(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结,推荐文档

高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念
1. 导数的定义：
设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点，如果自变量
x
在
x
0
处有增量
?x
，则函数值
y
也引起 相应的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；比值< br>率；如果极限
lim
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化
?
?x?x
f(x
0??x)?f(x
0
)
?y
存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
?lim
?x?0
? x
?x?0
?x
y?f(x)
在
x
0
处的导数。
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim< br>?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数
y?f(x )
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率，也就是说，曲
'
线< br>y?f(x)
在点
P
(x
0
,f(x))
处的切线的 斜率是
f(x
0
)
，切线方程为
y?y
0
?f(x )(x?x
0
).

'
3．基本常见函数的导数:
n
①
C
?
?0;
（C为常数） ②
x
??
?
?nx
xx
n?1
;

③
(sinx)
?
?cosx
; ④
(cosx)
?
??sinx
;
⑤
(e)
?
?e;
⑥
(a)
?
?alna
;
⑦
?
lnx
?
?
?
xx
11
; ⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
xx
二、导数的运算
1.导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：
?
?

?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导 数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?

fx?gx
?
????
??
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cf(x))
'
?Cf
'
(x).
(
C
为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的 平方：
?
f
?
x
?
?
?
f
??
x
?
g
?
x
?
?f
?
x< br>?
g
?
?
x
?
g
?
x
?< br>?0
?
。
?
??
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?

2.复合函数的导数
形如
y?f[
?
(x)]
的函数称为复合函数。法则：
f
?
[
?
(x)]?f
?
(
?
)*
?
?
(x)
.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
可导，
如果
如果
f
'
(x)
?0
，则
f(x)
在 此区间上为增函数；
f
'
(x)?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数。
f
'
(x)?0
，则
f(x)
为常函数。 （2）如果在某 区间内恒有
2．函数的极点与极值：当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在
x
0
附近的左侧
f(x)
＞0，右 侧
f(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
② 如果在
x
0
附近的左侧
f(x)
＜0，右侧
f(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小值.
''
''
3．函数的最值：
一般地，在区间
[a,b]
上 连续的函数
f(x)
在
[a,b]
上必有最大值与最小值。函数
值点 处取得。

f(x)
在区间
[a,b]上的最值
只可能在区间端点及 极
求函数
f(x)
在区间
[a,b]上最值
的一般步骤：①求函数< br>f(x)
的导数，令导数
f
'
(x)?0
解出方程的跟
f
'
(x),f(x)
的表格，求出极值及
f(a)、f(b)
的 值;③比较端点及极值点处的函数值的大②在区间
[a,b]
列出
x,
小，从 而得出函数的最值。
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、函数的概念
1.函数的概念
①设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种对应 法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，在集合
B< br>中都有唯
）叫做集合一确定的数
f(x)
和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
f:A?B
．
A
到
B
的一个函数，记作

< br>②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

五、函数的性质
1.函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质 < br>如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x
1
、x< br>2
,当x< x时，都
12
．．
．．．
有f(x)12
．．
．．．．．．．．．
f(x)在这个区间上是增函数．
．．．
（1）利用定义
（2）利用已知函数的
图象 判定方法
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
单调性
（3）利用函数图象（在
o
x
1
x
2
x
某 个区间图

象上升为增）
（4）利用复合函数
（1）利用定义
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x< x时，都
12
．．
．．．
有f(x)>f(x)，那么就说
12
．．
．．．．．．．．．
f(x)在这个区间上是减函数．
．．．
（2）利用已知函数的
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
单调性
（3）利用函数图 象（在
o
x
1
x
2
x
某个区间图

象下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，
减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数
y?f[g(x)]
，令
u?g(x)
，若
y?f (u)
y?f(u)
为减，
为增，
u?g(x)
为增，则
y

y?f[g(x)]
为增；若
u?g(x)
为减，则
y? f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为减，则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)为增，则
y?f[g(x)]
为减．
（2）打“√”函数
a
f(x)?x?(a?0)
的图像与性质
x
o

x

f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数，分别在
[?a,0)
、
(0,a]
上为减函数．
2.最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）

①一 般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
． （2）存在
x
0
?I
，使得
②一般地，设函数
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是函数
f(x)
的最大值，记作
f
max
(x)?M
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?m
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f( x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函数
f(x)
的最 小值，记作
f
max
(x)?m
．
3.奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
如果对于函数f(x) 定义域内
任意一个x，都有
．
f(－x)=－
．．．．．．
f(x) ,那么函数f(x)叫做奇函
．．．．．．
数．
．

函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内
任意一个x，都有
．
f(－ x)=f(x),
．．．．．．．．．
那么函数f(x)叫做偶函数．
．．．
关于原点对称）
（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象

关于y轴对称）
（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象
图象 判定方法
②若函数
f(x)
为奇函数 ，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
．
③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数 ）
的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．