人教A版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案

人教版高中数学必修2
全册同步练习及检测

目 录
1.1.1 课时作业
1.1.2 课时作业
1.2.1-1.2.2 课时作业
1.2.3 课时作业
1.3.1 课时作业
1.3.2 课时作业
习题课 课时作业
2.1.1 课时作业
2.1.2 课时作业
2.1.3-2.1.4 课时作业
2.2.1 课时作业
2.2.2 课时作业
2.2.3 课时作业
2.2.4 课时作业
2.3.1 课时作业
2.3.2 课时作业
2.3.3 课时作业
2.3.4 课时作业
习题课 课时作业
3.1.1 课时作业
3.1.2 课时作业

3.2.1 课时作业
3.2.2 课时作业
3.2.3 课时作业
3.3.1 课时作业
3.3.2 课时作业
3.3.3-3.3.4 课时作业
习题课 课时作业
4.1.1 课时作业
4.1.2 课时作业
4.2.1 课时作业
4.2.2 课时作业
4.2.3 课时作业
4.3.1 课时作业
4.3.2 课时作业
第4章 习题课 课时作业

§1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构．


1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
2．一般地，有一个 面是多边形，其余各面都是________________________________，
由 这些面所围成的多面体叫做棱锥．
3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成 的旋转体叫
________．
4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴 ，其余两边旋转形成的面围成的旋
转体叫做圆锥．
5．(1)用一个___________ _____________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做
棱台．
(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简
称球．


一、选择题
1．棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
2．下列命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
4．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
1

C．③是棱锥 D．④不是棱柱
6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该
正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方
位是 ( )


A． 南 B．北 C．西 D．下

二、填空题
7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．
8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
9．在 下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是
________．


三、解答题
10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当 用平面BCFE把这个长方体分成两
部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由； 如果是，指出底面及侧
棱．












11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm
2
，母线
与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．










能力提升
2

12．下列四个平面图形中，每 个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边
折叠围成一个正方体的图形的是( )

13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？













1．学习本节 知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动
态直观图从运动变化的观点认识 棱柱、棱锥和棱台的关系．
2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化 ，即把三维
图形化归为二维图形求解．
在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它 决定着旋转体的大小、形状，旋
转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体 问题转化为平面问
题的关键．
3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然 后利用两点间距离的最
小值是连接两点的线段长求解．















第一章 空间几何体
3

§1．1 空间几何体的结构
1．1．1 柱、锥、台、球的结构特征
答案
知识梳理
1．互相平行
2．有一个公共顶点的三角形
3．圆柱
4．直角边
5．(1)平行于棱锥底面 (2)平行
6．直径
作业设计
1．C [用棱台的定义去判断．]
2．C [A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]

3．C [圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正
确，圆 柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面
上一点，有且只有一条 母线，故D不正确．]
4．D [两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直 径所在直
线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．]
5．C 6．B 7．4 8．圆锥 9．①②
10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′—DCFD′．
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
11．解

圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA
1交OO
1
的延长线于点S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，
则∠SAO＝45°．
1
∴SO＝AO＝3x cm，OO
1
＝2x cm．∴(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7，∴圆台的高OO
1
2
＝14 cm，母线长l＝2OO
1
＝142 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm．
12．C
13．解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示， 连接
AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
4

∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝A ′B′
2
＋AA′
2
＝4＋?2π?
2
＝21＋π
2
，
即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π
2
．
5

1.1.2 简单组合体的结构特征

【课时目标】 1 ．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运
用这些结构特征描述现实生活中简 单物体的结构．


1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．组合形式



一、选择题
1．如图，由等腰梯形 、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将
它绕轴l旋转180°后形成一个组合体 ，下面说法不正确的是( )

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的( )


3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( )
A．一个圆台、两个圆锥构成
B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成
D．一个圆柱、两个圆锥构成
5．如图，将装有水的 长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的
水形成的几何体是( )
6

A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体 D．不能确定
6．如图所 示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点
的圆锥而得到的组合体，现用 一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )

A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
二、填空题
7．下列叙述中错误的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
8．如图所示为一空间几何体的竖直截面 图形，那么这个空间几何体自上而下可能是
__________________．


9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．
三、解答题
10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．





11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．


7

能力提升
12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥 的各面均相切(球
在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三 棱锥
的截面，所得截面图形是( )

13．已知圆锥的底面半径为r，高为h， 且正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
内 接于圆锥，求这
个正方体的棱长．



















组合体的结构特征有两种组成：
(1)是由简单几何体拼接而成；
(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体 的组成，柱、锥、台、球是最
基本的几何体．







1．1．2 简单组合体的结构特征 答案

知识梳理
1．简单几何体 2．截去或挖去一部分
作业设计
1．A 2．A 3．D 4．D 5．A
6．D [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的 轮
廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]
8

7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体
10．解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台
组合而成．
11．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
12．B
13．


解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆 锥内接正方体的棱长为
x，则在轴截面中，正方体的对角面A
1
ACC
1的一组邻边的长分别为x和2x．
因为△VA
1
C
1
∽△VMN，
2x
h－x
解得＝，
2rh
所以2hx＝2rh－2rx，
2rh
解得x＝．
2r＋2h
2rh
即圆锥内接正方体的棱长为．
2r＋2h



9

§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图

【课时目标】 1．知道空间几何体的三视图的概念，初步认识简单几 何体的三视图．2．会
画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．


1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是____________， 而中心
投影的投影线________________．
2．三视图包括________ ____、____________和____________，其中几何体的
_________ ___和____________高度一样，____________与____________长度一样 ，
____________与____________宽度一样．


一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )


3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该
几何体的俯视图为( )



10

5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA
1、CC
1
的中点，作四边形D
1
MBN，则四边
形D
1
MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )


6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )


二、填空题
7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．

(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两 底面之间的距离)和底面边
长分别是________和________．

< br>9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正
方体的个数 最多为________个．



11

三、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出 的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果
不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要 求)．








11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．












能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．









12

13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这 样的几何体，
最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？










在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在 三视图中，分界线和
可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图 的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样．侧
视图放在正视图的右面，高度和正视图 一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，
宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．



§1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2．1 中心投影与平行投影
1．2．2 空间几何体的三视图
答案
知识梳理
1．平行的 交于一点
2．正视图 侧视图 俯视图 侧视图 正视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图
作业设计
1．D [因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，B错．又因为点的
平行投 影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故C错．由排除法可知，选项D正确．]
2．C
3．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三
棱台的 三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]
4．C

[由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为
C．]
5．D 6．A
7．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
13

8．2 4
解析 三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．
9．7
10．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画
出不 可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，
正确画法如图 所示．
11．解 该图形的三视图如图所示．


12．解 该物体是由 一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个
侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱 的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是
一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如 图所示．

13．解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立 方块数
最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．

而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的
数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
14

1.2.3 空间几何体的直观图

【课时目标】 1． 了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图
形和立体图形的直观图．3．通过观 察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不
同形式间的联系．


用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
(1)在已知图形中取互相______ __的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们
画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′ ，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定
的平面表示水平面．
(2)已知图 形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′
轴的线段． (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线
段 ，长度为原来的________．


一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④
C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图的周长是( )

A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )


15

5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )

6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯
形，则该平面图 形的面积等于( )
122
A．＋ B．1＋
222
C．1＋2 D．2＋2
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB
边上的中线的实际长度为____________．

9．如图所示，为一个水平放置的正 方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标
为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的 直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____．
三、解答题
10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．





16

11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD
＝3 cm，试画出它的直观图．









能力提升
12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．










1 3．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对
角线A′C′在 水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出
该四边形的真实图形并求出其 面积．










直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它 们之间的可逆关系寻找它们的
联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其 高和底边等，而
求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而 出
错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照
斜 二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的
2
水平 放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．
4
2．在用斜二测画法画直观图时，平行 线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的
真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小 ．

17

1．2．3 空间几何体的直观图 答案

知识梳理
(1)垂直 (2)平行 (3)不变 一半
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [

根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，
OA＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图 ，作
D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形
A′ B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，
AD＝1， 所以S
ABCD
＝2＋2．

图1 图2]
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不 会改变，因
此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝
4 ，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
2
9．
2
解析

2122
画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝．
2242
10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，如图a所示；
(2)再以上底面A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线交点为原点建立x′，y′ ，z′轴，如图b所示，在
z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A
1< br>，V′B
1
，V′C
1
，V′D
1
，
得到四 棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
18

11．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在 的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使 ∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′
31
＝AE＝3≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D ′＝ED，再过点D′作
22
D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则
四边形A′ B′C′D′就是所求作的直观图．
12．解 先画出正三角形ABC，
然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
3
B′C′＝a，O′A′＝a．
4
过A′引A′M⊥x′轴，
垂足为M，
326
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．
428

116
∴S
△
A
′
B
′
C
′
＝B′C′·A′M＝a×a
228
6
＝a
2
．
16
13．

19

解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝2，∴S
四边形
ABCD
＝AC·AD＝22．


20

§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

【课时目标】 1．了解柱体、锥 体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、
锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的 实际问题．


1．旋转体的表面积
名称
圆柱

圆锥


图形 公式
底面积：S
底
＝________
侧面积：S
侧
＝________
表面积：S＝2πr(r＋l)
底面积：S
底
＝________
侧面积：S
侧
＝________
表面积：S＝________
上底面面积：
S
上底
＝____________
下底面面积：
S
下底
＝____________
侧面积：S
侧
＝__________
表面积：
S＝________________
圆台

2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
1
(3)台体： 台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋S′S＋S)h．
3


一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
842
A．8 B． C． D．
πππ
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
1＋2π1＋4π1＋2π1＋4π
A． B． C． D．
2 π4ππ2π
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等
于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所
形成的 几何体的体积之比为( )
A．a∶b B．b∶a C．a
2
∶b
2
D．b
2
∶a
2

5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别
为( )
21

A．24π cm
12π cm
B．15π cm
12π cm

C．24π cm
2,
36π cm
3
D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
2,32,3

113
A．7＋2 B．＋2 C．7＋3 D．
22

二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3， 若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变
化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为
________________ cm
3
． < br>9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何
体的体 积是________．






三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇 环的圆心角为180°，
那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)








11．已知正四棱台(上、下底是正 方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上
底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的 侧面积．

22

能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋23 B．4π＋23
2323
C．2π＋ D．4π＋
33
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
顶点是 下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含
最底层正方体的底 面面积)．








1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角
三角形中求解，为 此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴 截面，就是说将已知条件尽量归
结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的 相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
11
S′＝SS′ ＝0
V
柱体
＝Sh――→V
台体
＝h(S＋SS′＋S′)――→V
锥体
＝Sh．
33
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意 弄清补形前后几何体体积之间
的数量关系．

23

§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr
2
2πrl πr
2
πrl πr(r＋l) πr′
2
πr
2
π(r′＋r)l
π(r′
2
＋r
2
＋r′l＋rl)
1
2．(1)Sh (2)Sh
3
作业设计
4
1．B [易知2πr＝4，则2r＝，
π
48
所以轴截面面积＝×2＝．]
ππ
1＋2π
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π
2
r
2
，全面积为＝2πr
2
＋4π
2
r
2
，其比为 ：．]
2π
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
38
则2πr＝
πl，则l＝
r，所以
43
8118A＝
πr
2
＋πr
2
＝
πr
2
，B＝
πr
2
，得A∶B＝11∶8．]
333
1
4．B [以 长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝
πb
2
a，以长为b的直角边所
3
1
在直线旋转得到圆锥体积V＝
πa
2
b．]
3
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分
别为24π cm
2,
12π cm
3
．]
6．A [图中的几何体可看成是一 个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，
下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形 的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S
1
表面
＝2S
底
＋S< br>侧面
＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]
2
7．3
解析 由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，
即2πr×3＝2πr
2
，所以r＝3．
288192
8．或
ππ
6
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
π< br>288
3
?
6
?
2
·所以V＝π·8＝(cm)．
?
π
?
π
4
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r ＝，
π
192
?
4
?
2
·所以V＝π·12＝ (cm
3
)．
?
π
?
π
8 000
9． cm
3

3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
18 000
V＝Sh＝ cm
3
．
33
10．解
24

如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下

2
＝π(r
1
＋r
2
)·AB＋πr
2
1
＋πr
2

＝π(10＋20)×20＋π×10
2
＋π×20
2
＝1 100π(cm
2
)．
故圆台的表面积为1 100π cm
2
．
h＝AB
2
－?OB－O
1
A?
2
＝20
2
－10
2
＝103，
1
2
V＝
πh(r
2
1
＋r
1
r
2
＋r
2
)
3
17 0003
＝
π×103×(10
2
＋10×20＋ 20
2
)＝
π (cm
3
)．
33
7 0003
即圆台的表面积为1 100π cm
2
，体积为
π cm
3
．
3
11．

解 如图，E、E
1分别是BC、B
1
C
1
的中点，O、O
1
分别是下、上 底面正方形的中心，
则O
1
O为正四棱台的高，则O
1
O＝12．
1
连接OE、O
1
E
1
，则OE＝AB
2
11
＝×12＝6，O
1
E
1
＝A
1
B
1
＝3．
22
过E
1
作E
1
H⊥OE，垂足为H，
则E< br>1
H＝O
1
O＝12，OH＝O
1
E
1
＝3 ，
HE＝OE－O
1
E
1
＝6－3＝3．
在Rt△E< br>1
HE中，E
1
E
2
＝E
1
H
2< br>＋HE
2
＝12
2
＋3
2

＝3
2
×4
2
＋3
2
＝3
2
×17，
所以E
1
E＝317．
1
所以S
侧
＝4××(B
1
C
1
＋BC)×E
1
E
2
＝2×(12＋6)×317＝10817．
12．C [该空间几何体为一圆柱 和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积
123
为2π，四棱锥的底面边长为2， 高为3，所以体积为×(2)
2
×3＝，所以该几何体
33
23
的体 积为2π＋．]
3
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面
面积的二倍．
25

∴S
表
＝2S
下
＋S
侧

＝2×2
2
＋4×[2
2
＋(2)
2
＋1
2
]＝36．
∴该几何体的表面积为36．

26

1.3.2 球的体积和表面积

【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积和表面积公式解决实
际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．

1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它 的大圆面积的
________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．



一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
6ππ
A． B．
62
2π
3π
C． D．
2
π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．22倍
3
C．2倍 D．2倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶3 B．1∶3
C．1∶33 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶3
C．1∶22∶33 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶 点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半
径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4

二、填空题
7 ．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的
8倍，则火星的大圆 周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半
径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．

三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你
27

设计一种这样的圆锥形杯子(杯 口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使
冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？










11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．










能力提升 < br>12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与
三棱锥所 得的图形，如图所示，则( )

A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正 方体各条棱相切，第三个球
过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．











28

1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关
计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图
形中，再 进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题 ，
运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．


1．3．2 球的体积和表面积 答案

知识梳理
4
1．4πR
2
4 2．
πR
3

3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝
为6π
r，再由体积公式求得体积比
3
6π
．]
6
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．]
3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶2 ∶3，从而得体积之比为
V
1
∶V
2
∶V
3
＝1∶ 22∶33．]
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝a
2
＋b
2
＋c
2
(a、b、c分别是长、宽、
高)．]
14
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，则
π(3r)
2
h＝
πr
3
，可得h∶r＝4∶9．]
33
7．4
解析 地 球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的
42
周长，即2π R
地球
＝8，故R
地球
＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为 4万里．
ππ
8．3 cm
4
解析 设球的半径为r，则36π＝
πr
3
，可得r＝3 cm．
3
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
46
33
(1)当6a
2
＝4πr
2
时，V
球＝
πr
3
＝a>a＝V
正方体
；
3
π
3
π
2
4
32
(2)当a＝
πr
时，S
球
＝4πr＝6a<6a
2
＝S
正方体．

36
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
1414
V
圆锥
≥V
半球
，V
半球
＝×
πr
3
＝×
π×4
3
，
2323
111
V
圆锥
＝S h＝
πr
2
h＝
π×4
2
×h．
333
3
29

114
依题意：
π×4
2
×h≥×
π×4
3
，解得h≥8．
323
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S
圆锥侧
＝πrl＝πrh
2
＋r
2
，
当圆锥高取最小值8时，S
圆锥侧
最小，所以高为8 cm时，
制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在 容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积
145
为V＝V
圆锥< br>－V
球
＝
π·(3r)
2
·3r－
πr
3< br>＝
πr
3
，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水
333
面圆的半径为
r．
3
即容器中水的深度为15r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]
13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心 ，经过四个切点及
a
2
球心作截面，所以有2r
1
＝a，r
1
＝，所以S
1
＝4πr
2
1
＝πa．
2
3131
3
h，从而容器内水的体积是V′＝
π·(
h)
2
·h＝
πh
3
，由V＝V′，得h＝15
3339

②球 与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r
2
＝2
2
2
a，r
2
＝a，所以S
2
＝4πr
2
＝2πa
2
．
2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得 截面，所以有2r
3
＝3a，
3
2
r
3
＝a，所 以S
3
＝4πr
2
3
＝3πa．
2
综上可得S< br>1
∶S
2
∶S
3
＝1∶2∶3．
30

习题课 空间几何体

【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体
积与表面积计算．


1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．
2．空间几何体的表面积和体积公式．
名称
表面积
几何体
柱体
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

(棱柱和圆柱)
锥体
S
表面积
＝S
侧
＋S
底

(棱锥和圆锥)
台体 S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
(棱台和圆台)
下

球 S＝________

体积
V＝________
V＝________
V＝_________
____________
4
V＝
πR
3

3

一、选择题
1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )
1
A．S B．πS C．2πS D．4πS
π
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
12
A． B． C．1 D．2
23

1
3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体 积为，则该几何体
2
的俯视图可以是( )

31

4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )


A．280 B．292 C．360 D．372
5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
333
aaaa
3
A． B． C． D．
34612
32π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三 个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则
3
这个三棱柱的体积是( )
A．963 B．163 C．243 D．483

二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

8 ．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm
3
．

9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底 面
半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．
32

三、解答题
10．如下的三个图中，上 面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视
图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；





















11．如图所示，为了制作一个圆柱 形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6
米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和 下底面(不安装上底面)．


(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？ 并求出该最大值(结果精确到0．01平
方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径 为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视
图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
33

能力提升
12．设某几何体的三视图如下(尺寸 的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m
3
．











1 3．如图所示，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面 为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝
6，BC＝CC
1
＝ 2，P是BC
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值是___________．


1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面
积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．
其中组合体的 体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是
充分发挥空间想象能力，由三视 图得到正确立体图，进行准确计算．
2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几 何问题，多用于研究
线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．


习题课 空间几何体 答案

知识梳理
1．2πrl πrl π(r＋r′)l
11
2．Sh Sh (S
上
＋S
下
＋S
上
S
下
)h 4πR
2

33
作业设计
1．B [设圆柱底面半径为r，则S＝4r
2
，
S
侧
＝2πr·2r＝4πr
2
＝πS．]
2．C [由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面
34

1
直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几 何体的体积V＝×1×2
2
×2＝1．]
3．C [当俯视图为A中正方形时，几何 体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图
1
π
为B中圆时，几何体为底面半径为， 高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，
24
1
几何体为三棱柱，且底面为 直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图
2
1
π
为D中扇 形时，几何体为圆柱的，且体积为．]
44
4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何
体．
∵下面长 方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积
为8×6×2 ＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积
为232＋15 2－2×6×2＝360．]
2
5．C [连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a 的正四棱锥组成，正四棱
2
a12
2
aa
3
锥的高为，则八 面体的体积为V＝2××(a)·＝．]
23226
432π
6．D [由
πR
3
＝，得R＝2．
33
∴正三棱柱的高h＝4．
设其底面边长为a，
13
则·a＝2，∴a＝43．
32
3
∴V＝(43)
2
·4＝483．]
4
10
7．
3
解析 该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥， 下面是底面边长为1、高为2的正
四棱柱的组合体，其体积为
110
V＝1×1×2＋×2
2
×1＝．
33
8．144
1
解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V
正四棱台
＝(82
＋4
2
＋8
2
×4
2
)×3
3＝112，V
正四棱柱
＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．
9．4
4
解析 设球的半径为r cm，则πr
2
×8＋
πr
3
×3
3
2
＝πr×6r．解得r＝4．
10．解 (1)如图所示．

(2)所求多面体体积V＝V
长方体
－V
正三棱锥

1
1
284
×2×2
?
×2＝ (cm
3
)． ＝4×4×6－×
?
?
3
?
2
3

35

9.6－8×2r
＝1．2－2r，∴塑料片面积
8
S＝πr
2
＋2πr(1．2－2r)＝πr
2
＋2．4πr－4πr2
＝－3πr
2
＋2．4πr＝－3π(r
2
－0．8r)＝－ 3π(r－0．4)
2
＋0．48π．
∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．
(2)若灯笼底面半径为 0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图
如图．
11．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为
12．4
解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥， 且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长
11
为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为 V＝××3×4×2＝4 m
3
．
32
13．5 2
解析

将△BCC
1
沿BC
1
线折到面A
1
C
1
B上，如图．
连接A
1
C即为CP＋PA
1
的 最小值，过点C作CD⊥C
1
D于D点，△BCC
1
为等腰直角三
角 形，
∴CD＝1，C
1
D＝1，A
1
D＝A
1
C
1
＋C
1
D＝7．
∴A
1
C＝A
1D
2
＋CD
2
＝49＋1＝5 2．








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