微积分的基本原理

1.4.2微积分基本定理
[学习要求]
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
[学法指导]
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含 义．微积分基
本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法 .
1． 微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且__________，
那么?
b
a
f(x)dx＝__________.

2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S
上
，x轴下方的面积为S
下
，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?
b
a
f(x)dx ＝______.
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?
b
a< br>f(x)dx＝______.
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图 (3)，则?
b
a
f(x)dx＝__________，
b
若

S
上
＝S
下
，则?
a
f(x)dx＝____.



探究点一 微积分基本定理
1
课堂引入 你能用定义计算?
2
1
dx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
x

问题1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y (t)有连续的导数，由
导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在 时间段[a，b]内的位移为s，
你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？

问题2 对一个连续函数f(x)来说，
是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?

例1 计算下列定积分：
11
30x
(1)?
2
1
dx；(2)?
1
(2x－
2
)dx；(3)?
－
π
(cosx－e)dx.
xx

跟踪训练1 计算下列定积分：
1
243
(1)?
10
)6xdx.
2
5xdx； (2)?
1
(x＋
x



探究点二 分段函数的定积分
x.k.b.1
X K B 1.C O M
w!w!w.!x!k!b!
例2 已知函数
?
?
f(x)＝?
π
1，≤x≤2，
2
?
?
x－1，2≤x≤4.π
sin x，0≤x≤，
2

先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积
分．

2
?
?
x， x≤0，
a2
跟踪训练2 (1)设f(x)＝
?
求?
1
－
1
f(x)dx；(2)求?
－
a
xdx(a>0)．
?
cos x－1， x>0，
?




探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
2π2π
?
π
0
sinxdx，?
π
sinxdx，?
0
sinxdx. 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发
现的结论．


π
5
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝
π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
24





[达标检测]
π

2
1．
π
(1?cosx)dx
等于（ ）
?
2

A．π B．2 C．π－2 D．π＋2
a
2．若
?
1
(2x＋)dx＝3＋ln 2
，则a的值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2
2
3．?
2
0
(x－x)dx＝________.
3
π
4x－2π，0≤x≤，
2
π
4．已知f(x)＝ ，计算
?
0
f(x)dx.
π
cos x，2



[小结]
x k b 1 . c o m
?
?
?
?

相反数．

新课 标第 一 网
[基础过关]
1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是 ( )
b
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)|
a
；

②它在某一时刻t＝t
0
时，瞬时速度是v＝s′(t
0
)；
b－a
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝lim s′(ξ
i
)； < br>?
n
→∞
i
＝
1
n
n
④它在时间段 [a，b]内的位移是s＝?
b
a
s′(t)dt.
A．①



B．①②
D．①②③④

C．①②④
2． 若F′(x)＝x
2
，则F(x)的解析式不正确的是 ( )
111
A．F(x)＝x
3
B．F(x)＝x
3
C．F(x)＝x
3
＋1 D．F(x)＝x
3
＋c(c为常数)
333
x
3． ?
1
0
(e＋2x)dx等于 ( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
2
?
?
x，－1≤x≤0，
4． 已知f(x)＝
?
则?
1
－
1
f(x)dx的值为 ( )
?
1，0?

3
A.
2

42
B. C.
33

2
D．－
3
w w w .x k b 1.c o m新课标 xk b1. c omx k b 1 . c o m

π
x
5． ?
0
sin
2
dx等于 ( )
22
π
A.
4

π
B.－1 C．2
2
D.
π－2

4
6．?
1
－
1
|x|dx等于 ( )
1
A．?
－
1
xdx
B．?
1
－
1
(－x)dx
1
C．?
0
－
1
(－x)dx＋?
0
xdx
01
D．?
－
1
xdx＋?
0
(－x)dx
二、能力提升
?
?
lg x，x>0
7． 设f(x)＝
?
，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
a2
?
x＋?
0
3tdt，x≤0
?


1
8．设函数f(x)＝ax
2
＋c (a≠0)，若?
0
f(x)dx＝f(x
0
)，0≤x
0
≤1，则x
0
的值 为________．
17
1
9．设f(x)是一次函数，且?
1
，则f(x)的解析式为________．
0
f(x)dx＝5，?
0
x f(x)dx＝
6
10．计算下列定积分：
11
－
0.05x＋
1x920
(1)?
2
)dx； (4)?
2
dx.
1
(e＋)dx； (2)?
1
x(1＋x)dx； (3)?
0
(－0.05e
1
x
x?x＋1?

?
x，x∈[0，1]，
?
11．若函数f(x)＝
?
x，x∈?1，2]，
?
?
2
x
，x∈?2，3].
3

求?
3
0
f(x)dx的值．