微积分2习题答案

（本科）《微积分》练习二答案
一、填空题
P(x)
P(x)?6 x
3
lim?3
，则
P(x)?

?2< br>1．设
P(x)
是
x
的多项式，且
lim
，
2
x?0
x??
x
x
?
32
2
2．
lim(arcsin(x?x?x))?

6x?2x?3x
↑
x???
6
?
?
2
?
3．
lim
?
1?
?
?

e
3

x??
x
??
x
3
?ax ?x?4
?A
，则有
a?
，
A?
4，－2 4．设
lim
x?1
x?1
2sinx
5．设
f (x)?xsin?
，则
limf(x)?
2
x??
xx
1
x
2
?sin
3
x?s in
x
?

1
6．
lim
x?0
3
3x
2
1?x< br>7．函数
y?
的间断点是
x?1

(x?1)(x?2)
1
8．为使函数
f
?
x
?
??tanx
在点
x?0
处连续，应补充定义
f
?
0
?
?
1
x
3< br>?
x
?
x?0
在
x?0
处连续，则参数
K?

e
?3
9．设函数
y?
?
(1?x)
?
x?0
?
K
?
x?ax?010．函数
f(x)?
?
x
在点
x?0
处连续，则a?
2

?
e?1x?0
二、单项选择题
1．设
x
n
?0
，且
limx
n
存在，则
limx
n
②
n??n??
x
3
2
①
?0
②
?0
③
?0
④
?0

2．极限
lime
x?1
1
x?1
?
③
①
?
②
1
③不存在 ④
0

3．
lim(1?x)
1
?
④
x?0x??
x
?1?1
①
e
； ②
e
； ③
e?1
； ④
e?1
< br>?
1
x
?limxsin
x?3
的连续区间是_______ ___________ ②
?
x?1< br>??
x?2
?
①
?
??,?2
?
?
?
?2,?1
?
?
?
?1,??
?
②
?
3,??
?

③
?
??,?2
??
?
?2,??
?
④
?
??,?1
?
?
?
?1,??
?

11
x
?
x?1
5．函数
y?
的不连续点有 ③
12
?
x?1x?1
4．
y?
①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上
6．下列函数中，.当
x?0
时，与无穷小量
x
相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②
2
①
1?cosx
②
x?x
③
x
④
sin2x


１

（本科）《微积分》练习二答案
7．当
x?0
时，
sinx
与
|x|
相比是 ②
①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量
③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量
?
8 ．
当
x?0
时，
1?cos2x
与
x
2
相 比是
②


①
高阶无穷小量
②
同阶但不等价的无穷小量
③低阶无穷小量 ④等价无穷小量
?
sin3x
?
?,x?0
9．设
f?
x
?
?
?
为连续函数，则k =_______________ ②
x
?
kx?0
?
① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3
10．函数
f< br>?
x
?
在点
x
0
处有定义是
f
?< br>x
?
当
x?x
0
时极限存在的 ④
①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件
③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件
11．当
x?0
时，下列函数中比
x
高阶的无穷小量是 ②
①
x?sinx
②
x?sinx
③
ln
?
1?x
?
④
ln
?
1?x
?

12．当
x?0
时，下列函数中为无穷小量的是 ②
①
x?sin
1111
②
x?sin
③
?sinx
④
?sinx

xxxx
13．当
x??
时，下列函数中为无穷小量的是 ③
1111
②
x?sin
③
?sinx
④
?sinx

xxxx14．设在某个极限过程中函数
f
?
x
?
与
g
?
x
?
均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷
①
x?sin
大量 ③
①
f
?
x
?
?g
?
x
?
②
f
?
x
?
?g
?
x
?
③
f
?
x
?
?g
?
x
?
④
x?x
0
x?x
0
f
?
x
?
?b
，
limf
?
x
?
?c
，则函数
f< br>?
x
?
在点
x
0
处连续的充分必要15．设
f
?
x
0
?
?a
，
lim
??
条 件是 ④
①
a?b
②
a?c
③
b?c
④
a?b?c

f
?
x
?

g
?
x
?
?
x
2
?1
x
1
?1
?
16．
x? 1
是
f(x)?
?
x?1
e
?
0
?
x?1
的 ④
x?1
①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点
三、求下列极限
1．
lim(x?1?x)
?lim
x???
2
2
1
x?1?x
2
x???
?0
2．
lim(x?1?x)
???

x???
3．
lim(x?2x?2?
x???
2
x
2
?2x?2)

4x
2
?lim
x???
x?2x?2?x?2x?2< br>2
?lim
4
1?
2222
?
2
?1??< br>2
x
x
x
x
x???
?2

4．< br>lim
?
arctanx?arcsin
?
?0

?
x??
?
1
?
x
?

２

（本科）《微积分》练习二答案
7
(x?1)
2
? (2x?1)
2
?(3x?1)
2
?
?
?(10x?1)< br>2
5．
lim
（
?
）
x??
2
( 10x?1)(11x?1)
nnn
?
2
?
?
?
2
)

6．
lim(
2
n??
n?1n?2n? n
nnn
?
2
?
?
?
2
[解] 记
x
n
?
2

n?1n?2n?n
nnnn nn
?
2
?
?
?
2
?x
n
?2
?
2
?
?
?
2

因为
2
n?nn?nn?nnnn
nn
?x
n
?1
，由于lim?1
，所以由夹逼定理，得
limx
n
?1
即
n??
n??
n?1n?1
n
?
7．设
lim
?
?2006
，求
?
,
?

n??
n?(n?1)
?
[解] 原式左端
?lim
n? ?
n
?
?
?
?
?
1
?
?
1
?
1
?
?
?
?
n1?1?
?
? o
??
?
n
?
1?
?
1?
?
??
n
?
n
?
??
?
?
?
n
?
?
?
n
?
1

?lim?
（
?
?
?
?1
）
n???
?
1
?
?
?
n
?
?1
?< br>?
?o
??
?n
?
?
n
?
??由于极限存在，故
?
?
?
?1
。
12005
1
1
?1??
，
?
?
?
?1?

?
?2006

?
?
?
20062006
2006
?
四、分析题
|sinx|
1．讨论极限
lim

x?0
x
|s inx||sinx|
?1lim??1
，故原极限不存在。 [解] 因为
lim
，
x?0
?
x?0
?
xx
x
2
? 1
2．求
y?
2
的间断点，并判别间断点的类型。
x?3x?2< br>x
2
?1
x
2
?1
2
??2
，lim
2
??
[解] 因为
x?3x?2?(x?1)(x?2)< br>，而
lim
2
x?1
x?3x?2
x?2
x?3x? 2
因此有间断点：
x?1
为可去间断点，
x?2
为无穷间断点。.
1
3．求函数
y?6x?
的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。
x
[解] 函数的连续区间为
(??,0)?(0,??)
，点
x ?0
为函数的第二类无穷间断点。
n??
?lim
n
?

4．讨论函数
f(x)?lim
?
?
x?1
?
?< br>t?x
t?1
??
t
x?t
t
x?t
的连续 性。
t
令y?
x?t
t?1
x?t
x
x?yx?t
??
x?1
??
[解]
f(x)?lim
?
lim
?
1?y
?
y(x?1)
?e
x?1

?
?lim
?
1?
?
?
t?x
t?1
t?xy?0
t?1
????
在点
x?1
处没有定义，是间 断点，故
f(x)
的连续区间为
(??,1)?(1,??)
，点
x ?1
为
f(x)
的第二类无穷间断点。

３

（本科）《微积分》练习二答案
?
cosxx?0
在点
x?0
处的连续性。
?
x ?1x?0
f(x)?limcosx?1
，
limf(x)?lim(x?1)?1
[解]
?
lim
????
5．讨论函数
f(x)?< br>?
x?0x?0x?0x?0
∴
f(x)
在点
x?0
处连续性。
?
a?a?x
x ?0
?
?
x
6．设函数
y?f
?
x
??
?
（
a?0
）
cosx
?
x?0?
?
x?2
（1）当
a
取何值时，点
x?0
是 函数
f
?
x
?
的间断点？是何种间断点？
（2）当
a
取何值时，函数
f
?
x
?
在
?
??， ??
?
上连续？为什么？
1cosx1
f(x)?lim?
， [ 解]（1）在点
x?0
处，
f(0)?
，
lim
??
x?0x?0
2x?22
a?a?x11

lim

f(x)?lim?lim?
?
x?0
?
x?0
?
x?0
x
a?a?x2a
f(x)?limf(x)
，所以点
x?0
是
f
?
x
?
的跳跃间 当
a?0
且
a?1
时，由于
lim
??
x?0x? 0
断点。
f(x)?limf(x)?f(0)
，则
f
?
x
?
在点
x?0
处连续。 （2）当
a?1
时，由 于
lim
??
又因为在
(??,0)
或
(0,??)
上，
f
?
x
?
为初等函数，所以连续。
故当
a ?1
时，函数
f
?
x
?
在
?
??，??< br>?
上连续。
x?0x?0
?
1
?
x?1
x ?0
?
?
0?x?1
7．设函数
y?f
?
x?
?
?
x
?
?
a1?x?4
?
? （1）求函数
f
?
x
?
的定义域；
（2）讨论函数
f
?
x
?
在点
x?0
处的极限是否 存在？为什么？
（3）
a
为何值时，函数
f
?
x
?
在点
x?1
处连续？并求函数
f
?
x
?
的连续区间；
（4）画出函数
y?f
?
x
?
的图形。
[解]（1）
D
f
?(??,?1)?(?1,4]

1
f(x)?limx?0
，所以
limf(x)
不存在
?1
，
lim
x?0
x?0
?
x?0
?
x ?0x?0
x?1
f(x)?limx?1
，
limf(x)?lima?a
， （3）在点
x?1
处，
f(1)?a
，
lim
????
f(x)?lim
（2）因为
lim
??
f(x)?limf(x)?f(1)
， 所以，当
a?1
时，
lim
即函数
f
?
x
?
在点
x?1
处连续。
??
此时，
f
?
x
?
的连续区间为：
(??,?1)?(?1,4]

（4）略
五、证明题

1．证明方程
x?7x?4
在区间
(1,2)
内至少有一个实根。
5
[证] 设
f(x)?x?7x?4
，
f(x)
在[1,2]
上连续，
5
x?1x?1
x?1x?1x?1x?1
又
f(1)??10?0
，
f(2)?14?0
，由零点定理知，在
(1,2)
内至少存在一点
?
，

４

（本科）《微积分》练习二答案
使得
f(
?
)?0
，即
?
5
?7
?
?4?0
，故方程
x?7 x?4
在区间
(1,2)
内至少有一
个实根。
2．证明：方程
x?2sinx?k
（
k?0
）至少有一个正根。
[证] 设
f(x)?x?2sinx?k?C[0,??)

因为
f(0)??k?0
，
f(k?3)?3?2sin(k?3)?0

故由 零点定理知，
?
?
?(0,k?3)
，使得
f(
?
)?0
，所以方程
x?2sinx?k
至少有
一正根。

3 ．证明方程
x?asinx?2
（
a?0
）至少有一个正根，并且不超过a?2
。
[证] 设
f(x)?x?asinx?2
，下面分两种情形来讨论：
情形1 若
sin(a?2)?1
，则因为
a?0
，故
a?2
是方程
x ?asinx?2
（
a?0
）
的正根，并且不超过
a?2
。
情形2 若
sin(a?2)?1
，则因
a?0
，故
f(a ?2)?a[1?sin(a?2)]?0
，
5
f(0)??2?0
，又因
f(x)
在
[0,a?2]
上连续，故由零点定理知，
?
?
?(0,a?2)
，使得
f(
?
)?0
，因此
?< br>是方程
x?asinx?2
（
a?0
）
的正根，并且不超过< br>a?2
。
4．设
n
为正整数，函数
f(x)
在[0,n]
上连续，且
f(0)?f(n)
，证明存在数
a,a?1?[ 0,n]
，
使得
f(a)?f(a?1)
。
[证] 若
n ?1
，即
f(0)?f(1)
，取
a?0
，
a?1?1?[ 0,1]
，结论成立。
若
n?2
，作辅助函数
F(x) ?f(x?1)?f(x)
，易知
F(x)
在
[0,n?1]
上连续 ，因为
F(0)?F(1)?
?
?F(n?1)

?[f (1)?f(0)]?[f(2)?f(1)]?[f(3)?f(2)]?
?
?[f(n)? f(n?1)]

?f(n)?f(0)?0
则
n
个实数
F(0),F(1),?,F(n?1)
全部为零或同时有正数与负数，
（1）若这些数全部为零，即
F(0)?F(1)???F(n?1)?0
，则结论成立。
（2）若这些数中有正数与负数，即有某个
F(i)?0,F(j)?0,(i?j, 0?i,j?n?1)

于是由零点定理可知，在
i
与
j
之间存在一点
a
（显然
a,a?1?[0,n]
），使得
F (a)?0
，即
f(a)?f(a?1)
###

５