徐州高中数学补习班-高中数学与圆相关的最值问题
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§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定
义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并
能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上
的射影的概念,斜线与平面所成角
的概念．
1．直线与平面垂直
(1)
定义：如果直线l与平面α内的________________直线都________,就说直线l与平面
α
互相垂直,记作________．直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的__
______．
(2)判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的__________
______________都垂直,则该直线与此平
面垂直．
符号表述：
l⊥a
l⊥b
?
?
?l⊥α．
?
?
?
2．直线与平面所成的角
(1)
定义：平面的一条斜线和它
在平面上的________所成的________,叫做这条直线和这个平
面所成的角．
如图所示,________就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角的度数是90°；
当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是________；
线面角θ的范围：________．
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0
B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b,b⊥平面β,则a与β的关系是( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P?α,PB⊥α,C是平面α内
异于A和B的动点,
且PC⊥AC,则△ABC为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
5．如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点
向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为A,B,C,如果这些斜线与平面成
等角,有如下命题：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中,
(1)直线A
1
B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1
B与平面ABC
1
D
1
所成的角是________； (3)直线A
1
B与平面AB
1
C
1
D所成的角是__
______．
8．在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1<
br>中,BC＝CC
1
,当底面A
1
B
1
C
1<
br>满足条件________时,有AB
1
⊥
BC
1
(注：填上
你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示,在正方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是棱AA1
和AB上的点,若∠B
1
MN
是直角,则∠C
1
MN
＝________．
三、解答题
10．如图所示,在正方体ABCD—A1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是棱B
1
C
1
、B
1
B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示,在
四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是
AB,PC的中点,
PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示,在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为DD
1
的中点,O为ABCD
的中心,求证B
1
O
⊥平面PAC．
13．如图所示,△AB
C中,∠ABC＝90°,SA⊥平面ABC,过点A向SC和SB引垂线,垂足分别
是P、Q,求证：
(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
1．运用化归思想,
将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定,而
同时还由此得到直线与直线垂直．
即“线线垂直?线面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b,a⊥α,则b⊥α；
②若α∥β,a⊥α,则a⊥β．
3．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°．
(2)线面垂直,则线线垂直．
§2．3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定
答案
知识梳理
1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面
(2)两条相交直线
a?α b?α a∩b＝A
2．(1)射影 锐角 ∠PAO
(2)0°
[0°,90°]
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C
[取BD中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
∴BD⊥面AOC,BD⊥AC,
又BD、AC异面,∴选C．]
4．B
[易证AC⊥面PBC,所以AC⊥BC．]
PA⊥平面ABC
?
PA⊥BC
?
??
?
?
?
5．A [
??
BC?平面AB
C
?
AC⊥BC
?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A [PO⊥面ABC．
则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO全等,
OA＝OB＝OC,
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．(1)45° (2)30°
(3)90°
解析
(1)由线面角定义知∠A<
br>1
BA为A
1
B与平面ABCD所成的角,∠A
1
BA＝45
°．
(2)连接A
1
D、AD
1
,交点为O,
则易证A
1
D⊥面ABC
1
D
1
,所以A
1
B在面
ABC
1
D
1
内的射影为OB,
∴A
1
B与面A
BC
1
D
1
所成的角为∠A
1
BO,
1
∵A
1
O＝A
1
B,
2
∴∠A
1
BO＝30°．
(3)∵A
1
B⊥A
B
1
,A
1
B⊥B
1
C
1
,
∴
A
1
B⊥面AB
1
C
1
D,即A
1
B与面
AB
1
C
1
D所成的角为90°．
8．∠A
1
C
1
B
1
＝90°
解析
如图所示,连接B
1
C,
由BC＝CC
1
,可得BC
1
⊥B
1
C,
因此,要证AB
1
⊥BC
1
,则只要证明BC
1
⊥平面A
B
1
C,
即只要证AC⊥BC
1
即可,由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可．
因
为A
1
C
1
∥AC,B
1
C
1
∥BC,故
只要证A
1
C
1
⊥B
1
C
1
即可． (或者能推出A
1
C
1
⊥B
1
C
1
的
条件,如∠A
1
C
1
B
1
＝90°等)
9．90°
解析
∵B
1
C
1
⊥面ABB
1
A
1
,
∴B
1
C
1
⊥MN．
又∵MN⊥B
1
M,
∴MN⊥面C
1
B
1
M,
∴MN⊥C
1
M．
∴∠C
1
MN＝90°．
10．证明 在平面B
1
BCC
1
中,
∵E、F分别是B
1
C
1
、B
1
B的中点,
∴△BB
1
E≌△CBF,
∴∠B
1
BE＝∠BCF,
∴∠BCF＋∠EBC＝90°,∴CF⊥BE,
又AB⊥平面B
1
BCC
1
,CF?平面B
1
BCC
1
,
∴AB⊥CF,AB∩BE＝B,∴CF⊥平面EAB．
11．证明
(1)∵PA⊥底面ABCD,
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中,CD⊥AD,且AD∩PA＝A,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G,连接AG,FG．
又∵G、F分别是PD,PC的中点,
1
∴GF綊CD,∴GF綊AE,
2
∴四边形AEFG是平行四边形,
∴AG∥EF．
∵PA＝AD,G是PD的中点,
∴AG⊥PD,∴EF⊥PD,
∵CD⊥平面PAD,AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D,∴EF⊥平面PCD．
12．证明
连接AB
1
,CB
1
,设AB＝1．
∴AB
1
＝CB
1
＝2,
∵AO＝CO,∴B
1
O⊥AC．
连接PB
1
．
3
22
∵OB
2
1
＝OB＋BB
1
＝,
2
9
22
PB
2
＝PD＋BD＝,
11114
3
OP
2
＝PD
2
＋DO
2
＝,
4
22
∴OB
2
1
＋OP＝PB
1
．∴B
1
O⊥PO,
又∵PO∩AC＝O,
∴B
1
O⊥平面PAC．
13．证明
(1)∵SA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB,SA∩AB＝A,
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB,
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB,BC∩SB＝B,
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC,SC?平面SBC,
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC,AQ∩AP＝A,
∴SC⊥平面APQ．∵PQ?平面APQ,∴PQ⊥SC．