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高中数学 必修二 :第2章 2.3.1 (人教A版必修2) Word版含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 19:32
tags:高中数学a版必修2

高中数学残差课件-高中数学 函数与方程 视屏

2020年10月6日发(作者:苗树森)



[A 基础达标]


1.
直线l与平面α所成角θ的范围是( )
A.(0°,180°) B

(0°,90°)
C.[0°,90°] D

(0°,90°]
解析:选C.根据定义可知选C.
2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂
直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A.①③ B


C.②④ D

①②③
解析:选A.由线面 垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、
相交,也可能直线在平面内.④中由于正六边 形的两边不一定相交,所以也无法
判定线面垂直,故选A.
3.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,BB
1
与 平面ACD
1
所成的角的余弦值为( )
23
A.
3
B.
3

26
C.
3
D.
3


解析:选D.如图所示,连接BD交AC于点O,连接D
1
O,由于BB< br>1
∥DD
1

所以DD
1
与平面ACD
1< br>所成的角就是BB
1
与平面ACD
1
所成的角.易知∠DD
1
O即
26
为所求.设正方体的棱长为1,则DD
1
=1,DO=2
,D
1
O=
2
,所以cos∠DD
1
ODD
1
26

DO
==
3
.
16
6
所以BB
1
与平面ACD
1
所成的角的余弦值为< br>3
.
4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,∠PBA=θ
1
,∠PBC=θ
2

∠ABC=θ
3
.
则下列关系一定成立的是( )
A.cos θ
1
cos θ
2
=cos θ
3
B

cos θ
1
cos θ
3
=cos θ
2

C.sin θ
1
sin θ
2
=sin θ
3
D

sin θ
1
sin θ
3
=sin θ
2




PA⊥平面ABC
?
?
?
解析:选B.
BC?平面ABC
?


PA⊥BC
?
AC⊥BC
?

PA∩AC=A
?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,
ABBCBC
所以cos
θ
1

PB
,cos
θ
2

PB
,cos
θ
3

AB
.
则有cos
θ
1
cos
θ
3
=cos
θ
2
.
5.
在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点P在侧面BCC
1
B
1
及其边界上运动,并且总
保持AP⊥BD
1
,则动点P的轨迹是( )
A.线段B
1
C
B

线段BC
1

C.BB
1
中点与CC
1
中点连成的线段
D

BC中点与B
1
C
1
中点连成的线段
解析:选A.如图,由于BD
1
⊥平面AB
1
C,故点P一定位于B
1
C上.

6.
在三棱柱ABC-A
1
B
1< br>C
1
中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB
1
C
1
C
的中心,则AD与平面BB
1
C
1
C所成角的大小是_ _______.
解析:

如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE ⊥平面BB
1
C
1
C.
所以AE⊥DE,因此AD与平面BB1
C
1
C所成角即为∠ADE,
3a
设AB=a,则AE=
2
a,DE=
2

即有tan∠ADE=3,所以∠ADE=60°.
答案:60°

< br>7.
如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=2,AA
1
=1,则AC
1
与平面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的正弦 值为________.
解析:连接A
1
C
1
(图略),


因为AA
1
⊥平面A
1
B
1C
1
D
1

所以∠AC
1
A
1为AC
1
与平面A
1
B
1
C
1
D1
所成的角.
又A
1
B
1
=B
1
C
1
=2,AA
1
=1,所以AC
1
=3.
AA< br>1
1
在Rt△AA
1
C
1
中,sin∠AC
1
A
1

AC

3
.
1
1
答案:
3

8.
如图所示,在矩形ABCD中 ,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA
=1,若BC边上存在点Q,使得PQ⊥Q D,则a的最小值为________.


解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.
若BC边上存在一点Q,使得QD⊥PQ,
则有QD⊥平面PAQ,从而QD⊥AQ. 在矩形ABCD中,当AD=a<2时,直线BC与以AD为直径的圆相离,故不
存在点Q,使PQ ⊥DQ.
所以当a≥2时,才存在点Q,使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.
答案:2
9.
如图,在直棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,
点E在棱BB
1
上运动.证 明:AD⊥C
1
E.

证明:因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C< br>1
中,BB
1
⊥平面ABC,
而AD?平面ABC,所以AD⊥BB
1
.②
由①②得AD⊥平面BB
1
C
1
C.
由点E在棱BB1
上运动,得C
1
E?平面BB
1
C
1
C,
所以AD⊥C
1
E.


10.
如图所示,在长 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,A B=1,BC=2,CC
1
=5,M是
棱CC
1
上一点.是否存在这 样的点M,使得BM⊥平面A
1
B
1
M?若存在,求出C
1
M
的长;若不存在,请说明理由.
解:假设存在点M使得BM⊥平面A
1
B
1
M,并设C
1
M=x,则有Rt△B
1
C
1M∽
Rt△BMB
1
.


C
1
MB
1
M
所以
BM

BB
,所以4+x
2
=5x,
11
所以x=4或x=1.
当C
1
M=1或 4时,使得BM⊥平面A
1
B
1
M.
[B 能力提升]
1.已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直,且A、B、C在同一
平面内,P在平面AB C外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的( )
A.外心 B

内心
C.垂心 D

重心
解析:选C.易证AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,故点H为△ABC的垂心.
2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,
且P A=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A.30° B

45°
C.60° D

90°
解析:选C.如图,连接AC.
因为PA⊥平面ABCD,
所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
因为AC=2,PA=6,
PA6
所以tan∠PCA===3.
AC
2
所以∠PCA=60°.
3.
如图,ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体,下面结论错误的是__ ______.(填序号)


①BD∥平面CB
1
D
1

②AC
1
⊥BD;
③AC
1
⊥平面CB
1
D
1

④异面直线AD与CB
1
所成的角为60°.
解析:由于BD∥B
1
D
1
,BD?平面CB
1
D
1
,B
1< br>D
1
?平面CB
1
D
1
,则BD∥平面
CB
1
D
1
,所以①正确;
由于BD⊥AC,BD⊥CC
1
,AC∩CC
1
=C,
所以BD⊥平面ACC
1
,所以AC
1
⊥BD.所以②正确; 可以证明AC
1
⊥B
1
D
1
,AC
1
⊥B
1
C,
所以AC
1
⊥平面CB
1
D
1
,所以③正确; < br>由于AD∥BC,则∠BCB
1
=45°是异面直线AD与CB
1
所成 的角,所以④错
误.


答案:④
4.(选做题 )如图所示,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD将
△BCD折起,使点C移到C ′点,且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上.
(1)求证:BC′⊥平面AC′D;
(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值.
解:(1)证明:因为点C′在平面ABD上的射影O在AB上,
所以C′O⊥平面ABD,所以C′O⊥DA.
又因为DA⊥AB,AB∩C′O=O,
所以DA⊥平面ABC′,所以DA⊥BC′.
又因为BC⊥CD,所以BC′⊥C′D.
因为DA∩C′D=D,所以BC′⊥平面AC′D.


(2)如图所示,过A作AE⊥C′D,垂足为E.
因为BC′⊥平面AC′D,
所以BC′⊥AE.
又因为BC′∩C′D=C′,
所以AE⊥平面BC′D.
连接BE,则BE是AB在平面BC′D上的射影,故∠ABE就是直线AB与平面
BC′D所 成的角.
由(1)知DA⊥平面ABC′,所以DA⊥AC′.
在Rt△AC′B中,
AC′=AB
2
-BC′
2
=32.
在Rt△BC′D中,C′D=CD=33.
在Rt△C′AD中,由等面积法,得
AC′·AD32×3
AE===6.
C′D
33
所以在Rt△AEB中,
AE62
sin∠ABE=
AB
==
3

33
2
即直线AB与平面BC′D所成角的正弦值为
3
.







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