(完整word版)高考数学导数题型归纳

导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等 式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思
想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令
f(x)?0
得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值----- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例1：设函数
y?f(x)
在区间D上的导数为
f
?
(x)
，
f
?
(x)
在区间D上的导数为
g(x)
，若在区间D 上，
'
x
4
mx
3
3x
2
??
， 已知实数m是常数，
f(x)?

g(x)?0
恒成立，则称函数
y ?f(x)
在区间D上为“凸函数”
1262
（1）若
y?f(x)
在区间
?
0,3
?
上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对 满足
m?2
的任何一个实数
m
，函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上都为“凸函数”，求
b?a
的最大值.
x
4
mx
3
3x
2
x
3
mx
2????3x
解:由函数
f(x)?
得
f
?
(x )?
126232
2
?g(x)?x?mx?3

（1）
Qy?f(x)
在区间
?
0,3
?
上为“凸函数”，
则
?g(x)?x?mx?3?0
在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
g
max
(x)?0



?

解法二：分离变量法：
∵ 当
x?0
时,
?g(x)?x?mx?3??3?0
恒成立,
当
0?x?3
时,
g(x)?x?mx?3?0
恒成立
2
2
?
g(0)?0
?
?3?0
?
?
?m?2
g(3)?09?3m?3?0
??
2
x
2
?33< br>?x?
的最大值（
0?x?3
）恒成立， 等价于
m?
xx< br>3
而
h(x)?x?
（
0?x?3
）是增函数，则
h
max
(x)?h(3)?2

x
?m?2

< br>(2)∵当
m?2
时
f(x)
在区间
?
a,b
?
上都为“凸函数”
则等价于当
m?2
时
g(x)?x?mx?3?0
恒成立
解法三：变更主元法
1
2

再等价于
F(m) ?mx?x?3?0
在
m?2
恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
2
?
F(?2)?0
?
?
?2x?x?3?0

?
?
?
?
??1?x?1

2
F(2)?0
?
?
?
2x?x?3?0

?b?a?2

2





-2
2
例2：设函数
f(x)??
1
3
x?2 ax
2
?3a
2
x?b(0?a?1,b?R)

3
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的
x?[a?1,a?2],
不等式
f
?
(x)?a
恒成立，求a的 取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
f
?
(x )??x?4ax?3a??
?
x?3a
??
x?a
?

22
Q0?a?1






f
?
(x)

a
3a a
3a
令< br>f
?
(x)?0,
得
f(x)
的单调递增区间为（a,3a）
令
f
?
(x)?0,
得
f(x)
的单调递减区间为 （－
?
，a）和（3a，+
?
）
∴当x=a时，
f(x)
极小值
=
?


2
3
3
a?b;
当x=3a时，
f(x)
极大值
=b.
4
2
（Ⅱ ）由|
f
?
(x)
|≤a，得：对任意的
x?[a?1,a?2],
?a?x?4ax?3a?a
恒成立①
则等价于
g(x)
这个二次 函数
?
?
g
max
(x)?a
22

g(x)?x?4ax?3a
的对称轴
x?2a

Q0?a?1,

?
g
min
(x)??a
a?1?a?a?2a
（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，
g(x)
这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题 。
g(x)?x
2
?4ax?3a
2
在[a?1,a?2]
上是增函数.
∴
g(x)
max
?g(a?2)??2a?1.
g(x)
min
?g(a?1)??4a?4.

?
a?1,
x?2a

a?2
?

于是，对任意
x?[a?1,a?2]
，不等式①恒成立，等价于
?
g(a?2)??4a?4?a,
4
解得?a?1.

?
5
?
g(a?1)??2a?1??a
2

又
0?a?1,
∴
4
?a?1.

5
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值
题型特征：
f(x)?g(x)
恒成立
? h(x)?f(x)?g(x)?0
恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已 知函数
f(x)?x
3
?ax
2
图象上一点
P(1,b)< br>处的切线斜率为
?3
，
t?6
2
x?(t?1)x?3(t?0)

2
（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ）当
x?[?1,4]
时，求
f(x)
的值域；
（Ⅲ ）当
x?[1,4]
时，不等式
f(x)?g(x)
恒成立，求实数t的取值 范围。
g(x)?x
3
?
?
f

(1)??3?
a??3
解：（Ⅰ）
f(x)?3x?2ax
∴
?
， 解得
?

?
b??2
?
b?1?a
（Ⅱ）由 （Ⅰ）知，
f(x)
在
[?1,0]
上单调递增，在
[0,2]上单调递减，在
[2,4]
上单调递增
又
f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16

∴
f(x)
的值域是
[?4,16]

t
2（Ⅲ）令
h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?3x?[1,4]
2
2
思路1：要使
f(x)?g(x)
恒成立，只需
h(x)? 0
，即
t(x?2x)?2x?6
分离变量
2
思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为
f(x)?0或f(x)?0
在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子
集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a ,b）”，要弄清楚两句话的区别：前
者是后者的子集
例4：已知
a?R
， 函数
f(x)?
''
1
3
a?1
2
x?x?(4a ?1)x
．
122
（Ⅰ）如果函数
g(x)?f
?
(x)
是偶函数，求
f(x)
的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数
f(x )
是
(??,
解：
f
?
(x)?
??)
上 的单调函数，求
a
的取值范围．
1
2
x?(a?1)x?(4a?1)
.
4
1
3
1
x?3x
，
f
?
(x) ?x
2
?3
， （Ⅰ）∵
f
?
(x)
是偶函数，∴
a??1
. 此时
f(x)?
124
令
f
?
(x)?0
，解得：
x??23
.
列表如下：
x

f
?
(x)

(－∞,－2
3
)
+
－2
3

0
(－2
3
,2
3
)
－
3
2
3

0
(2
3
,+∞)
+

f(x)

递增 极大值 递减 极小值 递增
可知：
f(x)
的极大值为
f(?23)?43
，
f(x)
的极小值为
f(23)??43
.
（Ⅱ）∵函数
f(x)
是
(??,
∴
f
?
(x)?
??)
上的单调函数，
1
2
x?(a?1)x?(4a?1)?0
，在给定区间R上恒成立判别式法
4
1
22
则
??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0，
解得：
0?a?2
.
4
综上，
a
的取值范围是
{a0?a?2}
.

例5、已知函数
f(x)?
1
3
1
x?(2?a )x
2
?(1?a)x(a?0).

32
（I）求
f(x)
的单调区间；
（II）若
f(x)
在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
（I）< br>f
?
(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).

2
1、
当a?0时,f
?
(x)?(x?1)?0恒成立,

2
当且仅当
x??1
时取“=”号，
f(x)在(??,??)
单调递增。
2、
当a?0时,由f
?
(x)?0,得x
1
?? 1,x
2
?a?1,且x
1
?x
2
,

f
?
(x)

-1
a-1
单调增区间：
(??,?1),(a?1,??)

单调减区间：
(?1,a?1)

（II）当
Qf(x)在[0,1]上单调递增,
则
?
0,1
?
是上述增区间的子集：
1、
a?0
时，
f(x)在(??,??)
单调递增 符合题意 < br>2、
?
0,1
?
?
?
a?1,??
?
，
?a?1?0

?a?1

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”
还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
4

例6、已知函数
f( x)?
1
1
3
(k?1)
2
x?x
，
g( x)??kx
，且
f(x)
在区间
(2,??)
上为增函数．
3
32
（1） 求实数
k
的取值范围；
（2） 若函数< br>f(x)
与
g(x)
的图象有三个不同的交点，求实数
k
的取 值范围．



2
解：（1）由题意
f
?
(x)?x?(k?1)x
∵
f(x)
在区间
(2,??)
上为增函数，
2
∴
f
?
(x)?x?(k?1)x?0
在区间
(2,??)
上恒成立 （分离变量法）
即
k?1?x
恒成立，又
x?2
，∴
k? 1?2
，故
k?1
∴
k
的取值范围为
k?1

x
3
(k?1)
2
1
?x?kx?
， （2）设< br>h(x)?f(x)?g(x)?
323
h
?
(x)?x
2< br>?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令
h
?
(x) ?0
得
x?k
或
x?1
由（1）知
k?1
， 2
①当
k?1
时，
h
?
(x)?(x?1)?0
，
h(x)
在R上递增，显然不合题意…
②当
k?1
时，
h(x)
，
h
?
(x)
随
x
的变化情况如下表：
x

(??,k)

(1,??)

(k,1)

1

k

?

?

—
h
?
(x)

0

0

↗ 极大值↘ 极小值 ↗
h(x)

k?1
k
3
k
2
1

???
< br>2
623
k?1
由于
?0
，欲使
f(x)
与
g(x)
的图象有三个不同的交点，即方程
h(x)?0
有三个不同的实根， 故需
2
?
k?1
k
3
k
2
1
2< br>????0
，即
(k?1)(k?2k?2)?0
∴
?
2
，解得
k?1?3

623
?
k? 2k?2?0
综上，所求
k
的取值范围为
k?1?3


根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
f(x)?ax?
3< br>1
2
x?2x?c

2
（1）若
x??1
是
f(x)
的极值点且
f(x)
的图像过原点，求
f(x)
的 极值；
1
2
bx?x?d
，在（1）的条件下，是否存在实数
b< br>，使得函数
g(x)
的图像与函数
f(x)
的图像
2
恒有含
x??1
的三个不同交点？若存在，求出实数
b
的取值范围；否则说明 理由。高1考1资1源2网
（2）若
g(x)?
解：（1）∵
f(x)的图像过原点，则
f(0)?0?c?0

f
?
(x)?3ax?x?2
，
又∵
x??1
是
f(x)
的极值点，则
f
?
(?1)?3a?1?2?0?a?1< br>
2
?f
?
(x)?3x
2
?x?2?(3x?2) (x?1)?0

f
?
(x)

-1
f
极大值
(x)?f(?1)?



3
222

f
极小值
(x)?f()??

2
37
2

3
5

（2）设函数
g(x)
的图像与函数
f(x)
的图像恒存在含
x??1
的三个不同交点，
等价于
f( x)?g(x)
有含
x??1
的三个根，即：
f(?1)?g(?1)?d? ?
1
(b?1)

2
111
?x
3
?x< br>2
?2x?bx
2
?x?(b?1)
整理得：
222
11
32
即：
x?(b?1)x?x?(b?1)?0
恒有含
x? ?1
的三个不等实根
22
11
32
（计算难点来了：）
h (x)?x?(b?1)x?x?(b?1)?0
有含
x??1
的根，
22
则
h(x)
必可分解为
(x?1)(二次式)?0
，故用添项配凑法 因式分解，
11
x
3
?x
2
?x
2
?( b?1)x
2
?x?(b?1)?0

22
1
?
1
?
x
2
(x?1)?
?
(b?1)x
2
? x?(b?1)
?
?0

2
?
2
?
12
x
2
(x?1)?
?
(b?1)x?2x?(b?1)
?
?0

??
2
1
2
十字相乘法 分解：
x(x?1)?
?
(b?1)x?(b?1)
?
?
x ?1
?
?0

2
11
??
(x?1)
?< br>x
2
?(b?1)x?(b?1)
?
?0

22??
11
?x
3
?(b?1)x
2
?x?(b?1)? 0
恒有含
x??1
的三个不等实根
22
11
2
等 价于
x?(b?1)x?(b?1)?0
有两个不等于-1的不等实根。
22
11
?
2
??(b?1)?4?(b?1)?0
?
?
42
?
?
?b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??)

11< br>?
(?1)
2
?(b?1)?(b?1)?0
?
?22
题2：切线的条数问题====以切点
x
0
为未知数的方程的根的个数
例 7、已知函数
f(x)?ax?bx?cx
在点
x
0
处取得极小值－ 4，使其导数
f'(x)?0
的
x
的取值范围为
32
(1, 3)
，求：（1）
f(x)
的解析式；（2）若过点
P(?1,m)
可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求实数
m
的取值范围．
（1） 由题意得：
f'(x)?3ax?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)
∴在
(??,1)
上
f'(x)?0
；在
(1,3)
上
f'(x)?0
；在
(3,??)
上
f'(x)?0
因此
f(x)
在
x
0
?1
处取得极小值
?4< br>
∴
a?b?c??4
①，
f'(1)?3a?2b?c?0
②，
f'(3)?27a?6b?c?0
③
2
?
a??1
?
32
由①②③联立得：
?
b?6
，∴
f(x)??x?6 x?9x

?
c??9
?
（2）设切点Q
(t,f(t) )
，
y?f(t)?f(t)(x?t)

,

y?(?3 t
2
?12t?9)(x?t)?(?t
3
?6t
2
?9t )

6

?(?3t
2
?12t?9)x?t(3 t
2
?12t?9)?t(t
2
?6t?9)

?(?3t
2
?12t?9)x?t(2t
2
?6t)
过
(?1,m)

m?(?3t
2
?12t?9)(?1)?2t
3
?6t
2

g(t)?2t
3
?2t
2
?12t?9?m?0

令
g'(t)?6t?6t?12?6(t?t?2)?0
，
求得：
t??1,t?2
，方程
g(t)?0
有三个根。
需：
?
22
?
g(?1)?0
?
?2?3?12?9?m? 0
?
m?16

?
?
?
?
?
g( 2)?0
?
16?12?24?9?m?0
?
m??11
故：
?11?m?16
；因此所求实数
m
的范围为：
(?11,16)

题3：已知
f(x)
在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、

17
解：函数的定义域为
R
（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x
3
－x
2
＋10x
，

32
f
?
(x)
＝x
2
－7x＋10，令
f
?
(x)?0
， 解得
x?5,
或
x?2
.
令
f
?
(x)?0
， 解得
2?x?5

可知函数f(x)的单调递增区间为
(??,2)
和（5，＋∞），单调递减区间为
?
2,5
?
．
（Ⅱ）
f
?
(x)
＝x< br>2
－(m＋3)x＋m＋6,
要使函数y＝f (x)在（1，＋∞ ）有两个极值点,
?f
?
(x)
＝x
2
－(m＋3)x＋m ＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
?
?
??(m?3)
2
?4(m?6)?0;
?
则
?
f
?
(1)?1? (m?3)?m?6?0;
， 解得m＞3
?
m?3
?
?1.
?2

例9、已知函数
f(x)?
1
1
a
3
1
2
x?x
，
(a?R,a?0)
（1）求
f(x)
的单调区 间；（2）令
g(x)
＝x
4
＋f（x）（x∈R）
4
32
有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
解：（1）
f(x)?ax?x?x(ax?1)

当
a?0
时，令
f(x)?0
解得
x??

'
'2
11
或x?0
，令
f
'
(x)?0
解得
??x?0
，
aa
7

所以
f(x )
的递增区间为
(??,?)?(0,??)
，递减区间为
(?
当< br>a?0
时，同理可得
f(x)
的递增区间为
(0，?
（2）< br>g(x)?
1
a
1
,0)
.
a
11
)
，递减区间为
(??,0)?(?,??)
. < br>aa
1
4
a
3
1
2
x?x?x
有且 仅有3个极值点
432
?
g
?
(x)?x
3
?a x
2
?x?x(x
2
?ax?1)
=0有3个根，则
x?0
或
x
2
?ax?1?0
，
a??2

2< br>方程
x?ax?1?0
有两个非零实根，所以
??a?4?0,

2
?a??2
或
a?2

而当
a??2
或
a?2
时可证函数
y?g(x)
有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在
R
上的函数
f(x)?ax?2ax?b
在区间
?
?2,1
?
上的
（a?0）
32
最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）若
t?[?1,1]时，
f
?
(x）?tx?0
恒成立，求实数
x
的取值范 围.
解：（Ⅰ）
Qf(x)?ax?2ax?b,?f(x)?3ax?4ax?ax(3x ?4)

'
令
f(x)
=0,得
x
1
?0,x
2
?
32'2
4
?
?
?2,1< br>?

3
0
0
极大
因为
a?0
，所以可得下表：
x

f
'
(x)

?
?2,0
?

+
↗
?
0,1
?

-
↘
f(x)


因此
f(0)
必为最大值,∴
f（0）?5
因此
b?5，
Qf(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)
，
?x?2x?5.
即
f(?2)??16a?5??11
，∴
a?1
，∴
f(x）< br>2
（Ⅱ）∵
f
?
(x)?3x?4x
，∴
f
?
(x）?tx?0
等价于
3x
2
?4x?tx?0
，
32
令
g(t)?xt?3x?4x
，则问题就是
g(t)?0在
t?[?1,1]
上恒成立时，求实数
x
的取值范围，
2< br>?
3x
2
?5x?0
?
g(?1)?0
为此只需?
，即
?
2
，
g（1)?0
x?x?0
?
?
解得
0?x?1
，所以所求实数
x
的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
f(x)?
2
3< br>x?ax
2
?bx?c

3
(Ⅰ) 若函数
f(x)
在
x?1
时有极值且在函数图象上的点
(0,1)
处的切线与直线< br>3x?y?0
平行, 求
f(x)
的解析式；
(Ⅱ) 当
f(x)
在
x?(0,1)
取得极大值且在
x?(1,

2)
取得极小值时, 设点
M(b?2,a?1)
所在平面区域
8

为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
2
解： (Ⅰ). 由
f
?
(x)?2x?2ax?b
, 函数
f(x)
在
x?1
时有极值 ,
∴
2a?b?2?0

∵
f(0)?1
∴
c?1

又∵
f(x)
在
(0,1)
处的切线与直线
3x?y?0
平行,
∴
f
?
(0)?b??3
故
a?
∴
f(x)?
1

2
2
3
1
2
x?x?3x?1
……………………. 7分
32
2
(Ⅱ) 解法一: 由
f
?
(x)?2x?2ax?b
及
f(x)
在
x?(0,1)
取得极大值且在
x?(1,2)
取得极小值,
?
f
?
(0)?0
?
∴
?
f
?
(1)?0
即
?
f?
(2)?0
?
?
b?0
?
?
2a?b?2? 0
令
M(x,
?
4a?b?8?0
?
?< br>x?b?2
y)
, 则
?

?
y?a?1
?
a?y?1
∴
?
∴ ?
b?x?2
易得
A(?2,
?
x?2?0
?
?
2y?x?2?0
故点
M
所在平面区域S为如图△ABC,
?
4y?x?6?0
?
3
0)
,
B(?2,?1)
,
C(2,?2)
,
D(0,?1)
,
E(0,?)
,
S
?ABC
?2

2
同时DE为△ABC的中位线,
S
?DEC
?
1
S
四边形ABED

3
∴ 所求一条直线L的方程为:
x?0

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为
y?kx
,它与AC,BC
分别交于F、G, 则
k?0
,
S
四边形DEGF
?1

由
?
?
y?kx
2
得点F的横坐标为:
x
F
??

2k?1
?
2y?x?2?0
?
y?kx
6
得点G的横坐标为:
x
G
??

4k?1
4y?x?6?0
?
由
?
∴
S
四边形DEGF
解得:
k?
?S
?OGE
?S
?OFD

???
13612
??1??1
即
16k
2
?2k?5?0

224k?122k?1
151
或
k??
(舍去) 故这时直线方程为:
y?x

282
1
综上,所求直线方程为:
x?0
或
y?x
.…………….………….12分
2
9

2
(Ⅱ) 解法二: 由
f
?
(x)?2x?2ax?b
及
f(x)
在
x?(0,1)
取得极大值且在
x?(1,2)
取得极小值,
?
f
?
(0)?0
?
∴
?
f
?
(1)?0
即
?
f
?< br>(2)?0
?
?
b?0
?
?
2a?b?2?0
令
M(x,
?
4a?b?8?0
?
?
x?b?2

y)
, 则
?
?
y?a?1
?
a?y?1
∴
?
∴
?
b?x?2
易得
A(?2,
?
x?2?0
?
?
2y?x?2?0
故点
M
所在平面区域S为如图△ABC,
?
4y?x?6?0
?
3
0)
,
B(?2,?1)
,
C(2,?2)
,
D(0,?1)
,
E(0,?)
,
S
?ABC
?2

2
同时DE为△ABC的中位线,
S
?DEC
?
1
S
∴所求一条直线L的方程为:
x?0

3
四边形ABED
1
x
, 设直线BO与AC交于H ,
2
另一种情况由于直线BO方程为:
y?
1
?
1
?
y?x
由
?
得直线L与AC交点为:
H(?1,?)

2
2
?
2y?x?2?0
?
∵
S
?ABC
?2
,
S
?DEC
1111
111
???2?
,
S?ABH
?S
?ABO
?S
?AOH
??2?1??2??
2222
222
1
x

2
32
∴ 所求直线方程为:
x?0
或
y?
3、（根的个数问题）已知函数
f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)
的图象如图所示。
（Ⅰ）求
c、d
的值；
（Ⅱ）若 函数
f(x)
的图象在点
(2,f(2))
处的切线方程为
3x?y ?11?0
，求函
数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若
x
0?5,
方程
f(x)?8a
有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
f
?
(x)?3ax?2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且
f
?
?
1
?
= 0
2
得
?
?
d?3
?
d?3

?
?
c?0
3a?2b?c?3a?2b?0
?
?
f
?
?
2
?
= – 3 且f ( 2 ) = 5 （Ⅱ）依题意





?
12a?4b?3a?2b??3
解得a = 1 , b = – 6
?
8a?4b?6a?4b?3?5
?
所以f ( x ) = x
3
– 6x
2
+ 9x + 3
10

（Ⅲ）依题意








f ( x ) = ax
3
+ bx
2
– ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
由
f
?
?
5
?
= 0
?
b = – 9a ①
f
?
?
x
?
= 3ax
2
+ 2bx – 3a – 2b
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3
?
所以 当
1
＜a＜3
11
1
＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分
11
1
32
4、（根的个数问题）已知函数
f(x)?x? ax?x?1(a?R)

3
（1）若函数
f(x)
在
x?x
1
,x?x
2
处取得极值，且
x
1
?x< br>2
?2
，求
a
的值及
f(x)
的单调区间；
（2）若
a?
1
1
2
5
，讨论曲线
f(x)
与
g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)
的交点个数．
2
26
2
解：（1）
f'(x)?x?2ax?1
?x
1
?x
2
?2a,x
1
?x
2
? ?1

?x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?4a
2
?4?2

?a?0
………………………………………………………………………2分
f
?
(x)?x
2
?2ax?1?x
2
?1

令
f
?
(x)?0
得
x??1,或x?1

令
f
?
(x)?0
得
?1?x?1

∴< br>f(x)
的单调递增区间为
(??,?1)
，
(1,??)
， 单调递减区间为
(?1,1)
…………5分
（2）由题
f(x)?g(x)
得
1
3
15
x?ax
2
?x?1?x
2< br>?(2a?1)x?

326
1
3
1
2
1< br>即
x?(a?)x?2ax??0

326
1
3
1< br>2
1
令
?
(x)?x?(a?)x?2ax?(?2?x?1)
……………………6分
326
?
?
?
(x)?x
2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)

令
?
?
( x)?0
得
x?2a
或
x?1
…………………………………………… 7分
1

2
当
2a??2
即
a??1
时
Qa?
x

?2


(?2,1)

－
1


?
?
(x)

11

?
(x)





?8a?
9

2

a




9
?0
，
a?0
，有一个交点；…………………………9分
2
1
当
2a??2
即
?1?a?
时，
2
此时，
?8a?
x

?2


(?2,2a)


2a

＋
(2a,1)


1

—



a

?
?
(x)

?
(x)

Q
0

2
2
1
a(3?2a)?

36
?8a?
9

2

2
2
1
a(3?2a)??0
,
36
99
∴当
?8a??0
即
?1?a??
时,有一个交点；
216
99
?a?0
时，有两个交点； 当
?8a??0，且a?0
即
?
216
19
当
0?a?
时，
?8a??0
，有一个交点．………………………13分 < br>22
91
综上可知，当
a??
或
0?a?
时，有一个 交点；
162
9
?a?0
时，有两个交点．…………………………………14分 当
?
16



12