高中数学导数单元测试试题

（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
[基础训练A组]
一、选择题
1．若函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内 可导，且
x
0
?(a,b)
则
lim
h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)

h
的值为（ ）
''
'
A．
f(x
0
)
B．
2f(x
0
)
C．
?2f(x
0
)
D．
0

2．一个 物体的运动方程为
s?1?t?t
其中
s
的单位是米，
t
的 单位是秒，
那么物体在
3
秒末的瞬时速度是（ ）
A．
7
米秒 B．
6
米秒
C．
5
米秒 D．
8
米秒
3．函数
y=x+x
的递增区间是（ ）
A．
(0,??)
B．
(??,1)

C．
(??,??)
D．
(1,??)

4．
f(x)?ax?3x?2
,若
f(?1)?4
,则
a
的值等于（ ）
A．
32'
3
2
1916
B．
33
1310
D．
33
C．
5．函数
y?f(x)
在一点的导数值为
0
是函数
y? f(x)
在这点取极值的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
6．函数
y?x?4x?3
在区 间
?
?2,3
?
上的最小值为（ ）
4
A．
72
B．
36

C．
12
D．
0

二、填空题
3'
1．若
f(x)?x,f(x
0
)?3
，则
x
0
的值为_________________；
2．曲线
y?x?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾斜角为__________；
3．函数
y?
3
sinx
的导数为_________________；
x
4．曲线
y?lnx
在点
M(e,1)
处的切线的斜率是_________，切线的方程为__________ _____；
5．函数
y?x?x?5x?5
的单调递增区间是_________ __________________。
三、解答题
1．求垂直于直线
2x?6 y?1?0
并且与曲线
y?x?3x?5
相切的直线方程。





2．求函数
y?(x?a)(x?b)(x?c)
的导数。

32
32

3．求函数f(x)?x
5
?5x
4
?5x
3
?1
在区间
?
?1,4
?
上的最大值与最小值。





4．已知函数
y?ax
3
?bx
2
， 当
x?1
时，有极大值
3
；
思
而
子
曰< br>（1）求
a,b
的值；（2）求函数
y
的极小值。
不：

学
则
学
而

殆不

。

思
新课程高中数学测试题组
则

罔

（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
，
[综合训练B组]
一、选择题
1．函数
y=x
3
-3x
2
-9x< br>(
-2)
有（ ）
A．极大值
5
，极小值
?27

B．极大值
5
，极小值
?11

C．极大值
5
，无极小值
D．极小值
?27
，无极大值
2．若
f
'
(x< br>0
)??3
，则
lim
f(x
0
?h)?f(x0
?3h)
h?0
h
?
（ ）
A．
?3
B．
?6

C．
?9
D．
?12

3．曲线
f (x)=x
3
+x-2
在
p
0
处的切线平行于直线
y=4x-1
，则
p
0
点的坐标为（
A．
(1,0)
B．
(2,8)

C．
(1,0)
和
(?1,?4)
D．
(2,8)
和
(?1,?4)

4
．
f(x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数，若
f(x)
,
g (x)
满足
f
'
(x)?g
'
(x)
,则
f(x)
与
g(x)
满足（ ）
A．
f(x)?g(x)
B．
f(x)?g(x)
为常数函数
C．
f(x)?g(x)?0
D．
f(x)?g(x)
为常数函数
5．函数
y?4x
2
?
1
x
单调递增区间是（ ）
A．
(0,??)
B．
(??,1)
C．
(
1
2
,??)
D．
(1,??)

）

6．函数
y?
?1
lnx
的最大值为（ ）
x
2
A．
e
B．
e
C．
e
D．
10

3

二、填空题
1．函数
y?x?2cosx
在区间
[0,
3
?
2
]
上的最大值是 。
2．函数
f(x) ?x?4x?5
的图像在
x?1
处的切线在
x
轴上的截距为____ ____________。
3．函数
y?x?x
的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。
4．若
f(x)?ax?bx? cx?d(a?0)
在
R
增函数，则
a,b,c
的关系式为是 。
5．函数
f(x)?x?ax?bx?a,
在
x?1
时有极值< br>10
，那么
a,b
的值分别为________。
三、解答题
23
1． 已知曲线
y?x?1
与
y?1?x
在
x ?x
0
处的切线互相垂直，求
x
0
的值。
322
32
23


2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？



3． 已知
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(0,1)
，且在
x?1
处的切线方程是
y?x?2
（1）求
y?f(x)
的解析式；（2）求
y?f(x)
的单调递增区间 。


42


r
13
r
)
，若存在不同时为
0
的实数
k
和
t
，使 4．平 面向量
a?(3,?1),b?(,
22
r
rrrr
r
rr
2
x?a?(t?3)b,y??ka?tb,
且
x?y
，试确定函 数
k?f(t)
的单调区间。



新课程高中数学测试题组

（数学选修2-2） 第一章 导数及其应用
[提高训练C组]
一、选择题
1．若
f(x)?sin
?
?co sx
,则
f(
?
)
等于（ ）
A．
sin
?
B．
cos
?
C．
sin
?
?cos
?
D．
2sin
?

'

2．若函数
f(x)? x?bx?c
的图象的顶点在第四象限，则函数
f(x)
的图象是（ ）
3．已知函数
f(x)??x?ax?x?1
在
(??,??)
上是单调函 数,则实数
a
的
取值范围是（ ）
A．
(??,?3]?[3,??)
B．
[?3,3]

C．
(??,?3)?(3,??)
D．
(?3,3)

4．对于
R
上可导的任意函数
f(x)
，若满足
(x?1)f(x )?0
，则必有（ ）
A．
f(0)?f(2)?2f(1)
B.
f(0)?f(2)?2f(1)

C.
'
2'
32
f(0)?f(2)?2f(1)
D.
f(0)?f(2)?2f(1)

4
5．若曲线
y?x
的 一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0
C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

6．函数< br>f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示，
则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
A．
1
个
B．
2
个
C．
3
个
D．
4
个

二、填空题 < br>2
1．若函数
f
(
x
)
=x
(
x- c
)
在
x?2
处有极大值，则常数
c
的值为_______ __；
2．函数
y?2x?sinx
的单调增区间为 。
3．设函数
f(x)?cos(3x?
?
)(0?
?
??
)
，若
f(x)?f
?
(x)
为奇函数，则
?
=__________
4．设
f(x)?x?
3
1
2
x?2x?5
，当
x?[?1,2]
时，
f(x)?m
恒成 立，则实数
m
的
2
取值范围为 。
5 ．对正整数
n
，设曲线
y?x
n
(1?x)
在
x? 2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n
，则
数列
?
?
a
n
?
?
的前
n
项和的公式 是
?
n?1
?
3
三、解答题
1．求函数
y?(1?cos2x)
的导数。
2．求函数
y?2x?4?x?3
的值域。
32
3．已知函数f(x)?x?ax?bx?c
在
x??
(1)求
a,b
的值与 函数
f(x)
的单调区间
2
与
x?1
时都取得极值 3
(2)若对
x?[?1,2]
，不等式
f(x)?c
恒成立， 求
c
的取值范围。
2
x
2
?ax?b
4．已知< br>f(x)?log
3
,
x?(0,??)
，是否存在实数
a、 b
,使
f(x)
同时满足下列两个条件：（1）
f(x)
在
x
(0,1)
上是减函数，在
?
1,??
?
上是增函数；（ 2）
f(x)
的最小值是
1
，若存在，求出
a、b
，若不存 在，说明理由.

新课程高中数学训练题组参考答案
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [基础训练A组]
一、选择题
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
?li m2[]

h?0h?0
h2h
f(x
0
?h)?f(x< br>0
?h)
?2f
'
(x
0
)

?2lim
h?0
2h
1．B
lim

2．C
s(t)?2t?1,s(3)?2?3?1?5

3．C
y=3x+1>0
对于任何实数都恒成立
4．D
f(x)?3ax?6 x,f(?1)?3a?6?4,a?
3'2'
'2
''
'2'
10

3
''
5．D 对于
f(x)?x,f(x)?3x,f(0) ?0,
不能推出
f(x)
在
x?0
取极值，反之成立
6．D
y?4x?4,令y?0,4x?4?0,x?1,当x?1时,y?0;当x?1时,y?0

得
y
极小值
?y|
x?1
?0,
而端 点的函数值
y|
x??2
?27,y|
x?3
?72
，得< br>y
min
?0

二、填空题
'2
1．
?1

f(x
0
)?3x
0
?3,x
0
??1

'3'3
3
3
'2'
?

4
4
( sinx)
'
x?sinx?(x)
'
xcosx?sinx
xco sx?sinx
'
?
3．
y?

22
2xx
x
11111
''
4．
,x?ey?0

y?,k?y|
x?e
?,y?1?(x?e),y?x

exeee
55
'2
5．
(??,?),(1,??)

令y?3x?2x?5?0,得x??,或x?1

33
2．
?

y?3x?4,k?y|
x?1
??1,tan
?
??1,
?
?
三、解答题
1．解：设切 点为
P(a,b)
，函数
y?x?3x?5
的导数为
y?3x?6x

'2
32
切线的斜率
k?y|
x?a
?3a?6 a??3
，得
a??1
，代入到
y?x?3x?5

32' 2
得
b??3
，即
P(?1,?3)
，
y?3??3(x? 1),3x?y?6?0
。
2．解：
y?(x?a)(x?b)(x?c)?(x? a)(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)


?(x?b)(x?c)?(x?a)(x?c)?(x?a)(x?b)


4322
3．解：
f
?
(x)?5x?20x?15x?5x(x?3)( x?1)
,
当
f
?
(x)?0< br>得
x?0
，或
x??1
，或
x??3
，
∵
0?[?1,4]
，
?1?[?1,4]
，
?3?[?1 ,4]

列表:

x


(?1,0)

(0,4)

0

?1



+ +
f
'
(x)

0

0


f(x)


↗ ↗
0

1


又
f(0)?0,f(?1)?0
；右端点处
f(4)?2625
；
543
''''




∴函数
y?x? 5x?5x?1
在区间
[?1,4]
上的最大值为
2625
，最小值 为
0
。
'
'2
4．解：（1）
y?3ax?2bx,
当
x?1
时，
y|
x?1
?3a?2b?0,y|
x?1
?a?b?3
，
?
3a?2b?0
即
?
,a??6,b?9

a? b?3
?
'
（2）
y??6x?9x,y??18x?18x
，令< br>y?0
，得
x?0,或x?1

32'2
?y
极小值
?y|
x?0
?0

（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [综合训练B组]
一、选择题
''
1．C
y?3x?6x?9?0,x??1,得x?3
，当
x??1
时，
y?0
；当
x??1
时，
y?0

'2
当
x??1
时，
y
极大值
?5
；
x
取不到
3
，无极小值
2．D
lim< br>h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?4lim?4f
'
(x
0
)??12

h?0
h4h

3．C 设切点 为
P
0
(a,b)
，
f(x)?3x?1,k?f(a)?3a?1 ?4,a??1
，
把
a??1
，代入到
f(x)=x+x-2得
b??4
；把
a?1
，代入到
f(x)=x+x-2
得
b?0
，所以
P
0
(1,0)
和
33
' 2'2
(?1,?4)

4．B
f(x)
,
g(x)
的常数项可以任意
18x
3
?11
2
?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?
5．C 令
y?8x?
2
?

2
xx2
(lnx)
'
x?lnx?x
'
1?lnx
1
'
''
x?ex ?e
y?0y?0
??0,x?e
6．A 令
y?
，当时，；当 时，，，
y?f(e)?
极大值
22
xx
e
1
在定 义域内只有一个极值，所以
y
max
?

e
'
二、填空题
?3

6
33
'2'
2．
?

f(x)?3x?4, f(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??

77
222
'2
3．
(0,)

(??,0),(,??)

y??3x?2x?0,x?0,或x?

333
2'2
4．
a?0,且b?3ac

f(x)?3ax?2bx?c?0
恒成立，
?
a?0
则
?
,a?0,且b
2
?3ac

2
?
??4b?12ac?0
'2'2
5．
4,?11
f(x)?3x?2ax?b,f(1)?2a?b?3?0,f(1)?a?a?b?1?1 0

?
2a?b??3
?
a??3
?
a?4

?
2
，当
a??3
时，
x?1
不是极值点
,
?
,或
?
b?3b??11
a?a?b?9
??
?
1．
?
6
?3

y
'
?1?2si nx?0,x?
?
6
，比较
0,
??
,
62
处的函数值，得
y
max
?
?
三、解答题
1．解：y?2x,k
1
?y|
x?x
0
?2x
0
;y ?3x,k
2
?y|
x?x
0
?3x
0


k
1
k
2
??1,6x
0
??1,x
0< br>??
3
'''2'2
3
3
36
。
6
2
2．解：设小正方形的边长为
x
厘米，则盒子底面长为
8?2x
，宽为
5?2x


V?(8?2x)(5?2x)x?4x?26x?40x


V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?
'2'
1010
，
x?
（舍去）
33

V
极大值
?V(1)?18
，在定义域内仅有一个极大值，

?V
最大值
?18

3．解：（1）
f(x)?ax?bx ?c
的图象经过点
(0,1)
，则
c?1
，
42
f
'
(x)?4ax
3
?2bx,k?f
'
(1)?4a? 2b?1,

切点为
(1,?1)
，则
f(x)?ax?bx?c< br>的图象经过点
(1,?1)

得
a?b?c??1,得a?
42
59
,b??

22
f(x)?
5
4
9
2
x?x?1

22
'3
310310
?x?0,或x?

1010
310310
,0),(,??)
单调递增区间为
(?< br>1010
（2）
f(x)?10x?9x?0,?

r
r
13
r
r
r
r
)
得
ag
4．解： 由
a?(3,?1),b?(,
b?0,a?2,b?1

22
rr r
2
rrr
2
r
r
r
r
222
[ a?(t?3)b]g(?ka?tb)?0,?ka?tagb?k(t?3)agb?t(t?3)b?0< br>
11
?4k?t
3
?3t?0,k?(t
3
?3t ),f(t)?(t
3
?3t)

44
3333
f
'
(t)?t
2
??0,得t??1,或t?1；t
2
??0,得? 1?t?1

4444
所以增区间为
(??,?1),(1,??)
；减区间为
(?1,1)
。
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [提高训练C组]
一、选择题
1．A
f(x)?sinx,f(
?
)?sin
?

''
b
?0,b?0,f
'
(x)?2x?b
，直线过第一、三、四象限
2
2
'2
3．B
f(x)??3x?2ax?1?0
在
(??,??)
恒成立，
??4a?12?0??3?a?3

''
4．C 当
x?1
时，
f(x)?0
，函数
f(x)
在
(1,??)
上是增函数；当
x?1
时，
f(x )?0
，
f(x)
在
(??,1)
上是减
函数，故
f(x)
当
x?1
时取得最小值，即有
f(0)?f(1),f(2)?f (1),
得
f(0)?f(2)?2f(1)

43
5．A 与 直线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
， 即
y?x
在某一点的导数为
4
，而
y
?
?4x，所以
y?x
4
在
(1,1)
处导数为
4
，此 点的切线为
4x?y?3?0

'''
6．A 极小值点应有先减后增的特点，即
f(x)?0?f(x)?0?f(x)?0

2．A 对称轴
?
二、填空题
1．
6

f(x)?3x?4cx?c,f(2)?c?8c?12?0,c?2,或6
，
c?2
时取极小值
2．
(??,??)

y?2?cosx?0
对于任何实数都成立
'
'22'2
?
''

f(x)??sin(3x?
?
)(3x?
?
)??3sin(3x?
?
)

6
?

f(x)?f
?
(x)?2cos(3x?
?
?)

3
??
要使
f(x)?f
?
(x)
为奇函数，需且仅需< br>?
??k
?
?,k?Z
，
32
?
?
即：
?
?k
?
?,k?Z
。又
0?
?
?
?
，所以
k
只能取
0
，从而
?
?
。
66
4．
(7,??)

x?[?1,2]
时，
f(x)
max
?7

3．
5．
2
n?1
?2

y
x?2
??2
n?1
?
n?2
?
,切线方程为:y?2
n
??2
n?1
?
n?2
?
(x?2)
，
n
令
x?0
，求出切线与
y
轴交点的纵坐标为
y< br>0
?
?
n?1
?
2
，所以
和
Sn
?
三、解答题
1．解：
y?(1?cos2x)?(2cosx)?8cosx

3236
2
?
1?2
n
?
1?2
a
n
?< br>a
?
?2
n
，则数列
?
n
?
的前< br>n
项
n?1
?
n?1
?
?2
n?1
?2

y
'
?48cos
5
x?(cosx)
'< br>?48cos
5
x?(?sinx)

??48sinxcos
5
x
。
2．解：函数的定义域为
[?2,??)
，
y?
1111
???

2x?42x?3 2x?44x?12
'
当
x??2
时，
y?0
，即
[?2,??)
是函数的递增区间，当
x??2
时，
y
min
??1

所以值域为
[?1,??)
。
'

3．解：（1）
f(x)?x?ax?bx?c,f(x)?3x?2ax?b

3 2'2
21241
?a?b?0
，
f
'
(1)?3?2a? b?0
得
a??,b??2

3932
f
'
(x) ?3x
2
?x?2?(3x?2)(x?1)
，函数
f(x)
的单调 区间如下表：

222

(??,?)?(?,1)
x

(1,??)

1

333
?


?


0

0

f
'
(x)


?

极大值 极小值
f(x)

22
所以函数
f(x)
的递增区间是
(??,?)
与
(1,??)
,递减区间是
( ?,1)
；
33
1
2
2222
3
（2）
f(x)?x?x?2x?c,x?[?1,2]
，当
x??
时，
f(?)? ?c

23327
2
为极大值，而
f(2)?2?c
，则< br>f(2)?2?c
为最大值，要使
f(x)?c,x?[?1,2]

由
f(?)?
'
恒成立，则只需要
c?f(2)?2?c
，得
c??1,或c?2
。
2
x
2
?ax?b
4．解：设
g(x)?

x
∵
f(x)
在
(0,1)
上是减函数，在
[1,??)
上是增函数
∴
g(x)
在
(0,1)
上是减函数，在[1,??)
上是增函数.
?
b?1?0
?
g'(1)?0< br>?
a?1
∴
?
∴
?
解得
?

?
a?b?1?3
?
g(1)?3
?b?1
经检验，
a?1,b?1
时，
f(x)
满足题设的两个条 件.