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【最新教材】高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.3.2 课时作业(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 19:28
tags:高中数学a版必修2

高中数学竞赛浙江初赛-上海高中数学立体几何教材内容

2020年10月6日发(作者:樊达斋)


新教材适用·高中必修数学
1.3.2 球的体积和表面积

【课时目标】 1.了解球的体积和表面积公式.2.会用球的体积和表面积公式解决实
际问题 .3.培养学生的空间想象能力和思维能力.

1.球的表面积
设球的半径为R, 则球的表面积S=________,即球的表面积等于它的大圆面积的________
倍.
2.球的体积
设球的半径为R,则球的体积V=________.



一、选择题
1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )
6ππ
A. B.
62


C. D.
2
π
2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( )
A.2倍 B.22倍
3
C.2倍 D.2倍
3.正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A.1∶3 B.1∶3
C.1∶33 D.1∶9
4.若三个球的表面积之比为1∶2∶3,则它们的体积之比为( )
A.1∶2∶3 B.1∶2∶3
C.1∶22∶33 D.1∶4∶7
5.长方体的一个顶 点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则
这个球的表面积为( )
A.25π B.50π
C.125π D.以上都不对
6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半 径
之比为( )
A.4∶9 B.9∶4
C.4∶27 D.27∶4

二、填空题
7 .毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8
倍,则火星的大圆 周长约________万里.
8.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径
是________.
9.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是________;
(2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是________.


三、解答题
10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋,请你设
计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽 略不计),使冰淇
淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?










11.有一个倒圆锥形容 器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,
并注入水,使水面与球正好相切,然 后将球取出,求这时容器中水的深度.










能力提升
12.已知棱长都相等的正三棱锥内接 于一个球,某学生画出了四个过球心的平面截球与
三棱锥所得的图形,如图所示,则( )

A.以上四个图形都是正确的
B.只有(2)(4)是正确的
C.只有(4)是错误的
D.只有(1)(2)是正确的
13.有三个球,第一个 球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球
过这个正方体的各个顶点,求这三个球的 表面积之比.


















1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计
算.
2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形
中,再 进行相关计算.
3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题 ,
运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体.


1.3.2 球的体积和表面积 答案

知识梳理
4
1.4πR
2
4 2.
πR
3

3
作业设计
1.A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a=
6π< br>r,再由体积公式求得体积比为
3

.]
6
2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.]
3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于3a.]
4.C [由表面积之比得 到半径之比为r
1
∶r
2
∶r
3
=1∶2∶3,从而得体积 之比为
V
1
∶V
2
∶V
3
=1∶22∶33.]
5.B [外接球的直径2R=长方体的体对角线=a
2
+b
2
+c
2
(a、b、c分别是长、宽、高).]
14
6.A [设球半径为r,圆 锥的高为h,则
π(3r)
2
h=
πr
3
,可得h∶r=4 ∶9.]
33
7.4
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍, 日行8万里指地球大圆的
42
周长,即2πR
地球
=8,故R
地球< br>=(万里),所以火星的半径为万里,其大圆的周长为4万里.
ππ
8.3 cm
4
解析 设球的半径为r,则36π=
πr
3
,可得r=3 cm.
3
9.(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a,球的半径为r.
46
33
(1)当6a
2
=4πr
2
时,V

πr
3
=a>a=V
正方体

3
π
3
π
2
4
32
(2)当a=
πr
时,S

=4πr=6a<6a
2
=S
正方体.

36
10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须
1414
V
圆锥
≥V
半球
,V
半球
=×
πr
3
=×
π×4
3

2323
3


111
V
圆锥
=Sh=
πr
2
h=
π×4
2
×h.
333
114
依题意:
π×4
2
×h≥×
π×4< br>3
,解得h≥8.
323
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.
又因为S
圆锥侧
=πrl=πrh
2
+r
2

当圆锥高取最小值8时,S
圆锥侧
最小,所以高为8 cm时,
制造的杯子最省材料.
11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在 容器内时,水深为3r,水面的半径为3r,则容器内水的体积为
145
V=V
圆锥< br>-V


π·(3r)
2
·3r-
πr
3< br>=
πr
3
,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆
333< br>的半径为
3131
3
h,从而容器内水的体积是V′=
π·(
h)
2
·h=
πh
3
,由V=V′,得h=15r.
3339
3
即容器中水的深度为15r.
12.C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆).]
13.解 设正方体的棱长为a.如图所示.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心 ,经过四个切点及
a
2
球心作截面,所以有2r
1
=a,r
1
=,所以S
1
=4πr
2
1
=πa.
2

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2 r
2
=2a,
2
2
r
2
=a,所以S
2< br>=4πr
2
2
=2πa.
2
③正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r
3
=3a,
3
2
r< br>3
=a,所以S
3
=4πr
2
3
=3πa.
2
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
=1∶2∶3.

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