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高考题中微积分内容的分析与思考

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 18:27
tags:高中数学微积分

高中数学教师个人自评-高中数学解题方法及技巧浅析的英文

2020年10月6日发(作者:谷沅)


分类号: O172



西安文理学院数学系学士学位论文

高考题中微积分内容的分析与思考





系 院 名 称 数学系
指 导 老 师 胡洪萍
学 生 姓 名 刘丽华
学 生 学 号
专 业、班 级 数学与应用数学2007级1班
提 交 时 间 二零一一年五月


西安文理学院数学系


西安文理学院数学系本科毕业论文任务书
论文(设计)题目
毕业年份
学生姓名
指导教师
2011年
高考题中微积分内容的分析与思考

系、专业、班级
学 号
职 称
数学系、数学与应用数学、
07级1班
刘丽华

胡洪萍



教授

一、选题的目的和意义
随着新课程的改革,微积分进入了中学数学,并在高考中占有一定的份量。为使高中数学教师
及师范生 明确微积分部分内容在中学的地位,更好进行微积分内容教学,拟对“高考题中微积分
内容的分析与思考 ”进行研究,为数学教师教学提供参考。

二、研究的主要内容和要求
希望能从以下几个方面来讨论:
1.明确微积分部分内容在中学的地位;
2.微积分内容在高考数学知识体系中的地位;
3.结合近几年高考真题,总结分析微积分内容在高考数学中的常考类型;
4提出微积分内容教学的建议。
要求:
1.能广泛搜集资料并认真研究;
2.要有自己的观点,争取能有所创新;
3.按进度要求进行。
要求论述的概念准确,论题清晰,思路明确,推理严谨,结论正确,举例恰当。

三、学生主要完成的任务
1.围绕论文主题,查阅文献资料;
2.阅读材料,理解资料内容,做好读书笔记。
3.认真写好论文提纲,做好开题报告;
4.按照拟定提纲撰写论文,并及时与指导老师讨论直至定稿;
5.按要求格式整理大印论文,填写相关表格;
6.做好答辩前的准备,完成论文的答辩。

四、文献查阅指引
1.中国知网(中国期刊网)∕http:;
2.中文科技期刊数据库∕http:;

2


3.各高等院校的学报、“数学通讯”、“高等数学研究”等论文期刊;
4. 图书馆书籍和有关资料。

五、进度安排
2011年2月 选题
2011年3月初—3月底 查阅文献,收集资料,撰写论文写作提纲,完成开题报告;
3月底—4月中旬 论文创作,完成初稿;
4月中旬—5月初 对初稿进行修改,完成二稿;
5月初—5月中旬 对二稿进行修改,完成三稿;
5月中旬—5月底 对三稿进行修改,最后定稿,做好答辩准备;
5月底进行论文答辩。


指导教师签名: 胡洪萍
2011年 2 月 24 日
教研室意见

同意下达任务


负责人签名: 胡洪萍

2011 年3 月 1 日
系审核意见




负责人签名:

年 月 日
注:
1.任务书由指导教师 填写,经教研室主任及主管系主任审批后,在第八学期第1周以前下达
给学生;
2.研究的主要内容和要求中,工科要给出主要的技术参数;
3.主要完成的任务是对学生应 完成的论文、设计说明书、图纸及翻译多少外文资料提出的具
体任务;
4.文献查阅指引是对查阅内容和查阅方法的指引,即查阅什么和怎样查阅。

3


西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告
论文题目
毕业年份
学生姓名
2011年
刘丽华
系院
学号
高考题中微积分内容的分析与思考
数学系

专业、班级
指导教师
数学与应用数
学07级1班
胡洪萍
一、拟开展研究的价值和意义
微积分是继欧式几何之后,数学发展史和数学教育发展史上第二 个里程碑。在
我国2004年新一轮高中课程改革中,再一次将微积分初步的知识——导数及其应
用、定积分规定为选学内容。新课程中的微积分内容和《大纲》的教学目标相比,
在要求和处理上都有 了较大的变化,本文立足于《普通高中数学课程标准》对微积
分的定位,结合近年高考数学试题,分析总 结微积分内容在高考体制中的常考类型,
并为高中数学教师及师范生今后对微积分内容的教学提供参考。
二、研究的步骤方法
1、根据所给题目广泛查阅并收集资料。充分利用图书馆资源,到电子阅 览室
下载相关论文,到图书馆查阅相关书籍。
2、对所收集到的资料仔细阅读,并根据自己所写题目对资料进行仔细筛选、
整理。
3、根据整理后的资料拟定提纲,请指导老师帮助修改,最后确定提纲。
4、根据提纲撰写论文,初步定稿。
5、请指导老师指导,提出意见及建议,同时搜集资料不 断的修改完善论文,
完成二稿、三搞直到论文最终完成并定稿。
6、答辩前的准备:对自己的 论文和资料进行重新阅读,理清思路,抓重点.尽
量用简明扼要的语言对文章的主要观点进行概括;实事 求是,谦虚谨慎。
7、答辩。
三、论文拟定提纲
(一)摘要
(二)关键字
(三)引言
(四)正文
1、微积分在高中数学中的地位
1.1选修2-2中微积分内容的整体框架
1.2《课标》与《大纲》对微积分内容的要求与变化
2、高考试题中的微积分问题

4


2.1 高考考试大纲要求
2.2 高考考点
2.2.1导数在函数单调性与极值问题上的应用
2.2.2导数在曲线的切线问题上的应用
2.2.3用导数证明不等式
2.2.4 积分在高考数学中的应用
3、对微积分内容教学的一点建议
3.1适当讲解概念,分层递进要求
3.2剖析易混概念,使得条理清晰。
3.3横向联系知识,变式综合应用
3.4培养学生能力,提高学习兴趣
(五)结束语
(六)参考文献
(七)致谢
四、主要参考文献
[1]张建,新课程数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教学建议,中学
数学教学参考:上半月 高中,2007,(3)
[2]李倩,胡典顺,赵军,对新课程标准下微积分课程教学的思考[J]. 高等函
授学报(自然科学版),2008,21(2)
[3]方俊,吴方,关于中学数学中微积分教学的思考,中学数学,2009,(6)
[4]郑玉林,微积分在初等数学解题中的应用[J],福建中学数学,2008,10:11.
指导教师意见及建议




签字:
年 月 日
系(院)主管主任意见及建议




签字(盖章):
年 月 日
注:此表前4项由学生填写后,交指导教师签署意见,经主管系主任审批后,才能开题。

5


西安文理学院数学系本科毕业论文进度表

论文题目
学生姓名
刘丽华
专业班级
高考题中微积分内容的分析与思考
数学与应用数学
07级1班

指导教师
胡洪萍

写作提纲审核指导意见:
1、写作提纲整体结构完整合理,可按此进行初稿撰写;
2、建议加强对论文写作意义方面的深入思考。
签字:

2010年3月11日
初稿审核指导意见:
1、例6中的“几何概率”应删除;
2、去除“导数运算”部分的内容;
3、不一定每道题都要写详细的解答过程,比较简单的可省去,如例1;
4、2.2的内容应 该综合统计近几年高考卷中微积分内容所占分量,再对重点内容
进行总结分析;
5、教学建议中应加入对学生能力培养的认识。
签字:
2010年4月11日
二稿审核指导意见:
1、例2中题与解的序号不一致;
2、例2思路点拨中
f
?
?
2
?
错写为
f
?
?
1
?

3、例3解有错误;
4、考点分析不够深入。
签字:
2010年5月4日
三稿审核指导意见:
1、引言、结束语应与文章编排顺序保持一致;
2、摘要语言不通顺;
3、参考文献2、3、10格式不规范。

签字:
2011年5月15日

6


定稿审核指导意见:










签字:

年 月 日
实验方法、技术审核指导意见:










签字:
年 月 日
读书笔记或实验记录情况:







签字:

年 月 日


7


目录
(一)摘要
(二)关键字
(三)引言
(四)正文
1、微积分在高中数学中的地位
1.1选修2-2中微积分内容的整体框架
1.2《课标》与《大纲》对微积分内容的要求与变化
2、高考试题中的微积分问题
2.1 高考考试大纲要求
2.2 高考考点
2.2.1导数在函数单调性与极值问题上的应用
2.2.2导数在曲线的切线问题上的应用
2.2.3用导数证明不等式
2.2.4 积分在高考数学中的应用
3、对微积分内容教学的一点建议
3.1适当讲解概念,分层递进要求
3.2剖析易混概念,使得条理清晰。
3.3横向联系知识,变式综合应用
3.4培养学生能力,提高学习兴趣
(五)结束语
(六)参考文献
(七)致谢
















8



高考题中微积分内容的分析与思考
刘丽华
(西安文理学院 数学系,陕西 西安 710065)
摘要:
随着新课程的改革,微积分进入了初等数学,并在高考数学中占有一定 分量。本
文简要介绍新课程标准背景下微积分内容在高考数学知识体系中的地位,并结合近几年高考真题,总结分析微积分内容在高考数学中的常考类型,为数学教师教学提供参考。
关键词:
微积分;导数;定积分;函数;面积
微积分是继欧式几何之后,数学发展史 和数学教育发展史上的第二个里程碑,
它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量 和函数提供了
重要的方法和手段。在我国2004年新一轮高中课程改革中,再一次将微积分初步
的知识——导数及其应用、定积分规定为选学内容。新课程中的微积分内容和《全
日制普通高级中学数 学教学大纲》(以下简称《大纲》)的教学目标相比,在要求
和处理上都有了较大的变化,本文立足于《 普通高中数学课程标准(实验)》(以
下简称《课标》)对微积分的定位,结合近几年高考数学试题,分 析总结微积分内
容在高考体制中的常考类型,并为高中数学教师及师范生今后对微积分内容的教
学提供参考。
1.微积分在高中数学中的地位
1.1 选修2-2中微积分内容的整体框架
变化的快慢与变化率
导数的概念及其几何意义
变化率与导数 计算导数
导数的四则运算法则
微 简单的复合函数的求导法则
函数的单调性及极值
积 导数应用 实际问题中导数的意义
导数在实际问题中的应用
分 最大值、最小值
定积分的概念
定积分 微积分基本定理 平面图形的面积
定积分的简单应用
简单几何体的体积

9



1.2 《课标》与《大纲》对微积分内容的要求与变化
内容 《课标》要求 《大纲》要求 变化分析
导数的概念及其通过对大量实例了解实际背景,掌注重从过程中体
几何意义 的分析了解实际握定义;理解导函会理解,弱化了形
背景,经历过程,数的概念;掌握几式化的定义
知道瞬时变化率何意义。
就是导数;直观理
解几何意义。
导数的运算 能 利用导数公式熟记基本导数公对导数的应用要
及运算法则求简式),会求导数;求有很大提高,而
单函数的导数;以掌握两个函数和且具体。
及仅限于求形如差积商的求导法
f
?< br>ax?b
?
的复合则;掌握复合型函
函数的导数。 数求导法则,会求
函数导数。
导数的应用 了解导数与函数了解导数与函数对导数的应用要< br>单调性的关系,会单调性的关系;了求有很大提高,而
求不超过三次的解可导函数取得且具体。
多项式函数的单极值的条件;会求
调区间、极值与最实际问题中的最
值;会求生活中的 大值、最小值。
利润最大、用料最
省、效率最高等优
化问题;体会导数
在解 决实际问题
中的作用。
定积分与微积分体会基本思想,初了解定义及几何重视从过程中体
基本定理 步了解概念;会求 意义;会求平面图会、了解概念;对
简单平面图形的形面积及简单物计算的要求有所
面积和简单 的物理问题;会用微积降低。
理问题;直观了解分基本定理求定
微积分基本定理积分。
的含义。

10



从以上分析可以看出,微积分 内容中不再系统的讲解极限的概念,而且通过
实际背景和具体应用的实例,通过感受导数在研究函数和解 决实际问题中的作用,
帮助学生理解导数的背景、思想和作用。内容要求的调整,也将帮助学生把精力< br>更多地放在理解数学的思想和本质上,更加注重将数学知识建立在学生的数学现
实之上,注重发展 学生的数学思维能力,发展学生的应用意识,提高学生自觉运
用数学知识分析问题、解决问题的能力,为 学生今后进一步学习,或在工作、生
活中应用数学打下坚实的基础。
2.高考试题中的微积分问题
导数以其丰富的思想内涵和广泛的教育价值,已成为现阶段高中 数学课程的
重要章节,而他丰富的实际背景和应用价值也使得数学问题的解决更加新颖别致、
灵 活多样,与高考试题注重创新、开放、探究性的命题意图不谋而合,因而成为
近几年高考考查学生数学素 养的重要载体,从高考命题的立意看,今后可能还会
持续这一热点。下面先介绍国家教育部最新公布的2 011年高考考试大纲(课标实
验版)对微积分内容的要求:
2.1 高考考试大纲要求
2.1.1 2011年高考数学考试大纲(课程标准实验版)(理)
导数及其应用
(1)导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景.
② 理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
① 能根据导数定义,求函数
y?c< br>?
(
c
为常数),
y?c,y?x,y?y
2
,y?
数.
② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简
单函 数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如
f
?
ax?b
?
的复合 函数)的导数.
·常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式:
1
的导
x

11


c
?
? 0
(
c
为常数);
x
n
??
?
?nxn?1
?
,
(n?N
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)

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x
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; < br>?
lnx
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?
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loga
x
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?
?
1
log
a
e,
?
a?0,且a?1
?
.
xx
·常用的导数运算法则:
?
法则1.
?
u
?
x
?
?v
?
x
?
?
?u
?
?
x
?
?v
?
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x
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法则2.
?
u
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x
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v
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x
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?u
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x
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v?
x
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?u
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x
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v
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v
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x
?
?0
?
法则3.
??
?
2
??
vx
??
vx
? ?
(3)导数在研究函数中的应用
① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函 数的单调性,会求函数
的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
② 了解函数 在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大
值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、
最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
(4)生活中的优化问题.
会利用导数解决某些实际问题.
(5)定积分与微积分基本定理
① 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
② 了解微积分基本定理的含义
2.1.2 2011年高考数学考试大纲(课程标准实验版)(文)
导数及其应用
(1)导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景.

12


② 理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
① 能根据导数定义,求函数
y?c
?
(
c
为常数),
y?c,y?x,y?y
2
,y?
数.
② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简
单函数的导数.
·常见基本初等函数的导数公式:
n
c
?
?0
(
c
为常数);
x
1
的导
x
??
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?nx< br>n?1
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sinx?cosx

(n??)
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cosx
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log
a
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a?0,且a?1?
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·常用的导数运算法则:
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法则1.
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法则2.
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x
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?0
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法则3.
? ?
2
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vx
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vx
??
(3)导数在研究函数 中的应用
① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数
的单调 区间(其中多项式函数一般不超过三次).
② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求函数的极大
值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、
最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
(4)生活中的优化问题.
会利用导数解决某些实际问题.

13


2.2 高考考点
《课标》中对微积分的教学内容明确提出:“导数概念是微积分的核心概念
之一,它有极其丰富 的实际背景和广泛的应用.要求学生通过大量实例,经历由
平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程 ,理解导数概念,体会导数的思想
及其内涵;了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步 了解定积
分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础.”
本人通过对近几年高考数学试卷 进行统计分析,发现2009年新课标自主命题
的10个省份(山东、广东、宁夏、海南、江苏、浙江、 安徽、辽宁、福建、天津)
中全部考到了微积分的知识,所涉考题平均分值为13.64分,占试卷总成 绩的
。2010年
9.1
0
0
,其中有8个省将涉及微积分知识的考 题作为压轴题(除选做题)
这10个省份所有涉及微积分内容的考题所占平均分值为13.55分,占试 卷总成绩

9.0
0
0
,其中有7个省份将此内容题型放在了试卷靠 后的位置。
由此可看,微积分知识在高考中占有非常重要的地位。参考2008、2009、2010
年的高考数学试题,本人总结了高考题中微积分内容的常考题类型,并且重点讨
论以下几点:
2.2.1导数在函数单调性与极值问题上的应用
函数的单调性是函数的最基本性质之一,是 研究函数所要掌握的最基本的知
识,用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性,较难掌握好,而 用导数
知识来判断函数的单调性简便而且快捷,这也是近几年新课课程标准下高考数学
中的一个 热点问题。
例1、(2010·安徽高考·文科)设函数
f
?
x
?
?sinx?cosx?x?1

0?x?2
?
求函
f
?
x
?
的单调区间与极值。
【命题立意】本题主要考查导数 的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方
法,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的转化 能力。
【思路点拨】对函数
f
?
x
?
求导,分析导数f
?
?
x
?
的符号情况,从而确定
f
?
x
?
的单调
区间和极值。
【规范解答】
?
??
解:由
f
?
x
?
?sinx?cosx?x?1

0?x?2
?
,知
f
?
?
x
?
?1?2 sin
?
x?
?
.
4
??
?
?
2
?

令f
?
?
x
?
?0,从而sin
?
x?
?
??
42
??
解得:
x?
?
,或
x?
3
?
2

14



x
变化时,
f
?
?
x
?
、f
?
x
?
变化情况如 下所示:
x

?
0,
?
?

?

?
3
?
?
?
?

?

?
2
?
3
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2
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3
?
?
?
,2
?
?
?
2
?

f
?
(x)

+ 0 - 0 +
f(x)

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

?
3
?
??
3< br>?
因此,由上表知
f
?
x
?
的单调增区间是
?
0,
?
?

?
,2
?
?
,单调 递减区间是
?
?

?
2
??
2
?
3
?
?
3
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极小值为
f
??
?
, 极大值为
f
?
?
?
?
?
?2
.
22
??
?
?

?
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性 和极值是解决函数单调性、极值问题的
常用方法,简单易行,具体计算步骤如下:
(1)求导数
f
?
?
x
?

(2)求方 程
f
?
?
x
?
?0
的全部实根;
(3) 列表,检查
f
?
?
x
?
在方程
f
?
?
x
?
?0
的根左、右的值的符号;
(4)判断单调区间和极值。
2.2.2导数在曲线的切线问题上的应用
导数的几 何意义:如果函数
f
?
x
?
的导数存在,则的函数
f
?
x
?

x?x
0
处的导数即
为该函数在点?
x
0
,f
?
x
0
??
切线的斜率. 利用这个我们可以求出曲线的切线方程.
例2、(2010·浙江高考·文科)已知函数
f< br>?
x
?
?
?
x?a
??
x?b
?< br>,
?
a,b?R,a?b
?

2
(1)当a=1,b =2时,求曲线
y?f
?
x
?
在点
?
2,f
?
x
??
处的切线方程。
(2)设
x
1
,x< br>2

f
?
x
?
的两个极值点,
x
3

f
?
x
?
的一个零点,且
x
3
?x
1
,x
3
?x
2

证明:存在实数
x
4
,使得
x
1
,x
2
,x
3
, x
4
按某种顺序排列后的等差数列,并求
x
4

【命题立 意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应
用、等差数列等基础知识,同时考 查抽象概括、推理论证能力和创新意识。
【思路点拨】(1)先求出
f
?
?
2
?
再代入点斜式方程;
(2)先找到
x
1
,x
2
,x
3
,观察它们之间的关系,从而确定
x
4
在 等差数列中的位置。

15


【规范解答】
2
f(x)?(x?1)(x?2)
, 解:(1)当a=1,b=2时,
因 为
f
?
?
x
?
?
?
x?1
??< br>3x?5
?
,故
f
?
?
2
?
?1, f
?
2
?
?0
.
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为
y?x?2
.
a?2b
a?2b
??
(2)因为
f
?
?
x
?
? 3
?
x?a
?
?
x?
.
?
,由于
a?b
,故
a?
3
3
??





所以
f
?
x
?
的两个极值点为
x?a,x?
不妨设
x
1
?a,x
2
?
a?2b
,
3
a?2b
.
3
因为
x
3
?x
1
,x
3
?x
2
,且
x
3

f
?
x
?
的零点,

x
3
?b

又因为
a?2ba?2b
? ?
?a?2
?
b?
?
,所以
x
1
,x4
,x
2
,x
3
成等差数列。
33
??所以
x
4
?
1
?
a?2b
?
2a?b
,
?
a?
?
?
2
?
3
?
3
2a?b
.
3
所以存在实数x
4
满足题意,且
x
4
?
【方法技巧】
(1)函数
y?f
?
x< br>?

?
x
0
,f
?
x
0
? ?
处的切线方程为
y?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?

(2 )在函数的极值点处
f
?
?
x
?
?0

2.2.3用导数证明不等式
利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、 导数、不等
式综合运用中的一个难点,也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数,
把 不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.
例3、(2007·安徽 高考·理科)设a?0,
f
?
x
?
?x?1?ln
2
x?2alnx
?
a?0
?

求证:当
x?1
时,恒有
x?ln
2
x?2alnx?1

【命题立意】本题主要 考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数
的极值、证明函数不等式,考查考生运算能力、 综合分析问题能力和问题的化归
转化能力

16


【思路点 拨】分析:此题要证明的不等式
x?ln
2
x?2alnx?1
是由已知函数
f
?
x
?
?0
变形而来.所以证明此不等式,我们无需构造 新的函数,只需要通过研究已知函

f
?
x
?
?x?1?l n
2
x?2alnx
的单调性,就可以使结论获证.
【规范解答】
解:对
f
?
x
?
求导得:
f
?
x
?
?1?
2lnx2a
?

?
x?0
?

xx

F
?
x
?
?xf
?
?x
?
?x?2lnx?2a

?
x?0
?

于是
F
?
?
x
?
?1?
2x?2
?

?
x?0
?

xx
所以 当
x?2
时,
F
?
?
x
?
?0

因为
a?0
,所以
F
?
x
?
的极小值F
?
2
?
?2?2ln2?2a?0

不难求得,对 一切
x?
?
0,??
?
,恒有
F
?
?x
?
?xf
?
?
x
?
?0

从而 当
x?0
时,恒有
f
?
?
x
??0
,故
f
?
x
?

?
0,???
内单调增加.
所以 当
x?1
时,
f
?
x
?
?f
?
1
?
?0
,即
x?1?ln2
x?2alnx?1?0

故 当
x?1
时,恒有
x?ln
2
x?2alnx?1
【技巧与方法】一般地,证明
f
?
x
?
?g
?
x
?
,x?
?
a,b
?
,可以构造函数
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x?
,如果
F
?
?
x
?
?0
,则
F
?
x
?

?
a,b
?
上是减函数,同 时若
F
?
a
?
?0

由减函数的定义可知,
x?
?
a,b
?
时,有
F
?
x
?
?0
,即证明了
f
?
x
?
?g
?
x?

2.2.4 积分在高考数学中的应用
定积分是新课标中新加的内容,《 课标》对定积分的定位如下:“(1)通过
求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积 分的实际背景;借
助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习
微积分打下基础;(2)通过实例,直观了解微积分基本定理的含义;(3)了解
微积分的文化价值. 可见,高中课程学习定积分,重在粗浅地领略其主要思想和
基本方法,从一些实例中初步认识定积分的工 具作用.纵观08、09年新课改地区
高考主要在定积分的求法,定积分的简单应用尤其是利用定积分求 面积上作文章.
例4、(2010·湖南高考·理科)
?
4
2
1< br>dx
等于( )
x
A、
?2ln2
B、
2ln2
C、
?ln2
D、
ln2

【命题立意】考查积分的概念和基本运算以及微积分基本定理。.
1
【思路点拨】记住的原函数.
x
4
1
【规范解答】选D 。
?
dx?
?
lnx?c
?
|
4
2
?ln4?ln2?ln2
.
2
x

17


【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数,会用微积分基本定理。
例5、 求抛物线
y
2
?2x
与直线
y?x?4
围成的平面图形的面 积.
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。
【思路点拨】由两个函 数解析式联立求出阴影部分临界点的坐标,再根据微积分
基本定理求出面积即可。
【规范解答】
?
y
2
?2x
解:如图1,解方程组
?
得两曲线的变点为
?
2,?2
?
,
?
8,4< br>?

y?x?4
?







3

方法一:选取横坐标
x
为积分变量,则图 中阴影部分的面积应该是两部分之和,即
S?2
?
2
0
2xdx?< br>?
8
2
?
422
2
1
22
2x?x ?4dx?2x
2
|
0
?(x?x?4x)|
8
2
?18

332
?
3
方法二:选取纵坐标
y
为积 分变量,则图中阴影部分的面积可据公式求得,即
?
y
2
1
2?
1
3
?
4
?
S?
?
?
y? 4?y
?
dy?
?
?4y?y
?
|
?2
? 18

??
?2
2
?
6
?
?
?
2
4
【方法技巧】如果平面区域是区间
交)及直线
上的两条连续曲线 与(相
所围成的,它的面积为

定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积, 虽然教材不作为教学内
容,但可以向学生渗透一些思想.
3.对微积分内容教学的一点建议
通过以上对高考题中微积分内容的分析总结,着眼于全面提高学生的综合素
质,按照《课标》和 《大纲》的精神,本人对微积分内容的教学提出一点个人看
法。
3.1适当讲解概念,分层递进要求。
对于极限、导数、积分等概念的教学,应根据课本上的设计主线是:瞬间速

18 < /p>


度—变化率—导数—导数应用—定积分的递进顺序,从实例出发给学生进行讲解。
传统微积分教学中,导数、积分的概念都是用极限定义的,现在讲导数、积分要
避开极限或是“没有极限 下的导数”,是不妥的,因为,学生此前没接触过极限概
念,现遇到了极限自然会产生疑问,为了帮助学 生理解,教师就得描述、解释、
举例、补充,实践说明,将函数极限知识提前上一些,淡化形式,重在极 限思想
的描述是可取的。注意“适度”提出函数的极限,不去追求理论上的抽象性和严
谨性。< br>
3.2剖析易混概念,使得条理清晰。
由于导数涉及函数的连续性、可导性、单调性 及函数的极限等,学生往往会
误认一些关系或结论(如极大值与最大值的概念)。因此,教师要通过反例 、图像、
分析错解等,讲清两者区别,使学生加深对所学知识的理解。
3.3横向联系知识,变式综合应用
在备战高考的复习过程中,为了体现数学与导数的有机结 合,尽可能地运用
极限、导数、定积分思想方法去解决相关问题,有意识地引导学生渗透导数、极
限、定积分思想方法于三角函数、数列、概率、不等式、解析几何等知识之中,
使学生看到导数在数学 各模块知识间的重要作用,从而实现知识的迁移作用,发
展学生的思维能力。
3.4培养学生能力,提高学习兴趣
微积分的内容、思想和方法对高中学生对数学知识的理 解、开拓解题思路和
进一步加深对以后学科的学习都有着十分重要的影响。作为普通高中课程改革新增的内容,其目的是在提高学生的数学思维能力的基础上发展学生的数学应用意
识,教师在教学中应 该让学生看到数学的实用性、趣味性,更应该让他们确立渴望
学习的态度与培养自主学习、自主探索的能 力。
微积分在解决数学问题中有着更广泛的用途,近几年高考数学中主要考察的
知识点就有以 上几各方面。高中阶段微积分的应用体现了数学的价值:既给学生
提供了一种新的方法,又给学生提供了 一种重要的思想,也为今后进一步学好微
积分打下基础。相对于对代数和几何等经典内容已经相对完善的 教学研究,微积
分的教学研究还不成熟,处于摸索的阶段。但也正因为如此,探讨微积分的教学
才更有价值和意义。

19


[参考文献]
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.2007.
[2] 人民 教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2—2).
人民教育出版社. 2009.
[3]方俊,吴方.关于中学数学中微积分教学的思考,中学数学,2009,(6).
[4]郑玉林.微积分在初等数学解题中的应用[J],福建中学数学,2008,10:11. [5]何小亚.高中数学新课程微积分的课程设计分析[J]数学通报,2004,45(4):9—13.
[6]李开慧.关于微积分教学改革的思考[J].重庆师范学院学报(自然科学版),1998,15 ;增
刊.
[7]喻平.走进高中新课改——数学教师必读[M].南京;南京师范大学出版社 ,2005,103—110.
[8] 张建.新课程数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教 学建议,中学数学教学参考:
上半月高中,2007,(3).
[9] 李倩,胡典顺,赵 军.对新课程标准下微积分课程教学的思考[J].高等函授学报(自然
科学版),2008,21(2 ).
[10]丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透.数学教学研究. 2008,8.
















20


The Content Analysis And Thinking Of Calculus Problems In The
College Entrance Examination
Liu Lihua
(Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an
710065,China)
Abstract:
With the new curriculum reform of elementary calculus into the mathematics, and it
holds a certain amount at the entrance. This paper introduces the status of mathematical knowledge
in the new curriculum content standards in the context of calculus in college entrance examination
system. Combined with the college entrance examination in recent years, summarized and analyzed
the content of calculus in college entrance examination in mathematics offer the type of reference for
the teaching of Mathematics
Keyword:
Calculus; derivative; definite integral; function; area





















21



致 谢

本论文是在我的指导老师胡洪萍教授的精心指导下完成的,在这份论 文中无
不倾注着胡老师的汗水和心血。在我完成此论文的整个过程中,胡老师不时不时
地给我认 真指导,细细讲解,并提出了很多建设性的意见,让我豁然开朗。有时
甚至会细心地指出一些诸如用词不 当的小错误,让我的论文能有很大改善.她耐心
负责的态度感染了我!在此我要向我的指导老师致以最衷 心的感谢和深深的敬意.
同时,也向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢!
感谢本 文涉及到的大量学者,本文引用了大量的研究文献,如果没有这些学者
的研究成果的启发,我将很难完成 论文的写作。
另外,我的同学和朋友不但为我提供了很多的论文素材,而且在论文的撰写、
排 版等过程中提出了修改意见,给予我热情的帮助,在此对所有帮助过我的老师
和同学致以诚挚的谢意。
最后,我衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师、教授。
不可遗漏的是,由于我的水平有限,错误和不足在所难免,恳请各位老师和
朋友批评指正。








2007级1班 刘丽华
2011年5月15日






22


西安文理学院数学系本科毕业论文指导教师评分表

毕业论文题目
学生姓名
刘丽华

高考题中微积分内容的分析与思考
专业
数学与应07级1
班级
用数学 班
学号
指导教师评语:

指导教师评分: 指导教师签名:

年 月 日


西安文理学院数学系本科毕业论文评阅教师评分表

评阅教师评语:







评阅教师评分: 评阅人签名:

年 月 日





23


西安文理学院数学系本科毕业论文答辩评审表
论文题目
学生姓名
专业名称

答辩小组成员 胡洪萍
刘丽华
高考题中微积分内容的分析与思考
学 号 指导教师
数学与应用数学
陈广峰 杨小康 王琳琳琳
均分








胡洪萍
评 审 与 答 辩 项 目
选题
资料收集与调研分析
综合分析与计算
论文结构
文字表述
创新
其它
答辩表现
论 文 等 级
满分 评委1 评委2 评委3 评委4
5
10
20
15
15
20
5
10

















总 分


















评语:









答辩小组组长签名:
年 月 日
注:
1、论文等级分优( ≥85分)、良(84-75分)、中(74-60分)、差(≤59分);总分取整数。
2、本表为样表,评审与答辩项目各院系根据本学科特点制定。


24


西安文理学院数学系本科毕业论文答辩记录
学生姓名 刘丽华 学号
答辩地点
专业名称 数学与应用数学
B0301 指导教师
记录人
姓 名
陈广峰
王琳琳

职 称
副教授
讲师
胡洪萍 答辩时间 2010-5-26
题 目
答辩小组
成 员
高考题中微积分内容的分析与思考
姓 名
胡洪萍
杨小康
职 称
教授
讲师
提问及回答情况记录(3-4个主要问题):

1、胡老师问:论文是从哪些高考试卷来进行分析的?
答:本人通过对2009、2010年 新课标自主命题的10个省份(山东、广东、宁夏、
海南、江苏、浙江、安徽、辽宁、福建、天津)高考 试卷进行分析,挑选出其中
有关微积分内容的试题,发现10个省份两年的考题中全部考到了微积分相关 知识。
其中2009年所涉考题平均分值为13.64分,占试卷总成绩的
9.1
0< br>0
,而且有8个省
份将涉及微积分知识的考题作为压轴题(除选做题)。2010年这1 0个省份所有涉
及微积分内容的考题所占平均分值为13.55分,占试卷总成绩的
9.00
0
,其中有7
个省份将此内容题型放在了试卷靠后的位置。

2、陈老师问:高考对微积分内容的主要考点有哪些?
答:经过分析发现近两年重点考察的内 容是导数在函数单调性与极值问题上的应
用,以及导数在曲线的切线问题上的应用:其次还会考到用导数 证明不等式与定
积分的相关知识,但所占比例都不太高。有时候也会在数列问题中出现有关导数
的问题。总之,对微积分内容的考察整体偏向于应用方面。

3、杨老师问:《考试大纲》对定积分内容的要求及考点有哪些?
答:近几年高考数学试卷中 对定积分内容的考察点主要有两个方面:定积分的计
算与应用,其中计算主要是应用微积分基本定理,应 用主要考察利用积分求面积
的问题。经本人分析,在考卷中出现的有关定积分的考题都不是特别难,学生 比
较容易得分。


记录人签字:
2011年5月26日


25

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本文更新与2020-10-06 18:27,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/411240.html

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