高二-数学-选修2-2--定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理
教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的
应用
教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．

一．定积分的概念
回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点
呢？
分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
一般地，设函数
f(x)
在区间
[a,b]
上连续，
分割 用分点
a?x
0
?x
1
?x
2
?L?x
i ?1
?x
i
?L?x
n
?b

将区间
[a ,b]
等分成
n
个小区间，每个小区间长度为
?x
（
?x?
b?a
），
n
以直代曲 在每个小区间
?
x
i ?1
,x
i
?
上取一点
?
i
?
i?1,2 ,L,n
?
，每份小曲边梯形的面积近似
为
f(
?
i
)?x

求和：
S
n
?
?
i?1
nf(
?
i
)?x?
?
i?1
n
b?a
f(
?
i
)

n
取极限 如果
?x
无限 接近于
0
（亦即
n???
）时，上述和式
S
n
无限 趋近于常数
S
，那么
称该常数
S
为函数
f(x)
在 区间
[a,b]
上的定积分。记为：
S?
?
b
a
f (x)dx

其中
f(x)
成为被积函数，
x
叫做积分变量，
[a,b]
为积分区间，
b
积分上限，
a
积 分下限。
思考 定积分
?
b
a
f(x)dx
是一个常数还是个函数？
即< br>S
n
无限趋近的常数
S
（
n???
时）称为

常见定积分
曲边图形面积：
S?
?
b
a
f(x) dx
，而不是
S
n
．
?
b
a
f
?
x
?
dx
；变速运动路程
S?
?
v(t)dt< br>；变力做功
W?
?
F(r)dr
a
t
1
t
2
b


理解 本来 面积=底
?
高 路程=速度
?
时间 功=力
?
位移
因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极
限。
二．定积分的几何性质
定积分
?
f
?
x
?
dx
表示由直线
x?a,x?b(a?b),y?0
和曲线
y
=< br>f
(
x
)
所围成的曲边梯
a
b
形(如图中的 阴影部分)的面积，。

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？


求曲边梯形的面积：
S?
；
?
(f(x)?g(x))dx
（两曲线所围面积）
a
b

典例题一、用定义计算定积分
例1．计算定积分






根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质 2
性质3
性质4
?
2
1
x
2
dx

?
b
a
b
kdx?k(b?a)
；
kf(x)dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
（定积分的线性性质）；
a
b
?
a
b
?
a
b
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx ?
?
f
2
(x)dx
（定积分的线性性质）；
aa
bb
?
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f (x)dx(其中a?c?b)
（定积分对积分区间的可加性）
ac
cb
?
a
a
f(x)dx?0
；
试从运算过程和几何性质两方面给予解释。
说明：①推广：
②推广:< br>?
b
a
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?< br>?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m< br>(x)

aaa
bbb
?
b
a
f(x)dx ?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L
?
?f(x)dx

ac
1
c
k
c
1
c
2
b


三、微积分基本定理
思考 ：微积分与导数都应用了无限接近，求极限的方法，这两者之间有什么关系呢？

设一物 体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（
v(t)?o
） ，
1、 任意一刻的速度v(t)就是S(t)的导函数
2、物体在时间间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可用速度函数表示为
?
T
2
T
1
v(t)dt
，
另一方面，这段路程还可以通过位 置函数S（t）在
[T
1
,T
2
]
上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来表达，
那岂不是有
?
T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1
)? S(T
2
)
？

b
a
对于一般函数
f (x)
，设
F
?
(x)?f(x)
，是否也有
?
f (x)dx?F(b)?F(a)
？
用
f(x)
的原函数的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b]
上的定积分
定理 如果函数
F(x)
是
[a,b]
上的连续函数
f( x)
的任意一个原函数，则
?
?
b
a
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)

b
为了方便起见，还常用
F(x)|
a
表示
F(b)?F(a)
，即
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数 的原函数，由此可知，求导与积分是互
为逆运算．
典型题一、基本定积分的计算
例1．计算下列定积分：
（1）





A变式练习1：计算
已知t＞0，若
23
11
dx
； （2）
?
(2x?
2
)dx

1
xx
?< br>1
?
?
x
0
1
2
?e
x
?
dx

（2x﹣2）dx=3，则t=（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D． 3或﹣1

分析：首先利用定积分求出关于t的方程，然后解一元二次方程求出t，注意t＞0．
解答：
解：由（2x﹣2）dx=（x
2
﹣2x）|=t
2
﹣2t=3，
解得t=3后者t=﹣1，
因为t＞0；
所以t=3；
故选A．
A变式2cosxdx=（ ）

A． 0 B． 1 C． 2

分析：直接利用定积分的运算法则求法求解即可．
解答：
解：
故选：B．

计算：=（ ）
cosxdx=sinx=1﹣0=1．
D． 3
A． 2 B． 4 C． 8 D． 12

考点：定积分．
专题：导数的综合应用．
分析：求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．
解答：
解：==
=4．

A.
变式3
例6已知t＞0，若
?
t
0
（2x-2）dx=8，则t=（ ）

?
?
2
0

已知
?
（sinx-acosx）dx=2，则实数a等于（ ）

B变式1
A． 0
sin
2
xdx=（ ）
B．
﹣
C．

D．
﹣1
分析：根据微积分基本定理计算即可
解答：
解：
﹣0）=
故选：C

B变式2 cos
2
xdx=（ ）
sin
2
xdx=
，
dx=（x﹣ sin2x）=（﹣sinπ﹣0

典型题二、 分段函数的定积分
例题 已知函数，则的值为（ ）

A．

B． 4 C． 6 D．

分析：
原式分解为x
2
在区间[﹣2，0]上 的积分与x+1在区间[0，2]上的积分之和，再分别用
积分公式求出它们的原函数，最后利用定积分 的运算法则进行计算，即可得到原式的
值．
解答：
解：=
=（x
2
+x+C
1
）
=[（
=4+=
故选D
?
x
2
，x∈[0，1]，
?
A变式1设f(x)＝
?
则
?
2
f(x)dx等于( )
?
2－x，x∈?1， 2]，
?
0
?
+（
）﹣（
+C
2
），（其 中为C
1
、C
2
常数）
）]+[（）﹣（）]



A变式2
?
3
0
x?1dx




四、用定积分计算围成图形面积。
例2．计算下列定积分：
?
?
0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
2
?
2
?
由计算 结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论

可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于
曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等
于曲边梯形的面积的相反数；

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲
边梯形面积．



图形在x轴下方时，定积分的值计算后加绝对值才等于曲边梯形面积。
函数值如果有正有负，则计算定积分时应该分开算。

【典型例题】用定积分计算围成图形面积
例1（1）由抛物线
y?x
和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）





利用对称性可以简化运算
例题2 求 由抛物线
y?8x(y?0)
与直线
x?y?6
及
y?0
所 围成图形的面积.





在图形的不同部分函数关系式不一样。分几段求。1.找出分界点2.写出每一段的函数关系式







例题3 如图，阴影部分的面积是 （ ）
2
2
例1（2）

两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为


A
变式1
曲线y=x
3
与直线y=x所围成图形的面积为（ ）
f
?
x
?
?g
?
x
?
（上方函数 -下方函数）

分析：
先求出曲线y=x
3
与y=x的交点坐标 ，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一
象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三 象限的面积，从而求出所求．
解答：
：曲线y=x
3
与y=x的交点坐标为（0，0）解，（1，1），（﹣1，﹣1）
曲线y=x
3
与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是
==
根据y=x
3
与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等
∴曲线y=x
3
与y=x所围成的图形的面积为
故选B





A
变式2
图中y=3﹣x
2
与y=2x阴影部分的面积是（ ）

A ．

B．
9﹣
C．

D．

分求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求
析： 和即可．
解
解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x
2

答： 解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）
抛物线y=3﹣x
2
与x轴负半轴交点（﹣，0）
设阴影部分面积为s，则
=
=

所以阴影部分的面积为
故选C．




，
求由曲线
y?x?2
与
y?3x
，
x?0
，
x?2
所围成的平面图形的面积。
A变式3
2

A变式 4求
y?x与y?2x
围成的图形面积



3

1
2
A变式4如图阴影部分是由曲线 y＝，y＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________
x







B变式 1 例7．求由
y?4x
与直线
y?2x?4
所围成图形的面积







B变式2图中，阴影部分的面积是（ ）
2

A． 16 B． 18 C． 20 D． 22
分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2） ，（8，4）．过（2，﹣2）作x< br>轴的垂线把阴影部分分为S
1
，S
2
两部分，利用定积分的方法分别求 出它们的面积并
相加即可得到阴影部分的面积．
解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2） ，（8，4）．过（2，﹣2）< br>作x轴的垂线把阴影部分分为S
1
，S
2
两部分，分别求出它们的面积 A
1
，A
2
：

A
1
=∫
0
2
[
A
2
=∫
2
8
[
]dx= 2
]dx=
=18
dx=，
所以阴影部分的面积A=A
1
+A
2
=
故选B．

B变式3. 已知抛物线y=x
2
-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图 形的面积为
的值．

4
，求a
3
B.变式4 如图，求由两条曲线
y??x
，
4y??x
及直线y= -1所围成图形的面积．
y

o
-1
1 2
x
-
2


A
B
2

-1
C
D
y??x

4y??x
2


例2图




典型题 用几何法求定积分
例题 定积分
A．

B．
dx的值为（ ）

C．
﹣1
D．
﹣1
22
分析：根据定积分的几何意义，求定积分．
解答：解：由定积分的几何意义，

dx为图中阴影部分的面积，
；
故选C．

A变式1．计算
A． 1
（1+
B．

）dx的结果为（ ）
C．
1+
D．
1+
dx=
分析：由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．
解答：
解：（1+）dx=1dx+
∵由定积分的几何意义可知dx
dx=1+dx
表示圆x
2
+y
2
=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，
∴
∴（1+
dx=×π×1
2
=
）dx=1+
，
，
故选：C

A变式2计算：


A变式3计算：= π ．
（x
2
+）dx= ．

分
根据y=
析：
表示x轴上方的半圆，可得
=2 dx﹣
dx=，利用
sinxdx，即可求得结
论．
解
解：∵y=
答：
∴
∴
cosx）=π﹣0=π．
表示x轴上方的半圆，
dx=
=2 dx﹣sinxdx=2×﹣（﹣
故答案为：π
分首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，然后分别求原函数代入求值．
析：
解
解：（x
2
+）dx==|+=
答：
；
故答案为：．

典型题 定积分的实际应用

例题 一物体沿直 线以v=t
2
+3（t的单位：s，v的单位：ms）的速度运动，则该物体在1～
4 s间行进的路程是




A变式1 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t）=4-t
2
ms，则该物体从0秒到
4秒运动所经过的路程为



A变式2 若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为
（ ）
（提示：
f?kx
，f为力，x为伸长长度）

A变式3.如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

B变式1 汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度
a
=1.8
米秒
2
刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

B变式2 列车以72kmh的速度行驶，当制动时列车获得加速 度
a??0.4ms
2
，问列车应在
进站前多长时间，以及离车站多远处开始 制动？






B.变式3 物体A以速度
v?3t
2
?1
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，
物体B在物体A的正前方5m处以
v?10t
的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇< br>时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：ms）


小结 1
S?
?
b
a
f(x)dx
其 中
f(x)
成为被积函数，
x
叫做积分变量，
[a,b]
为 积分
区间，
b
积分上限，
a
积分下限。
2定积分的几何性质 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积
3定理 如果函数
F (x)
是
[a,b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函数，则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
，
求定积分的关 键是求导函数的原函数
4.计算曲边梯形面积技巧
利用对称性可以简化运算
在图形的不同部分函数关系式不一样。分几段求。1.找出分界点2.写出每一段的函数关系式

两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为
f
?
x
?
?g
?
x
?
（上方函数-下方函数）
5.当原函数很难求，而很容易看出函数的几何意义时，可用几何法求定积分
6、定积分的常见应用： 路程与速度、变力做功