有没有偏一点的高中数学辅导书-高中数学学科活动设计
人教版数学必修二
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 重难点解析
第二章 课文目录
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．2
直线、平面平行的判定及其性质
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
重难点:
1、认识空间中点、直线、平面之间的位置关系。
2、通过对大量图形的
观察、实验、操作和说理，进一步了解平行、垂直判定方法以及基本
性质。
3、准确地使用数
学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，
并解决简单的推理论证及应用问
题。
4、在空间中实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
空间平行、垂直之间的转化与联系：
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括平面、
空间中直线与直线之间的位置关系，
空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。
推理依据的4个公理和定理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定
理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
平行和垂直是空间中最重要的两种关系。平行反映了空间的平直性，垂直反映了空间的
对称性。
1、直线与直线：
我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
空间中两条直线的位置关系有三种：
直线与直线垂直 直线与平面垂直
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
平面与平面垂直
相交直线：
同一平面内，有且只有 一个公共点。
共面直线
平行直线：
同一平面内，没有公共点。
异面直线：
不同在任何一个平面内 ，没有公共点
。
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。
b
α
a
?
a
b
β
公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
用符号语言表示如下
设a,b,c是三条直线，
a∥b
a∥c
c∥b
a,b,c三条直线两两平行，可以记为a ∥ b∥
c
这个公理实质上 就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。
2、直线与平面：
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置关系
公共点
符号表示
直线a在平面
?
内
图形表示
直线a与平面相交
a
直线a与平面平行
a
?
a
?
?
证线面平行的基本方法：线线平行
线面平行
证线线平行的基本方法：线面平行 线线平行
3、平面与平面：
（1）两个平面平行——两个平面没有公共点；
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线。
分类
定义
两个平面平行
没有公共点
α
图象
β
符号表示
强调作图的要求：
（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；
（2）画两个相交平面时，先
画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线
线段，而后在各点引同向且相等的线段，成
图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。
平面平行的判定：
方法一：根据定义；
方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌
面上交叉放
两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。
问题：木工检测水平的原理是什么呢？引出两个平面平行的判定定理。
两个平面平行的判定定
理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行。
a
判定定理的符号表示：
A b
α
若a?α,b?α,a∩b=A
?α∥β
且a∥β,b∥β
β
对定理的理解：
（1）判定定理的实质是：线面平行?面面平行
（2）注意是同一平面内的两条相交直线（问是两条平行直线行不行，为什么？）
（3）这两条直线都要平行于第二个平面。
典型例题：
【例1】已知异面直线a
和
b
所成的角为50°，
P
为空间一定点，则过点
P
且与
a
、
b
所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解析：过
P
作
a
?
∥
a
，
b
?
∥
b
，若
P
∈
a
，则取
a
为
a
?
，若
P
∈
b
，则取
b
为
b
?
．这时<
br>a
?
，
b
?
相交于
P
点，它们的两组对顶角
分别为50°和130°.
记
a
?
，
b
?
所确
定的平面为β，那么在平面β内，不存在与
a
?
，
b
?
都成
30°的直线．
过点
P
与
a
?
，
b
?
都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是
a
?
，
b
?
所
成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条
l<
br>和
l
?
，射影是130°对顶
α∥β α∩β=a
α
两个平面相交
有且只有一条公共直线
β
a
角平分线的直线不存在．故答案选B.
【例2】如图正方体
ABCD
?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、
F
分别为
D
1
C
1
和
B
1
C
1
的中点，
P
、
Q
分别为
AC
与
BD
、
A
1
C
1
与
EF
的交点
. （1）求证：
D
、
B
、
F
、
E
四点共
面；
（2）若
A
1
C
与面
DBFE
交于
点
R
，求证：
P
、
Q
、
R
三点共线.
证明：（1）∵ 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BB
1
DD
1
，∴BD
B
1
D
1
.
又 ∵
B
1
D
1
C
1
中，
E
、
F
为中点，
∴
EF
A
1
D
A
PB
D
1
E
Q
B
1
F
C
1C
1
B
1
D
1
. ∴
EFBD
,
即
D
、
B
、
F
、
E
四点共面.
2
（2）∵
Q?平面AC
1
，
Q?平面BE
，<
br>P?平面AC
1
，
P?平面BE
，
∴
平面AC
1
?平面BE?PQ
.
又
AC
1
?平面BE?R
， ∴
R?平面AC
1
，
R?平面BE
， ∴
R?PQ
. 即
P
、
Q
、
R
三点共线 <
br>【例3】已知直线
a
b
c
，直线
d
与
a
、
b
、
c
分别相交于
A
、
B
、
C
，求证：
a
、
b
、
c
、d
四
线共面.
证明：因为
a
b
，由公理2的
推论，存在平面
?
，使得
a?
?
,b?
?
. 又因为直线
d
与
a
、
b
、
c
分别相交
于
A
、
B
、
C
，由公理1，
d?
?
.
假设
c?
?
，则
c?
?
?C
,
在平面
?
内过点
C
作
c
?
b
，
因为
b
c，
则
cc
?
，此与
c?c
?
?C
矛盾. 故直线
c?
?
.
综上述，
a<
br>、
b
、
c
、
d
四线共面.
点评：证明一个
图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平
面的已知条件. 此例拓展的证明
先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原
因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证
法的思路.
【例4】如图中，正方体
ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，
E
、
F
分别是
AD<
br>、
AA
1
的中点.
（1）求直线
AB
1
和
CC
1
所成的角的大小；
（2）求直线
AB
1
和
EF
所成的角的大小.
解析：（1）如图，连结
DC
1
，
∵
DC
1
∥
AB
1
，
∴
DC
1
和
CC
1
所成的锐角∠
CC
1<
br>D
就是
AB
1
和
CC
1
所成的角.
∵ ∠
CC
1
D
=45°， ∴
AB
1
和
CC
1
所成的角是45°.
（2）如图，连结
DA
1<
br>、
A
1
C
1
，
∵
EF
∥A
1
D
，
AB
1
∥
DC
1
，
∴ ∠
A
1
DC
1
是直线
AB
1
和
EF
所成的角.
∵Δ
A
1
DC
1
是等边三角形， ∴ ∠
A
1
DC
1
=60?，即直线
AB
1
和
EF
所成的角是60?.
点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力
，把两
异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思
想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的
?
d
A
c
B
C
b
a
c'
步
骤，逐步寻找出解答思路
A
【例5】如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，
(1)求证：CD||平面EFGH；
(2)求异面直线AB，CD所成的角．
证明：
B
G
C
F
H
E
D（1）由四边形EFGH是矩形可得，EF||GH，可证得EF||平面BCD，又因CD是过EF的平<
br>面ACD与平面BCD的交线，则EF||CD，所以CD||平面EFGH．
（2）
由CD||平面EFGH，可证得CD||GH；同理可证AB||GF；
?
FGH就是异面直
线AB，CD
0
所成的角（或补角），因为EFGH是矩形，所以
?
FGH=
90，则异面直线AB，CD所成的角为
0
90．
【例6】M
，N，P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：
PD.
求证：（1）AC||平面MNP，BD||平面MNP；
（2）平面MNP与平面ACD的交线||AC
A
．
AMCN
?
??MN||AC
?
MBNB
?
证明：（1）
AC?平面M
NP
?
?
AC||
平面MN
P
,
?
MN?平面MNP
?
?
CNCP
?
??PN||BD
?
NBPD
?
BD?平面MNP
?
?
BD||
平
面
MNP
.
?
PN?平面MNP
?
?
设平面MN
P?平面ACD?PE
?
?
（2）
AC?平面ACD
?
?
PE||AC
，即平面MNP与平面ACD的交线||AC．
?
AC||平面MNP
?
M
E
B
N
C
P
D
【例7】如图
O是正方体下底面ABCD中心，B
1
H?D
1
O，H为垂足．
求证：B
1
H
?
平面AD
1
C．
证明
：再找一条与B
1
H垂直的直线AC，证AC
?
平面BB
1
D
1
D
即可，又AC?OD
1
=O, 因此
B
1
H
?
平面AD
1
C．
A
A
1
D
1
C
1
B
1
H
D
O
B
C
【例
8】如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：平面C
1
BD∥平面AB
1
D
1
。
D
1
C
1
A
A
1
D
B
B
1
C
证明：
∵AB∥CD∥C
1
D
1
，且AB=CD=C
1
D
1
，∴ABC<
br>1
D
1
为平行四边形，
∴
BC∥AD
11
平面AB
1
D
1
BC
1
?
AD
1
?平面AB
1
D
1
?BC
1
∥平面AB
1
D
1
同理得C
1
D∥平面AB
1
D
1
BC
1
∩C
1
D=C
1
?平面C
1
BD∥平面AB
1
D
1
【例
9】如图，正方体AC
1
中，已知O为AC与BD的交点，M为DD
1
的中点
。
（1）求异面直线B
1
O与AM所成角的大小。
（2）求二面角B
1
—MA—C的正切值。
解析：
（1） 方法一:BO?AC,?B
1
O?AC,设正方体的棱长为a,则
B
1<
br>O?
MB
1
2
633
a,MO?a,MB
1
?a
222
?B
1
D
2
?MO
2
,?MO
?B
1
O
?B
1
O?面MAO
?B<
br>1
O?AM
方法二：取AD中点N，连结A
1
N，则A
1N是B
1
O在侧面ADD
1
A
1
上的射影.
易证AM⊥A
1
N
∴AM⊥B
1
O（三垂线定理） （2）连结MB
1
，AB
1
，MC，过O作OH⊥AM于H点，连结B<
br>1
H，
∵B
1
O平面MAC，∴∠B
1
HO就是所
求二面角B
1
—MA—C的平面角.
?
2HO?AM?AC?MO,?HO?
30
10
BO<
br>在Rt?BHO中,?tan?B
1
HO?
1
?5
HO
【例10】在正方体AC
1
中，E为BC中点（1）求证：BD
1
∥平面C
1
DE；
（2）在棱CC
1
上求一点P，使平面A
1B
1
P⊥平面C
1
DE；
（3）求二面角B—C
1
D—E的余弦值。
证明：
(1)连C
1
D交CD
1
于F,则EFBD
1
,
?
BD
1
?面C
1
DE,EF?面C
1
DE,
?BD
1
面C
1
DE.
(2)
?
A
1
B
1
?面BCC
1
B
1
,C
1
E?平面BCC
1
B
1
,
?A
1
B
1
?C
1
E
故保要过B
1
作B
1
P?C
1
E交C
1
C于P点即可
此时P为CC
1
的中点.
事实上,当P为CC
1
的中点时,B
1
P?C
1
E
从而C
1
E?平面A
1
B
1
P,
?平面A
1
B
1
P?平面C
1
DE.
(3)连结BD,BC
1
,则BD?BC
1
,ED?EC
1
,
连结BF, 则BF?DC
1
,EF?DC
1
??EFB即为二面角B?C
1D?E的平面角.
在?BEF中,
?
EF?CE
2
?CF
2
?
BE?
1
2
22
即为所求
3
二、直 线、平面平行的判定及其性质
判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
1、直线与平面的判定及其性质：
线面平行的判定定理中，包含要素：两线一面. 两线一面的关系是：一线在面外一线在
面内. 结论是：线面平行.
线面平行的性质定理中，包含要素：两线两面. 两线两面的关系是：一线在一面内平行
于另一面，一线是两面的交线. 结论是：两线平行.
典型例题：
【例1】已知空间四边形
ABCD
中，
E,F
分别是
AB,AD
的中点，求证：
36
,BF?CF< br>2
?BC
2
?
22
由余弦定理:cos?EFB?
E F
平面
BCD
．
分析：根据条件知EF为△ABD的中位线，从而有
EFBD
，再由
EF
?
平面BCD
，
BD?
平面
BCD
，根据线面平行的判定定理就可以得到
EF
平面
BCD
.
证明：连结
BD
，在
?ABD
中，
∵
E,F
分别是
AB,AD
的中点，
B
E
D
F
A
∴
EFBD
，
又∵
EF
?
平面BCD
，
BD?
平面
BCD
，
∴
EF
平面
BCD
．
点评：要证明线面平行，就要运用已有知识先证明线线平行.
【例2】已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,b
?
α， 求证：b∥平面α.
分析：见到直线与平面平行，首先想到线面平行的性质定理，将问题转化为线线平行的
问题，在
根据线线平行推出线面平行.
证明：过a作平面β交平面α于直线c
β
∵a∥α ∴a∥c
又∵a∥b ∴b∥c，
∵ b
?
α, c
?
α，
∴b∥α.
点评
：在平面几何中作辅助线是解决问题的重要途径之一，在空间几何中作辅助线、辅
助面是观察和解决问题
的重要手段.
【例3】已知直线
a
∥平面
?
，直线
a∥平面
?
，平面
?
?
平面
?
=
b，求证
ab
．
分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达
到a∥b的目的．可借
用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．
证明：经过
a
作两个平面
?
和
?
，与平面
?
和
?
分别
相交于直线
c
和
α
a
c
b
C
d
，
∵
a
∥平面
?
，
a
∥平面
?
，
∴
a
∥
c
，
a
∥
d
，∴
c
∥
d
，
又∵
d
?
平面
?
，<
br>c
?
平面
?
，
∴
c
∥平面
?
，
又
c
?
平面<
br>?
，平面
?
∩平面
?
=
b
，
∴
c
∥
b
，
又∵
a
∥
c
，
所以，
a
∥
b
．
点评：作辅助线、辅助面是构造法证明问题的主要体现.
b
c
a
?
?
d
?
?
【例4】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所
在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB
且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
<
br>分析：根据两个全等的正方形对应线段的相等关系，及平行公理得到平行四边形MPQN.
由MN
∥PQ，MN
?
平面BCE，PQ
?
平面BCE.根据线面平行的判定定理得
证.
证明：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ.
A
D
M
P
B
N
Q
E
F
22
又NQ= BN=CM=MP，
22
∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ
?
平面BCE.
而MN
?
平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
C
点评：
证明直线和平面的平行通常采用“线线”平行，利用直线和平面平行的判定定理，
证得“线面”平行.
【例5】如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、
b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.
证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ.
∵b∥α，b
?
平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ.又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点.
∵a∥α，a
?
平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ.∴P为MN的中点.
点评：本题重点考查直线与平面平行的性质.
应
用直线与平面平行的判定及性质证明问题，不但需要平面几何的知识作基础，更需要
解决问题和处理问题
的方法，这需要在学习中善于思考、善于总结和积累，由量变到质变，
当积累达到一定的程度，就会升华
。
【例6】求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在
此平面内．
已知：
l
?
,P?
?
,P?m,ml
，求证：
m?
?
．
证明：设
l
与
P
确定
平面为
?
，且
?
?
?
?m
?
，
∵
l
?
，∴
lm
?
；
又∵
lm
，
m,m
?
都经过点
P
，
∴
m,m
?
重合，∴
m?
?
．
【例7】
已知直线
a
∥平面
?
，直线
a
∥平面
?
，
平面
?
?
平面
?
=
b
，求证
ab
．
分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可
借用
已知条件中的a∥α及a∥β来实现．
?
B
N
A
O
QM
a
P
b
证明：经过
a
作两个平面?
和
?
，与平面
?
和
?
分别相交于直线
c
和
d
，
∵
a
∥平面
?
，
a
∥平面
?
，
∴
a
∥
c
，
a
∥
d
，∴
c
∥
d
，
又∵
d
?
平面
?
，<
br>c
?
平面
?
，
∴
c
∥平面
?
，
又
c
?
平面<
br>?
，平面
?
∩平面
?
=
b
，
∴
c
∥
b
，又∵
a
∥
c
，
所以，
a
∥
b
．
【例8】如图：E、H分别是空间四边形
ABCD的边AB、AD的中点，平面
?
过EH分别交BC、
CD于F、G。
求证：EHFG
b
c
a
?
?
d
?
?
A
H
E
D
证明：连结BD
?E、H分别是AB、AD的中点，
?EHBD
又BD?平面BCD
EH?平面BC
D
又EH?平面
?
，
?
?平面BCD=FG
?EHFG
三、直线、平面垂直的判定及其性质
判定定理：
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆
一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
性质定理：
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
G
B
F
C
空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化，如垂直于同一个平面的两条直线平行等等。
1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共
点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：
（1） 平行—没有公共点；
（2） 相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边
平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：
4.
两个平面平行具有如下性质：
（1） 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）
如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）
夹在两个平行平面间的平行线段相等。
5. 证明两个平面平行的方法有：
（1）根据定义。证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反
证法证明。
（2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
6. 两个平
行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和
直线与直线的平行有密切
联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行
来判定；另一方面，平面与平面平行的
性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定
条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相
转化。
7.
两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公
垂线段相等。 <
br>因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然
这个距离也
等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线
和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归
结为两点之间的距离。
典型例题：
【例1】如图2－23：已知正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
，求证：平面AB
1
D
1
平面BDC< br>1
。
解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一
平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线
A
1
D
1
B
1
C
1
C
1
D
1
，C
1
D
1
?
A
1
B
1
，∴AD
1
BC
1
∴AB
?
A
1
B
1
， 证明:∵AB
?
D
∴四边形ABC
1
D
1
为平行四边形，又AD
1
?
平面AB
1
D
1
，BC
1
?
平面
A
B
AB
1
D
1
，∴BC
1
平面AB
1
D< br>1
，同理，BD平面AB
1
D
1
，又BD∩BC
1< br>＝B，
图2－23
∴平面AB
1
D
1
平面BDC
1
。
C
点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以
关键是证 线线平行。
【例2】如图2－24：B为
?
ACD所在平面外一点，M、N、G分别 为
?
ABC、
?
ABD、
?
BCD的
重心，
（1）求证：平面MNG平面ACD；
（2）求
S
?MNG
:S
?ADC
B
解析：（1）要证明平面MNG平面ACD，由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
N
G
D
F
H
C
图2－24
A
M
P
BMBNBG
???2
则有：
MPNFGH
连结PF、FH、PH 有MN∥PF，又PF
?
平面ACD，∴MN∥平面ACD。
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD
（2）分 析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的
面积之比，实则求这 两个三角形的对应边之比。
MGBG2
??
，
PHBH3
211
∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD
323
11
同理：NG＝AC，MN＝CD，
33
解：由（1）可 知
∴
?
MNG∽
?
ACD，其相似比为1：3，
∴
S
?MNG
:S
?ADC
＝1：9
点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，
三角形的
三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
【例3】如图：在正方体ABCD－EFGH中，求证：平面AFH平面BDG。
解析：易证BD平面AHF，BG平面AHF，
E
∴平面BDG平面AHF。
H
F
D
C
G
【例4】如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是
A
B
AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP平面QRS。
H
G
N
解析：先证明SRBD，BDHF,HFNP,
F
E
P
∴SR平面MNP,再证RO平面MNP， Q
S
M
从而证明平面MNP平面QRS
C
D
R
A
B
【例5】如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点
图2－26
P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求
线段PQ的长.
解析：
要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法
去处理.
作PM∥AD交CD于M连QM，∵PM∥平面SAD，PQ∥平面SAD.
∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.
∴QM∥SD.
∵BC＝a,SD＝2a.
BP1
＝.
PD2
MP
PD22
∴＝＝,MP＝a,
BD33
BC
MQMC
BP1
＝＝＝.
BD
3
SDCD
12
∴MQ＝SD＝a,又∠PMQ＝∠ADS.
3
3
1
a
1
2
∴cos∠PMQ＝cos∠ADS
＝＝.
2a
4
∴
在ΔPMQ中由余弦定理得
PQ＝(
2
2
2
2
2
2216
2
a)+(a)-2·a·a·
＝a.
3333
49
∴PQ＝
6
a.
3
评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦
定理
求得结果，综合性较强.
【例6】已知：如图，α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A
、B、C、D四点，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、
H共面；(2)面EFGH∥平
面α.
证明 (1)∵E、H分别是AB、DA
的中点，∴EH∥
11
BD.同理FG∥BD.∴FG∥EH.∴四边形
22
EFGH是平行四边形，即E、F、H、G共面.
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′∴α∥β，∴
AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，EH∥平面β，同理FG∥
平面α，
FG∥平面β.
∴平面EFHG∥平面α∥平面β.
【例7】如图，已知
正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，求
证：(1)平面AB
1
D
1
∥平面C
1
BD；(2)对角线
A
1
C
被平面AB
1
D
1
和平面C
1BD三等分.
解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平
行，则
两平面平行”是很容易解决论证平面AB
1
D
1
∥平面C1
BD的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们
还是采用“两平面垂直于同一直线则两平
面平行”的判定的方法.
证：(1)连AC，∵BD⊥AC，AC是A
1
C在底面上
的射影，由三条垂线定理得A
1
C⊥BD，同理可
证A
1
C⊥BC<
br>1
.
∴A
1
C⊥平面C
1
BD，同理也
能证得A
1
C⊥平面AB
1
D
1
.
∴平面AB
1
D
1
∥平面C
1
BD.
(
2)设A
1
到平面AB
1
D
1
的距离为h，正方体的棱长为
a，则有：h·
1
3
11
2
3
2
(
2a)＝a· a.
32
4
∴h＝
33
a.同理C到平面C1
BD的距离也为a，而A
1
C＝
3
a.故A
1
C被两平行平面三等
33
分.
评析：论证A
1
C被两平行平面三等分，关键是求A
1
到平面AB
1
D
1<
br>的距离，C到平面C
1
BD的距
离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换
，则可以在平面A
1
ACC
1
中去考虑：
连A
1
C
1
，设A
1
C
1
∩B
1
D
1<
br>＝O
1
，AC∩BD＝0，如图连AO
1
，C
1
O，
AC
1
，设AC
1
∩A
1
C＝K.A
1
C
∩AO
1
＝M，
C
1
O∩A
1
C＝N.可证M为Δ
A
1
AC
1
的重心，N为ΔACC
1
的重心，则可推知MN
＝NC＝A
1
M.
另外值得说明的是：A
1
C是面AB
1
D
1
和面BC
1
D的公垂线.
异面直线AD
1
和C
1
D的距离也等于MN.
【例8】如图，已知直线a∥平面α；求证：过a有且只有一个平面平行于α.
证明 (1)存在性：设过a的平面
?
与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α
上，设直线b′
∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b
是相交直线
(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.
(2)
唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A的直
线b″，又π∥a
，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与
β重合.
【例9】经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.
已知：Aα，A∈β，β∥α
求证：β是唯一的.
证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.
又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平面一定和l垂直.
∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.
∴过点A和α平行的平面是唯一的.
【例10】一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.
已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.
求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.
解析：(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.
即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.
(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α,
a′
∩α＝B,a′∩β＝B′.
连结AB和A′B′.
∵a∥β，a′⊥α.
∴α′⊥β
由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.
∴∠PAB＝∠PA′B′
即 a和α所成的角等于a和β所成的角.
【例11
】a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平
面.
已知：a,b是异面直线，a
?
α，b
?
β,a∥β,b∥α.
求证：α∥β.
证：过b作平面
?
与平面α交于b′
545.如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、
?
所截.
求证：
ABDE
＝
BCEF
证：(i)当AC，DF共面S时，
连AD，BE，CF
则AD∥BE∥CF
从而
ABDE
＝
BCEF
(ii)当AC、DE异面时，连CD设CD∩β＝G
连AD、BG、GE、CF，如图
∵α∥β，平面ACD∩β＝BG，平面ACD∩α＝AD.
∴BG∥AD
∴
AB
DG
＝
BC
GC
同理可证：EG∥CF，∴
∴
DG
DE
＝
EF
GC
ABDE
＝
BCEF
ABDE
＝.
BCEF
综合(i)(ii)知：
高一数学必修2第二章测试题
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
班级___________ 姓名__________ 学号_________
分数___________
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、
线段
AB
在平面
?
内，则直线
AB
与平面
?
的位置关系是
A、
AB?
?
B、
AB?
?
C、由线段
AB
的长短而定
D、以上都不对
2、下列说法正确的是
A、三点确定一个平面
B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形
D、平面
?
和平面
?
有不同在一条直线上的三
个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A、平行 B、相交
C、异面 D、以上都有可能
4、在正方体
ABCD?
A
1
BC
11
D
1
中，下列几种说法正确的是
A、
AC
11
?AD
B、
D
1
C
1
?AB
C、
AC
1
与
DC
成
45
角 D、
AC
11
与
BC
1
成
?
60
?
角
5、若直线
l
∥平面
?
，直线
a?
?
，则
l
与
a
的位置关系是
A、
l
∥
a
B、
l
与
a
异面
C、
l
与
a
相交
D、
l
与
a
没有
公共点
6、下列命题中：（1）、平行于
同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面
平行；
（3）、垂直于同一直
线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数
有
A、1 B、2 C、3
D、4
7、在空间四边形
ABCD
各边
AB、BC、CD、DA
上
分别取
E、F、G、H
四点，如果与
EF、GH
能相交于点
P
，那么
A、点必
P
在直线
AC
上 B、点
P
必在直线BD上
C、点
P
必在平面
ABC
内
D、点
P
必在平面
ABC
外
8、a
，
b
，
c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M
，
b∥M
，则<
br>a∥b；②
若b
?
M，
a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则
a∥b；④若a⊥M
，
b⊥M
，则
a∥b.其中正确命题<
br>的个数有
A、0个 B、1个 C、2个
D、3个
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A、底面是正方形，有两个侧面是矩形
B、底面是正方形，有两个侧面
垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四
棱柱
10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个
三棱锥后,
剩下的凸多面体的体积是
A、
2745
B、
C、 D、
3656
11、已知二面角
?
?AB?
?
的平面角是锐角
?
，点C到棱
AB
?
内
一点
C
到
?
的距离为3，
的距离为4，那么
tan
?
的值等于
3
A、
4
3
B、
5
37
7
C、 D、
7
7
A'
P
B'
C'
12、如图:直三棱柱ABC
—
A
1
B
1
C
1
的体积为V，点P
、
Q分别在侧棱AA
1
和
CC
1
上，AP=C
1
Q，则四棱锥B
—APQC的体积为
Q
A
A
1
B
1
C
1
VVVV
A、 B、 C、
D、
2345
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、等体积的球和正方体,
它们的表面积的大小关系是
S
球
_____
S
正方体
(填”大于、小于或等于”).
C
B
D
1
14、正方体<
br>ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，平面
AB
1
D
1
和平面
BC
1
D
的位置关系为
D
C
A
15、已知
PA
垂直平行四边形
ABCD<
br>所在平面，若
PC?BD
，平行则四边形
ABCD
一定是
.
16、如图，在直四棱柱A
1
B
1
C
1
D<
br>1
－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，
有A
1
B⊥B
1
D
1
．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
第Ⅱ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
B
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、
14、 15、 16、
三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)
17、已知圆台的上下底面半径分
别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线
长.
(10分)
18、已知E
、
F
、
G
、
H为空间四边形ABCD的边AB
、
BC
、
C
D
、
DA上的点，且
ＥＨ
∥
ＦＧ
．
求证：EH∥BD. (12分)
A
EH
D
B
G
F
C
1
9、已知
?ABC
中
?ACB?90
，
SA?
面
A
BC
，
AD?SC
，求证：
AD?
面
SBC
．(1
2
S
分)
D
A
20、一块边长为10
cm
的正方形铁片按如图所示的阴影部分
裁下,然后用余下的四个全等的
等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积
V<
br>与
x
的函数关系式,并求出
函数的定义域. (12分)
?
B
C
21、已知正
方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
，
O<
br>是底
ABCD
对角线的交点.
求证：（１）
C
1
O
∥面
AB
1
D
1
；
（2
）
AC
1
?
面
AB
1
D
1
．
(14分)
10
5
x
E
D
O
C
F
A
B
D
1
C
1
A
B
1
1
D
C
O
AB
22、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E
、
F分别是AC
、
AD上的动点，且
AEAF
??
?
(0?
?
?1).
AC
AD
A
E
C
B
F
D
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总
有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (14分)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
ACDDD BCBDD
DB
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、
小于
14、
平行
15、
菱形
16、
对角线AC<
br>11
与B
1
D
1
互相垂直
三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）
17、解:设圆台的母线长为
l
,则
1分
圆台的上底面面积为
S
上
?
?
?2
2
?4
?
3分
圆台的上底面面积
为
S
下
?
?
?5
2
?25
?
5分
所以圆台的底面面积为
S?S
上
?S
下
?29
?
6分
又圆台的侧面积
S
侧
?
?
(2?5)l
?7
?
l
8分
于是
7
?
l?25
?
9分
即
l?
29
为所求.
10分
7
18、证明：
?EH?FG,EH?
面
BCD
，
FG?
面
BCD
?EH?
面
BCD
6分
又
?EH?
面
BCD
，面
BCD
?
面
ABD?BD
，
?EH?BD
12分
?
19、证明：
?
?ACB?90
?BC?AC
1分
又
SA?
面
ABC
?SA?BC
4分
?BC?
面
SAC
7分
?BC?AD
10分
又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC
12分
20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为
xcm
.
在
Rt?EOF
中,
EF?5cm,OF?
所以
EO?
1
xcm
,
3分
2
1
25?x
2
,
6分
4
于是
V?
1
2
1
x25?x
2
10分
34
依题意函数的定义域为
{x|0?x?10}
12分
21、证明：（1）连结
AC
11
，设
AC
11<
br>?B
1
D
1
?O
1
连结
AO
1
，
?
ABCD?A
1
BC
11
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
?AC
11
?AC
且
AC
11
?AC
2分
又
O
1
,O
分别是
AC
11
,AC
的中点，
?O
1
C
1
?AO
且
O
1
C
1
?AO
?AOC
1
O
1
是平行四边形
4分
?C
1
O?AO
1
,AO
1
?
面<
br>AB
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB
1
D
1
?
C
1
O?
面AB
1
D
1
6分
（2）
?CC
1
?
面
A
1
B
1
C
1
D
1
?CC
!
7分
1
?B
1
D
又
?AC
9分
11
?B
1
D
1
，
?B
1D
1
?面A
1
C
1
C
即AC?B
1<
br>D
1
11分
1
同理可证
AC?AB
1
，
12分
1
又
D
1
B
1
?AB
1
?B
1
?
面
AB
1
D
1
14分
?
AC
1
22、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
3分
又
?
AE
AC
?
AF
AD
??
(0?
?
?1),
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF
?
平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
BD?2,AB?2tan60
?
?6,
?AC?AB
2
?BC
2
?7,
由AB
2
=AE·AC 得
AE?
6
7
,?
?
?
AE
AC
?
6
7
,
故当
?
?
6
7
时，平面BEF⊥平面ACD.
6分
9分
11分
13分
14分