高中数学人教A版选修2-2学案：第一章1.6微积分基本定理-含解析

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。


微积分基本定理




高中数学人教A版选修2-2学案：第一章1．6微积分基
本定理-含解析



(1)微积分基本定理的内容是什么？

(2)被积函数f(x)的原函数是否是唯一的？

1．微积分基本定理
< br>如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那
么f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛
顿—莱布尼茨公式．

为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x)
＝F(b)－F( a)．

[点睛] 对微积分基本定理的理解

(1)微积分基本定理表明， 计算定积分f(x)dx的关键是找到满足
F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用 基本初等函数的求
导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．

(2)牛 顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，
把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x) 叫做f(x)的原函数)的问
题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种
有效方法．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的 面积为S上，在x轴下方的面积为S
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马 ，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执 策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后 之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感 于斯文。

下．则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则

?
b
f(x)dx＝S上．

?
a
(2)当曲边梯 形的面积在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S
下．

(3)当曲边梯形的面 积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，
则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x) dx＝0.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导
数．( )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取
原函数的常数项为0.( )

(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间
上必须是连续函数．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√

2．下列积分值等于1的是( )


C.1dx
答案：C

3．计算：sin xdx＝( )

A．－2 B．0 C．2 D．1

答案：C

定积分的求法
B.(x＋1)dx



[典例] (1)定积分(2x＋ex)dx的值为( )

A．e＋2 B．e＋1


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世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐 不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣 之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！