613高等数学高中数学

考试科目：高等数学 适用专业：物理学
一、 复习要求：
要求考生掌握高等数学与线性代数的基本知识，基本理论，基本运算和分析方法。


二、主要复习内容：
（一） 高等数学
1．函数、极限、连续
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小的性质及无穷小
的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 两个重要极限 函数连续的概念 函数间断
点的类型 闭区间上连续函数的性质
2．一元函数的微分学
导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系
平面曲线的切线与法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、
隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 某些简单函数的n阶导数 微分中值定理 洛必
达法则 函数的极值 函数单调性 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数的最大值与最小值
3．一元函数的积分学
原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本
性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨公式 不定积分和
定积分的换元积分法与分部积分法 广义积分 定积分的应用（几何和物理方面应用）
4．向量代数和空间解析几何
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 平面方程 直线
方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程
5．多元函数微分学
多元函数的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全
微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和
梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 多元函数极值和条件极值 拉格朗日
乘数法 多元函数的最大值、最小值及其简单应用
6．多元函数积分学

二重积分与三重积分的计算和应用 两类曲线积分的性质及计算 格林公式 平面曲线
积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面
积分的关系 高斯公式 斯托克斯公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应
用。
7．无穷级数
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条
件 几何级数与p-级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任
意项级数的绝对收敛与条件收敛 幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域 幂级数的和函
数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展
开式 函数的傅里叶系数与傅里叶级数 狄利克雷定理 函数在[-l, l]上的傅里叶级数 函数在
[0, l]上的正弦级数和余弦级数
8．常微分方程
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 贝
努利方程 全微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉方程 微分方程的简
单应用

（二） 线性代数
1．行列式
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理
2．矩阵
矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概
念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵
的等价 分快矩阵及其计算
3．向量
向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组
等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 n维向量空间的基变换和坐
标变换 过渡矩阵 正交矩阵及其性质

4．线性方程组
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线
性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程
组的通解
5．矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相
似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵
6．二次型
二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩惯性定理 二次型的标准形和规
范形 用正交变换化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性

三、参考书目：
1、《高等数学教程》（上、中、下三册） 上海大学理学院数学系编 上海大学出版社
2、《高等数学》（第三版以上） 同济大学编 高教出版社
3、《线性代数》（第二版） 上海大学理学院数学系编 中国人民大学出版社
4、《线性代数》（第三版以上） 同济大学编 高教出版社