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高中数学导数及其应用教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 18:46
tags:高中数学求导

高中数学结构图的教案-高中数学必修五综合试卷百度文库

2020年10月6日发(作者:王小丫)


个性化教学辅导教案

年级:高三 教学课题

导数及其应用
计划课时
第( )次课
共( )次课
学科: 数学 任课教师: 老师 授课时间: 年 月 日(星期 )
姓名
阶段
基础(√) 提高(√) 巩固(√)
知识点:
方法:
教学
考点:

目标
重点
重点:
难点

难点:
课前
检查
作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
导数及其应用
(一) 主要知识及主要方法:
当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时,则函数
y?f(x)

1.
设 函数
y?f(x)

x?x
0
处附近有定义,
应地有增量< br>?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
,如果
?x? 0
时,
?y

?x
的比
?y
(也叫函数的平均变< br>?x










化率)有极限即
数,记作
y?
x?x< br>0
?y
无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)

x?x
0
处的导
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
,即
f?(x
0
)?lim

?x? 0
?x
在定义式中,设
x?x
0
??x
,则
?x? x?x
0
,当
?x
趋近于
0
时,
x
趋近于
x
0
,因此,导数
的定义式可写成
f?(x
0
)?lim

?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
.
x?x
0
?xx?x
0
2.
导数的几何意义:
导 数
f?(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x )?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0的处瞬时变化率,它反映的函
?x

y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程度.
..
它的几何意义是曲线
y?f(x)
上点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线的斜率.因此,如果< br>y?f(x)
在点
x
0
可导,则曲线
y?f(x)
在 点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线方程为
y?f (x
0
)?f?(x
0
)(x?x
0
)


3.
导函数(导数):如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)< br>内的每点处都有导数,此时对于每一个
1 17


都对应着一个确定的 导数
f?(x)
,从而构成了一个新的函数
f?(x)
, 称这个函数
f?(x)

x?(a,b)

函数
y?f(x)
在开区 间内的导函数,简称导数,也可记作
y?
,即
f?(x)

y?< br>=
lim
函数
y?f(x)

x
0
处的导数
y?
x?x
0
?yf(x??x)?f(x)

?lim< br>?x?0
?x
?x?0
?x
就是函数
y?f(x)
在 开区间
(a,b)
(x?(a,b))
上导数
f?(x)

x
0
处的函数值,即
y?

x?x
0

f ?(x
0
)
.所以函数
y?f(x)

x
0
处的导数也记作
f?(x
0
)

则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
4.
可导: 如 果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数,
内可导

5.
可导与连续的关系:如果函数
y?f(x)
在点
x< br>0
处可导,那么函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续, 反
之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.

6.
求函数
y?f(x)
的导数的一般步骤:
?
1
?
求函数的改变量
?y?
?
2
?
求平均变化率
f (x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)

?
?x?x
?y
lim

?
3
?
取极限,得导数
y??
f
?
(x)?
?x?0
?x

7.
几种常见函数的导数:

C'?0
(
C
为常数);
(x)'?nx
nn?1
(
n?Q
);

(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx


(lnx)??
x
11

(log
a
x)??log
a
e

xx
xxx

(e)??e

(a)??alna



8.
求导法则:
法则
1

[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)

2 17


法则
2

[u(x)v(x)]
?
?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)
,
[Cu(x)]
?
?Cu'(x)

?
u
?
u'v?uv'
法则
3

??
?(v?0)

2
v
?
v
?

设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
9.
复合函数的导数:
处有导数
y?
u
?f?
?
u
?
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处也有导数,且
y'
x
?y'
u< br>?u'
x

'
f?
x
(
?
(x) )?f?(u)?
?
?(x)


10.
复合函数的求导 法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间
变量对自变量的导数

11.
复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代

12.
导数的几何意义是曲线
y?f(x)
在点(
x
0,f(x
0
)
)处的切线的斜率,即
k?f?(x
0
)

要注意“过点
A
的曲线的切线方程”与“在点
A
处的切 线方程”是不尽相同的,后者
A
必为切点,
前者未必是切点.

问题1.
?
1
?
已知
lim



△x?0
f(x
0
?2△x)?f(x
0
)
?1< br>,求
f?(x
0
)

3△x
?
2
?
设函数
f(x)
在点
x
0
处可导,求
lim
h?0




f(x
0
?h)?f(x
0
?h)

2h
?
5
?
对于
R
上可导的任意函数
f(x)
,若满足
?
x?1
?
f?(x)

0
,则必有
A.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?

B.
f(0)?f(2)

2f
?
1
?

3 17


C.

f(0)?f(2)

2f
?
1
?

D.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?



?
6
?
设函数
f(x)

g(x)
?
a,b
?
上均可导,且
f?(x)?g?(x)
, 则当
a?x?b
时,有

A.
f(x)?g(x)

B.
f(x)?g(x)

C.
f(x)?g(a)?g(x)?f(a)

D.
f(x)?g(b)?g(x)?f(b)



问题 2.
f(x)
的导函数
y?f
?
(x)
的图象如图所示,则
y?f(x)
的图象最有可能的是









问题3.求下列函数的导数:
e
x
?1
?
1
?< br>y?
?
1?sinx
?

?
4
?
y?
x

e?1
2



?
6
?



y?e
x
?lnx

4 17


?
7
?
y?



sinx

?
8
?
y?
?
x
2
?1
?
?sinx?x?cosx

1?cosx
?
9
?




y?3
x
?e
x
?2
x
?e

?
10
?
y?3x
3
?4x?
?
2x?1
?

??
问题4.
?
1
?
求过点
P
?
1,1
?
且与曲线
y?x
相切的直线方程.
3



?
2
?
过点
?
?1,0
?
作抛物线
y?x
2
?x?1
的切线,则其中一条 切线为
A.

2x?y?2?0

B.

3x?y?3?0

C.

x?y?1?0

D.

x?y?1?0



1
3
x?m
的一条切线方程是
y?4x?4
,则
m
的值为
3
4284282
13

A.

B.

?

C.

?

D.

?

33333
3
?
3
?
已知曲线
y?




(三)课后作业:
1.

f?(x
0
)?2
,求
lim



k?0
f(x
0
?k)?f(x
0
)

2k
5 17


2.
已知
f(x)?x
2
?2xf?(2)
,则
f?(2)?



(四)走向高考:
7.
过原点作曲线
y?e
x
的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为


8.
设函数
f(x)?cos


?
3x?
?

0?
?
?
?
),若
f(x)?f?(x)< br>是奇函数,则
?
?

?
…,
fn?1
(x)?f
n
?(x)

n?N
,则
f
2005
(x)?

9.

f
0
(x )?sinx

f
1
(x)?f
0
?(x)
f
2
(x)?f
1
?(x)

A.
sinx< br>
B.
?sinx

C.
cosx

D.
?cosx




10.
若曲线< br>y?x
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直,则
l
的方程为

A.
4x?y?3?0

B.
x ?4y?5?0

C.
4x?y?3?0

D.
x?4y? 3?0


4
11.
曲线
y?e
在点
?< br>4,e
2
?
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A.


1
x
2
9
2
e

2

B.
4e

2

C.
2e

2

D.
e

2
x
2
1
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
12.
已知曲线
y?
4
2
A.
1

B.
2

C.3

D.
4



13.
已知函数
y?f(x )
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?

6 17
1
x?2
,则
f(1)?f
?
(1)?

2


14.
曲线
y?x
3
?2x
2< br>?4x?2
在点
(1,?3)
处的切线方程是

?
a
?
设曲线
y?x
n
(1?x)
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n
,则数列
?
n
?
15.
对正整数
n

?< br>n?1
?
的前
n
项和的公式是


16.
已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2?3x

x??1
处取得极值.

?
1
?
讨论
f(1)

f(?1)
函数的
f(x)
的极大 值还是极小值;
?
2
?
过点
A(0,16)
作曲线
y?











导数的应用
(一) 主要知识及主要方法:
f(x)
的切线,求此切线方程.
1.
利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
?
1
?

f?(x)
;
?
2
?
确定
f?(x)

?
a,b
?
内符号;
?
3
?

f ?(x)?0

?
a,b
?
上恒成立,则
f(x)

?
a,b
?

是增函数;若
f?(x)?0

?
a,b
?
上恒成立,则
f(x)

?
a ,b
?
上是减函数

f?(x)?0
?
f(x)
为增函数(
f?(x)?0
?
f(x)
为减函数).

f (x)
在区间
?
a,b
?
上是增函数
?
f?(x)

0

?
a,b
?
上恒成立 ;
7 17


f(x)
在区间
?
a,b
?
上为减函 数
?
f?(x)

0

?
a,b
?
上恒成立 .

2.
极大值: 一般地,设函数
f(x)
在点< br>x
0
附近有定义,如果对
x
0
附近的所有的点,都有
f(x)?f(x
0
)
,就说
f(x
0
)
是函数< br>f(x)
的一个极大值,记作
y
极大值
?f(x
0
)

x
0
是极大值点.

3.
极小值:一般地,设 函数
f(x)

x
0
附近有定义,如果对
x
0附近的所有的点,都有
f(x)?f(x
0
)
就说
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个极小值,记作
y
极小值
?f(x
0
)

x
0
是极小值点.

4.
极大值与极小值统称为极值
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变 量的值,极值指的是函数值请注意以下几
点:

1
)极值是一个局部概念由 定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或
最小.并不意味着它在函数的整个的定 义域内最大或最小.

2
)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内 极xs大值或极小值可以不止一
个.

3
)极大值与极小值之间无确定的大 小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所
示,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
.

4
)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间 的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、
最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. < br>5.

f(x)
在点
x
0
连续时,判别
f( x
0
)
是极大、极小值的方法:

x
0
满足f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0

f(x)
的极值点 ,
f(x
0
)

极值,并且如果
f
?
(x )

x
0
两侧满足“左正右负”,则
x
0

f(x)
的极大值点,
f(x
0
)
是极大值;
如果
f
?
(x)

x
0
两侧满足“左负右正”,则
x
0

f(x)
的极小值点,
f(x
0
)
是 极小值.

6.
求可导函数
f(x)
的极值的步骤:
?
1
?
确定函数的定义区间,求导数
f
?
(x)
?< br>2
?
求方程
f
?
(x)?0
的根
8 17


?
3
?
用函数的导数为
0
的点,顺次 将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查
f
?
(x)

方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么
f(x)
在这个根处取得极大值;如果左负右正 ,那么
f(x)
在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么
f(x)
在这个根处无极值.如果函数在某
些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 .

7.
函数的最大值和最小值: 一般地,在闭区间
?
a,b
?
上连续的函数
f(x)

?
a,b
?
上必有最大值与最< br>小值.
说明:
?
1
?
在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大值与最小值.如函数
f(x)?
1

x
(0,??)
内连续,但没有最大值与最小值;
?
2
?
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得
出 的.
?
3
?
函数
f(x)
在闭区间
?
a ,b
?
上连续,是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?< br>上有最大值与最小值的充分条件
而非必要条件.
?
4
?
函数 在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可
能没有一个.



8.
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f(x)
的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行
比较, 就可以得出函数的最值了.
设函数
f(x)

?
a,b
?
上连续,在
(a,b)
内可导,则求
f(x)

?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤
如下:
?
1
?

f(x)

(a,b)
内的极值;
?
2
?
f(x)
的各极值与
f(a)

f(b)
比较得出函 数
f(x)

?
a,b
?
上的最值p

9.
求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法.
9 17



10.
构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则 :变具体为抽象,变常量为变量,
变主元为辅元,变分式为整式.

11.
通过求导求函数不等式的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极值)为
助手,从 数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.


(二)典例分析:
问 题1.
?
1
?
函数
y?f(x)
在定义域
(?3
,3)
内可导,其图象如图所示,记
y?f(x)
的导函数为
2

y?f
?
(x)
,则不等式
f
?
(x )?0
的解集为


1
A.
[?,1]?
?
2,3
?

3
148
B.
[?1,]?[,]

233
31
C.
[?,]?
?
1,2
?

22
?
3
?
14
?
8
?
D.?
?,?1
?
?[,]?
?
,3
?

?
2
?
23
?
3
?





?
3
?

f(x),g(x)
均是定 义在
R
上的奇函数,当
x?0
时,
f?(x)g(x)?
f (?2)?0
,则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是
f(x)g?( x)?0
,且
A.
?
?2,0
?
U
?
2, ??
?

B.
?
?2,2
?

C.
?
??,?2
?
U
?
2,??
?

D.
?
??,?2
?
U
?
0,2
?


问题2.
?
1
?
如果函数
f(x)??x?bx
在 区间
?
0,1
?
上单调递增,并且方程
f(x)?0
的根都 在区间
3
?
?2,2
?
内,则
b
的取值范围为

?
2
?
已知
f(x)?1?2x?x
2
,那么
g(x)?f
?
f(x)
?

10 17


A.
在区间
?
?2,1
?
上单调递增
B.

?
0,2
?
上单调递增
C.

?
?1,1
?
上单调递增
D.

?
1,2
?
上单调递增

?3
?
函数
f(x)?x
3
?6x?5,x?R

(Ⅰ)求
f(x)
的单调区间和极值;
(Ⅱ)若关于
x
的 方程
f(x)?a

3
个不同实根,求实数
a
的取值范围.
(Ⅲ)已知当
x?(1,??)
时,
f(x)

k(x?1 )
恒成立,求实数
k
的取值范围.










2ax?a
2
?1
问题3.已知函数
f(x)?
(x?R)
,其中
a?R

2
x?1
(Ⅰ)当
a?1
时,求曲线
y?f(x)
在点
(2,f(2))
处的切线方程;
(Ⅱ)当
a?0
时,求函数
f(x)
的单调区间与极值.







11 17




问题4.已知定义在正实数集上的函数
f(x)?
1
2
x?2ax

g(x)?3a
2
lnx?b
,其中
a?0
.设两
2
曲线
y?f(x)

y?g (x)
有公共点,且在该点处的切线相同.
(Ⅰ)用
a
表示
b
,并求
b
的最大值;
(Ⅱ)求证:
f(x)

g(x)

x?0
).











2.
若函数
y?f(x)

R
上可导且满足不等 式
xf?(x)?f(x)?0
恒成立,且常数
a,b
满足
a?b< br>,则
下列不等式一定成立的是
A.
af(a)?bf(b)

B.
af(b)?bf(a)

C.
af(a)?bf(b)

D.
af(b)?bf(a)


3.
求满足条件的
a
的范围:
?
1
?
使
y?sinx?ax

R
上增函数,则
a
的范围是
?
2
?
使
y?x
3
?ax?a

R
上增函数,则
a
的范围是
?
3
?
使
f(x)?ax
3
?x
2
?x?5

R
上增函数,则
a
的范围是

4.
证 明方程
x
3
?3x?c?0

?
0,1
?
上至多有一实根.

12 17




5.
如果
f
?
(x)
是二次函数, 且
f
?
(x)
的图象开口向上,顶点坐标为
(1,?3)
, 那么曲线
y?f(x)

任一点的切线的倾斜角
?
的取值范围是
A.
(0,


2
?
?
2
??
2
?
?
2
?
]

B.
[0,)U[,
?
)

C.
[0,]U[,
?
)

D.
[,]

3
2323
23
2
等于
6.
如图,是函数f(x)?x
3
?bx
2
?cx?d
的大致图像,则
x
1
2
?x
2

8
10

B.

9
9
16
28

C.

D.
9
9
A.
7.< br>函数
f(x)
的定义域是开区间
?
a,b
?
,导函数
f?(x)

?
a,b
?

的图象如图所示,则函数
f(x)
在开区间内有极小值点
y
y?f?
?
x
?
b
A.
1

B.
2

C.3

D.
4


a
O
x
8.
函数< br>f(x)?ax
3
?bx
2
?2x
的图象如图所示,

x
1
?x
2
?0
,则有
A.
a?0,b?0

B.
a?0,b?0

C.
a?0,b?0

D.
a?0,b?0





9.
已知:
x?1
,证明不等式:
x?ln
?
1?x
?





10.

f(x)?ax
3
?x
恰有三个单调区间,试确定
a
的取值范围,并求出这三个单调区间
13 17





11.
已知函数
f(x)?ln
?
x?a
??x
2
?x

x?0
处取得极值.
?
1
?
求实数
a
的值;
?
2
?
若关于
x的方
5
x?b
在区间
?
0,2
?
上恰有两个 不同的实数根,求实数
b
的取值范围;
?
3
?
证明:对任< br>2
n?1n?1
意的正整数
n
,不等式
ln?
2都成立.
nn

f(x)??








(四)走向高考:
??)
上的非负可 导函数,且满足
xf
?
(x)?f(x)

0
.对任意正数
a,b
,若
12.
f(x)
是定义在
(0,
a?b
,则必有
A.
af(b)

bf(a)

B.
bf(a)

af(b)

C.
af(a)

f(b)

D.
bf(b)

f(a)






对于任意实数
x
,有
f(x)

0< br>,
13.
已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
的导数为
f
?
(x)

f
?
(0)?0


f(1)
的最小值为
f
?
(0)

A.3

B.

53

C.
2

D.

22
14 17




14.
函数
y?xcosx?sinx
在下面哪个区间内是增函数
?
?
3
?
A.
?
,
?
22



??
3
?
5
?
?
,

B.C.
?
,2
?
??
???

D.
?
2
?
,3
?
?

??22
?
1
15.
曲线
y?x
3
在点
( a,a
3
)
(a?0)
处的切线与
x
轴、直线
x? a
所围成的三角形的面积为,则
6
a?





17.
已知函数
f(x)?ax
4
lnx?bx
4
?c(x?0)

x?1
处取得极值
?3? c
,其中
a,b
为常数.
(Ⅰ)试确定
a,b
的值;
(Ⅱ)讨论函数
f(x)
的单调区间;
(Ⅲ)若对任意
x?0,不等式
f(x)≥?2c
恒成立,求
c
的取值范围.







2
18.
设函数
f(x)?ln(x?a)?x
2

(Ⅰ)若当
x??1
时,
f(x)
取得极值,求
a
的值, 并讨论
f(x)
的单调性;
(Ⅱ)若
f(x)
存在极值,求
a
的取值范围,并证明所有极值之和大于
ln
e

2
15 17
















19.
设函数
f(x)?e
x
?e
?x

(Ⅰ)证明:
f(x)
的导数
f
?
(x)≥2

(Ⅱ)若对所有
x≥0
都有
f(x)≥ax
,求
a
的取值范围.






11
在区间
?
6,??
?
内为增函数,
20.
若函数
f(x) ?x
3
?ax
2
?
?
a?1
?
x?1在区间
?
1,4
?
内为减函数,
32
试求实数
a
的取值范围.





16 17











课后
作业________________________________; 巩固复习_______________________________;
巩固
预习布置____________________________

签字 学科组长签字: 学习管理师:
老师
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课后

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17 17

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