2018年新人教A版高中数学必修2全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修二
全册同步检测
目 录
第1章1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
第1章1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
第1章1.2.2空间几何体的三视图
第1章1.2.3空间几何体的直观图
第1章1.3-1.3.2球的体积和表面积
第1章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
第1章章末复习课
第1章评估验收卷(一)
第2章2.1.1平面
第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
第2章2.1.3平面与平面之间的位置关系
第2章2.2.1-2.2.2平面与平面平行的判定
第2章2.2.3直线与平面平行的性质
第2章2.2.4平面与平面平行的性质
第2章2.3.1直线与平面垂直的判定
第2章2.3.2平面与平面垂直的判定
第2章2.3.3平面与平面垂直的性质
第2章章末复习课
第2章评估验收卷(二)
第3章3.1.1倾斜角与斜率
第3章3.1.2两条直线平行与垂直的判定
第3章3.2.1直线的点斜式方程
第3章3.2.2-3.2.3直线的一般式方程
第3章3.3.2第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离
I

第3章3.3.2第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）
第3章3.3.3-3.3.4两条平行直线间的距离
第3章章末复习课
第3章评估验收卷(三)
第4章4.1.1圆的标准方程
第4章4.1.2圆的一般方程
第4章4.2.1直线与圆的位置关系
第4章4.2.2-4.4.2.3直线与圆的方程的应用
第4章4.3.1-4.3.2空间两点间的距离公式
第4章章末复习课
第4章评估验收卷(四)
模块综合评价


II

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

A级 基础巩固
一、选择题
1．下列几何体中棱柱有( )

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．
答案：D
2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱
C．棱台
B．棱锥
D．一定不是棱柱、棱锥
解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．
答案：D
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )

解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．
答案：D
4．由5个面 围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，
并且这些梯形的腰延长后能相交 于一点，则该多面体是( )
1

人教A版高中数学必修2同步检测
A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．四棱锥
解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．
答案：B
5．某同学制作了一 个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼
品盒的表面展开图应该为(对面是相同的 图案)( )


解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的 相邻面在展开在图
中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面 ，
展开后绝不能相邻．
答案：A
二、填空题
6.如图所示，正方形AB CD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将
其折成一个多面体，则此多面体是__ ______．

解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面 体为三棱
锥(四面体)．
答案：三棱锥(四面体)
7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．
60
所以每条侧棱的长为＝12(cm)．
5
2

人教A版高中数学必修2同步检测
答案：12
8．①有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一
点，故一定不是棱台；②两个互相平行的 面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体
不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是 四边形的几何体一定是棱
台．其中正确说法的个数为________．
解析：①正确，因为 具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是
棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正 方形完全相等时，一定不是棱台．
答案：2
9．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．

解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．
图②是以ABCD和A
1
B
1
C
1
D
1
为底面的棱柱．
其图形如图所示．

B级 能力提升
1.如图所示，将装有水的长方体水 槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽
中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定

解析：如图所示，倾斜小角度后，
3

人教A版高中数学必修2同步检测

因为平面AA
1
D
1
D
∥
平面BB
1
C
1
C，
所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平
行平面的交线)因 此呈棱柱形状．
答案：A
2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F ，下图是此正方体的两
种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．
解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面
为E面，或B面 ，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能
与D面相对的面上字母为B.
答案：B
3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
的棱CC
1
的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．

解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的
长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB
1
为轴展开，则A，M两
点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17
cm.
故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.
4

人教A版高中数学必修2同步检测

5

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构
特征

A级 基础巩固
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱 ②六棱锥 ③正方体 ④球体 ⑤四面体
A．①和⑤ B．①
C．③和④ D．①和④
解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．
答案：D
2．如图所示的简单组合体的结构特征是( )

A．由两个四棱锥组合成的
B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．
答案：A
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
6

人教A版高中数学必修2同步检测


解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得
到．
答案：A
4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心
为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么
截面图形 为( )


解析：截面图形应为图C所示的圆环面．
答案：C
5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2
24
C.或
ππ
B．2π
ππ
D.或
24
解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，
则2πr＝8，所以r＝
4
；
π

同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，
7

人教A版高中数学必修2同步检测
2
所以r＝.所以选C.
π
答案：C
二、填空题
6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．
解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．
答案：圆锥
7．给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成
直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是____________(填序号)．
解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．
答案：②④
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．
答案：圆柱

三、解答题
9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？

8

人教A版高中数学必修2同步检测
解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．
10．如图所示，用一 个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面
的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．

解：如图，过圆台的轴作截面， 截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O
1
A
＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.

l－12
2
设截得此圆台的圆锥的母线 长为l，则由△SAO
1
∽△SBO，可得＝，所以l＝
l
5
20 cm.
故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
B级 能力提升
1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )

A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．
所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．
9

人教A版高中数学必修2同步检测
答案：B
2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面
圆面积为__________cm
2
.
解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O
1
，其半径为r.

由球的性质，OO
1
⊥CD.
在Rt△OO
1
C中，R＝OC＝5，OO
1
＝4，则O
1
C＝3，
所以截面圆的 面积S＝π·r
2
＝π·O
1
C
2
＝9π.
答案：9π
3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围 绕
圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

解：把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接
AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．

因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.
所以AB′ ＝A′B′
2
＋AA′
2
＝4＋（2π）
2
＝21＋π2
，
所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π
2
.

10

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图

A级 基础巩固
一、选择题
1．以下关于投影的叙述不正确的是( )
A．手影就是一种投影
B．中心投影的投影线相交于点光源
C．斜投影的投影线不平行
D．正投影的投影线和投影面垂直
解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．
答案：C
2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是( )


答案：A
3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形
11

人教A版高中数学必修2同步检测
成的几何体的正视图为( )


解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底
部圆锥高，所以正视图应为选项B.
答案：B
4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等 的三角形；正方体的三视图都
是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形， 故几何体不
可能是圆柱．
答案：D
5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形， 各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等
腰三角形，其腰长与图中等长的线段是( )

A．AB
C．BC
B．SB
D．SE
解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，
所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.
答案：D
12

人教A版高中数学必修2同步检测
二、填空题
6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
解析：在各自 的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；
③三棱台的三个视图都不同；④正四 棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同
的是②④.
答案：②④
7．一个 简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；
②正方形；③圆．其中满足条 件的序号是________．

答案：②③
8．下图中的三视图表示的几何体是________．

解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．
答案：三棱柱
三、解答题
9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．

13

人教A版高中数学必修2同步检测
解：由俯视图知，该几何 体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱
锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图 所示．

10．画出图中3个图形的指定视图．

解：如图所示．

B级 能力提升
1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是( )


答案：A
2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示 ，它的侧棱VA＝2，底面的边
AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．

解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧
棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，
14

人教A版高中数学必修2同步检测
3
由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝.
2

1333
故侧视图的面积为S＝××3＝.
224
答案：
33

4
3．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．


解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱
锥．
②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的
圆，正视图和侧视图 是由两个全等的等腰梯形组成的．
故该几何体是两个圆台的组合体．

15

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.3 空间几何体的直观图

A级 基础巩固
一、选择题
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：由直观图的性质知B正确．
答案：B
2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )

解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
答案：C
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形
状是( )


16

人教A版高中数学必修2同步检测
解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只
有A项满足条件，故 A正确．
答案：A
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一
个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据
平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.
答案：D
5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的( )
A.
22
B．2倍 C. D.2倍
42
解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．
答案：A
二、填空题
6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，
A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．

解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．
答案：直角
7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．

17

人教A版高中数学必修2同步检测
解析：△ABC中，∠A＝90°，
1
AB＝3，AC＝6，所以S＝×3×6＝9.
2
答案：9
8 ．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，
B′C ′＝4，则AB边的实际长度是_______．

解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2 ＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝6
2
＋8
2
＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰 直角三角形ABC，且AB
＝BC＝1，试画出它的原图形．

解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；
(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；
(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．

10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．
解：画 法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如
图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．
18

人教A版高中数学必修2同步检测
(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．

B级 能力提升
1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B ′C′，则△ABC
为( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．以上都有可能
解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．

答案：C
2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这 个平面图形
的面积是________．

解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，
所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝22.
1
所以S
△
AOB
＝×1×22＝2.
2
答案：2
3．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．
19

人教A版高中数学必修2同步检测

解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2 )画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形
ABCDEF，在z轴上截 取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′
x′，Oy的平行线O′y′ ，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.

(3)成图．连接 A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几
何体的直观图，如图②.

20

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固
一、选择题
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(
A．4倍 B．3倍
C.2倍 D．2倍
解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S
底
＝πa
2
，
S
侧
＝πa·2a ＝2πa
2
，因此S
侧
＝2S
底．

答案：D
2.如图所示，ABC?A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C- AA′B′B的体积是(

A.
1
3
B.
1
2

C.
2
3
D.
3
4

解析：因为V
1112
C
?
A
′
B
′
C
′
＝
3
V
柱
＝
3
，所以V
C
?
AA
′
B
′
B< br>＝1－
3
＝
3
.
答案：C
21
)
)

人教A版高中数学必修2同步检测
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )
A．3π
C．6π
B．33π
D．9π
解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r＝l，
13
又S
轴
＝×l
2
×sin 60°＝l
2
＝3，所以l＝2，r＝1.
24
所以S
圆锥表＝πr
2
＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.
答案：A
4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有
如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处 堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，
米堆的高为5尺，问米堆的 体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立
方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有 ( )

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
11616 11
2
解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×
π r
h
443
π
3
1256320320
＝××5＝(立方尺 )，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)．
4999
答案：B
5.已知正方体 的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个
三棱锥与正方体的表面积之比为( )

22

人教A版高中数学必修2同步检测
A．1∶2
C．2∶2
B．1∶3
D．3∶6
解析：棱锥B′ ?ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的
边长 为1，则B′C＝2，S
△
B
′
AC
＝
3
.
2
3
三棱锥的表面积S
锥
＝4×＝23，
2
又正方体的表面积S
正
＝6.
因此S
锥
∶S
正
＝23∶6＝1∶3.
答案：B
二、填空题
6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．

解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，
所以其母线长 l＝
?
4－2
?
2
??
＋2
2
＝5，
?
2
?
所以S
侧
＝π(1＋2)×5＝35π.
答案：35π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．

解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V
圆柱
－V
圆锥
＝
23

人教A版高中数学必修2同步检测
1
π×2
2
×3－
π×2
2
×3＝8π.
3
答案：8π
8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．

解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4
＋2.
（1＋2）
则S
侧
＝8＋22，S
底
＝2××1＝3.
2
故S
表
＝S
侧
＋S
底
＝11＋22.
答案：11＋22
三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为R，高为h，
当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，
由2πR＝2π，得R＝1，
所以V
圆柱
＝πR
2
h＝4π
2
.
当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，
由2πR＝4π，得R＝2，
所以V
圆柱
＝πR
2
h＝4π·2π＝8π
2
.
所以圆柱的体积为4π
2
或8π
2
.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
24

人教A版高中数学必修2同步检测

解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm，所以底
2
面边长A′B′＝23×＝4(cm)．
3

1
一个底面的面积为×23×4＝43(cm
2
)．
2
所以表面积S＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm
2
)，
V＝43×2＝83(cm
3
)．
所以表面积为(24＋83)cm
2
，体积为83(cm
3
)．
B级 能力提升
1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形， 则此几何
体的体积是( )

20
A.π
3
C．6π
10
B.π
3
16
D.π < br>3
解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2
π× 2
2
×1
11
为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V＝＋×π× 2
2
×2＝2π
223
25

人教A版高中数学必修2同步检测
410
＋π＝π.
33
答案：B
2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的 圆锥和底面半径为2、
高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相 同的
新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．
1
解析：底 面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为
π×
3
196π
5×4＋π×2×8＝.
3
22
28π
2
196π
1
22
设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则
π·r
×4＋π·r×8＝r ＝，解得r
333
＝7.
答案：7
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．

解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．
18
V
四 棱柱
＝2
3
＝8，V
四棱锥
＝×2
2
×2＝. < br>33
832
故几何体的体积V＝V
四棱柱
＋V
四棱锥
＝8＋ ＝(cm
3
)．
33


26

人教A版高中数学必修2同步检测
第一章 空间几何体
1.3 空间几体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积

A级 基础巩固
一、选择题
1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )
A．3倍 B．33 倍
C．9倍 D．93 倍
解析：由V′＝27 V，得R′＝3R，
R′
R
＝3
则球的表面 积比S′∶S＝
?
?
R′
?
?
R
?
2?
＝9.
答案：C
2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(
A．R B．2R C．3R D．4R
解析：设圆柱的高为h，则πR
2
h＝ 3×
4
3
3
πR
，
所以h＝4R.
答案：D
3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
27
)

人教A版高中数学必修2同步检测

A．9π＋42
9
C.
π＋12
2
B．36π＋18
9
D.π＋18
2
4
?
3
?
3
解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝
π
?
2?
＋
3
??
9
3×3×2＝
π＋18.
2
答案：D
4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为( )
A．3πa
2

C．12πa
2

B．6πa
2

D．24πa
2

解析：设该球的半径为R，
所以(2R)
2
＝(2a)
2
＋a
2
＋a
2
＝6a
2
，
即4R
2
＝6a
2
.
所以球的表面积为S＝4πR
2
＝6πa
2
.
答案：B
5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )
28

人教A版高中数学必修2同步检测

A．4π＋24
C．22π
B．4π＋32
D．12π
解析：由三视图可知，该几 何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为
3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.
答案：B
二、填空题
6．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的
半径是________．
解析：圆 柱形玻璃容器中水面升高4cm，则钢球的体积为V＝π×3
2
×4＝36π，即有
4
3
πR
＝36π，所以R＝3.
3
答案：3 cm
7． 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之
差为_______ _．
解析：由题意设两球半径分别为R、r(R＞r)，
2222
?
?< br>4πR－4πr＝48π
?
?
R－r＝12
则：
?
即
?
，
?
2πR＋2πr＝12π
?
R＋r＝6.
??
所以R－r＝2.
答案：2
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
29

人教A版高中数学必修2同步检测

解析：由三视图可知几何体为组 合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底
4π
4
3
面是边长为2的正 方形，侧棱长为4，故其体积V＝×π×1＋2×2×4＝16＋.
33
4π
答案：16＋
3
三、解答题
9．某组合体的直 观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中
r＝1，l＝3，试求该组合体的表面 积和体积．

解：组合体的表面积S＝4πr
2
＋2πrl＝4π×12
＋2π×1×3＝10π.
因为圆柱的体积V
圆柱
＝πr
2
l＝π×1
2
×3＝3π，
44
又两个半球的体积2V
半 球
＝
πr
3
＝
π，
33
413
因此组合体的体积V＝3π＋
π＝π.
33
10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个
钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．

30

人教A版高中数学必修2同步检测
4
解：设球的半 径为R，由题意可得πR
3
＝π×3
2
×0.5，
3
解得：R＝1.5 (cm)，
所以所求球的半径为1.5 cm.
B级 能力提升
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
8π82π32π
A. B. C．82π D.
333
解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R
2
＝1
2
＋1
2
＝2，
4
3
82π
所以R＝2，V＝
πR
＝.
33
答案：B
2．边长为42的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面 上，则四棱锥
O-ABCD的体积是________．
（42）
2
＋（4 2）
2
解析：因为正方形ABCD外接圆的半径r＝＝4.又因为球的半
2
径 为5，
所以球心O到平面ABCD的距离d＝R
2
－r
2
＝3，
1
所以V
O
?
ABCD
＝×(42)
3
× 3＝32.
3
答案：32
3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形 的圆柱)的表面积分别是S
1
，
S
2
，S
3
，试比 较它们的大小．
解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，
则S
1
＝6a
2
，S
2
＝4πR
2
，S
3
＝6πr
2
.
4
3
由题意知，
πR
＝a
3
＝πr
2
·2r，
3
31

人教A版高中数学必修2同步检测
3
3
3
1
所以R＝a，r＝a，
4π2π
?3
?
2
3
9
3
??
22
3
所 以S
2
＝4π
?
＝4π·a＝36πa，
2
a
?
16π
4π
??
?
3
?
2
3
1< br>3
??
22
1
S
3
＝6π
?
＝6π ·a＝54πa，
2
a
?
4π
2π
??
所以S< br>2
＜S
3
.
3
1
3
2
又6a＞3 a＝54πa
2
，即S
1
＞S
3
.
2π
2
所以S
1
，S
2
，S
3
的大小关系是S
2
＜S
3
＜S
1
.

32

人教A版高中数学必修2同步检测
章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]
1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交
于一点．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面 相交，表面的交线是它们的分界线，在三
视图中，易忽视虚线的画法．
4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．
5．由三视图计算几何体的 表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结
构特征认识不准易导致失误．
6．易混侧面积与表面积的概念.

专题1 空间几何体的三视图与直观图 三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根
据三视图与直观图 所提供的数据解决问题．
33

人教A版高中数学必修2同步检测
主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；
(3)三视 图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是
准确地将三视图中的 数据转化为几何体中的数据．
[例1] (1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分
别为( )

A．2，23 B．22，2 C．4，2 D．2，4
(2)(2016·全 国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的表面积 为( )

A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81
解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度
一致，俯视图与侧 视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角
形的高，所以底面等边三角形边长 为4.
(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，
则该几何体的表面积S＝2×3
2
＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185.故选B.
答案：(1)D (2)B
归纳升华
1．第(1)题中易把23误认为是正三棱锥 底面等边三角形的边长．注意“长对正、高
平齐、宽相等”．
34

人教A版高中数学必修2同步检测
2．(1)由几何体的三视图还原几何体的 形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确
三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
(2)组合体的三视图要分开分析，特殊几何体要结合日常生活的观察分析还原．
[变式训练] (1)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三
棱柱， 其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③
存在圆柱，其正( 主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0
(2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

A．1 B.2 C.3 D．2
解析：(1)如图①②③所示的正(主)视图和俯视图与题图相同．

所以题中的3个命题均是真命题．
(2)由三视图知，四棱锥的直观图如图所示．

其中侧棱SA⊥底面ABCD，SA＝l，且底面是边长为1的正方形．
所以四棱锥的最长棱为SC，
35
)

人教A版高中数学必修2同步检测
且SC＝SA
2
＋CA
2
＝3.
答案：(1)A (2)C
专题2 空间几何体的表面积与体积的计算
面积和体积的计算是本章的重点，熟记 各种简单几何体的表面积和体积公式是基础，
复杂几何体常用割补法、等积法求解，具体问题具体分析， 灵活转化是解题策略．
[例2]如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角．其中OA、OB、O C两两垂直，
三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm
2
、1 cm
2
、3 cm
2
，求三棱锥O-ABC的
体积．

解：设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm，
111
则由已知可得xy＝1.5，xz＝1，yz＝3.
222
解得x＝1，y＝3，z＝2.
显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求 出的，于是我们不妨转换视角，将三棱锥
O-ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．
易知OC为三棱锥C-OAB的高．
1
于是V
O
?
ABC
＝V
C
?
OAB
＝S
△
OAB
·OC＝
3
1
×1.5×2＝1(cm
3
)．
3
归纳升华
1．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，计算组合体的表面积时应注意衔接部分
的处理 ．
(2)求解旋转体的表面积问题时注意其侧面展开图的应用．
2．(1)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补
36