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新课标人教A版高中数学必修二空间几何体知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 19:16
tags:高中数学a版必修2

高中数学苏教版选修教材分析-高中数学 函数值域的求法

2020年10月6日发(作者:于谦)



高中数学必修2 空间几何体知识点总结

1.1柱、锥、台、球的结构特征





(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四
边形 的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点 字母,如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母,如
五棱柱
AD
'

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;
侧棱平行且 相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面
所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字 母,如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相 似
比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的
部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字 母,如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原
棱锥的顶点
(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转所成的曲面
所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆 的半径垂直;
④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所
围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇
形。
(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的



部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开
图是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向
右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

(2)画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
(3)直观图:斜二测画法
(4)斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)
成图

1.3 空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
'
(2)特殊几何体表面积公式 (c为底面周长,h为高,
h
为斜高,l为母线)
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

2



S
正棱台侧面积
?
S
圆柱表< br>?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

1
(c
1
?c
2
)h'

2

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V

?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
2
r

h

V

?
1
Sh

3
1
V
圆锥
?
?
r
2
h

3
1
V

?(S
'
?S
'
S?S )h

3
'22
?S)h?
?
(r?rR?R)h

V
圆台
?(S
'
?SS

1
3
1
3









(4)球体的表面积和体积公式:V

=
4
?
R
; S
球面
=
4
?
R
2

3

3



第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
A
D
α
B
C
(1)平面
① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;
② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐
角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③ 点与平面的关系:点A在平面
?
内,记作
A?
?
;点
A
不在平面
?
内 ,记作
A?
?

点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l; 点A在直线l外,记作
A
?
l;
直线与平面的关系:直线l在平面α内,记 作l
?
α;直线l不在平面α内,
记作l
?
α。
(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都
在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直



线确定一平面。
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合
的依据
(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该
点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:
P?AB?AB?l,P?l

公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共
点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为
?
2
简便,点O一般取在两直线中的一条上;
=>a∥c



② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记
作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α



b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则
这两个平面平行 。

符号表示:
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线
与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
a β a∥b



α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α
互相垂直,记作L⊥α ,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫 做垂足。
L

p
α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化
的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α



2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平
面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
直。


本章知识结构框图







直线与直线的位置关系


平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系




第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向



与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当 直线l与x
轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α=
90°.
3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小
写字母k表示,也就 是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的
斜率:
斜率公式: k=y2-y1x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它 们的斜率相等;反之,
如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条 直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这
个前提,结论并不
有L1∥L2
2 、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,
如果它们的斜率互为负倒 数,那么它们互相垂直,即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程: 直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
,且斜率为
k

成立.即如果k1=k2, 那么一定



y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式 方程:已知直线
l
的斜率为
k
,且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点
P(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

1
y-y1y-y2=x-x1x-x2
22
2、直线的截
PP< br>距式方程:已知直线
l

x
轴的交点为
?x?x?y?y????
122221
A
(a,0)
,与
y
轴的交点为 B
(0,b)
,其中
a?0,b?0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于
x,y
的二元一次方程
Ax ?By?C?0
(A,B不同时
为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0
解:解方程组
?
?0
?
3x?4y?2
得 x=-2,y=2
?0
?
2x?2y?2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:

P(x
0
,y
0
)< br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?
2、两平行线间的距离 公式:
已知两条平行线直线
l
1

l
2
的一般式 方程为
l
1

Ax?By?C
1
?0

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22



l
2

Ax?By?C
2
?0< br>,则
l
1

l
2
的距离为
d?
C< br>1
?C
2
A?B
22



第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法:
(1)
(x
0
?a)
2< br>?(y
0
?b)
2
>
r
2
,点在圆外 ( 2)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2< br>=
r
2
,点在圆上
(3)
(x
0
?a)< br>2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
,点在 圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系
数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征
明显,圆的标准方程 则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.



设直线
l

ax?by?c?0
,圆
C

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
(?< br>DE
,?)
到直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置关系的依据有以 下几点:
22
(1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;(2)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1 )当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆< br>C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2< br>内切;(5)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方
法判断:
( 1)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心< br>C
?
a,b
?
到l的距离为
Aa?Bb?C
,则有< br>d?r?l与C相离

d?r?l与C相切

d?r?l与C相交
d?
A
2
?B
2

(2)设直线
l :Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
?r
2
,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为
?
,则有
??0?l与C相离

??0?l与C相切

??0?l与C相交

注:如果圆心的位 置在原点,可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
2
去解 直线与圆相切的问题,
其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标,r表示半径。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标 系,用坐标和方程表示问题中的几何元
素,将平面几何问题转化为代数问题;



第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
(3)过圆上一点的切线方程:
①圆x
2
+y
2
=r2
,圆上一点为(x
0
,y
0
),则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课本
命题). ②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,圆上一点为 (x
0

y
0
),则过此点的切线方程为
(x
0< br>-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广).

4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有 序实数组
(x,y,z)

x

y

z
R
分别是P、Q、R在
x

y

z
轴上的坐标 O
M
Q
M'
y
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y, z)

表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的
坐标,记M
(x,y, z)

x
叫做点M的横坐标,
y

做点M的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点< br>P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间
的距离公式
P
1
P
2
?(x
1< br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2
?(z
1
?z
2
)
2
x
N
1
O
M
1
M
z
x
P
P
1
P
2
M
2
H
N
2
y
N

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