当高中数学老师考研选哪个专业-高中数学理科圆锥曲线知识点
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2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面
A．有且只有一个
C．一个或无数个
( )
B．有无数个
D．可能不存在
( ) 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③
D．①②③
( )
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD
，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP
所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
( )
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥
平面ABCD，PD∥MA，E、G、
F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证
：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形
，∠BCD＝60°，E是CD
的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折
起，使折起后BD＝
则二面角B－AC－D的余弦值为
11
A. B.
32
的是
22
C.
3
D.
3
2
( )
3
，
2
( )
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别
是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立
A．BC∥面PDF
B．DF⊥面PAE
D．面PAE⊥面ABC C．面PDF⊥面ABC
11．如
图，在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，E、F分别是A
1
B、A
1
C的中点，
点D在B
1
C
1<
br>上，A
1
D⊥B
1
C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C.
12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC
＝60°，∠BCA＝90°，点
D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展 <
br>13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝<
br>2，BC＝6.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案
1．C 2.D 3.B 4.B
5．45° 6．5
7．证明 因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明
如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解
由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝3，则∠PBA＝60°.
AB
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C
11．证明
(1)由E、F分别是A
1
B、A
1
C的中点知EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三
棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
为直三棱柱知CC
1<
br>⊥平面A
1
B
1
C
1
.又A
1
D?
平面A
1
B
1
C
1
，故
CC
1
⊥
A
1
D.
又因为A
1
D⊥B
1
C，CC
1
∩B
1
C＝C，故A
1
D⊥平面BB
1
C
1
C，又A
1
D?平面A
1
FD，所以平
面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C.
12．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解
∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明 连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝5，
∴PD⊥AC.
∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，
∴AB
2
＋BC
2
＝AC
2
.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
1
∴BD＝AC＝2＝AD.
2<
br>∵PD
2
＝PA
2
－AD
2
＝3，PB＝5，
∴PD
2
＋BD
2
＝PB
2
.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解
取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
16
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝3，∠PDE＝90°，
22
PD
∴tan∠PED＝＝2.
DE
∴二面角P—AB—C的正切值为2.