(整理)微积分第九章微分方程.

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第九章 微分方程

一、教学目标及基本要求
（1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3） 会用降阶法解下列方程：y
(n)
?f(x),y
??
?f(x,y
?
),y< br>??
?f(y,y
?
)
。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次
线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常
系数非齐 次线性微分方程的特解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点

1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；
2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；
3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；
4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学内容的深化和拓宽：
1、分离变量法的理论根据；
2、常用的变量代换；
3、怎样列微分方程解应用题；
4、黎卡提方程；
5、全微分方程的推广；
6、二阶齐次方程；

7、高阶微分方程的补充；
8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；
9、求线性非齐次方程的一个特解；
10、常数变易法。

本章的思考题和习题
解下列方程（第1-6题）
1、
(1?x)y
?
?y?x,y(0)?2

2、
f(x)?e?e
xx
2
??
??
fxdx,f
可微 < br>?
0
x
3、
1?x
2
sin2y?y
??2xsin
2
y?e
2
4、
(y?3x)dy?xydx?0

5、
y
??
?2xy
?
?0,y(0)?1,y
?
(0)??
6、
y?xy
?
?y
?
?y
?

7、已知可微函数
f(x)
满足
8、已知
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2
42
1?X
2

2
1

2?
x
1
f(x)dx
?f(x)?1,求f(1)和f(x)
；
2
f(x)?x
?
1
0
f(ax)da?
1
f(x)?1,f可微,求f(x)
；
2

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9、求与曲线族
2x?3y?C
相交成
45
角的曲线；
1 0、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内
注入淡水冲 淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多
余的水便从容器内流出， 问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

22
?
§9.1 微分方程的基本概念
一、内容要点：
先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；
常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；
二、教学要求和注意点
了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线
说明1：一个微分方 程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的
描述形式。前者强调的是运动的过程，是系统 的机理；后者强调的则是运动的结
果，是系统的输出。
说明2：可分离变量的微分方程虽然简 单，但它是求解各种微分方程的基础，要
求学生必须熟练掌握。

定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的
阶数。
如：
y
??
?y
?
?xy?1
二阶方程；y
?
?xy?0
一阶方程；
y
???
?x
三阶 方程，等等
讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，
y
???
?x
，方程
两边三次积分，得方程的解
y?
22
1
4
1
。当
x?C
1
x
2
?C
2< br>x?C
3
（
C
1
,C
2
,C
3为任意常数）
242
y?
1
4
x
时，也满足方程。可见
24
1
4
1
y?x?C
1
x
2
? C
2
x?C
3
包括了所有的解的形式。则称它为通解。
242定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，
常数的个数恰 好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程
的特解。
注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解
注2：一阶方程 的几种形式：一般形式：
F(x,y,y
?
)?0
，从这个方程种有可能解出
y
?
，
也有可能解不出来；一阶显式方程：
y
?
? f(x,y)
；对称形式：
dyP(x,y)
?
或
dxQ(x,y)
Pdx?Qdy?0

注3：在一阶方程种，
x
和
y
的关系是等价的.因此，有时可将
x
看成函数，
y
看做变量。
§9.2

可分离变量的微分方程

一、内容要点：
可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。
本单元的讲课提纲：
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然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程 与分离变量法。重点是微分方程的阶、
通解与特解等概念，分离变量法。难点是利用微分方程建立数学模 型关键是判别可分离变量
方程的方法，以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题：
?
?
(x)dx
通常只表示一个原函数，积分常数C有时写成
lnC,lnC

定义1：称能改写为 形式：
f(y)dy?g(x)dx
的一阶方程为可分离变量方程。
注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。
定理1：若< br>F
?
(y)?f(y)
，
G(x)?g(x)
，则
f (y)dy?g(x)dx
的通解为
F(y)?G(x)?C

证： （1）先证
F(y)?G(x)?C
是方程的解。
两边对
x
求导， 得
f(y)
dy
?g(x)
，即
f(y)dy?g(x)dx

dx
故
F(y)?G(x)?C
是方程的解
（2） 设
y?
?
(x)
是方程的任一解，则
f[
?
(x) ]
?
?
(x)dx?g(x)dx

两边关于
x
积分，得
?
f[
?
(x)]
?
?
(x)dx?
?
g(x)dx

又
F(x)
是
f(x)
的一个原函数，
G(x)
是
g(x)
的 一个原函数
则
F[
?
(x)]?G(x)?C
，即
y?< br>?
(x)
在
F(y)?G(x)?C
中
所以，
F(y)?G(x)?C
为
f(y)dy?g(x)dx
的通解。
注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。
注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。
【例1】 求
si nxcosydx?cosxsinydy?0
的通解，并求满足初始条件
y(0)?
解：方程可变为
?
4
的特解。
sinxsiny
dx?dy
，两边积分，得
?lncosx??lncosy?lnC

cosxcosy
即
cosy?Ccosx
为方程的通解。
又
y(0)?
?
4
，代入，得
cos
?
4
?Ccos0

?C?
2
cosx

2
2

2
即满足初始条件的特解为
cosy?
【例2】 求
y
?
?e
x?y
的通解。
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解：由
y
?
?e
x?y
?e
x
e
y
，分离变量，得
dy
?e
x
d x
，两边积分，得
y
e
?e
?y
?e
x
?c
，即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程
?
x?X?h< br>dyax?by?c
?
经
?
变换将行如方程化为齐次方程。
dxax?by?c
y?Y?k
111
?
【例3】 求
dyx?y?1
?
的通解。
dxx?y?1
解：令
?< br>?
x?X?h
dYX?Y?(h?k?1)
?
，则
dXX?Y?(h?k?1)
y?Y?k
?
?
x?X
?
?
y?Y?1
令
?
?
h?k?1?0
?h?0
即
?
?
?
h?k?1?0
?
k?? 1
方程变为：
dYX?YY
，令
u?
代入，得
?< br>dXX?YX
1?udXY
22
1?2u?u?CX
，积分，得 ，由 代回，得
du??u?
1?2u?u
2
XX
2
y?1?
y?1
?
2
通解为：
1?2?
??
?Cx
（其中
C
为任意常数）
x
?
x
?
§9.3

齐次方程

内容要点：
齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法
本单元的讲课提纲
齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代换的问题 ，变量代换法比较灵
活，可多举一些各类型的例题，让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积 累经验。
重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。
作业：同步训练习题
一、齐次方程
定义1：称能改写成形式：
dy
?
y
??f
??
的微分方程为一阶齐次方程。
dx
?
x
?
我们下面来看看齐次方程解的情形：
令
u?
y
，即
y?ux
，代入方程，得
x
u?x
dudx
du
?
?f(u)
，分离变量，得
u? f(u)x
dx
两边积分，解出
u
，再将
u?
y
回 代，即得通解。
x
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【例1】 求
(y?x
2
?y
2
)dx?xdy?0
的通解。
2
dyy
y
?
y
?
??1?
??
，令< br>u?
，即
y?ux
，代入方程，得 解：原方程可化为
dxx
x
?
x
?
u?x
du
?u?1?u
2
，化 简
dx
2
du
1?u
2
??
dx

x
积分，得
u?1?u?
cy
，将
u?
回代，得 通解为
y?x
2
?y
2
?c

xx
二、可化为齐次方程的方程
经
?
?
x?X?h
dyax?by?c
?
变换将行如方程化为齐次方程。
dxax?by?c
y?Y?k
111
?
dyx?y?1
?
的通解。
dxx?y?1
【例4】 求
解：令
?
?
x?X?h
dYX?Y?(h?k?1)
?
，则
dXX?Y?(h?k?1)
y?Y?k
?
?
x?X
?
?
y?Y?1
令
?
?
h?k?1?0
?h?0
即
?
?
?
h?k?1?0
?
k?? 1
方程变为：
dYX?YY
，令
u?
代入，得
?< br>dXX?YX
1?udXY
22
1?2u?u?CX
，积分，得 ，由 代回，得
du??u?
1?2u?u
2
XX
2
y?1?
y?1
?
2
通解为：
1?2?
??
?Cx
（其中
C
为任意常数）
x
?
x
?
§9.4

一阶线性微分方程

一、内容要点：
一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法
本单元的讲课提纲
（1）讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常数的想法 并加强练习，这对今
后讲二阶线性方程和线性方程组的常数变易法是有益的。
（2） 导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺利导出满足条件
y(x
0
)?y0
的
特解公式，还应指出两点：第一，当
P(x),Q(x),?C
时， 线性方程的解总可通过两次积分
求得，第二，揭示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变 易法。难点是伯努
?
z解伯努利方程。 利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑微分或令
y
二、教学要求和注意点
1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。
2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解
之和
3、齐次方程与线性齐次方程的作用

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1?n

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一、 一阶线性微分方程
定义1：称可转化为形式：
dy
?P(x)y?Q(x)
(1)的方程为 一阶线性方程；若
Q(x)?0
，
dx
则（1）式称为一阶线性齐次方程；< br>Q(x)?0
，（1）式称为一阶线性非齐次方程。
下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：
然是可分离变量方程。
得
?P(x)dx
dy
??P(x)dx
，两边积分，得
y?ce
?
（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
y
dy
?P(x)y?0
（2） 显
dx
下 面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它们的解也具有某种相
?P(x)dx< br>似性。我们用一种常数变易法来求（1）的解：假设
y?c(x)e
?
为非齐次 方程(1)的解，
代入方程，得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx
c< br>?
(x)e
?
?P(x)c(x)e
?
?P(x)c(x)e
?
?Q(x)

?P(x)dxP(x)dx
则
c
?
(x)e
?
?Q(x)
，
c
?
(x)?e
?
Q(x)

积分，得
c(x)?Q(x)e
?
?
P(x)dx
dx?C

则
y?
?
Q(x)e
?
?
?
?
P(x)dx?
?
P(x)dx
dx?C
?
e
（4）即为方程（1）的通解。
?
?
【例1】求
y
?
?y tgx?secx
的通解。
解：由于
y
?
?ytgx?secx< br>为一阶线性非齐次方程，且
P(x)??tgx,Q(x)?secx
，代入（4），< br>得其通解为
?tgxdx
?
?
tgxdx
＝
(x? C)secx

dx?C
?
e

y?
?
s ecxe
?
?
?
?
?
[例2] 求
dyy
?
的通解。
2
dx2x?y
解： 若将
y
看成函数，
x
作为变量，此方程不是一阶线性方程。故将
x
看成函 数，
y
作为
变量，则原方程化为：
dx2x?y
2
dx22
?
P(y)?,Q(y)??y
进一步化简，
?x??y
，为一阶线性方程，
dyy
dyyy
代入（ 4），得方程的通解为
x?y(C?lny)
。
二、 贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程
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定义 2：称形如：
dy
?P(x)y?Q(x)y
n
的方程为一阶贝努力方程。
dx
?n
dy
下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为
y?P(x)y
1?n
?Q(x)
，令
dx
z?y
1?n< br>，则方程化为
dz
?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)
，为一阶线 性方程，故可用上述方法求解，最后将
z?y
1?n
dx
代回，即得通解。
【例3】求
xy
?
?y?ylnx?0
的通解。
解：将方程变形，得
yy
?
?
?2
2
1
?1
lnx
?1
，为贝努力方程。令
z?y
，代入
y?
xx
dz1lnx
?1
，利用（4），得
z?lnx?1?Cx
，又
z?y
，
?z??
dxxx
1
所以
y?
为原方程的通解。
lnx?cx?1
§9.5

全微分方程

一、内容要点：
全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因子。
本单元的讲课提纲
1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成

验证
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

?P
?Q
?
如果成立，则可把上式写成
du?Pdx?Qdy?0
解为
U(x,y)? C
,求
?y?x
U(x,y)
有下列三种方法：
2、若
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
中
1）线积分法 2）偏积分法 3）分组观察凑全微分法
?P
?Q
?
，则可以寻求一 个积分因子
?
(x,y)
，使
?y?x
得
??
(< br>?
P)?(
?
Q)
，即存在
U(x,y)
使得
dU?
?
(Pdx?Qdy)?o
从而
U(x,y)?C
是
?y?x
通解。

二、教学要求和注意点
判断和求解全微分方程的方法；寻找积分因子的分组观察法；

定义1：如果存在可 微函数
u(x,y)
，使
du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy
，则称
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
微全微分方程。
命题：（1）
P dx?Qdy?0
为全微分方程
?
?Q?P
?

?x?y
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（2
x
）
Pdx?Qdy?0
y
y
0
的通解为 < br>u(x,y)?C
，其中
u(x,y)?
?
P(x,y
0)dx?
?
Q(x,y)dy
。
x
0
x
2< br>1
【例1】求
xydx?(?)dy?0
的通解。
2y
x< br>2
1
?Q?P
?
，由于
?
解：令
P?xy, Q?
，故方程为全微分方程
2y
?x?y
所以
u(x,y)??
x
x
0
P(x,y
0
)dx?
?
Q (x,y)dy
?
?
0
xdx?
?
1
y
0
y
xy
x
2
1
(?)dy

2y
x
2
y
?lny?C

?
2
二、可化为全微分方程的方程―积分因子
定义2：设
Pdx? Qdy?0
不是全微分方程，如果存在可微函数
u(x,y)
使
uPdx?u Qdy?0
为全微分方程，则称
u(x,y)
为原方程的积分因子。
注：积 分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积累才能有
效的解题。
【例2】（1）
xdy?ydx?0
； （2）
xdx?ydy?(x?y)xdx?0

解：（1）
(xdy?yd x)
222
11y
y
?
y
?
d?0
?0d y?dx?0
?c

???
??
x
x
2
x x
2
x
??
1xdx?ydy
2
?0?xdx?0

?
2222
x?yx?y
（2）
[xdx?ydy?(x?y)xdx]
222

?

d[ln(x?y)]?d(x)?0
?
一、内容要点：
1
222
1
3
11
ln(x
2
?y
2
)? x
3
?c

323
§9.6 可降阶的高阶微分方程
(n)
可降阶的高阶微分方程的三种类型：
y?f(x),

F(x,y
?
,y
??
)?0,

F(y,y
?
,y
??
)?0
，找出解的表达式及解法。
本单元的讲课提纲：
1、关于高阶微分方程的解法
求解的思路是 通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解，教材介绍了三种可
降阶方程的类型，对于不属于这 三类方程的特殊高阶方程有时也能通过换元或者全微分等手
段变成这三种类型进行求解。
2、
y
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(n)
?f(x)

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只需逐步积分即可求解，在求积分过程中每次都需增加一个常数，最后的解应包含n
个常数。
3、可降阶的二阶微分方程
通常的二阶微分方程为
F(y,y
?,y
??
)?0
，有四个变数，仅当缺少
x或y

时一定可以降阶求解。
二、教学要求和注意点
解方程
y
???f(y,y
?
)
中令
y
??
?p
dpdp< br>的作用，
y
??
?p
的导出过程
dydy
说明1： 求解全微分方程可暂不引入偏导数概念，对x求导时把y看成常数即可，对积分因
子只须介绍用目测可以 解决的简单情形；对于全微分的原函数概念可在格林公式以后
介绍。
说明2：高阶线性微分方 程的应用背景非常广泛，要针对不同的专业选择不同的问题引入课
题，这样能使学生对微分方程的学习产 生兴趣。
定义1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。
一、
y
(n)
?f(x)
―连续积分n次即得其通解。
x
【例1】
y
??
?e

连续积分两次，得，
y?e?c
1
x?c
2

x< br>二、
y
??
?f(x,y
?
)
―跟标准形式相比，缺 少
y
。
令
p?y
?
，则
p
?
? y
??
，则
p
?
?f(x,p)
，设其通解为
p?
?
(x,c)

则
y
?
?
?
(x,c)
，两边积分即得通解。
【例2】求
y
??
?y
?
?x
的通解。
2
解：令令
p?y
?
，则
p
?
?y
??< br>，则
p
?
?p?x
（一阶线性方程）
2
利用（4），得通解：
p?x?2x?2?c
1
e
< br>2?x
又
p?y
?
，所以通解
y?
1
3x?x
2
?2x?c
1
e
?x
?c
2

3
三、
y
??
?f(y,y
?
)
―缺少< br>x

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令
p?y
?
，则
y
??
?
dy
?
dydpdp
?p ?f(y,p)
，代入，得
p
dydxdydy
dy
?dx
，积分即得。
?
(y,c)
设其通解为
p?
?
(y,c)
，则
y
?
?
?
(y,c)
，即
【例3】
y
??< br>?2y
，
y(0)?y
?
(0)?1
求特解。
3
解：令
p?y
?
，则
y
??
?p
dpdp
?2y
3
，
pdp?2y
3
dy
，从而
p
dydy
积分，得
1
2
1
4
c
1
p?y?
由
y (0)?y
?
(0)?1
，得
c
1
?0

222
2
2
所以
p??y
由
y
?
(0)?1
知
p?y?
dy

dx
所以
?
1
1
?x?c
2
由
y(0)?1
知
c
2
??1

?y?

y
1?x
2
【例5】 求
y
??
?1?(y
?
)
的通解。
解：此题既 缺少
x
，又缺少
y
。从理论上，按以上两种方法都能算出结果，但可能难度有
差别。
此题课堂上当场做，检查学生的能力。
§9.7

高阶线性微分方程

一、内容要点：
二阶线性微分方程的解的结构， 高阶线性微分方程的解的结构，常数变易法，函数组线
性无关的充分必要条件。
本单元的教学提纲
1、关于二阶线性微分方程的解的结构
①齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性。
②非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次线性方程的通解之和。
③线性方程的通解包括了该方程的所有解。
2、关于二阶线性方程只须知道齐次方程的一个特解，则利用常数变易法可求出它的全
部解。
3、对于二阶非齐次线性方程而言，若相应的二阶齐次线性方程的通解为
C
1
y
1
(x)?C
2
y
2
(x)
，也可用常数变易法 找出其特解。
本单元的作业：
二、教学要求和注意点
二阶线性齐次方程中，通解中所含特解的线性无关性
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一、 函数的线性相关与线性无关
定义1：设
y
1
(x),y
2
(x),
?
,y
n
(x)
是定义在区间I上的函数，如果存在不全为零的数
k
1
,k
2
,?k
n
，使得
k
1
y
1
?k
2y
2
???k
n
y
n
?0
则称
y1
(x),y
2
(x),
?
,y
n
(x)在区间I上线性相关。否则，称
y
1
(x),y
2
(x),?
,y
n
(x)
在区间I上线性无关。
命题1：设
y
1
(x),y
2
(x)
是定义在I上的函数，则
y
1
(x),y
2
(x)
线性无关
?
数。
y
1
(x)
不恒为常
y
2
(x)
注1:若
y
1
(x),y
2
(x)
线性无关，则
k
1
y1
(x)?k
2
y
2
(x)
无法合并成
ky( x)
，但当
y
1
(x),y
2
(x)
线
性 相关可以合并。
二、 二阶线性微分方程及其解的结构
定义2：称形如：
y
??
?P(x)y
?
?Q(x)y?f(x)
的方程为二阶线性非齐次方程 。若
f(x)?0
，
则方程为齐次的，若
f(x)?0
，则称方程为 非齐次的。
定理1：设
y
1
(x),y
2
(x)
是
y
??
?P(x)y
?
?Q(x)y?0
的两个线性无关 的解，则
c
1
y
1
(x)?c
2
y
2(x)
为方程的通解。
定理2：设
y?
是
y
???P(x)y
?
?Q(x)y?f(x)
的特解。
c
1
y
1
(x)?c
2
y
2
(x)
是对应的齐次方程的通解，则
y?
y?
?c
1
y
1
(x)? c
2
y
2
(x)
是
y
??
?P(x)y< br>?
?Q(x)y?f(x)
的通解。
定理3：设
y
1
，
y
2
分别是
y
??
?P(x)y
?
? Q(x)y?f
1
(x)
与
y
??
?P(x)y
?
?Q(x)y?f
2
(x)
，
则
y
1
＋< br>y
2
是
??
??
y
??
?P(x)y?
?Q(x)y?f
1
(x)?f
2
(x)
的解。
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x2xx?xx2x?x
【例1】设< br>y
1
?xe?e,y
2
?xe?e,y
3
?xe?e ?e
是某二阶线性非齐次方程的
解，求该方程的通解。
Y
1
e2x
?e
?x
解：
Y
1
?y
1
?y< br>2
，
Y
2
?y
1
?y
3
，又
?
2x?x
不恒为常数
Y
2
e?e
所以，
Y< br>1
,Y
2
线性无关。故通解为
y?c
1
e
? x
?c
2
(e
2x
?e
?x
)?xe
x< br>?e
2x

§9.8

常系数齐次线性微分方程

内容要点：
二阶常系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解、n阶常系数齐次线性方程的定义，
特征方程、通解。
本单元的讲课提纲
高阶微分方程一般都很难求得通解，只有常系数线性微分方程的解法已经完全解决，一
般形式可写成 < br>y
(n)
?p
1
y
(n?1)
?
?
?p
n
y?0

rx
rx
其中
p
1
,?p
n
是常数，由于假设
y?e
为它的解，经求导代入方程消去
e
后得到的相应
的特征方程
r
n
?p
1
r
n?1
???p
n
?0

这是n次方程，它一定有n个根
r
1
,
?
,r
n
，其中
r
i
可以 是k重实根，也可以是k重共轭复
根
?
?i
?
，每一个
r< br>i
都对应齐次方程的一个特解，共得到n个线性无关的特解，利用线性
微分方程解的结构 ，可构成n个任意常数的通解。
本单元的作业：
说明1： 把求解常系数线性齐次微分方程 的问题化成求解多项式代数方程的问题，这不仅
仅是一种普通的求方程解的技巧，在线性控制系统中系统 和不同的环节都可以用常系数线性
微分方程来描述，用拉普拉斯变换导出它的传递函数也是一个多项式代 数方程，这说明常系
数线性齐次微分方程和多项式代数方程之间有着本质上的联系。通过对多项式代数方 程的分
析，可以得到控制系统的特性。
说明2：用特征方程求解常系数线性齐次微分方程要求熟练
一、
二、
二阶常系数线性齐次方程的解
定义:称形如
y
??
?py
?
?qy?0
(1),其中
p,q
为常数的方程为二阶常系数线性齐
次方程.
下面我们来讨论其解的结构.
rx
命题1:
e
是
y??
?py
?
?qy?0
的解
?
r
是
r?pr?q?0
的解,并称
r?pr?q?0
(2)
22
是(1) 的特征方程.
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rxrx
(i) 当特 征方程(2)有两个不同的实根
r
1
,r
2
时,则
y
1
?e
1
,
y
2
?e
2
时方程(1)的 两个解,
且
y
1
rxrx
不恒为常数,从而方程(1)的通解为y?c
1
e
1
?c
2
e
2
.
y
2
rx
(ii) 当
r
1
?r
2
?r
时,则
y
1
?e
1
是(1)的一个解.现在求另一个 线性无关的解
y
2
.设
y
2
?u(x)
,代入(1 )得
rx
e

e[u
??
?(2r?p)u
?
?(r?pr?q)]?0
,
2r?p?0,r?pr?q?0
所以
u
??
?0

rx22
则
u(x)?c
1
?c
2
x
取
u(x)?x
,则
y
2
?xe

rx
通解为:
y?c
1
e?c
2
xe

rxrx
(iii) 当
r
1,2
?
?
?
?
i
,则
y
1
?e
1
,
y
2?e
2
,应用欧拉公式,得
rxrx
y
1
?e
?
x
(cos
?
x?isin
?
x)
,
y
2
?e
?
x
(cos
?
x?isin
?
x)

构造
Y
1
?
11
(y
1
?y
2
)?e
?
x
cos
?
x

Y
2
?(y
1
?y
2
)?e
?
x
cos
?
x

22i
?
x
显然
Y
1
,Y
2
线性无关,故通解为:
y?e(c
1
c os
?
x?c
2
sin
?
x)

[例1] 求通解 (1)
y
??
?2y
?
?y?0
(2)
y
??
?2y
?
?3?0
(3)
y
??
?y?0

解: (1) 特征方程为
r?2r?1?0
则
r
1
?r
2
??1

2
从而通解为
y?c
1
e
?x
?c
2
xe
?x

(2) 特征方程为
r?2r?3?0
则
r
1
??3,r
2
?1

2
从而通解为
y?c
1
e
?3x
?c
2
e
x

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2
(3) 特征方程为
r?1?0
则
r
1,2
??i

从而通解为
y?c
1
cosx?c
2
sinx

二.n阶常系数线性齐次方程
(n)(n?1)
?
?
?a
n?1
y
?
?a
n
y?0
(1)

y?a
1
y
nn?1
特征方程为
r?a
1
r??? a
n?1
r?a
n
?0
(2)
(i) 当(2)中有单根时,(1)的通解中含:
ce
;
rx
(ii)
k?1rx
当(2)中有
k
重根时,(1)的通解中含:
(c
1
?c
2
x???c
k
x)e

(iii) 当(2)中有一对单复根时,
r
1,2
?
?
?
?
i
,(1)的通解中含:
e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

(iv) 当(2)中有
k
重单复根时,(1)中的通解含有:
k?1rxk?1rx

(c
1
?c
2
x? ??c
k
x)ecos
?
x
+
(c
1
?c
2
x???c
k
x)esin
?
x

[例2] 求
y
(4)
?2y
???
?2y
??< br>?0
通解.
432
解: 特征方程为
r?2r?2r?0
则
r
1
?r
2
?0
,
r
3,4
? 1?i

x
则
y
的通解为
y?c
1
?c< br>2
x?e(c
3
cosx?c
4
sinx)

§9.9

常系数非齐次线性微分方程
一、内容要点：
二阶常系数非齐次线性方程的定义及在自由项为两种特殊形式时用待定系数法寻找特
解。
本单元的讲课提纲
非齐次常系数方程的通解可表示为相应的齐次方程通解与非齐次方程 一个特解之和，从
而关键在于寻求特解，当自由项为
P
m
(x)e
?
x
时，可通过待定系数法求特解，应熟练掌握，
若自由项可写成若干个项相加，应用线 性方程解的结构定理。但自由项不是本节的两种形式，
可用常数变易法求特解。
二、教学要求和注意点
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常系数非齐次线性微分方程中自由项的局限性。
说明1：非齐次常系数线性微分方程的解法主 要是求它的特解；方程的右边项应理解为系统
的输入，用实例说明系统的输入对输出的影响。
说明2：微分方程的幂级数解法可归入幂级数部分介绍
定义:称形式为:
y
??
?py
?
?qy?f(x)?0
（2）方程,为二阶常系数线性非齐次方程.
下面讨论它的解的结构.
?
x
一、
f(x)?eP
m
(x)
型
设方程（2）的特解结构为：
y?eQ(x)

?
?
x
（1） 当
?
不是特征根时，
Q(x)可设为
Q(x)?Q
m
(x)
，即为一m次多项式。
（2） 当
?
是特征单根时，
Q(x)
可设为
Q(x)?xQ
m(x)
，即为一m＋1次多项式。
2
（3） 当
?
是特征重根 时，
Q(x)
可设为
Q(x)?xQ
m
(x)
，即为一m＋ 2次多项式。
【例1】 求
y
??
?y
?
?x
的通解。
2
解：特征方程为
r?r?0
则
r
1
?0, r
2
??1
，则齐次方程的通解为
y?c
1
?c
2
e
2
?x

由于
?
＝0是特征单根，则设特解为< br>y?xQ
2
(x)?x(ax?bx?c)

?2
代入方程，比较系数得
3ax?(6a?2b)x?2b?c?x

22
所以
a?
1
,b??1,c?2

3
?
故 特解
y?x(x?x?2)


所以通 解为：
y?c
1
?c
2
e
?x
1
3
2
1
?x(x
2
?x?2)

3
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?
x
二、
f(x)?e[P
L< br>(x)cos
?
x?R
n
(x)sin
?
x]


?k
?
x
令
m?Max{L,n}
，则特解 设为
y?xe[R
m
(x)cos
?
x?S
m
(x )sin
?
x]


其中若
?
?
?
i
不是特征方程的根，
k?0
；若
?
?
?
i是特征方程的根，
k?1
。
【例2】
【例3】 求
y
??
?2y
?
?5y?esinx
的一个特解。 x
2
解：特征方程：
r?2r?5?0
，则
r
1,2< br>?1?2i


又
?
?
?
i
＝1?i
不是特征方程的根，
k?0


从而特解设为
y?e(Acosx?Bsinx)
，代入方程比较系数，得
?x
3Acosx?3Bsinx?sinx

11
所以
A?0,B?

?
y
?
?e
x
sinx
33
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