微积分基本定理

微积分基本定理
一、教材分析
1、教材的地位及作用
微积分基本 定理是普通高中课程标准实验教科书（人教版）高二年级数学（选修2-2）第一
章第六节内容，本节内 容共设计两个课时，这是第一课时，这节课的主要内容是微积分基本
公式的导出以及用它求定积分。 < br>本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的
内在联 系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教
材中处于极其重要的 地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带
来了深远的影响，是微积分学中最 重要最辉煌的成果。
2、教学目标
根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课 程标准要求，确定本节课的教学目
标如下：
（1）知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分。
（2）过程与方法目标：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。
（3）情感、态度 与价值观目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对
立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力。
3、教学重点、难点
重点：通过探究变速直线运动物 体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的
含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积 分。（根据教材内容特点及教学目标的要求）
难点：了解微积分基本定理的含义。（根据学生的年龄结构特征和心理认知特点）
——以学生 现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难
点的关键在于让学生主动 去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积
分，这样才能从真正意义上把握该定理 的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位。
二、教法和学法
1、教法：
素 质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能
充分发挥学生的 主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学
内容及教学目标和学生的认识 规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、

引导学生积极思考本节课 所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使
学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体 现了学生的主体地位。
2、学法：
学法要突出自主学习，研讨发现，知识是通过学生自己积 极思考，主动探索获得的，学生在
教师的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在
课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部到整体，特殊到一般和用数形结合的方 法获取
知识的过程，培养学生学习的主动性。
三、教具
多媒体课件（可以增强课堂 的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效解决教学重点，
增大课堂的容量，提高课堂效率）
四、教学设想
（一）创设问题情境
问题：同学们能否用定积分的定义来求 的值？
——让学生在动手过程中感受到“用定义”来求是定积分极其困难，激发学生寻找计算定积分
新方法的认识需要和求知欲，引导学生自觉思考，主动探索新知。
（二）探索新知
我会类比于两个实数加法的逆运算是减法。乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减
法运算是互为 逆运算的，类似地提出问题：
1、求定积分运算有没有逆运算，它的逆运算我们如何去定义？
2、求导和求定积分运算是否具有以上关系呢？
——以学生现有的知识水平想到导数和定积分 的内在联系是很困难的，引导学生大胆尝试，
并主动探索它们之间的内在联系。
3、——为解 决教学重点和化解教学难点，提供清晰地、严密地思路，使教学重点明了、清
晰化。
引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
①如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么它在时刻t的速度是什么？
复习位移与速度之间的关系：V (t)=s′(t) ——基本定理的条件雏形。
——联想旧知识，为解决新知作准备。

②如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生画出函数s= s(t)的图像，通过观察s= s(t)的图像或根据位移的定义探索发现并
得出S= s(b)－s(a)——基本定理的右端雏形。
——让学生体会数形结合的方法，并巩固旧知识。
③如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？
引导学生利用导数的几何意义，从图像上直观地观察近似值的意义并用定积分得出S= V
(t)dt——基本定理左端雏形。（让学生体会数形结合的方法和联想旧知识的作用。）
— —在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几何意义，体现了数形结合这一
数学中最基本的 思想方法。
探索新知这一过程其实就是解决教学重点和化解教学难点的过程中，体现了教法和学法的统
一。
（三）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例：
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间
端点b，a处的函数值之差s(b)－s(a)， 即 V (t) dt = s′(t) dt= s(b)－s(a)
——进一步突出重点，突破 难点，并巩固和深化所学知识，形成基本技能，培养学生学习的
主动性。
2、教师给出定理的一般形式
一般地，如果f(x)是区间[a, b]上的连续函数，并且
F′(x)= f(x)，那么 f(x) dx =F(b)－F(a)（F(b)－F(a)记为F(x)|
a
）
这个结论叫做 微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），而这个结论是对探索新知中前两个
问题的完美解答。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材料，以及他们的学术成果在整个社会乃
至全世界的 影响，有利于丰富课堂内容。
由微积分基本定理的特例进而一般化而获得知识的方法是从特殊到一般、 从局部到整体的方
法，符合认识规律。把这种研究问题的方法渗透到学法中，体现了教法和学法的统一。
（四）巩固练习，强化提高，并得出结论。

课本55页练习题
用微 积分基本定理求定积分的方法比“定义法”来得更优越些，而利用基本定理求定积分的关
键是求出满足F ′(χ)=f(χ)的函数F(χ)，而求出函数F(χ)的方法是运用基本初等函数的求导
公式和导数 的四则运算法则从反方向上求出F(χ)。
——即能达到教学目标的要求又能进一步巩固和深化所学知 识，形成基本技能，培养学生的
主动探索能力。
（五）布置作业
学案一二课时