
(4)积分的可加性.若c∈［a,b］,则有
深化升华 当a=b时,
?
c
b
a
f(x)dx
=-
?
f(x)dx
.
b
b
c
a
?b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
.
a
?
b
a
f(x)dx
=0.
三、复合函数的定积分
1.“凑型”法
有些定积分的计算题,直接应用积分公式法 则不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行
适当变形后再求解.
2.“变量代换”法
过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体
现 出来的数学思想就是等价转化思想.
在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要 用于“把不可直接运用积分
公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”.
知识拓展 求分段函数的定积分
学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分

的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数的定积分可以利用积分的可加性, 将区
间［a,b］上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.
方法点拨 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即按照原函数分段的情况分即
可,无需分得过细.
问题·探究
问题1 已知圆的半径为r,周长为2πr,我们能否利用定积分的知识来求其面积呢?

图1-6-1
思路:在求曲边梯形的面积时,我们发现当区间的划分很细时,每个小矩形是一 小窄条,当
Δx
i
→0时,小窄条趋近于曲边梯形在此处的高线,此高线的长度是该处 的函数,变化着的高线
从a扫到b,扫过的平面部分就是曲边梯形(如图1-6-1).所以,定积分可 以理解为函数值f(x)从a
到b的无限叠加.我们把这种思想用于求圆的面积.

图1-6-2
探究:如图1-6-2,将半径n等分,各圆环的面积依次近似于2π
ir
r?
,i=1,2,…,n.
nn
圆面积S=所有圆环面积之和≈?
2
?
r
2
?
i?1
n
i
= I.
n
2
I=2πr
2
·
11
2
2n(n?1)
?
?
r(1?)
.
(1+2+…+n)=2πr
n
n
2
2n
2
当n→∞时,S→πr
2
.
由定积分可知,S=
?
r
0
2
?
xdx?
?
x
2r
0
=πr
2
.
由此看出圆面是圆周从半 径为0到半径r扫过的平面部分,换言之,圆面积是圆周长2πx(x从0
到r)的无限叠加.
?
x
2
,?2?x?0,
3
?
问题2 已知函数f (x)=
?
x,0?x?1,
则
?
f(x)dx
的几何意义 是什么?你能否根据几何意
?2
?
1,1?x?3.
?
义求出积分值 ?
思路:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积.不仅要学会利用定积分的公式求积分,还要学
会利用其几何意义求积分.
探究:曲边梯形的面积可分为两部分,y轴左侧的可用积分式,右侧的可 直接用梯形面积公式
求.

?
3
?2
(2 ?3)?1x
3
?
f(x)dx
=
?
xdx?1?
?2
23
3
20
?2
?
531
?
.
26
典题·热题
例1求下列定积分:(1)
?
(x
01
?
2
?x)dx
;(2)
?
2
(3x?si nx)dx
.
0
思路分析:利用微积分基本定理求解.
解:(1)
?
1
3
1
21
1
2
.
(x?x)dx?(x?x)??
0
?
0
326
1
3
2
3
2
?
π
2
+1. (2)
?
2
(3x?sinx)dx?(x?cosx)
0
0
28
深化升华 求函数f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出函数f(x)的一个原函数.要正确
运用 求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.
拓展延伸 求下列定积分:
(1)< br>?
?
3
?
?1
(3x?2x?1)dx
;(2)?
2
cosxdx
.
0
2
解:(1)
??
3
?1
(3x
2
?2x?1)dx
=(x
3
-x
2
+x)
?
2
0
3
?1
=( 27+1)-(9-1)+(3+1)=24.
(2)
?
2
0
co sxdx
=sinx
2
=1.
例2求
?
x
1?x
2
0
dx
.
x
1?x
2
思路分析:明显f(x)=很难看出是哪个函数的导数,故采用“凑型”法 .
解:因为
?
2
0
1
dx
=
2
1?x
2
1
2
0
x
?
2
d(x
2
)
0
1
2
d(x
2
?1)

?
?
0
22
2
1?x1?x
?5
-1.
1
2
=
?2(1?x)
2
2
例3求定积分
?
?
?(1?x)
2
2
1
2
2
0
?
?
sinmxdx
.
分析:令f(x)=sin
2
mx,先将其降幂处理,再“凑型”比较容易.
1?cos2mx
.
2
??
1
?
2
dx ?
?
(cos2mx)dx
∴
?
sinmxdx?
??
?
?
?
2
?
?
解:f(x)=sin
2
mx=
=
x
2
?
?
?
?
1< br>?
x
(cos2mx)d(2mx)?
4m
?
?
?< br>2
?
?
?
?
1
??
sin2mx
?
???
?

?
?
4m22

误区警示 将dx变成dmx时要注意再除以m还原.
例4计算?
2a
a
x
2
?a
2
dx(a>0). 4
x
x
2
?a
2
的定积分不可直接运用积分公式求解. 令x=asect
x
4
思路分析:函数f(x)=
后,f(x)=
1
·sin
2
tcost,cost=dsint,就将问题转化成了可直接运用积分公 式的问题了.
2
a
解:设x=asect,当x由a变到2a时,t由0变到
?
.
3
?
所以
?
2a
a
1
x
2
?a
2
dx=
a
2
x
4
a
?
?
3
0
1
sintcostdt?
2
a
2
?
3
0
1sin
3
t
sintdsint
?
2
?
3
a
2
?
3
0
?
3

8a
2
误区警示 在作变量代换的过程中要特别注意,代换后积分的区间也要随之改变.
拓展延伸 计算
?
0
a
2
?x
2
dx
.
思路分析:要解决根号问题,可令x=asint.
解:令x=asint,则当x从0变到a时,相应的t由0变到
a
?
. < br>2
??
所以
?
0
1?cos2t1cos2t
dt? a
2
[
?
2
dt?
?
2
dt]

a?xdx
=
a
?
2
costdt?a
?
2
000
2
0
22
22
222
??
t?a?
2
2
cos2tsin2t
2
?
2
2< br>?d(2t)?a??
0
?
0
444
?
?
?
2
0
?
?
a
2
4

方法归纳 当被积函数f(x)中出现sin
2
x,cos
2
x时,首先要降 次,再积分.
?
x
3
,x?[0,1],
?
?
例 5求函数f(x)=
?
x,x?[1,2],
在区间［0,3］上的积分.
?
2
x
,x?[2,3],
?
?
思路分析:f(x)在［0 ,3］上的积分可按照f(x)的分段标准,分成［0,1］,［1,2］,［2,3］三段积
分的和.
解:由积分的性质知
?
3
0
f(x)dx?
?
f (x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
xdx ?
?
0120
1231
3
2
1
xdx?
?
2
x
dx

2
3
?
?
xdx?< br>?
0
1
3
2
1
x
4
xdx?
?
2dx?
2
4
3
x
1
2
1
0
2
2
2
2
x
?x
1
?
3ln2< br>3
3
2

?
1322845424
????????

443ln2ln2123ln2
方法归纳 ①分段函数在区间［a,b］上的积分可分成几段积分的和的形式.

②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即按照原函数分段的情况分就可以. < br>例6求定积分
?
3
?2
16?6x?x
2
dx
.
思路分析:求定积分问题,除了利用积分公式求解外,还可以利用定积分和几何意义来求. 解:设y=
16?6x?x
2
,即(x-3)
2
+y
2
=25(y≥0).
∵
∴
?
?
3
?2
3
16?6x?x
2
dx
表示在［-2,3］上的一段与坐标轴所围成的四分之 一圆的面积,
16?6x?x
2
dx?
25
?
.
4
?2
深化升华 用定积分的几何意义求定积分,不仅简捷方便,而且充分体 现了高等数学与初
等数学间的关系.因而充分把握定积分的几何意义,也是学好本节内容的关键.