高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点

高数一串讲
教材所讲主要内容如下：
一元函数微分学
( 第三章、第四 章)
第一章
函数及
其图形
第二章
极限和
连续
高等数 学
(一)微积分
多元函数
微积分
（第六章）
一元函数积分学
（第五章）

全书内容可粗分为以下三大部分：
第一部分 函数极限与连续（包括级数）
第二部分 导数及其应用（包括多元函数）
第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）


第一部分 函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型：
1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续
常见考试题型：
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。

每年必有的考点

第三部分 导数微分及其应用
常见考试题型：
1、导数的几何意义；
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；
4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；
5、求闭区间上连续函数的最值；
6、实际问题求最值。

每年必有的考点
第四部分 积分计算及应用
考试常见题型
1、不定积分的概念与计算；
2、定积分的计算；
3、定积分计算平面图形的面积；
4、定积分计算旋转体的体积；
5、无穷限反常积分
6、二重积分
7、微分方程
最近几年考题中，积分计算的题目较多， 而且也有一定的难度。


第一部分 函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型：
1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。

例1..函数y=
log
2
log
3
x
的定义域是___________. 2007.7
知识点：定义域

约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
解 要使根式函数有意义必须满足
log
2
log
3
x?0
，
要使
log
2
log
3
x?0
成立， 只有
log
3
x?1
，即
x?3
.
注：我们所求 定义域的函数一般都是
初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过
有限次的＋－×÷运算及 有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们
把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。
基本初等函数的性质与图形如下表所示(
T
表周期)：
R?(??,??)R
?
?(0,??)

名表达式
称

常
数
y?C

函
数
定义域



R

图 形
y
C
特 性


有界，偶函数
0
x



幂
y?x
?

函
数

随
?
而异，
但在
R
上
均有定义
?
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

y=x
3y=x
y=x
13
y=x
-1
y=x
-2
?< br>?0
时在
R
?

单增；
?
?0
时在
R
?

1.800.20.40.60.811.21.41.6



指
y?a
x
数
a?0
函
a?1

数




R
< br>4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-2.5-2-1.5-1-0.5
单减．
无界



a?1
单增．

0?a?1

单减．
y
y=a
x
y=a
x
0(0,1)
o
00.511.52
x
2.5< br>y?0
．无界

对
y?logx
a
数
a?0
函

数
a?1



R

?

y
y=log
a
x
a>1

a?1
单增．
x
O
(1,0)
0y=l og
a
x



正
弦
函
数



y?sinx





R

y
1
3
?
2
O
?
2
?

0?a?1

单减．
无界


奇函数．
-
?
2
T?2?
．
2
?
x
-1





R

y?1


有界
．


余
y?cosx

弦
函
数
y
1
偶函数．
-?2
T?2?
．
O
? 2
?
3?2
2?
x
-1
y?1


y
．
有界
奇函数．


?
正
x?k??
y?tanx

切
2

函

k?Z

数
T??
．
-?2
O
?2
x


余
x?k?
,
y?cotx
切

k?Z

函
数
y
在每个周期
内单增，

无界


奇函数．
O
-??
x
T??
．
在每个周期
内单减．
无界

反
正
弦
函
数

反
余
弦
函
数

反
正
切
函
数

反
余
切
函
数




y?arcsinx




-1

y
?2
奇函数．
单增．
1
x
?
?1,1
?

o
-?2
?
??
?y?
22
．

有界



?
?1,1
?

y?arccosx

-1

y
单减．
0?y??
．
1
x
?
?2
o




y?arctanx


y
有界

?2
奇函数．
单增．
x
R

o
?
-?2
?
2
?y?
?
2
．




y?arccotx


R

y
有界

单减．
0?y??
．
?
?2
有界
o
x


例2 求函数
f(x)?ln(1?x),x?0.
的值域 2007.4
解：由
x?0.
可知
1?x?1
，所以
ln (1?x)?0
，故
f(x)?ln(1?x),x?0.
的值域为
[0,? ?)


例3 .
1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）
A．f (x)=
1
[0，1]
x?1
B．f (x)=
1
（-1，0）
x?1
C．f (x)=e
x
(-∞，+∞)

知识点：函数的有界性
注：函数的有界性是指值域的有界性。
D．f (x)=lnx (0，+∞)

解：A
当0?x?1时，1?x+1?2?
B．
lim
11
1
在[0，1]上为有界函数。
??1
，故f (x)=
x?1
2x+1
1
1
在（-1，0）上为无界函数。
=?
故f (x)=
x?-1
x+1
x?1
CD结合函数图像判断。

例4、设函数
f(x)
是定义在
(?a,a)
上的任意函数，证明：
（1）、
g(x)?f(x)?f(?x),x?(?a,a)
是偶函数
（2）、
g(x)?f(x)?f(?x),x?(?a,a)
是奇函数

知识点：奇偶性
若对于任何
x
，恒有
f(?x)??f(x)< br>成立，则称
f(x)
是奇函数。若对于任何
x
，
恒有
f(?x)?f(x)
成立，则称
f(x)
是偶函数．
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于
y
轴对称
分析：因为
g(x)
是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：
（1）
g(?x)?g(x)

（2）
g(?x)??g(x)

只证（1）：
g(?x)?f(? x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?g(x)
偶函数。
例5、求
函 数
y?log
4
2?log
4
x
的反函数. 07.10
知识点：反函数
求反函数的步骤是：先从函数
y?f(x)
中解出
x?f
?1
(y)
，再置换
x
与
y
，就得反
函数
y?f
?1
(x)
。
解：由
y?log4
2?log
4
x?
111
?log
4
x ，可得
2(y?)?log
4
x
，所以
x?4
2y? 1
，
222
上式中
x
与
y
的记号互换，即得反函数 为
y?4
2x?1

例6
．1. 设f (x)=x
3
-x，
?(x)?sin2x
，则f [
?(?)
]=( )
A.-2 B.
?
2
C.0 D.
2

2
?
4

2. 已知
f
(
x
+1)=
x
，则
f
(
x
)=________.2009 .10
知识点 ：复合函数
解：1.
f
2
?
?
(x)
?
=sin
3
2x-sin2x

?
?
??
?
f
?
?
(?)
?
?sin
3
2(?)-sin2(?)?0

4
?
44
?
答案：C
2. 令
x?1?u,
则
x?u?1
，故由
f(x?1)?x
可 得
f(u)?(u?1)
，即
f(x)?(x?1)
.
222

二、 极限与连续
常见考试题型：
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。

典型例题
求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛
比达法则等
2x
2
?3x?5
例7．求
lim
．
x?2
3x?1
知识点： 若函数
y?f(x)
在点
x0
处连续，
limf(x)?f(x
0
)

x?x
0
解 因为
lim(3x?1)?lim3x?lim1?6?1?7?0
x?2x?2x?2
．
故
lim

2x
2
?1
例8、
lim

x??
3x? 2
2x?3x?5
?
x?2
3x?1
2
lim(2x
2
?3x?5)
x?2
lim(3x?1)
x?2
?
7< br>?1

7
2x
2
?11
2?
2
2 2
2x?1
xx
?lim?lim??
解 ：
lim
x??
3x?2
x??
3x?2
x??
32
?
22
x
xx

知识点：一般地，设
a
0
?0,b< br>0
?0,m,n?N
，则
a
0
,
?
b当m?n,
a
0
x
n
?a
1
x
n?1
?????a
n
?
0
lim
m
?
?
0,
当m?n,
x??
bx?bx
m?1
?????b
0 1m
?
?
?,
当m?n.

3n
2
?6n?5
?
___________. 2007.7 例9
lim
n??
3n?2
3n?6n?5
?lim
n? ?
3n?2
2
3?
解：
lim
n??
65
?
nn
2
?
3

2
3
3?
n

例10 （1）、
lim(1?x )
x?0
1
2
1?cosx
?
n
?
2008.1 (2)
lim
??
2009.1
n??
1?n
??
n

知识点：重要极限：
1
?

1
1
x
lim (1?)?e,lim(1?t)
t
?e,u(x)?0,lim(1?u(x))
x ??t?0x
x
1
u(x)
?e
，

a
n
?0,lim(1?a
n
)
n
1
a
n
? e

1
x
2
2
x
2
1?cosx
解: (1)
lim(1?x)
x?0
1
2
1?cosx
?lim[(1 ?x)]
x?0

x
2
x
2
?lim
2
?2
。 因为 lim[(1?x)]?e
，
lim
x?0
x?0
1?cosx
x?0
x
2
1
2
x
2
?
n
?
(2) 求
lim
??
2009.1
n??
1? n
??
1
?
1
??
n
??
n?1?1???
?lim?lim1??lim1?
?
n??
??????
n??
1?n
???
1?n
?
n??
?
1?n< br>?
n??
?
1?n
?
nnn?(n?1)
n
?(n?1)
n
解：
lim
?

?
?
1< br>?
?lim
?
?
1?
?
n??
1?n
??
?
?
?(n?1)
?
?
?
?
n?(n?1)
?e
?1

例11.
(1)li m
tanx
x?0
x
(2)lim
sinkx
x?0
x
(3)lim
lim
1?cosx
x?0
x
2
(4)limnsin
n??
?
2n
(2007.10)

知识点：重要极限
lim
sinx
?1,
x?0
x< br>sinu(x)
?1,
u(x)?0
u(x)
sina
n?1

a
n
?0
a
n
lim
解：
(1)lim
tanxsinx1sinx1
?lim?lim?1?1?1< br>
x?0
x
x?0
xcosx
x?0
xl imcos
x?0
x
(2)令u?kx，x?0等价于u?0,

l im
sinkx
x?0
x
?lim
sinkx
x?0
kx
?k?lim
sinu
u?0
u
?k?1?k?k

2sin
xx
(3)lim
1?cosx
2
2
si n
2
x?0
x
2
?lim
x?0
x
2?lim
2
x?0

2(
x
)
2
2< br>?
2
?
1
?
sin
x
?
2
?
2
lim
x?0
?
?
1
?
x
?
2
?
2
??

?
(4)
lim(n??
sin
n??
sin
2n
)?lim
n??
2
?
?
2n
?
?
2

2n
2< br>2
例12．求极限（1）
lim
ln(1?x)

（2）lim
?
e
x
?1
?
sin3x
x?0
1?cosx
x?0
(1?cos2x)ln(1?x)


知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。
?
,
?
',
?
,
?
'
为无穷小， 且
?
~
?
',
?
~
?
'
， 则
lim
??
'
?
?lim
?
'

解：(1)因为
ln(1?x
2
)~x
2
,
1?cosx~
1
2
2
x

所以
lim
ln(1?x
2
)x
2
x?0
1?cosx
=lim
x?0
1
=2

2
2
x
（2）因 为
e
x
2
?1~x
2
，
sin3x~3x
，
1?cos2x~
1
22
2
(2x)?2x
，
所以
lim
?
e
x
2
?1
?
sin3x
x?0
(1?cos2x)ln(1?x)
?
x
lim
x< br>2
?(3x)
?0
(2x
2
)?x
?
32
．
ln(1?x)~x

注：在使用等价 无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，
即只对极限中的各个因式进行代换．
记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小
1、
sinx~x,
导出
u(x)?0
时，
sinu(x)~u(x)

2、
tanx~x,
导出
u(x)?0
时，
tanu(x)~u(x)

3、
arcsinx~x
， 导出
u(x)?0
时，
arcsinu(x)~u(x)

4、
e
x
?1~x
， 导出
u(x)?0
时，
e
u(x)
?1~u(x)

5、
ln(1?x)~x
， 导出
u(x)?0
时，
ln
?
1?u(x)
?
~u(x)

x
2
6、
1?cosx~
， 导出
u(x)?0
时
2
，
u(x)
2
1?cosu(x)~
2


x
2
x?sinx
例13：
(1)
lim
09.7 (2) 09.4
lim
x?0
x e
x
?sinx
x??
x
2
?1
(3)
lim(1?x)tan
x?1
?
x
2
07.4 （4）
lim
?
1
??
x
?
?

x?1
x?1lnx
??
知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式
?
0
、．其它类型的未定式
???
，
0??
，
0
0
,?
0
,1
?
可转化为分式型的未
?
0
定式，从而可以用洛必达法则
x
2
0
解：(1)
lim
x

()

x?0
xe?sinx
0

?lim
x?0
2x2
?lim?1

xe
x?e
x
?cosx
x?0
xe
x
?2e
x?sinx
（2）
lim
x?sinx
?
?
?

??

x??
x
2
?1
?
?
?

?lim
1?cosx1
?lim(1?cosx)?0

x??x??
2x2x
?
x0
(3)
lim(1?x)tan

(0???)

x?1
0
2

?lim
(1?x)?12
?
x2

?lim?limsin
2
?

x?1x?1x?1
?< br>?
x
?
2
?
2
?
x
cot?csc
222
0
1
?
???
xlnx?x?11?lnx?1?
x
(4)
lim
?

?limlim
0< br>?
x?1
x?1
x?1
(x?1)lnx
x?1
x? 1
lnx
??
?lnx
x
?lim

lnx1
?lim?

x?1x?1
111
2
1? ?lnx?
xx
2
x
1
x
lncosax
e
x
?e
?x
?2
例14．求极限（1）
lim
. 2009.10 (2)
a?0,b?0,lim

2007.1
x?0
lncosbx
x?0
1?cosx
知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合
解：
e
x
?e
?x
?2
0
（1）
lim

()

x?0
1?co sx
0
e
x
?e
?x
?2e
x
?e
?x
?lim?lim?lim(e
x
?e
?x
)?2

2
x?0x?0x?0
x
x
2
1
(?asinax )
0
lncosax
cosax
(2)
lim

()

?lim
x?0
lncosbx
x?0
1< br>0
(?bsinbx)
cosbx
cosbxaaxa
2
co sbxasinax
?lim?
2

?lim
x?0
cos axbbx
x?0
cosaxbsinbx
b
tf(t)dt
??
（ ）2007.4
例15
.设f(x)是连续函数，且f(0)=1 ，则
lim
0
x?0
x
x
2
A.0 B.
1
C.1 D.2
2
知识点： 变上限函数求导求极限
?
解：
lim
x?0
x
0
tf(t)dt
x
2
?lim
x?0
xf(x)
f(x) f(0)1
?lim??
=

x?0
2x
222
?
sin2x
　　　　　x?0　
?
例16
．设函数
f
(
x
)=
?
x
在
x
=0点连续，则
k< br>=（ ）2009.4
?
3x
2
?2x?k　　　x?　0?

知识点：函数连续 若
limf(x)?f(x
0
)
，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续。
x? x
0
分段函数在分段点点
x
0
处连续
?
y?f(x )
在点
x
0
处既左连续又右连续。
解：因为
y?f(x)
在点
0
处连续，
所以
li m
?
f(x)?lim
?
x?0x?0
sin2x2x
?l im
?
?2?f(0)?k

x?0
xx


例17．函数
f(x)?
x?1
的间断点的个数为 【 】
e
x
(x
2
?2x?3)
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
知识点： 判断初等函数的间断点
如果
f(x)
在点
x
0
不连续，则 称
x
0
是
f(x)
的间断点．
● 若下列三种情况之一成立，则
x
0
是
f(x)
的间断点：
i．
f(x
0
)
无定义 (
x
0
是无定义的孤立点)
ii．
limf(x)
不存在
x?x
0
iii．
f(x
0
)
有定义，
limf(x)
存在，但
li mf(x)?f(x
0
)
．
x?x
0
x?x
0
● 若
f(x)
是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点．
● 若
f(x)
是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点．
解：将函数的分母做因式分解，则有
f(x)?
x?1
．分母的零
e
x
(x?1)(x?2)
点就是函数的间断点．可以看到分母的零点为
x? 1,2
，应选择C．
注： 对函数做因式分解是判断函数零点的常用方法．
例18 ．求曲线
y?
ln(2?x)
的水平渐近线和竖直渐近线.2009.10

x

x?1
?1
2
x
x?1
y?f( x)??1
2
知识点：如果
limf(
x
x)?b或limf(x) ?b或limf(x)?b，
，
y?f(x)?
x??x???x???
f
b
x?b或
y?f
f
(x
x?
水平渐近线
b或fx
．
?

b，
y?)
的则直线为曲线
x??x???x???

?y ?fx
如果
limf(x)??或limf(x)??或limf(x)??
x?a< br>x?a
?
x?a
?
，

fx??或
y?f
f
(x
x
)
的
??或fx?

?
则直线竖直渐近线．
x?
x
a
?a
为曲线
x?ax?a??

1
x?1
lim
ln(2
?1??
2? x
ln(2?x)
2
?x)
x?0
x
?1
?lim
解： 因为
lim
x
??

?0
，
li m
x?0
x??x??
x
x1
lim
2
?1??< br>x?0
x
x?1
ln(2
?
?
1
x)
y
lim?1?
所以
y?0
为曲线的水平渐近线，
y?
2
x??
x
x
x?1
lim
ln(
?1??1x??
x
2
2?x)
的水平竖直渐近线。
x?0
为曲线
y?
?
y?fx

注意：竖直渐近线一般在间断点处存在。
?
2
?
18 求级数 < br>?
??
例
n?0
?
5
?
?
n?1< br>x
的和
?

知识点：等比级数（几何级数）
?
aq
n?1
?a?aq?aq
2
?
L
?aqn?1
?
L

n?1
当
q?1
时,等比级数收敛
且
?
aq
n?1
?a?aq?aq
2
?
L
?aq
n?1?
L
?
n?1
?
a

1?q
当
q?1
时，等比级数发散 ．
2
?
解：因为
?
?
??
n?0
?
5
?
?
?
n?1
2
?
2
??
2
??
2
?
??
??
?
??
?
L< br>?
??
5
?
5
??
5
??
5
?
n?1
23n?1
?
L

2
?
所以
?
?
??
n?0
?
5
?
?
25
1?
2
5
?
2

3
?
注意：收敛的必要条件：若
?
u
n
收敛， 则
limu
n
?0
级数
n?0
n??


三、闭区间上连续函数的性质：

例20
．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存 在一点
?
?
（0，1），使
f(
?
)=1-
?.2008.7

知识点 零点定理 若
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
连续，且
f(a)?f(b)?0
，则至少有
一点
?
?(a,b)
，使
f(
?
)?0

证明：.令
F(x)?f(x)?1?x
，则
F(x)
在
闭 区间
?
0,1
?
连续，
F(0)?f(0)?1??1?0
，
F(1)?f(1)?1?1?1?0
，则由零点定理至少有一点
?
?( 0,1)
，使
F(
?
)?0,
即
f(
?
) ?1?
?
。
第二部分 导数微分及其应用
常见考试题型：
1、导数的几何意义；
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；
4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；
5、求闭区间上连续函数的最值；
?
2
?
19 求级数
?
??
n?0
?
5
?

?
n?1
的和
S

6、实际问题求最值。

一、有关定义的题型
例21
设
f ′
(0)=1，求
lim
x?0
f(3t)?f(?t)
2008.10
2t
知识点：导数的定义
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f(x)?f(x
0< br>)f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim?l im.

?x?0
?x
x?x
0
?x?0
x?x< br>0
?x
f(3t)?f(?t)f(3t)?f(0)?(f(?t)?f(0))
?lim
x?0x?0
2t2t
3f(3t)?f(0)1(f(?t )?f(0))31

?lim?lim?f
?
(0)?f
?
(0)?2f
?
(0)?2

x?0
2
x?0
23t?t22
解:
lim
?< br>x
2
?1,0?x?1
例22．设
f(x)
=
?, 讨论该函数在
x?1
处的连续性与可导性
?
3x?3,1?x?2
知识点：
1、函数
f(x)
在点
x
0
处连续
?
f(x)
在点
x
0处连续既左连续又右连续.
2、函数
f(x)
在点
x
0
处可导
?
左导数
f
?
?
(x
0
)
和右导数
f
?
?
(x
0
)
都存在且相等

3、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。

f (x)?lim3x?3?0?f(1),limf(x)?limx
2
?1?0?f(1)< br> 解：因为
lim
++-+
x?1x?1x?1x?1
所以
f(x)
在
x?1
处连续
因为
f
?
?< br>(1)?limf
?
(x)?lim(3x?3)
?
?lim3=3< br>
???
x?1x?1x?1
f
?
?
(1)?lim f
?
(x)?lim(x
2
?1)
?
?lim2x?2
???
x?1x?1x?1
f
?
?
(1)?f?
?
(1)
，
f(x)
在
x?1
处不可导
总之，
f(x)
在
x?1
处连续不可导
?
1?e
?x
2
,
x?0
?
?
x
例23
.设
f(x)?
?
，则
f
?
(0)
=。2007. 4
?
?
x?0
?
0,
1?e
?x
?0< br>f(x)?f(0)
x
?lim
解：
f
?
(0)?l im

x?0x?0
x?0x?0
1?e
?x
1?e
?x
?lim?lim?1

x?0x?0
x
2
x2
22
2
例24．求曲线
y?x?e
x
上点（0，1） 处的切线是.
知识点：导数的几何意义，
f
?
(x
0
)< br>在几何上表示曲线
y?f(x)
在点
M
0
(x
0,f(x
0
))
处
的切线的斜率．
解：因为
y?
?1?e
x
所以曲线
y?x?e
x
在点（0，1）处 的切线方程的斜率为
y'
x?0
?2
,
则曲线
y?x?e
x
在点（0，1）处的切线方程为
y?1?2?(x?0)
, 即
y?2x?1

例25设函数
f(x)
在
x?a
处可导，则
f(x)
在
x?a
处（C.）2005年4月
A.极限不一定存在
C.可微








B.不一定连续
D.不一定可微
知识点：
f(x)
可导
?
f(x)
可微
f(x)
可导
?
f(x)
连续
例26、若函数
f (x)
在点
x
0
处自变量增量
?x
=0.25，对应函数增 量
?y
的线性主部

为2，求函数在该点的导数值
f
?
(x
0
)
2006年1月
知识点：微分
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)?y?A??x?o(?x)dy?A??x?f< br>?
(x)dx

解： 因为
2?A??x?f
?
(x
0
)dx?f
?
(x
0
)0.25

所以
f
?
(x
0
)?8


二、有关导数计算的题型

基本求导公式
(C)
?
?0
(sinx)
?
?cosx
(tanx)
?
?sec
2
x
(secx)
?
?secxtgx
(a
x
)
?
?a
x
lna
(log
a
x)
?
?
(x
?
)
?
?
?
x
?
?1< br>(cosx)
?
??sinx
(cotx)
?
??csc2
x
(cscx)
?
??cscxctgx
(e
x)
?
?e
x
1
1
(lnx)
?
?x
xlna
1
1
(arccosx)
?
??
( arcsinx)
?
?
1?x
2
1?x
2
1
1
?
(cotx)??
(arctanx)
?
?
1?x< br>2
1?x
2

导数的四则运算
若函数
u?u(x)
，
v?v(x)
都在点
x
处可导，则有
(ⅰ)
(u(x)?v(x))
?
?u
?
(x)?v
?
(x)
；
(ⅱ)
[u(x)v( x)]
?
?u
?
(x)v(x)?u(x)v
?
(x)；
?
?
u(x)
?
u
?
(x)v(x)?u (x)v
?
(x)
(ⅲ)
?
，
v(x)?0
．
?
?
2
v(x)
?
v(x)
?

复合函数的导数
设函数
y?f(u)
及
u?g(x)
可以 复合成函数
y?f(g(x))
，若
u?g(x)
在
点
x
可导，且
y?f(u)
在相应的点
u?g(x)
可导，则复合函数< br>y?f(
?
(x))
在点
x
处可导，

且
dydydydu
?f
?
(g(x))g
?
(x)，或
??
，
dxdxdudx

初等函数的求导问题全部解决
例27、求下列函数的导数。
3
arctanx
1) y=
1?lnx
.2009.1
2)
sinx
2
3)sinnx?sin
n
x

导数的四则运算 , 复合函数的导数
复合函数求导：逐层求导， 外层求导，内层不动。
解：
1)y
?
?
1
21?lnx
2
(1? ln
2
x)
?
?
2lnx
21?lnx
2
(lnx)
?
?
lnx
x1?lnx
2

?
3
arctanx
?
?
(3
arctanx
)
?
sinx?3
arctanx
(sinx)
?
2）
???
sinxsin
2
x
??



3
arctanx
ln3?(arctanx)
?
sinx?3
arc tanx
cosx3
arctanx
ln3?sinx
?
?(?co sx)
sin
2
x
sin
2
x1?x
2
3 )(sinnx?sin
n
x)
?
?(sinnx)
?
?( sin
n
x)
?
?cosnx(nx)
?
?nsin
n?1
x(sinx)
?
?ncosnx?nsin
n?1
xco sx

x
2
例28、 求下列函数的微分
(1)y?lntan

(2)y?f(lnx)

知识点:求微分
dy?f
?
(x)dx

解：（1）因为
dyx1x1xx
?(lntan)
?
??(tan)
?
? ?sec
2
?()
?

xx
dx2222
tant an
22
?
1
111
所以
dy?dx

??(x)
?
??
xxxx
sinx
2
tanco s
2
tan?cos
2
?2
sinx
2222
1< br>?
1
（2）设：
u?lnx
，则;
y?f(u)
，故
1
y'?f'(lnx)(lnx)'?f'(lnx)

x
1
所以
dy?f
?
(lnx)dx

x

例29、求下列函数的导数
（1）设
y?x,求y
?
(1).
2005.1
1
x

1
?
x?1
?
12x-1
（2）
y?ln
2
?arctan,x??1,
2007.
6x?x ?1
33
知识点：当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数求导法
1
解
(1)y?x，
两边取对数：
lny?lnx

x
1
x
2
两边关于
x
求导：
11111
y
?
??
2
lnx?(lnx)
?
??
2
lnx?
2

yxxxx
1
1111
y
?
?y?(?
2
lnx?
2
)?x
x
(?
2
lnx?
2
)

y
?
(1)?1

xxxx
(2)
因为
1
?
x?1
?
12 x-11112x-1
y?ln
2
?arctan?ln
?
x?1< br>?
?ln(x
2
?x?1)?arctan,

6x?x?1 6
33
3
33
y
?
?
11111
?(2x -1)?
3x?16x
2
?x?1
3
12

(2x-1)
2
3
1?
3
2

?
12x-12
??

3(x?1)6(x
2
?x ?1)3?(2x-1)
2
例30、设
y?sin2x
, 求
y
(n)

2004.10
知识点： 高阶导数 ，熟记下列高阶导数公式
n
?
n
?
(sinx)
(n)< br>?sin(x?).

(cosx)
(n)
?cos(x?).

(a
x
)
(n)
?a
x
ln
n
a.

22
(e
x
)
(n)
?e
x

(x)
(n)
?n?(n?1)L2?1?n!

解：
y< br>?
?(sin2x)
?
?sin(2x?)(2x)
?
?2s in(2x?).
,
22
y
??
?(2sin(2x?))
?
?2sin(2x??)(2x?)
?
?2
2
sin(2x?2 )

22222
??
?????
所以
y
(n)
?2
n
sin(2x?n)

2
例31 求
z?x
2
?3xy?y
2
在点
(1,2)
处的偏导数。
知识点：偏导数计算
f
x
(x
0
,y
0
)?lim
?x?0
?
f(x
0
??x,y
0
)?f(x
0
,y
0
)
.
?x

f
y
(x
0
,y
0
)?lim
?y?0
f(x
0
,y
0
??y)?f(x0
,y
0
)
.

?y
解法：
?
z
?
z
?3x?2y

?2x?3y
,
?
y
?
x
则
?
z
?
x
?8
,
(1,2)
?
z
?
y
?7

(1,2)< br>例32、求函数
z?ln(1?x
2
?y
2
)
)当< br>x?1,y?2
时的全微分. 2005年1月
知识点：全微分
dz
解：
p
0
?f
x
?
(x
0
,y
0
)?dx?f
y
?
(x
0
,y
0
)?dy

?z2x?z2y
?,?,

2222
?x1?x?y ?y1?x?y
dz?
?z?z2x2y
dx?dy?dx?dy

?x?y1?x
2
?y
2
1?x
2
?y
2
?z2x
?
?x
x?1,y?2
1?x
2
?y
2< br>所以
dz
x?1,y?2
1
?,
3
?z
? y
?
x?1,y?2
2y
1?x
2
?y
2
?
x?1,y?2
2

3
x?1,y?2
?
?z? z12
?dx??dy?dx?dy

?x
x?1,y?2
?yx?1,y?2
33
注意：如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入全微分公式 即可：

?
2
z
例33、
z?xe
, 求 2009.7
?x?y
xy
y
?
2
z
?z
xyxy
?xe
xy
?xe
xy
?x
2
yexy
解：
?e?xye
，
?x?y
?x

?
例34 设方程
x
2
?y
2
?z
2?ye
z
确定隐函数
z?z(x,y)
,求
z
?
x
,z
y
2005.10
知识点：隐含数求导
二元方程F(x,y)?0
确定一个一元的隐函数
y?f(x)
,且
F
?
dy
??
x

dxF
y
?
F
y< br>?
F
x
?
?
z
?
z
??
F
(
x
,
y
,
z
) = 0确定二元函数
z
=
z
(
x
,
y
)，且：，
??

?
xF
z
?
?
yF
z
?

解：令
F(x,y,z)?x
2
?y
2
?z
2
?ye
z

原方程即为
F(x,y,z)?0

F
x
?
?2x
，
F
y
?
?2y?e
z
F
z
?
?2z?ye
z

F
x
?
2x
?
z
x
???
F
z
?
2z?ye
z
F
y
?
2y?e
z

z
?
?
y
??
F
z
?
2z?ye
z
注：使用公式时，将方程表示为
F(x,y,z) ?0
或
F(x,y)?0

三、导数应用
1、导数和微分在经济分析中的应用

边际函数：在经济学中，一个经济函数
f(x)
的导数
f
?
(x)
称为该函数的
边际函数．
弹性函数: 经济函数
y?f(x)
弹性函数
Ey
如下定义： Ex
?y
Eyx?yx
y
?lim?lim?f
?
(x )

?x?0?x?0
?x
yEx?xy
x
注意：1）y?f(x)
在
x
点可导，在
x
点的弹性就存在。
2）
Ey
Ex
=
x?x
0
x
f
?
(x)

y
x?x
0
例35
1．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（ ）2007.1
A．30-2x
C．30x-2x
2
2
B．30-x
D．30x-x
2
2
知识点：
q
表示某产品产量，
C(q),R(q),L(q)
分别表示成本函数、收益
函数和利润函数，则
边际成本 MC =
C
?
(q)

边际收益 MR =
R
?
(q)

边际利润 ML =
L
?
(q)

显然：
L(q)?R(q)?C(q)?L
?
(q)?R
?
(q)?C
?
(q)
= MR—MC

解：因为
(30x?x
2
)
??30?2x
，答案为
D
.
供给价格弹性与需求价格弹性
1、设
S?S(p)
是市场对某一种商品的供给函数，其中
p
为商 品价格，
S
为
市场供给量，则：
ESp
?S
?
(p)
------- 供给价格弹性
EpS
2、设
D?D(p)
是市场对某一种商品的需求函数 ，其中
p
为商品价格，
D
为
市场需求量，则：
EDp
??D
?
(p)
------ 需求价格弹性
EpD
注意，当
?p?0
时
?D?0
，所以
D
?
(p)?lim
?D
?0

?p?0
?p
负号保证：
ED
?0
， 需求价格弹性总是正数。
Ep
例36.设某商品的需求函数为
D(p)?a-bp< br>，其中p表示商品价格，D为需求量，
a、b为正常数，则需求量对价格的弹性
A.?
b

a?bp
bp

a?bp
ED
?
（ ）2005.10
EP
B.
b

a?bp

C.
?
D.
bp

a?bp
解：
EDpppb
??D'(p)??(?b)?

EPDa?bpa?bp

2、导数在研究函数形态方面的应用

理论基础：微分中值定理
函数的凹凸性，单调性， 极值最值
例37 函数f(x)?x
2
?4x?5
在区间
[0,4]
是否满足罗尔定理 的条件，若满
足，求出使
f
?
(
?
)?0
的点?
．
知识点：、罗尔定理 若函数
f(x)
满足：

(1) 在闭区间
[a,b]
连续；(2) 在开区间
(a,b)
可导 (3)
f(a)?f(b)
，
则在
(a,b)
内至少存在一点
?
，使
f
?
(
?
)?0

拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数
f(x)
满足：
(1) 在闭区间
[a,b]
连续；(2) 在开区间
(a,b)
可导
则在
(a,b)
内至少存在一点
?
，使
f
?
(?
)?
f(b)?f(a)

b?a
解：
f(x)< br>在
[0,4]
连续且可导，又
f(0)?f(4)??5
．
故
f(x)
在
[0,4]
满足罗尔定理的条件．由于
f
?< br>(x)?2x?4
．
令
f
?
(x)?0
，得
x?2
，即点
?
?2
．
例38 .函数
y?e
-x
?x
在区间(-1,1)内（ ）2005年1月
A.单调减小
C.不增不减













B.单调增加
D.有增有减
知识点： 设函数
y?f(x)
在
[a,b]
上连续， 在
(a,b)
上可导，
(1)、若在
(a,b)
内
f
?
(x)?0
， 则
y?f(x)
在
[a,b]
上单调增加；
(2)、若在
(a,b)
内
f
?
(x)?0
， 则
y?f(x)
在
[a,b]
上单调减少。
解：因为
y< br>?
??e
-x
?1??(e
-x
?1)?0,x?(?1,1 )

所以应该选A
例39. 试确定函数
y?e
x
?x?1
的单调区间。
知识点： 求单调区间
一阶导数为零（驻点）或不存在的点可能恰好是单调区间的分界点，
这些分界点将函数的定义域分划成若干个部分单调区间。

解：函数的定义域为
(??,??)
， 且
y
?
?e
x
?1

当
x?(??,0)
时，
y
?
?0
， 故函数在
(??,0)
上单调减少；
当
x?(0,??)
时，
y
?
?0
， 故函数在
(0,??)
上单调增加。

故
(??,0)
为单调递增区间，
(0,??)
为单调增区 间。
例40．求曲线
y?x
3
?x
2
?x?1
的 凹凸区间和拐点.
知识点：曲线的凹凸区间和拐点
f
??
(x)?0时，曲线为凹的，
f
??
(x)?0
，曲线为凸的。
确定曲线拐点的方法：
1、求出
f
??
(x)
在区间I
上为零或不存在的点；
2、这些点将区间
I
划分成若干个部分区间， 然后考察
f
??
(x)
在每个部分区间上的
符号，确定曲线
y?f(x)
的凹凸性；
3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是 拐点；若在
两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。
1
解 ：
y'?3x
2
?2x?1,y?6x?2,x?
时，
y?0
。
3
1
?
1
?
当x?时,y?0，故原曲线的凹区间为
?
，+?
?
3
?
3
?
11
??< br>当x?时y?0，故原曲线的凸区间为
?
??，
?
33
??< br>?
116
?
故曲线的拐点是
?
，
?
?
327
?

例41．求函数
y
=
x
-ln(1+
x
)的极值.
知识点： 函数的极值，驻点（导数为0的点）
连续函数的极值点必是驻点和不可导的点
求函数的极值的步骤： 先求出驻点和不可导点（可疑的极值点），再利用第一充
分条件，第二 充分条件判断可疑点是否为极值点．
第一充分条件 设函数
f(x)
在点
x
0
的某个邻域
U(x
0
,
?
)
内连续，在 去心邻域
U(x
0
,
?
)
内可导，
o


(1)、当
x?(x
0
?
?
,x
0)时,f
?
(x)?0，


x?(x
0
,x
0
?
?
)时,f
?
(x)?0，

则
f(x
0
)
为
f(x)
的极大值
(2)、
x?(x
0
?
?
,x
0
)时,f
?
(x)?0，

当
x?(x
0
,x
0< br>?
?
)时,f
?
(x)?0，
则
f(x
0
)
为
f(x)
的极小值
第二充分条件
设函数
f(x)
在点
x
0
处具有二阶导数， 且
f
?
(x
0
)?0,f
??
(x
0
)?0< br>， 则
(1)、当
f
??
(x
0
)?0
时， 函数
f(x)
在
x
0
处取得极大值；
(2)、当
f
??
(x
0
)?0
时， 函数
f(x)
在
x
0
处取得极小值。
解：
y?x?ln(1?x)
， 定义域：
(?1,??)

y
?
?1?
1?x
?
?x
?
1x1
?, y??
22
1?x1?x
?
1?x
??
1?x
?< br>
令
y
?
?0
时，
x?0,y
x?0
?0
，所以
x
=0是函数的极小值点, 而函数的极小值为0.
例42 求
f(x)?x?2x
在区间
[0,2]
上的最大值与最小值．
知识点：闭区间上连续函数的最值。
方法： 1、先求区间内部可疑的极值点
2、计算区间端点和内部可疑极值点的函数值。
3、比较函数值大小， 确定最大值和最小值。
111
?1?,x?0
． 解
f
?(x)?1?2??
2
xx
令
f
?
(x)?0
，得驻点
x?1
．由于
f(0)?0,f(1)??1,f(2)?2?22
，
比较可知，
f(x)
在
[0,2]
上的最大值为
f(0 )?0
，最小值为
f(1)??1
。

x
。 2007.1

2
知识点：利用单调性证明不等式。。
x
证明：令
f(x)?1?x?(1?)
，
2
例43
．证明：当
x?0
时，
1?x?1?
则
f
?
(x)?
1111
x
????0
，
f (x)?1?x?(1?)
单调递减，
2
21?x
222
所以当
x?0
，
f(x)?f(0)
， 即
1?x?1?
x
.
2