(整理)微积分的基本操作

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第5章 微积分的基本操作
5.1极限
Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有：
Limit[expr,x->x
0
] 当x趋向于x
0
时求expr的极限
Limit[expr,x->x
0
,Direction->1] 当x趋向于x
0
时求expr的左极限
Limit[expr,x->x
0
,Direction->-1] 当x趋向于x
0
时求expr的右极限
趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 例如：
x
2
?2
1．求
lim

x??
3x?6
In[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2](3x-6),x->Infinity ]
Out[1]=
1

3
sin
2
x
2．求
lim

x?0x
2
In[2]:=Limit[Sin[x]^2x^2,x->0]
Out[2]=1
3．求
lim
?
x?0
lnx

x
In[3]:=Limit[Log[x]x,x->0,Direction->-1]
Out[3]= -∞

5.2微分
1.函数的微分
在Mathematica 中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x 求函
数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种
D[f,x] 计算导数
df
?f
或
dx
?x
?
n
f< br>D[f,x
1
,x
2
,…] 计算多重偏导数

?x
1
?x
2
?x
n
d
n
f
D[f,{x,n}] 计算n阶导数
dx< br>n
D[f,x,NonConstants->{v
1
,v
2
,…}] 计算导数
例如：
(1) 求函数sinx的导数
In[1]:=D[Sin[x],x]
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df
，其中v
1
,v
2
…依赖于x
dx

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Out[1]=Cos[x]
(2) 求函数e
x
sinx的2阶导数
In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]
Out[2]=2e
x
Cos[x]
(3) 假设a是常数，对sinax求导
In[3]:=D[Sin[a*x],x]
Out[3]=aCos[ax]
(4) 二元函数f(x,y)=x
2
y+y
2
求f对x,y 的一阶和二阶偏导
In[4]:=f[x_,y_]=x^2*y+y^2
Out[4]= x
2
y+y
2

In[5]:=D[f[x,y],x]
Out[5]=2xy
In[6]:=D[f[x,y],y]
Out[6]=x
2
+ 2y
In[7]:=D[f[x,y],x,y]
Out[7]=2x
In[8]:=D[f[x,y],{x,2}]
Out[8]=2y
In[9]:=D[f[x,y],{y,2}]
Out[9]=2
Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。
例如：
In[10]:=D[x*g[x],x]
Out[10]=g[x]+xg′[x]
In[11]:=D[x*g[x],{x,4}]
Out[11]=4g
(3)
[x]+xg
(4)
[x]
对复合函数求导法则同样可用：
In[12]:=D[g[h[x]],x]
Out[12]=g′[h[x]] h′[x]
如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如：
In[13]:=D[Exp[x]*Sin[x],x].x->2
Out[13]=e
2
Cos[2]+e
2
Sin[2]
In[14]:=N[%]
Out[14]=3.64392
2.全微分
在Mathematica中，D[f,x]给出f的偏导数，其中假定f中的其他变量与x无关。当f为单变量时，D[f,x]计算f对x的导数。函数Dt[f,x]给出f的全微分形式，并假定f中所有变量
依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义
Dt[f] 求全微分df
Dt[f,x] 求f对x的微分
Dt[f,x
1
,x
2
,…] 求f对x
i
多重全微分
Dt[f,x,Constants->{c
1
,c
2
,….}] 求全微分df，其中c
1
,c
2
..是常数
下面我们求x
2
+y
2
的偏微分和全微分
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In[1]:=D[x^2+y^2,x]
Out[1]=2x
In[2]:=Dt[x^2+y^2,x]
Out[2]=2x+2yDt[y,x]
可以看出第一种情况y与x没有关系，第二种情况y是x的函数。再看下列求多项式
x
2
+xy
3
+yz的全微分并假定z保持不变是常数。
In[3]:=Dt[x^2+x*y^3+y*z,Constants->{z}]
Out[3]=2Dt[x,Constants→{z}]+y
3
Dt[x, Constants→{z}]
+3xy
2
Dt[y,Constants→{z}]+zDt[y, Constants→{z}]
如果y是x的函数，那么y被看成是常数
In[4]:=Dt[x^2+x*y[x]+y[x]*z]
Out[4]=2xDt[x ]+Dt[x]y[x]+Dt[z]y[x]+xDt[x]y′[x]+zDt[x] y′[x]

5.3计算积分
1.不定积分
在Mathematica中计算不定积 分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不
定积分式。来求函数的不定 积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。
例如若求
sinsinxdx
Mathematica就无能为力：
In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x]
Out[1]=
?
?
sin[sin[x]]dx

但对于一些手工计算相当复杂的 不定积分，MatheMatica还是能轻易求得，例如求
u1?u
2
?
2 ?11u
2
du

u1+u
2
du
In[2]:=
?
2
2+11u
Out[2]=
1+u
?
11
2
3ArcTanh[
1
111+u
2
]2

1111
积分变量的形式也可以是一函数，例如：
In[3]:=
Sin[Sin[x]]dSin[x]

Out[3]= -Cos[Sin[x]]
输入命令也可求得正确结果：
In[4]:=Integrate[Sin[Sin[x]],Sin[x]]
Out[4]= -Cos[Sin[x]]
对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子：
In[5]:=
(a*x+b*x+c)dx

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?
?
2

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bx
2
ax
3
+
Out[5]=
cx+

23
2.定积分
定积分的求解主要命令是Integrate[f,{x,min,max}]， 或者使用工具栏输入 也可以。例
如求
?
4
?4
x
2
e
axdx

In[6]:=Integrate[x^2Exp[ax],{x,-4,4}]
128e
ax
Out[6]=
3
显然这条命令也可以求广义积分， 例如求
In[7]:=Integrate[1(x-2)^2,{x,0,4}]
Out[7]=∞
求无穷积也可以，例如
?
4
0
1
dx
：
2
(x-2)
?
??
1
1
dx
：
4
x
In[8]:=Integrate[1x^4,{x,1,Infinity}]
Out[8]=
1

3
如果广义积分发散也能给出结果，例如：
In[9]:=Integrate[1x^2,{x,-1,1}]
Out[9]= ∞
如果无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如：
In[10]:=Integrate[1x,{x,0,2}]
Integrate::idiv: Integral of
Out[10]=
1
does not converge on {0,2}.
x
?
2
0
1
dx

x
如果广义积 分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果。例
如
?
??< br>1
1
dx
：
x
p
1

,Integrate[x

–
p
,{x,1,∞},Assumptions→Re[p]≤1]]
- 1+p
1
,否则不收敛。在Integrate中可加两个参数
-1+p
In [11]:=Integrate[1x^p,{x,1,Infinity}]
Out[11]=If[Re[p]>1,
结果的意义是当p >1时，积分值为
Assumptions 和 GenerateConditions例如上例中， 只要用Assumptions->{Re[p]>1}就可以得
到收敛情况的解：
In[1 2]:=Integrate[1x^p,{x,1,Infinity},Assumptions->{Re [p]>1}]
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Out[12]=
1

-1+p
3.数值积分
数值积分是解决求定积分的另一种有效 的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用
Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更 是可以发挥巨大作用。
它的命令格式为：
Nintegrate[f,{x,a,b}] 在[a,b]上求f数值积分
Nintegrate[f,{x,a,x
1
,x
2
,…,b}] 以x
1
,x
2
….为分割求[a,b]上的数值积分
Nintegrate[f,{x,a,b},MaxRecursion->n] 求数值积分时指定迭代次数n
下面我们求Sinsinx在[0,π]上的积分值，由于这个函数的不 定积分求不出，因此使用
Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分求：
In[13]:=Nintegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi}]
Out[13]=1.78649
如果积分函数存在不连续点，或存在奇点我们可对积分进行 分段求解。例如函数
1
|x|
在[-1，1]上，显然x=0点是一个无穷间断点。因 此若要求其数值积分，必须在其中插入点0。
In[14]:=NIntegrate[1Sqrt[Abs[x]],{x,-1,1}]
Nintegrate::inum:Integrand
1
is not numerical at {x} = {0.}.
Abs[x]
Out[14] =Nintegrate[
1
,{x,-1,1}]
Abs[x]
In[1 5]:=NIntegrate[1Sqrt[Abs[x]],{x,-1,0,1}]
Out[15]=4.
对无穷积分，也可求数值积分，例如：
In[16]:=Nintegrate[Exp[-x^2],{x,0,Infinity}]
Out[16]=0.886227

5.4多变量函数的微分
下面是计 算多变量函数的偏导数及全微分的命令与单变量基本相同，通过分析下面的例
子我们可以我们可以轻松掌 握。
?
n
f
( 1 ) D[f,x
1
, x
2
,…, x
n
]计算偏导数
?x
1
?x
2
?x
n
下面是实际的例子：
求函数sin(xy
2
)对x的偏导数：
In[1]:=D[Sin[x*y^2],x]
Out[1]=y
2
Cos[xy
2
]
求函数sin(xy
2
)对x的二阶偏导数：
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In[2]:=D[Sin[x*y^2],x,x]
Out[2]= -y
4
Sin[xy
2
]
上述命令也可写成如下形式：
In[3]:=D[Sin[x*y^2],{x,2}]
Out[3]= -y
4
Sin[xy
2
]
求函数sin(xy
2
)对x的二阶对y的一阶混合偏导数：
In[4]:=D[Sin[x*y^2],x,x,y]
Out[4]= -2xy
5
Cos[xy
2
] - 4y
3
Sin[xy
2
]
上述命令也可写成如下形式：
In[5]:=D[Sin[x*y^2],{x,2},y]
Out[5]= -2xy
5
Cos[xy
2
] - 4y
3
Sin[xy
2
]
( 2) D[f,x,NonConstants->{c
1
,c
2
,…}]，
下面是实际的例子：
In[6]:=D[x^2+y^2,x,NonConstants->{y}]
Out[6]=2x+2yD[y,x,NonConstants→{y}]
注意：D[y ,x,NonConstants→{y}]表示
?f
中c
i
依赖于x
?x
?y
，其中y是x的函数。
?x
( 3 ) Dt[f] 计算全微分df
下面是实际的例子：
计算d(x
2
y
3
)
In[7]:=Dt[x^2*y^3]
Out[7]=2xy
3
Dt[x]+3x
2
y
2
Dt[y] 其中Dt[x]为dx，Dt[y]为dy
定义z为一个二元函数，求z的全微分，并提出Dt[x]和Dt[y]：
In[8]:=z =x^3*y+x^2*y^2-3x*y^2;Collect[Dt[z],{Dt[x],Dt[y]}]
Out[8]=(3x
2
y -3y
2
+2xy
2
)Dt[x]+(x
3
– 6xy+2x
2
y)Dt[y]
将上式表示成的标准形式：
In[9]:=%.{Dt[x]->dx,Dt[y]->dy}
Out[9]= dy(x
3
– 6xy+2x
2
y)+ dx(3x
2
y -3y
2
+2xy
2
)
求z对x的导数：
In[10]:=Dt[z,x]
Out[10]=3x
2
y -3y
2
+2xy
2
+x
3
Dt[y,x] -6xyDt[y,x]+2x
2
yDt[y,x]
因为Mathematica不知道y是否为x的函数，所以保留Dt[y,x]。用置换运算将Dt[y,x]
置换成0即可求得z对x的导数：
In[11]:=Dt[z,x].Dt[y,x]->0
Out[11]=3x
2
y -3y
2
+2xy
2

( 4) 求隐函数的导数
下面是实际的例子：
求隐函数5y
2
+ siny= x
2
的导数：
In[12]:=Dt[5*y^2+Sin[y]==x^2,x]
Out[12]=10yDt[y,x]+Cos[y]Dt[y,x]==2x
In[13]:=Solve[%,Dt[y,x]]
Out[13]={{Dt[y,x]→
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2x
}}
10y+Cos[y]

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( 5 ) Dt[f,x,Constants->{c
1
,c
2
,…}]计算全微分df , 其中c
i
是常数
下面是实际的例子：
In[14]:= Dt[x^2+y^2+z^2,x,Constants->{z}]
Out[14]=2x+2yDt[y,x,Constants→{z}]
( 6 ) Dt[f, x
1
, x
2
,…, x
n
]计算f对x
i
的多重全微分
下面是实际的例子：
In[15]:= z=x^3*y+x^2*y^2-3x*y^2;
In[16]:=Dt[z,x,y]
Out[16]=3x
2
– 6y + 4xy + 6xyDt[x,y] + 2y
2
Dt[x,y] – 6xDt[y,x] + 2x
2
Dt[y,x]
+ 3x
2
Dt[x,y]Dt[y,x] – 6yDt[x,y]Dt[y,x] + 4xyDt[x,y]Dt[y,x]

5.5多变量函数的积分 (重积分)
多变量函数的积分类似于一元函数的积分,可以利用Integrate函数来完成。命令如下：
Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d},…{z,m,n}] 计算重积分< br>??
a
bd
c
?
n
m
f
(
x
,
y
,,
z
)
dzdydx

Nintegrate[f,{x,a,b},{y,c,d},…{z,m,n}] 数值积分或重积分的数值解
下面是具体的例子：
计算重积分
1
??
x
2
?y?1
dxdy

In[1]:=
1
??
x
2
+y+1
dxdy

x
]+xLog[1+x
2
+y]

1+y
Out [1]=
21+yArcTan[
我们也可以直接输入Integrate命令进行积分，但要 注意x与y的顺序：
In[2]:=Integrate[1(x^2+y+1),y,x]
Out[2]=
21+yArcTan[
ab
x
]+xLog[1 +x
2
+y]

1+y
计算二重积分
??
00(x
2
?y
2
)dxdy
：
In[3]:= Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,b}]

Out[3]=
ab(a+b)

y的积分限也可以是x的函数：

In[4]:= Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,x^2}] < br>1
3
22
a
5
a
7
Out[4]=
+

521
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以下是数值积分的例子：

在重积分中，无法求出某个变量的积分值，会求出可积的部分，再输出运算结果。
In[5]:= Integrate[Sqrt[x+y],{x,0,2},{y,0,Sqrt[x+2]}]
Out[5]=
1
(7692–4622
1 4
–1024
2
-4602
3 4
–2430Log[3]+1215Log[1+22
1 4
+2
2
])
960

将上式转换成数值解：

In[6]:=N[%]

Out[6]=4.65557

直接利用NIntegrate命令求解，也可以得到相同的答案：

In[7]:= NIntegrate[Sqrt[x+y],{x,0,2},{y,0,Sqrt[x+2]}]
Out[7]=4.65557

以下是一个三重积分
???
?2 x
2
24y?x
2
?y?x
2
x
2
?z< br>2
dzdydx
：
In[8]:=Off[Nintegrate::slw con];Nintegrate[Sqrt[x^2+z^2],{x,-2,2},{y,x^2,4},{ z,-Sqrt[y-x^2],
Sqrt[y-x^2]}]
Out[8]=26.8083
注意：命令Off[Nintegrate::slwcon]的作用是不显示提示信息。


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