高中数学常用的求导和定积分公式归纳

一.基本初等函数求导公式
?
(1)
(C)?0

??
?1
?
(x)?
?
x
(2)

?
(3)
(sinx)?cosx

2
?
(tanx)?secx

(5)
?
(4)
(cosx)??sinx

2
?
(cotx)??cscx

(6)
?
(7)
(secx)?secxtanx

(9)
?
(8)
(cscx)??cscxcotx

x
?
?e
x
(e)
(10)

(a
x
)
?
?a
x
lna

(11)
(log
a
x)
?
?
1
xlna

(lnx)
?
?
(12)
1
x
,

(arcsinx)
?
?
(13)
1
1?x
2

1
1?x
2

(14)
(arccosx)
?
??
1
1?x
2

1
1?x
2

(arctanx)
?
?
(15)
(arccotx)
?
??
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则

设
u?u(x)
,
v?v(x)
都可导,则

???
(1)
(u?v)?u?v

???
(3)
(uv)?uv?uv

反函数求导法则

??
(2)
(Cu)?Cu
(
C
是常数)

?
?
u
?
u
?
v?uv
?
??< br>?
2
v
v
??
(4)

若函数
在对应区间

x?
?
(y)
在某区间
Iy
内可导、
?
?
(y)?0
,则它的反函数
y?f(x )
单调且
I
x
内也可导,且

1

dy1
?
1
dx
dx
f
?
(x)?
??
(y)
或
dy

复合函数求导法则

设
y?f(u)
,而
u?
?
(x)
且
f(u)
及
?
(x)
都可导,则复合函数
y?f[
?
(x)]
的
导数为

dydydu
?g
?
?
(x)

dxdudx
或
y
?
?f
?
(u)g



二、基本积分表
(1)
?
kdx?kx?C
(k是常数)
x
?
?1
?C,

(u??1)
(2)
?
xdx?
?
?1
?
1
(3)
?< br>dx?ln|x|?C

x
dx
?arltanx?C
(4 )
?
2
1?x
(5)
?
dx
1?x
2?arcsinx?C

(6)
?
cosxdx?sinx?C

(7)
?
sinxdx??cosx?C


2

1
dx?tanx?C

cos
2
x
1
(9)
?
2
dx??cotx?C

sinx
(8)
?
(10)
?
secxtanxdx?secx?C

(11)
?
cscxcotxdx??cscx?C

(12)
?
e
x
dx?e
x
?C

a
x
?C
,
(a?0,且a?1)
(13)
?< br>adx?
lna
x
(14)
?
shxdx?chx?C

(15)
?
chxdx?shx?C

11x
dx?arctan?C

22
a?xaa
11x? a
(17)
?
2
dx?ln||?C

x?a
2< br>2ax?a
(16)
?
(18)
?
(19)
?
(20)
?
1
a
2
?x
2
1
a
2
?x
2
dx
x
2
?a
2
dx?arcs in
x
?C

a
dx?ln(x?a
2
?x
2
)?C

?ln|x?x
2
?a
2
|?C

(21)
?
tanxdx??ln|cosx|?C

(22)
?
cotxdx?ln|sinx|?C

(23)
?
secxdx?ln|secx?tanx|?C


3

(24)
?
cscxdx?ln|cscx?cotx|?C

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。
2、以上 公式把
x
换成
u
仍成立,
u
是以
x
为自变 量的函数。

3、复习三角函数公式：
sin
2
x?cos2
x?1,tan
2
x?1?sec
2
x,sin2x?2si nxcosx,
cos
2
x?
1?cos2x
,
2
sin
2
x?
1?cos2x
。
2
注 ：由
?
f[
?
(x)]
?
'(x)dx?
?
f[
?
(x)]d
?
(x)
,此步为凑微分过程,所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务
必熟记基本积分表,并掌握 常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结
：
1常用凑微分公式

4

积分类型
1.f(ax?b)dx?
2.f(x)x3.f(lnx)?
x
换元公式
(a?0)
u?ax?b
u?x
?
u?lnx
u?e
x
u?a
x
u?sinxu?cosx
u?tanx
u?cotx
u?arctanx
?
1
a
?
f(ax?b)d(ax?b)
1
?
??
? 1
dx?
?
?
f(x
x
?
)d(x)(
?
?0)
?
第
一
换
元
积
分
法
??
4..
?
f(e)?edx?
?
f(e)de
15.
?
f(a)?adx?f(a)da
lna
?
6.
?
f(sinx)?cosxdx?
?
f(sinx)dsinx
7.
?
f(cosx)?sinxdx??
?
f(cosx)dcosx
8.< br>?
f(tanx)secxdx?
?
f(tanx)dtanx
9.< br>?
f(cotx)cscxdx??
?
f(cotx)dcotx
1< br>10.
?
f(arctanx)dx?
?
f(arctanx)d(a rctanx)
1?x
f(lnx)d(lnx)
xx
xxxx
2< br>2
2
1
dx?
x
11.f(arcsinx)
?
1
1?x
2
dx??f(arcsinx)d(arcsinx)u?arcsinx
?

5