2016-2017学年高中数学 模块综合测试 新人教A版必修2

模块综合试题
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列命题正确的是( )
A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形
B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面
C．两两平行的三条直线一定确定三个平面
D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线
解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与
其相交， 由公理1可知，这三条直线共面，故B正确．
答案：B
2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )
A．－6
4
C．－
5
B．6
4
D.
5
a－22
解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－＝－，解得a＝6.
a3
答案：B
3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的 半径是另一个底面半
径的2倍．求两底面的面积之和是( )
A．3πa
C．5πa
2
2
B．4πa
D．6πa
2
2

解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，

在Rt△SA′O′中，
∴SA′＝2r.
r
＝sin30°，
SA′
2r
在Rt△SAO中，＝sin30°，
SA
∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，
即4r－2r＝2a，r＝a.
∴S＝S
1
＋S
2
＝πr＋π(2r)＝5πr＝5πa.
答案：C
4．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为( )
A．3x－y－5＝0
C．3x＋y＋13＝0
解析：当l⊥AB时，符合要求．
4－21
∵k
AB
＝＝，∴l的斜率为－3，
3＋33
∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案：D
5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x＋y－4y＝0所截得的弦长为( )
A.3
C.6
B．2
D．23
22
22
2222
B．3x－y＋5＝0
D．3x＋y－13＝0
解析：直线方程为y＝3x，圆的标准方程为x＋(y－2)＝4，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝
答案：D
6．如图，在三棱锥S－ABC中，G
1
，G2
分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G
1
G
2
与BC< br>的位置关系是( )
A．相交
C．异面
B．平行
D．以上都有可能
|3×0－2|
3
2
＋－
＝1.故所求弦长l＝22－1＝23.
2
22

题图

答图


SG
1
SG
2
解析：连接SG
1
，SG
2
并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵＝，∴G
1
G
2∥MN.
G
1
MG
2
N
∵M，N分别为AB，AC的中点，
∴MN∥BC.故G
1
G
2
∥BC.
答案：B
7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应
的截面面积分别 为S
1
，S
2
，S
3
，则( )
A．S
1
2
3

C．S
2
1
3

B．S
3
2
1

D．S
1
3
2

1
S< br>?
2
?
2
解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知＝
??
S
1
?
1
?
1S2
＝S；＝
4S< br>2
1
2
1
＝S；
2
?
?
?
S
?
3
2
?
＝
S
3
?
1
答案：A
3
＝
1
3
4
S，故S
1
2
3
.
8．在圆的方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D＝E>4F，则圆的位置满足( )
A．截两坐标轴所得弦的长度相等
B．与两坐标轴都相切
C．与两坐标轴相离
D．上述情况都有可能
解析：在圆的方程中令y＝0得x＋Dx＋F＝0.
∴圆被x轴截得的弦长为|x
1
－x
2
|＝D－4F.
同理得圆被y轴截得的弦长为E－4F＝D－4F.故选A.
答案：A
9．在如图 所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，
(2,2,0)， (1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和
22< br>2
2
2222

俯视图分别为( )

A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
解析：由三视图可知，该几何体的 正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是
(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2) )且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视
图是④；俯视图在底面射影是一个斜三 角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，
故俯视图是②.故选D .
答案：D
10．在正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
中，E，F分别是正方形ADD
1
A
1
和正方形ABCD的中心，G是
CC
1
的中点，设GF，C
1
E与A B所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )
A．120° B．90° C．75° D．60°
解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°.
答案：B
11 ．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x＋y－2y＝0的两条切线，A，B是切点．若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A.2 B.
21
C．22 D．2
2
.
2
k＋1
5
22
解析：圆心C(0,1)到l的距离d＝
1
2
∴四边形面积 的最小值为2(×1×d－1)＝2，
2
∴k＝4，即k＝±2.又k>0，∴k＝2.
答案：D
12．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直 二面角B－AC－D，
则四面体ABCD的外接球的体积为( )
A.
125π125π125π125π
B. C. D.
12963
2
解析：取AC的中点O.

由O到各顶点距离相等，知O是球心．
5
设外接球的半径为R，则2R＝5，R＝.
2
4
故外接球的体积V
球
＝π
3
答案：C
?
5
?
3
＝
125π
.
?
2
?
6
??
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．经过两条直线2x＋y＋2＝ 0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0
的直线方程为________．
?
?
3x＋4y－2＝0，
解析：由方程组
?
?
2 x＋y＋2＝0，
?

得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x－2y< br>22
＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－.由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即 2x＋
33
3y－2＝0.
答案：2x＋3y－2＝0
14．长方体被一 平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图
如图所示，则长方体的体积为__ ______．

解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方 体的体积为3×4×4
＝48.
答案：48
15．侧棱长为a的正三棱锥P－AB C的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，

则该球的表面积为______ __．
解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为
答案：3πa
16．若⊙O
1
： x＋y＝5与⊙O
2
：(x－m)＋y＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题知O
1
(0,0)，O
2
(m,0)，且5<|m|<35，又O
1
A⊥AO
2
，则有m＝(5)＋(25)
＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×
答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4 y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积
为24，求直线l的方程．
解：设l：3x＋4y＋m＝0.
m
当y＝0时，x＝－；
3
m
当x＝0时，y＝－.
4
∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，
1mm
∴·|－|·|－|＝24.
234
∴m＝±24.
∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.
18．(12分)已知一 个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体
积．
5×20
＝4.
5
222
2222
2
3a
2
，该球的表面积为3πa.
2

解：由三视图可知此组 合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一
18π
2
个圆柱，由题 图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V
圆锥
＝π×2×2＝，中部圆柱的体积V
33圆柱
8π
22
＝π×2×10＝40π，下部圆柱的体积V′
圆柱
＝π×4×1＝16π，故此组合体的体积V＝
3
176π
＋40π＋16π＝.
3
19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8 ,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，
E
6＋
2
DE
则圆心C(－，－)．∴k
CB
＝.
22D
8＋
2
E
6＋
2
1
∵k
C B
·k
l
＝－1，∴·(－)＝－1.①
D3
8＋
2
又有(－2)＋(－4)－2D－4E＋F＝0，②
8＋6＋8D＋6E＋F＝0，③
所以解①②③可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴所求圆的方程为x＋y－11x＋3y－30＝0.
22
22
22
22

20．(12分)如图 ，四棱锥P－ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面
PAB⊥平面ABCD ，PA＝2，PC＝4.
(1)若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
4
(2)若点F在线段PA上，且FA＝λPA，当三棱锥B－AFD的体积为时，求实数λ的值．
3
解：(1)证明：如图(1)，连接AC，设AC∩BD＝Q，连接EQ.
因为四边形ABCD是矩形，所以点Q是AC的中点．
又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，
又平面BDE，平面BDE，所以PA∥平面BDE.

(2)依据题意可得：PA ＝AB＝PB＝2，取AB中点O，连接PO.所以PO⊥AB，且PO＝3.
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
图(2))；
作FM∥PO交AB于点M，则FM⊥平面ABCD.
因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.
同理，可证BC⊥平面PAB，
平面PAB，则△PBC是直角三角形．
所以BC＝PC－PB＝23.
则直角三角形ABD的面积为
1
S
△ABD
＝AB·AD＝23.
2
4123
所以＝V
B－AFD
＝V
F－ABD
＝ S
△ABD
·FM＝FM
333
22
平面PAB，则PO⊥平面A BCD(如

`
23
FM＝.
3
23
3
3
2
λ＝.
3
FMFA
由FM∥PO，得＝＝λ
POPA
＝λ

21．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝a，SD＝2a.
(1)求证：平面SAB⊥平面SAD.
CD
(2)设SB的中点为M，当为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．
AB
解：(1)证明：∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.
又∵SD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴SD⊥AB.
又∵SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.
又平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD.
CD
(2)当＝2时，能使DM⊥MC.
AB

证明：连接BD，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，
∴BD＝2a，∠BDA＝45°，
∴SD＝BD.
又∵M为SB的中点，

∴DM⊥SB.①
设CD的中点为P，连接BP，
∴DP∥AB，且DP＝AB.
故四边形ABPD是平行四边形．
∴BP∥AD.故BP⊥CD.
因而BD＝BC.
又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，
∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.
又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.
又平面SBD，∴DM⊥BC.②
由①②知DM⊥平面SBC，
又平面SBC，∴DM⊥MC.

22．( 12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，
B两点，另一圆 N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．
(1)求圆M与圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
解：(1)∵点M的 坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M
的方程为(x－3)＋(y－1 )＝1.
22

设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，

∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OMON＝MANC，
即
21
＝
3＋rr
＝3，则OC＝33，
22
则圆N的方程为(x－33)＋(y－3)＝9.
(2)由对称性可知，所求的 弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此
弦的方程是y＝
3
(x－ 3)，即x－3y－3＝0，
3
3
，
2
圆心N到该直线的距离d＝
则弦长为2r－d＝33.
22