高中数学结构图的教案-高中数学必修五综合试卷百度文库
个性化教学辅导教案
年级:高三 教学课题
导数及其应用
计划课时
第( )次课
共( )次课
学科: 数学 任课教师: 老师 授课时间: 年 月 日(星期 )
姓名
阶段
基础(√) 提高(√) 巩固(√)
知识点:
方法:
教学
考点:
目标
重点
重点:
难点
难点:
课前
检查
作业完成情况:优□ 良□
中□ 差□ 建议__________________________________________
导数及其应用
(一) 主要知识及主要方法:
当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时,则函数
y?f(x)
相
1.
设
函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义,
应地有增量<
br>?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
,如果
?x?
0
时,
?y
与
?x
的比
?y
(也叫函数的平均变<
br>?x
教
学
内
容
与
教
学
过
程
化率)有极限即
数,记作
y?
x?x<
br>0
?y
无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
,即
f?(x
0
)?lim
?x?
0
?x
在定义式中,设
x?x
0
??x
,则
?x?
x?x
0
,当
?x
趋近于
0
时,
x
趋近于
x
0
,因此,导数
的定义式可写成
f?(x
0
)?lim
?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
.
x?x
0
?xx?x
0
2.
导数的几何意义:
导
数
f?(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x
)?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0的处瞬时变化率,它反映的函
?x
数
y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程度.
..
它的几何意义是曲线
y?f(x)
上点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线的斜率.因此,如果<
br>y?f(x)
在点
x
0
可导,则曲线
y?f(x)
在
点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线方程为
y?f
(x
0
)?f?(x
0
)(x?x
0
)
3.
导函数(导数):如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)<
br>内的每点处都有导数,此时对于每一个
1 17
都对应着一个确定的
导数
f?(x)
,从而构成了一个新的函数
f?(x)
, 称这个函数
f?(x)
为
x?(a,b)
,
函数
y?f(x)
在开区
间内的导函数,简称导数,也可记作
y?
,即
f?(x)
=
y?<
br>=
lim
函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数
y?
x?x
0
?yf(x??x)?f(x)
?lim<
br>?x?0
?x
?x?0
?x
就是函数
y?f(x)
在
开区间
(a,b)
(x?(a,b))
上导数
f?(x)
在
x
0
处的函数值,即
y?
x?x
0
=
f
?(x
0
)
.所以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数也记作
f?(x
0
)
则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
4.
可导: 如
果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数,
内可导
5.
可导与连续的关系:如果函数
y?f(x)
在点
x<
br>0
处可导,那么函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续,
反
之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.
6.
求函数
y?f(x)
的导数的一般步骤:
?
1
?
求函数的改变量
?y?
?
2
?
求平均变化率
f
(x??x)?f(x)
?yf(x??x)?f(x)
;
?
?x?x
?y
lim
?
3
?
取极限,得导数
y??
f
?
(x)?
?x?0
?x
7.
几种常见函数的导数:
C'?0
(
C
为常数);
(x)'?nx
nn?1
(
n?Q
);
(sinx)'?cosx
;
(cosx)'??sinx
;
(lnx)??
x
11
;
(log
a
x)??log
a
e
,
xx
xxx
(e)??e
;
(a)??alna
8.
求导法则:
法则
1
:
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)
.
2 17
法则
2
:
[u(x)v(x)]
?
?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)
,
[Cu(x)]
?
?Cu'(x)
?
u
?
u'v?uv'
法则
3
:
??
?(v?0)
2
v
?
v
?
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
9.
复合函数的导数:
处有导数
y?
u
?f?
?
u
?
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处也有导数,且
y'
x
?y'
u<
br>?u'
x
或
'
f?
x
(
?
(x)
)?f?(u)?
?
?(x)
10.
复合函数的求导
法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间
变量对自变量的导数
11.
复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代
12.
导数的几何意义是曲线
y?f(x)
在点(
x
0,f(x
0
)
)处的切线的斜率,即
k?f?(x
0
)
,
要注意“过点
A
的曲线的切线方程”与“在点
A
处的切
线方程”是不尽相同的,后者
A
必为切点,
前者未必是切点.
问题1.
?
1
?
已知
lim
△x?0
f(x
0
?2△x)?f(x
0
)
?1<
br>,求
f?(x
0
)
3△x
?
2
?
设函数
f(x)
在点
x
0
处可导,求
lim
h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
2h
?
5
?
对于
R
上可导的任意函数
f(x)
,若满足
?
x?1
?
f?(x)
≥
0
,则必有
A.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?
B.
f(0)?f(2)
≤
2f
?
1
?
3 17
C.
f(0)?f(2)
≥
2f
?
1
?
D.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?
?
6
?
设函数
f(x)
,
g(x)在
?
a,b
?
上均可导,且
f?(x)?g?(x)
,
则当
a?x?b
时,有
A.
f(x)?g(x)
B.
f(x)?g(x)
C.
f(x)?g(a)?g(x)?f(a)
D.
f(x)?g(b)?g(x)?f(b)
问题
2.
f(x)
的导函数
y?f
?
(x)
的图象如图所示,则
y?f(x)
的图象最有可能的是
问题3.求下列函数的导数:
e
x
?1
?
1
?<
br>y?
?
1?sinx
?
;
?
4
?
y?
x
;
e?1
2
?
6
?
y?e
x
?lnx
4 17
?
7
?
y?
sinx
;
?
8
?
y?
?
x
2
?1
?
?sinx?x?cosx
1?cosx
?
9
?
y?3
x
?e
x
?2
x
?e
?
10
?
y?3x
3
?4x?
?
2x?1
?
??
问题4.
?
1
?
求过点
P
?
1,1
?
且与曲线
y?x
相切的直线方程.
3
?
2
?
过点
?
?1,0
?
作抛物线
y?x
2
?x?1
的切线,则其中一条
切线为
A.
2x?y?2?0
B.
3x?y?3?0
C.
x?y?1?0
D.
x?y?1?0
1
3
x?m
的一条切线方程是
y?4x?4
,则
m
的值为
3
4284282
13
A.
B.
?
C.
或
?
D.
或
?
33333
3
?
3
?
已知曲线
y?
(三)课后作业:
1.
若
f?(x
0
)?2
,求
lim
k?0
f(x
0
?k)?f(x
0
)
2k
5 17
2.
已知
f(x)?x
2
?2xf?(2)
,则
f?(2)?
(四)走向高考:
7.
过原点作曲线
y?e
x
的切线,则切点的坐标为
,切线的斜率为
8.
设函数
f(x)?cos
?
3x?
?
(
0?
?
?
?
),若
f(x)?f?(x)<
br>是奇函数,则
?
?
?
…,
fn?1
(x)?f
n
?(x)
,
n?N
,则
f
2005
(x)?
9.
设
f
0
(x
)?sinx
,
f
1
(x)?f
0
?(x)
,f
2
(x)?f
1
?(x)
,
A.
sinx<
br>
B.
?sinx
C.
cosx
D.
?cosx
10.
若曲线<
br>y?x
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直,则
l
的方程为
A.
4x?y?3?0
;
B.
x
?4y?5?0
;
C.
4x?y?3?0
;
D.
x?4y?
3?0
4
11.
曲线
y?e
在点
?<
br>4,e
2
?
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A.
1
x
2
9
2
e
2
B.
4e
2
C.
2e
2
D.
e
2
x
2
1
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
12.
已知曲线
y?
4
2
A.
1
B.
2
C.3
D.
4
13.
已知函数
y?f(x
)
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
6
17
1
x?2
,则
f(1)?f
?
(1)?
2
14.
曲线
y?x
3
?2x
2<
br>?4x?2
在点
(1,?3)
处的切线方程是
?
a
?
设曲线
y?x
n
(1?x)在
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n
,则数列
?
n
?
15.
对正整数
n
,
?<
br>n?1
?
的前
n
项和的公式是
16.
已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2?3x
在
x??1
处取得极值.
?
1
?
讨论
f(1)
和
f(?1)
函数的
f(x)
的极大
值还是极小值;
?
2
?
过点
A(0,16)
作曲线
y?
导数的应用
(一) 主要知识及主要方法:
f(x)
的切线,求此切线方程.
1.
利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
?
1
?
求
f?(x)
;
?
2
?
确定
f?(x)
在
?
a,b
?
内符号;
?
3
?
若
f
?(x)?0
在
?
a,b
?
上恒成立,则
f(x)
在
?
a,b
?
上
是增函数;若
f?(x)?0
在
?
a,b
?
上恒成立,则
f(x)
在
?
a
,b
?
上是减函数
①
f?(x)?0
?
f(x)
为增函数(
f?(x)?0
?
f(x)
为减函数).
②
f
(x)
在区间
?
a,b
?
上是增函数
?
f?(x)
≥
0
在
?
a,b
?
上恒成立 ;
7
17
f(x)
在区间
?
a,b
?
上为减函
数
?
f?(x)
≤
0
在
?
a,b
?
上恒成立 .
2.
极大值: 一般地,设函数
f(x)
在点<
br>x
0
附近有定义,如果对
x
0
附近的所有的点,都有
f(x)?f(x
0
)
,就说
f(x
0
)
是函数<
br>f(x)
的一个极大值,记作
y
极大值
?f(x
0
)
,
x
0
是极大值点.
3.
极小值:一般地,设
函数
f(x)
在
x
0
附近有定义,如果对
x
0附近的所有的点,都有
f(x)?f(x
0
)
就说
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个极小值,记作
y
极小值
?f(x
0
)
,
x
0
是极小值点.
4.
极大值与极小值统称为极值
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变
量的值,极值指的是函数值请注意以下几
点:
(
1
)极值是一个局部概念由
定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或
最小.并不意味着它在函数的整个的定
义域内最大或最小.
(
2
)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内
极xs大值或极小值可以不止一
个.
(
3
)极大值与极小值之间无确定的大
小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所
示,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
.
(
4
)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间
的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、
最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. <
br>5.
当
f(x)
在点
x
0
连续时,判别
f(
x
0
)
是极大、极小值的方法:
若
x
0
满足f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0
是
f(x)
的极值点
,
f(x
0
)
是
极值,并且如果
f
?
(x
)
在
x
0
两侧满足“左正右负”,则
x
0
是
f(x)
的极大值点,
f(x
0
)
是极大值;
如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”,则
x
0
是
f(x)
的极小值点,
f(x
0
)
是
极小值.
6.
求可导函数
f(x)
的极值的步骤:
?
1
?
确定函数的定义区间,求导数
f
?
(x)
?<
br>2
?
求方程
f
?
(x)?0
的根
8
17
?
3
?
用函数的导数为
0
的点,顺次
将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查
f
?
(x)
在
方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么
f(x)
在这个根处取得极大值;如果左负右正
,那么
f(x)
在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么
f(x)
在这个根处无极值.如果函数在某
些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 .
7.
函数的最大值和最小值: 一般地,在闭区间
?
a,b
?
上连续的函数
f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最<
br>小值.
说明:
?
1
?
在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大值与最小值.如函数
f(x)?
1
在
x
(0,??)
内连续,但没有最大值与最小值;
?
2
?
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得
出
的.
?
3
?
函数
f(x)
在闭区间
?
a
,b
?
上连续,是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?<
br>上有最大值与最小值的充分条件
而非必要条件.
?
4
?
函数
在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可
能没有一个.
8.
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f(x)
的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行
比较,
就可以得出函数的最值了.
设函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续,在
(a,b)
内可导,则求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤
如下:
?
1
?
求
f(x)
在
(a,b)
内的极值;
?
2
?将
f(x)
的各极值与
f(a)
、
f(b)
比较得出函
数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值p
9.
求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法.
9 17
10.
构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则
:变具体为抽象,变常量为变量,
变主元为辅元,变分式为整式.
11.
通过求导求函数不等式的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极值)为
助手,从
数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.
(二)典例分析:
问
题1.
?
1
?
函数
y?f(x)
在定义域
(?3
,3)
内可导,其图象如图所示,记
y?f(x)
的导函数为
2
y?f
?
(x)
,则不等式
f
?
(x
)?0
的解集为
1
A.
[?,1]?
?
2,3
?
3
148
B.
[?1,]?[,]
233
31
C.
[?,]?
?
1,2
?
22
?
3
?
14
?
8
?
D.?
?,?1
?
?[,]?
?
,3
?
?
2
?
23
?
3
?
?
3
?
设
f(x),g(x)
均是定
义在
R
上的奇函数,当
x?0
时,
f?(x)g(x)?
f
(?2)?0
,则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是
f(x)g?(
x)?0
,且
A.
?
?2,0
?
U
?
2,
??
?
B.
?
?2,2
?
C.
?
??,?2
?
U
?
2,??
?
D.
?
??,?2
?
U
?
0,2
?
问题2.
?
1
?
如果函数
f(x)??x?bx
在
区间
?
0,1
?
上单调递增,并且方程
f(x)?0
的根都
在区间
3
?
?2,2
?
内,则
b
的取值范围为
?
2
?
已知
f(x)?1?2x?x
2
,那么
g(x)?f
?
f(x)
?
10 17
A.
在区间
?
?2,1
?
上单调递增
B.
在
?
0,2
?
上单调递增
C.
在
?
?1,1
?
上单调递增
D.
在
?
1,2
?
上单调递增
?3
?
函数
f(x)?x
3
?6x?5,x?R
,
(Ⅰ)求
f(x)
的单调区间和极值;
(Ⅱ)若关于
x
的
方程
f(x)?a
有
3
个不同实根,求实数
a
的取值范围.
(Ⅲ)已知当
x?(1,??)
时,
f(x)
≥
k(x?1
)
恒成立,求实数
k
的取值范围.
2ax?a
2
?1
问题3.已知函数
f(x)?
(x?R)
,其中
a?R
.
2
x?1
(Ⅰ)当
a?1
时,求曲线
y?f(x)
在点
(2,f(2))
处的切线方程;
(Ⅱ)当
a?0
时,求函数
f(x)
的单调区间与极值.
11 17
问题4.已知定义在正实数集上的函数
f(x)?
1
2
x?2ax
,
g(x)?3a
2
lnx?b
,其中
a?0
.设两
2
曲线
y?f(x)
,
y?g
(x)
有公共点,且在该点处的切线相同.
(Ⅰ)用
a
表示
b
,并求
b
的最大值;
(Ⅱ)求证:
f(x)
≥
g(x)
(
x?0
).
2.
若函数
y?f(x)
在
R
上可导且满足不等
式
xf?(x)?f(x)?0
恒成立,且常数
a,b
满足
a?b<
br>,则
下列不等式一定成立的是
A.
af(a)?bf(b)
B.
af(b)?bf(a)
C.
af(a)?bf(b)
D.
af(b)?bf(a)
3.
求满足条件的
a
的范围:
?
1
?
使
y?sinx?ax
为
R
上增函数,则
a
的范围是
?
2
?
使
y?x
3
?ax?a
为
R
上增函数,则
a
的范围是
?
3
?
使
f(x)?ax
3
?x
2
?x?5
为
R
上增函数,则
a
的范围是
4.
证
明方程
x
3
?3x?c?0
在
?
0,1
?
上至多有一实根.
12 17
5.
如果
f
?
(x)
是二次函数,
且
f
?
(x)
的图象开口向上,顶点坐标为
(1,?3)
,
那么曲线
y?f(x)
上
任一点的切线的倾斜角
?
的取值范围是
A.
(0,
2
?
?
2
??
2
?
?
2
?
]
B.
[0,)U[,
?
)
C.
[0,]U[,
?
)
D.
[,]
3
2323
23
2
等于
6.
如图,是函数f(x)?x
3
?bx
2
?cx?d
的大致图像,则
x
1
2
?x
2
8
10
B.
9
9
16
28
C.
D.
9
9
A.
7.<
br>函数
f(x)
的定义域是开区间
?
a,b
?
,导函数
f?(x)
在
?
a,b
?
内
的图象如图所示,则函数
f(x)
在开区间内有极小值点
y
y?f?
?
x
?
b
A.
1
个
B.
2
个
C.3
个
D.
4
个
a
O
x
8.
函数<
br>f(x)?ax
3
?bx
2
?2x
的图象如图所示,
且
x
1
?x
2
?0
,则有
A.
a?0,b?0
B.
a?0,b?0
C.
a?0,b?0
D.
a?0,b?0
9.
已知:
x?1
,证明不等式:
x?ln
?
1?x
?
10.
设
f(x)?ax
3
?x
恰有三个单调区间,试确定
a
的取值范围,并求出这三个单调区间
13 17
11.
已知函数
f(x)?ln
?
x?a
??x
2
?x
在
x?0
处取得极值.
?
1
?
求实数
a
的值;
?
2
?
若关于
x的方
5
x?b
在区间
?
0,2
?
上恰有两个
不同的实数根,求实数
b
的取值范围;
?
3
?
证明:对任<
br>2
n?1n?1
意的正整数
n
,不等式
ln?
2都成立.
nn
程
f(x)??
(四)走向高考:
??)
上的非负可
导函数,且满足
xf
?
(x)?f(x)
≤
0
.对任意正数
a,b
,若
12.
f(x)
是定义在
(0,
a?b
,则必有
A.
af(b)
≤
bf(a)
B.
bf(a)
≤
af(b)
C.
af(a)
≤
f(b)
D.
bf(b)
≤
f(a)
对于任意实数
x
,有
f(x)
≥
0<
br>,
13.
已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
的导数为
f
?
(x)
,
f
?
(0)?0
,
则
f(1)
的最小值为
f
?
(0)
A.3
B.
53
C.
2
D.
22
14 17
14.
函数
y?xcosx?sinx
在下面哪个区间内是增函数
?
?
3
?
A.
?
,
?
22
??
3
?
5
?
?
,
B.C.
?
,2
?
??
???
D.
?
2
?
,3
?
?
??22
?
1
15.
曲线
y?x
3
在点
(
a,a
3
)
(a?0)
处的切线与
x
轴、直线
x?
a
所围成的三角形的面积为,则
6
a?
17.
已知函数
f(x)?ax
4
lnx?bx
4
?c(x?0)
在
x?1
处取得极值
?3?
c
,其中
a,b
为常数.
(Ⅰ)试确定
a,b
的值;
(Ⅱ)讨论函数
f(x)
的单调区间;
(Ⅲ)若对任意
x?0,不等式
f(x)≥?2c
恒成立,求
c
的取值范围.
2
18.
设函数
f(x)?ln(x?a)?x
2
(Ⅰ)若当
x??1
时,
f(x)
取得极值,求
a
的值,
并讨论
f(x)
的单调性;
(Ⅱ)若
f(x)
存在极值,求
a
的取值范围,并证明所有极值之和大于
ln
e
.
2
15 17
19.
设函数
f(x)?e
x
?e
?x
.
(Ⅰ)证明:
f(x)
的导数
f
?
(x)≥2
;
(Ⅱ)若对所有
x≥0
都有
f(x)≥ax
,求
a
的取值范围.
11
在区间
?
6,??
?
内为增函数,
20.
若函数
f(x)
?x
3
?ax
2
?
?
a?1
?
x?1在区间
?
1,4
?
内为减函数,
32
试求实数
a
的取值范围.
16 17
课后
作业________________________________;
巩固复习_______________________________;
巩固
预习布置____________________________
签字
学科组长签字: 学习管理师:
老师
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