初中数学必备公式五年级下册数学试题-奥数专题：老师-牛吃草问题

2020年10月6日发(作者：刁光胤)
牛吃草问题


知识要点
一、定义
英国大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题（格尔为牧
场面积单位）：
有三片牧场，场上的草长得一样密，并且长的速度一样快，它们的面积分别是三又三分
之一 格尔、10格尔和24格尔。第一片牧场的草饲养12头牛可以吃4个星期，第二片牧场
的草饲养21头 牛可以吃9个星期，问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18个星期？
这个问题被人们称为牛顿问题，也就是我们平常说的牛吃草问题。
二、特点
牛吃草问题其实 就是消长问题，问题的主要特征是：同一个数量一方面增加，另一方面
减少，朝两个方向同时变化。如牛 吃草问题中，草生长使草量匀速增加，牛吃草却使草量逐
渐减少。
在“牛吃草”问题中，因为 草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题
的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。
数量关系分析：

在牛吃草问题中，我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量，作为牧草的计
量单位。
在这个问题中，主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度）、牛的饲养
数量 、饲养时间，这四个数量之间的关系。
一头牛一天吃一个单位的草量。
如果养牛头 数等于或小于每日新增草量，则无需动用牧场原有草量，这个牧场就会像个
聚宝盆一样，供这些牛永远吃 下去，草永远吃不完；
如果养牛头数大于每日新增草量，我们可以理解为，每日新增的草先喂养了 同等数量的
牛，而多出的牛则需要吃牧场原有的草，牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天，这< br>个牧场草就可以供这些牛吃多少天。（原有的草吃完了，新增草未生长，就理解为牧场的草
吃完了 。）
此类问题中的基本数量关系有：
牛的头数×对应的吃的天数＝总草量；
牛的头数－每日新增草量数＝多出牛的头数；
每日新增草量＝（较长时间总草量－同一牧场较短时间总草量）÷相差天数；
原有草量＝对应总草量－每日新增草量×天数；
吃的天数＝原有草量÷多出牛的头数；
牛的头数＝原有草量÷天数＋每日新增草量数。
【解题方法介绍】：
上面牛顿提出 的牛吃草问题，比较复杂（三片面积不同的牧场），需要进行几次转化解
题。本讲只学习较简单的牛吃草 问题（同一片牧场），及数量关系、解题方法与之相似的消
长问题。
解题时，一般要先根 据题中的条件（每日消耗数量等），先求出每日新增数量和原有数
量，再根据上面的数量关系，求出对应 的时间或个体数量。



典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固 定不变，不同头数的牛吃光同一片草地
所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于 吃的天数不同，草又是天
天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：
设定一头牛一天吃草量为“1”
1 草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷
（吃的较多的天 数－吃得较少的天数）
2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数
3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）
4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所 以解决消长问题的重点是要想办法从变化
中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化 ，但由于是匀速生长，所以
每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。
牛吃草的问题经常给 出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的
草。由于吃草的牛头数不同，求若 干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题的关键：是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日 新长草的数量，再求出
草地里原有的草量，进而解答问题。
解决多块草地的方法
多 块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，
但如果数据较 大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
精解名题
例1 牧场上长满牧草，每天都 匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。
问可供21头牛吃几天？
【分析 】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原
来的牧草数量。因为总草量可 以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然
在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧 场每天新长出飞草的数量也是不变的。





举一反三

【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或 20头牛吃10天，
那么可供18头牛吃几天？






例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的< br>草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?
【 分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但
是，我们同样可以用类似 的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量



举一反三
< br>【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草
可供2 0头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？





总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然 在变化，
但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。
知识衍变
例3 两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井 底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，
一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑 夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相
同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了 6个昼夜到达井底。那么，
井深多少米？







例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些 水。如果
用10人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要8小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人舀水？
【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键
解析： 把每人每小时舀水量看作一份。
船内8小时总水量与3小时总水量之差，就是多出5小时进船的水。先求出船内每小时
进水量：
（5×8－10×3）÷（8－3）＝2（份）；








再用3小时后船内总水量，减去3小时的进水量，求出发现漏水时船内已有进水量：
10×3－2×3＝24（份）；
最后用2小时后船内总水量除以时间2小时，求出安排舀水的人数：
（24＋2×2）÷2＝14（人）。
举一反三

【思考4】一个水池，池 底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15
部相同的抽水机10小时可把水抽干 。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？






例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头 牛
吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原
来有牛多少头？
【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时， 要抓
住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。





举一反三

【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速 生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛
吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛 又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多
少头？
25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新 生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）
=15份，原有的草量为（27-15）×6= 72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃
草量72+15×8+2×4=200份。所以这 群牛原来有200÷8=25头



例6 有三块草地，面积分别为5公 顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的
一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第 二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可
供19头牛吃多少天？
【分析】由题目可知， 这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地
的面积统一起来。







备选例题
1、 画展馆9 时开门，但是早有人前来排队等候入场，从第一个观众到起，每分钟来的观
众人数一样多。如果开3个入 场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5
分就没有人排队，问第一个观众到达的时间 是几时几分？
【解析】：
把每分钟每个入场口的人流量看作一份。
3个入场口9分钟入场总人数与5个入场口5分钟入场总人数的差，就是多出4分钟新
增加的人数。先求 出展馆门口每分钟新增人数：
（9×3－5×5）÷（9－5）＝0.5（份）；
再求出开门时，已有人数：
9×3－9×0.5＝22.5（份）；
最后求出展馆门口累计22.5份人数的时间：
22.5÷0.5＝45（分钟）。
9时－45分钟＝8时15分
所以第一个观众到达的时间是8时15分。





2、 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线 ，上游的河水
还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位
降到安全线 。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打
开几个闸门？
4个

设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。
（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）
（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）
（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）
（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）












巩固练习

1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供1 0头牛吃40天，供15
头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。 （
A
）
A. 10 B. 5 C. 20
假 设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。
那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场 可供25
头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均 匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长
出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光 。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃
光，需要＿＿只羊。 （
B
）
A. 22 B. 23 C. 24
假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草< br>量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊 ：
60÷4+8＝23（只）

3．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。
假 设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球
最多只能养活（
70
）亿人。
设1亿人1年所消耗的资源为1份
那么地球上 每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）
只有 当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人
类不断发展的 需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）

4. 快、中、慢三车同时从A地 出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分
别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上 自行车用了6小时，中车追上自行车
用了10小时，慢车追上自行车用（
12
）小时。
自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米小时）
三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）


5. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若
用24根抽 水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（
18
）
小时可将可将水池中的水抽干。
设1根抽水管每小时抽水量为1份。
（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）
（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）


6. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12
小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆
汽车，10小时 后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（
19
）
辆。
设每两汽车每小时运的货物为1份。
（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）
（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）
（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）
（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）

7．有一 片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃
12天。如果一头牛的吃草 量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以
吃多少天？
8天

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。
（2）设1头牛1天的吃草量为1份。
（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）
（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）
（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

8. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后
能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去
追，几小时后能追 上乙车？
15小时

设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：
（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5
乙车原来与甲车的距离为：
2×5-0.5×5＝7.5
所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：
7.5÷（1-0.5）=15（小时）

自我测试
1、




2、



牧场上的牧草每天均 匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天．问
多少头牛4天把草地的草吃完? < br>有－牧场，21头牛20天可将草吃完，25头牛则15天可将草吃完，现有牛若干头，
吃6天后 卖了4头，余下的牛再吃2天则将草吃完，问原有牛多少头?


3、




4、
22头牛，吃33公亩牧场的草54夭可吃尽， 17 头牛吃同样牧场28公亩的草，‘84
天可吃尽．请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃尽?
某火车站检票口，在检票开始前已有－些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排
队检票，－ 个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有－个检票口，检票开始8
分钟后就没有人排队；如果有两 个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队?





5、 甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的大米，甲仓库用皮带输送机－台和12
个工人 5小时把甲仓库搬空，乙仓库用皮带输送机－台和28个工人3小时把乙仓库
搬空．丙仓库有皮带输送机 2台，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名
工人?







6、





7、
牧场上－片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每 周匀速
生长，可供21只羊吃几天?
－
片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草 可供16头牛吃20天，或者可供80
只羊吃12天．如果l头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么l O头牛与60只羊－
起吃可以吃多少天?








8、 陕北某村有－块草场，假设每天草都均匀生长，这片草场经过测 算可供100只羊吃
200天，或可供150只羊吃100天．问：如果放牧250只羊可以吃多少天? 放牧这么
多羊对吗?为防止草场沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙
化就应该使草场的草永远吃不完)







9、 一块草地可供58头羊吃7天，或供50头羊吃9天，如果这片草地的生长量每天相
等， 这片草地最多能养活多少头羊？







10、 一片牧草，每天生长速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只
羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么这批牧草可供10头牛与60只
羊一起吃多 少天？
【解析】：
先把羊替换成牛（也可以把牛替换成羊，但数据较大），转化成简单的牛吃草问题：
80只羊相当于20头牛：80÷4＝20（头）；
10头牛和60只羊相当于25头牛：10＋60÷4＝25（头）。
先求出每日新增草量：
（16×20－20×12）÷（20－12）＝10（份）；
再求出原有草量：
16×20－10×20＝120（份）；
最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：
120÷（25－10）＝8（天）。