高中数学导数公式(2020年九月整理).doc

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导数知识点
1．导数的概念
(1)函数y ＝f(x)在x＝x
0
处的导数：函数y＝f(x)在x＝x
0
处的瞬时变化 率
→0
li
Δx
m
f
Δy
Δx→0
Δx
＝lim
x
0
＋Δx－f
Δx
x
0
?
为函数y＝f(x) 在x＝x
0
处的导数，记
x
0
＋Δx－f
Δx
x< br>0
.
f
Δy
→0

＝li
Δx
m
→0

作f′(x
0
)或y ′x＝x
0
，即f′(x
0
)＝li
Δx
m
Δx< br>函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变
化的 方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x
0
处的导数f′(x
0
)的 几何意义是在曲线y
＝f(x)上点P(x
0
，y
0
)
?< br>处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导
数)．相应地，切线方程为y－y
0
＝f′(x
0
)(x－x
0
)．
?曲线y＝f x在点Px
0
，y
0
处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x
0< br>的切线，是唯一的一条切线.
→0
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x) ＝li
Δx
m
fx＋Δx－f
Δx
x
为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x
0
)是函数f′(x)在x
0
处的函数值(常数)，[f′(x
0
)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)＝x
n
(n?Q
*
)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝a
x
(a＞0，且a≠1)
f(x)＝e
x

f(x)＝log
a
x(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x

1
导函数
f′(x)＝n·x
n
－
1

f′(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f′(x)＝a
x
ln a
f′(x)＝e
x

1
f′(x)＝
xln a

1
f′(x)＝
x

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3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
?
fx
?
′
f′xgx－fxg′x
(3)
?
gx
?
＝
[gx]
2
??
4．复合函数的导数
复合函数y＝f( g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y
x
′＝
y< br>u
′·u
x
′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．定积分的概念
b
在
∫
a
f(x)dx中，a，b分别 叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，
(g(x)≠0)．
f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质 < br>b
(1)
∫
b
a
kf(x)dx＝k
∫
a< br>f(x)dx(k为常数)；
bb
(2)
∫
b
a
[ f
1
(x)±f
2
(x)]dx＝
∫
a
f
1
(x)dx±
∫
a
f
2
(x)dx；
cb(3)
∫
b
a
f(x)dx＝
∫
a
f(x)d x＋
∫
c
f(x)dx(其中a＜c＜b)．
求分段函数的定积分，可以先 确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积
分的性质3进行计算.
7．微积分基本定理 < br>b
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫
a
f(x)dx
bb
＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a) 记作F(x)
|
b
a
，即
∫
a
f(x)dx＝F( x)
|
a
＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义
b定积分
∫
a
f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a ，x＝b之间
的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面
积 为S.
bcb
?S＝
∫
a
f(x)dx；?S＝－
∫b
a
f(x)dx；?S＝
∫
a
f(x)dx－
∫c
f(x)dx；
bb
?S＝
∫
a
f(x)dx－< br>∫
b
a
g(x)dx＝
∫
a
[f(x)－g(x)] dx.

1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积
1

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分的结果可正可负.
2当曲边梯形位于x轴 上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴
下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与 位于x轴下方的曲边梯
形面积相等时，定积分的值为零.
导数应用
一、基础知识
1．函数的单调性与导数的关系
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b) 任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)
在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0?f
(a，b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y ＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，
f′a
?< br>＝0
；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点
a叫做函 数y＝f
?
x
?
在
x的极小值点
，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都
大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函
数y＝ f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2 )若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最
大值；若 函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最
小值．
(3)开区间上的单调连续函数无最值．,
1

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(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． < br>(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而
不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.
f′( x
0
)＝0是x
0
为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝ x
3
，f′(0)＝0，
但x＝0不是极值点．
(1)极值点不是点，若函 数f(x)在x
1
处取得极大值，则x
1
为极大值点，极大
值为f( x
1
)；在x
2
处取得极小值，则x
2
为极小值点，极小值 为f(x
2
)．极大值与极
小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.
二、常用结论
(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“?”及“或”连
接，只能用“，”“ 和”字隔开．
(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数
的最值．
(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极< br>值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导
函数最值只要不在 端点处取，则必定在极值处取．

1