(优选)2019年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理优化练习新人教A版选修2-2

1.6 微积分基本定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.
?
4
1
?
x
d
x
等于( )
2
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：∵(ln
x
)′＝
1
x
，
∴
?
4
1
?
x
d
x
＝(ln
x
)
|
4
2

＝ln 4－ln 2＝ln 2.
2
答案：D
2．如图，阴影区域的边界是直线
y
＝0，
x
＝2，
x
＝0及曲线
y
＝3
x
2
，则这个 区域的面积是(

A．4 B．8
C.
1
3
D.
1
2

解析：由定积分的几何意义，得
S
＝
?
2
?
3
x
2
dx
＝
x
3
|
2
0

＝2
3
－0＝8，故答案为B.
0
答案：B
3．定积分
?
1
(2
x
＋e
x
?
)d
x
的值为( )
0
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析：
?
1
?
(2< br>x
＋e
x
)d
x
＝(
x
2
＋ex
)
|
1
0

＝(1＋e)－(0＋e
0
)＝e，因此选C.
0
答案：C 4．已知
f
(
x
)＝2－|
x
|，则
?
2
?
f
(
x
)d
x
等于( )
-1
A．3 B．4
)
1

C.
7
2
D.
9
2

解析：
f
(
x
)＝2－|
x
|＝
?
??
2－
x
，
x
≥0，
?
?
2＋
x
，
x
<0，


∴
?
2
?< br>f
(
x
)d
x
＝
?
0
(2＋
x
)d
x
＋
?
2
(2－
x
)d
x
＝
?
?
2
x
＋
x
2
?
2
?
|
0
－1

＋
?
?
2
x
－
x
?
?
|
2
37
0
＝
-1
?
-1
?
0
?
2
??
2
?
2
＋2＝
2
.
答案：C
5．函数
F
(
x
)＝
?
x
?
t
(
t
－4)d
t
在[－1,5]上( )
0
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
32
3

C．有最小值－
32
3
，无最大值
D．既无最大值也无最小值 < br>解析：
F
(
x
)＝
?
x
?
(
t
2
－4
t
)d
t
＝
?
?
1< br>t
3
－2
t
2
?
?
|
x
1
32
0
＝
x
－2
x
(－1≤
x
0
?
3
?
3
≤5)．
F
′(
x
) ＝
x
2
－4
x
，由
F
′(
x
)＝ 0得
x
＝0或
x
＝4，列表如下：
x
(－1,0)

0

(0,4)

4

(4,5)
F
′(
x
)

＋

0

－

0

＋
F
(
x
)

极大值

极小值


∴极大值
F
(0)＝0，极小值
F
(4)＝－
3 2
3
.
又
F
(－1)＝－
7
3
，
F
(5)＝－
2532
3
，∴最大值为0，最小值为－
3
.
答案：B
6．(2015·高考湖南卷)
?
2
?
(< br>x
－1)d
x
＝________.
0
解析：
?< br>2
?
1
2
?
2
?
(
x
－1 )d
x
＝
?
0
?
2
x
－
x
?
?
|
0
＝(2－2)－0＝0.
答案：0
7．若< br>?
a
?
(2
x
＋
1
x
)d
x
＝3＋ln 2，则
a
＝________.
1
2

1
2
a
解析：
?
a
(2
x
＋)d
x
＝(
x
＋ln
x
)
|
1

?
1
x
＝
a
＋ln
a
－1＝3＋ln 2，
∴
a
＝2.
答案：2
2
x
，
x
∈[0，1]
?
?
8．设
f
(
x
)＝?
1
，
x
∈，
?
?
x
2

(e为自然对数的底数)，则
?

?
0
f
(
x
)d
x
的值为________．
e
1
2
解析 ：依题意得
?
e
f
(
x
) d
x
＝
?
1
x
d
x
＋
?
e
d
x

?
0
?
0
?
1
x
1
3
1
4
e
＝
x
|
0
＋ln
x
|
1
＝.
33
4
答案：
3
9．计算下列定积分：
1
2< br>(1)
?
2
(2
x
－)d
x
；
?
1
x
(2)
?
?
3
0
(sin
x
－sin 2
x
)d
x
.
12
32< br>解析：(1)函数
y
＝2
x
－的一个原函数是
y
＝< br>x
－ln
x
.
x
3
12
3
16 214
2
2
所以
?
2
(2
x
－)d
x
＝(
x
－ln
x
)
|
1

＝－ln 2－＝－ln 2.
x
3333
?
1
1
(2)函数
y
＝sin
x
－sin 2
x
的一个原函数为
y
＝－cos
x
＋cos 2
x
.
2
所以
?
?
3
0
1
(sin
x
－sin 2
x
)d
x
＝(－cos
x
＋cos 2
x
)
2
?
3
0

1111
＝(－－)－(－1＋)＝－.
2424
1
fx
d
x
?
10．已知
f
(
x
)为二次函数，且
f
(－1)＝2，
f
′(0)＝0，
?
＝－2.
0
(1)求
f
(
x
)的解析式；
(2)求
f
(
x
)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)设
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)，
2

3

则
f
′(
x
)＝2
ax
＋
b
.由
f
(－1)＝2，
f
′(0)＝0，
?
?
a
－
b
＋
c
＝2
得
?
?
b
＝0
?
2

?
?
c
＝2－
a
，即
?
?
b
＝0
?

.
∴
f
(
x
)＝
ax
＋(2－
a
)．
又
?
1< br>f
(
x
)d
x
＝
?
1
[
a x
＋(2－
a
)]d
x

2
?
0
?
0
1
3
2
1
＝[
ax
＋ (2－
a
)
x
]
|
0
＝2－
a
＝－2， 33
∴
a
＝6，∴
c
＝－4.从而
f
(
x
)＝6
x
－4.
(2)∵
f
(
x
) ＝6
x
－4，
x
∈[－1,1]，
所以当
x
＝0 时，
f
(
x
)
min
＝－4；
当
x＝±1时，
f
(
x
)
max
＝2.
[B组 能力提升]
1．若
f
(
x
)＝
x
＋2
?
1
f
(
x
)d
x
，则
?
1
f
(
x
)d
x
＝( )
2
2
2
?
0
?
0
A．－1
1
C.
3
2
1
B．－
3
D．1 < br>2
解析：令
m
＝
?
1
f
(
x
)d
x
，则
f
(
x
)＝
x
＋2
?
1
f
(
x
)d
x
＝
x
＋2m
，
?
0
?
0
1
fx
d
x
?
2
?
?
所以
m
＝
?
f
(
x
)d
x
＝
?
x
＋2
?
dx
＝
0
??
??
1
0
1
0
?
(
x
＋2
m
)d
x
＝
?
(x
)d
x
＋2
m
＝
3
＋2
m
，
?
0
?
0
11
所以
m
＝－
?
?
1
f
(
x
)d
x
＝－.
3< br>?
3
0
1
2
1
2
1
答案：B
2.
?
3
(
x
cos
x
)d
x
＝________.
3
?
-3
解析：∵
y
＝
x
cos
x
为奇函数，∴
?
3
(
x
cos
x
)d
x
＝0.
33
?
-3
答案：0
3．函数
f
(
x
)＝sin(ω
x
＋φ)的导函数
y
＝
f
′(
x
)的部分图象如图所示，其中，
P< br>为图象与
y
轴的交点，
A
，
C
为图象与
x< br>轴的两个交点，
B
为图象的最低点．

4

(1)若φ＝
π
6
，点
P
的坐标为
?
?< br>?
0，
33
?
2
?
?
，则ω＝______ __.
(2)若在曲线段
ABC
与
x
轴所围成的区域内随机取一点 ，则该点在△
ABC
内的概率为
________．
解析：(1)
y
＝
f
′(
x
)＝ωcos(ω
x
＋φ)，当φ＝
π
?
33
?
6
，点
P
的坐标为
?
?
0，
2
?
?
时，
ωcos
π
6
＝
33
2
，所以ω＝3.
(2)由题图知
AC
＝
T
π
2
＝
ω
， < br>S
1π
△
ABC
＝
2
AC
·ω＝
2
，
设
A
，
C
的横坐标分别为
a
，
b
.
设曲线段
ABC
与
x
轴所围成的区域的面积为S
，则
b
S
＝
?
?
fx
d
x
?
?
?
a
?
＝|
f
(
x
)
|
b
a

|
＝|sin(ω
b
＋φ)－sin(ω
a
＋φ)|＝2，
由几何概型知该点在△
ABC
内的概率为
P
＝
S
△
ABC
π
S
＝
4
.
答案：(1)3 (2)
π
4

4．设
f
(
x
)＝
ax
＋
b
且
?
1
?
f
2
(
x
)d
x
＝1，求
f
(
a
)的取值范围． -1
解析：∵
?
1
f
2
?
(
x
)d
x

-1
＝
?
1
?
(
a
2
x
2
＋2
abx
＋
b
2
)d< br>x

-1
＝(
1
3
a
2
x
3
＋
abx
2
＋
b
2
x
)
|1
－1


＝
2
22
3
a
＋2
b
，

5

∴
2
3
a
2
＋2
b< br>2
＝1，∴
a
2
＝
3
2
－3
b2
，
又∵
f
(
a
)＝
a
2
＋
b
＝－3
b
2
＋
b
＋
3
2
＝－3(
b
－
1
6
)
2
＋
19
12
，
∴当
b
＝
1
6
时，
f
(
a
)
19
max
＝
12
.
∴
f
(
a
)≤
19
12
.
1< br>5．若
f
(
x
)是一次函数，且
?
1
?xfx
?
f
(
x
)d
x
＝5，
?0
0
解析：∵
f
(
x
)是一次函数，
∴设< br>f
(
x
)＝
ax
＋
b
(
a
≠0)，由
?
1
?
(
ax
＋
b
)d
x
＝5得
0
(
1
2
ax
2
＋
bx
)
|
1
1
0
＝
2
a
＋
b
＝5.①
由
?
1
?
xf
(
x
)d
x
＝
17
2
17
6
得
?
1
(
ax
＋
bx
)d
x
＝，
0
?
6
0
即(
1
3
ax
3
＋
1
21
171117
2
bx
)
|
0
＝
6< br>，∴
3
a
＋
2
b
＝
6
.②
解①②得
a
＝4，
b
＝3，∴
f
(
x
) ＝4
x
＋3，
于是
?
2
fx
?
x
d
x
＝
?
2
4
x
＋3
?
xd
x
＝
?
2
(4＋
3
x
)d
x

11
?
1
＝(4
x
＋3ln
x
)|
2
1
＝8＋3ln 2－4＝4＋3ln 2.

d
x
＝
17
6
.求
?
2
fx?
x
d
x
的值．
1
6