高中数学校本选 修课程申报表-陕西省高中数学知识点大全
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x
2
＋
y
2
－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是
11
A．m≤2
B．m＜ C．m＜2 D．m≤
22
2．设A，B为直线y＝x与圆x
2
＋y
2
＝1的两个交点，则|AB|等于
A．1 B.2
C.3 D．2
( )
( )
3．
M(3,0)是圆x
2
＋y
2
－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的
弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0
C．2x－y－6＝0
A．圆内
B．x－y－3＝0
D．2x＋y－6＝0
(
)
C．圆上 D．圆上或圆外
4．已知圆x
2
＋y
2－2ax－2y＋(a－1)
2
＝0(0
5．如果圆的方程为x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6．已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点<
br>都在圆C上，则a＝________.
7．已知圆的方程为x
2
＋y
2
－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中
点M的轨迹方
程．
8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
二、能力提升
9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是
A．x－y＝0
C．x
2
＋y
2
＝0
B．x＋y＝0
D．x
2
－y
2
＝0
( )
( )
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x
2
＋y
2
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方
程为
A．x＋y－2＝0
C．x－y＝0
B．y－1＝0
D．x＋3y－4＝0
11． 已知圆的方程为x2
＋y
2
－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC
和
BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的
线段长为43，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解
设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴k
CM
·k
AM
＝－1，
即
y－3
x－3
·
y＋5
x＋3
＝－1，
即x
2
＋(y＋1)
2
＝25.
∴所求轨迹方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x
2
＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x
1
＋x
2
＝－D；
令x＝0，得y
2
＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y
1
＋y
2
＝－E；
由题设
，得x
1
＋x
2
＋y
1
＋y
2
＝－(D＋
E)＝2，所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－12＝0.
9．D
10．A
12．解
设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x
0
，y
0
)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝
x
0
＋3
2
，y＝
y
0
2
，
于是有x
0
＝2x－3，y
0
＝2y.
因为点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x
2
0
＋y
2
0
＝1，
则(2x－3)
2
＋4y
2
＝1，整理得
?
?x－
3
2
?
?
2
＋y
2
＝
1
4
.
所以点M的轨迹方程为
?
?
x－
3
1
2
?
?
2
＋y
2
＝
4
.
13．解 设圆的方程为：
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，
?
?
4D－2E＋F＝－20
②
得
?
?
D－3E－F＝10
③
?
令x＝0，由①得y
2
＋Ey＋F＝0，④
由已知|y
1
－y
2
|＝43，其中y
1
，y
2
是方程④的
两根．
∴(y
1
－y
2
)
2
＝(y
1<
br>＋y
2
)
2
－4y
1
y
2
＝E
2
－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
D＝－2<
br>?
?
得
?
E＝0
?
?
F＝－12
D＝－10
?
?
或
?
E＝－8
??
F＝4
.
故所求方程为：x
2
＋y
2
－2
x－12＝0或x
2
＋y
2
－10x－8y＋4＝0.