小马高中数学圆锥曲线大题视频-魔法记忆高中数学思维
阶段测试(一)
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合
题目要求的．
1．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
答案：C
解析：经过两条平行直线有且只有一个平面，故选C.
2．若α∥β，a∥α，则a与β的关系是( )
A．a∥β B．a?β
C．a∥β或a?β D．a∩β＝A
答案：C
解析：考虑直线可以平行移动．
3．设α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A．若α∩β＝l，m?α，n?β，则m，n一定相交
B．若α∥β，m?α，n?β，则m，n一定平行
C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n一定平行
D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m，n一定垂直
答案：D
解析：A中的m，n
也可能平行或异面，A错误；B中的m，n也可能异面，B错误；C
中的m，n也可能相交或异面，C错
误；易知D正确．故选D.
4．已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
( )
33
B.
42
3
C. D．1
4
答案：C
A.
13
解析：由正视图与俯视图，可知该
几何体为正三棱锥，易知其侧视图的面积为××3
22
3
＝.
4
5．若直线l∥平面α，直线a?α，则l与a的位置关系是( )
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交 D．l与a没有公共点
答案：D
6．等体积的球和正方体的表面积S
球
与S
正方体
的大小关系是(
)
2019-2020学年
A．S
正方体
＞S
球
B．S
正方体
＜S
球
C．S
正方体
＝S
球
D．无法确定
答案：A
3
3V4
33
3
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V
＝
πR
＝a，∴a＝V，R＝，
3
4π
3333
∴S
正方体
＝6a
2
＝6V
2
＝216V
2
，S球
＝4πR
2
＝
36πV
2
＜216V
2.
7．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为( )
A．12π B．24π C．36π D．48π
答案：B
解
析：该几何体是一圆锥，S
侧
＝πrl＝15π，S
底
＝πr
2＝9π，S
表
＝24π.
8．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行 D．异面或相交
答案：D
9．在直棱柱ABC
DEF－A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
中，ABCDEF为正六边形，则下列判断错误的是
( )
A．A
1
B
1
∥平面FCD
1
E
1
B．CD⊥平面AA
1
C
1
C
C．平面ABC
1
F
1
∥平面FCD
1
E
1
D．AD⊥C
1
F
答案：D
解析：对于A，由正六边形的性质，
知A
1
B
1
∥D
1
E
1
，所以A
1
B
1
∥平面FCD
1
E
1
，所以A判
断
正确．对于B，由正六边形的性质，知CD⊥AC，又CC
1
⊥底面ABCDEF，所以CC<
br>1
⊥CD，
所以CD⊥平面AA
1
C
1
C，所以B判
断正确．对于C，由正六边形的性质，知AB∥CF，所以
AB∥平面FCD
1
E1
，又由正六棱柱的性质，知AF
1
∥CD
1
，所以AF
1
∥平面FCD
1
E
1
，又AB与AF
1
为平面
ABC
1
F
1
中的相交直线，所以平面ABC
1
F
1
∥平面FCD
1
E
1
，所以C判断正确．故选D.
10．已知一个全面积为44的长方体，且它的长、宽、高的比为
方体的外接球的表面积为(
)
A．7π B．14π
2019-2020学年
：：1，则此长
C．21π D．28π
答案：D
解析：外接球的直径等于长方体的体对角线长．
11．l
1
，l
2
，l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l
1
⊥l
2
，l
2
⊥l
3
?l
1
∥l
3
B．l
1
⊥l
2
，l
2
∥l
3
?l
1
⊥l
3
C．l
1
∥l
2
∥l
3
?l
1
，l
2
，l
3
共面
D．l
1
，l
2
，l
3
共点?l
1
，l
2
，l
3
共面
答案：B
解析：A选项还有可能异面或者相交，C、D不一定．
12．如图，在棱长为1的正方体AB
CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为线段A
1
B上的动点，则下列
结论错误的是( )
A．DC
1
⊥D
1
P
B．平面D
1
A
1
P⊥平面A
1
AP
C．∠APD
1
的最大值为90°
D．AP＋PD
1
的最小值为
答案：C
2＋2
解析：连接CD
1
，易得DC
1
⊥平面A
1
BCD1
，∴DC
1
⊥D
1
P，故A结论正确；∵D
1
A
1
⊥平面
ABB
1
A
1
，∴平面D
1
A
1
P⊥平面A
1
AP，故B结论正确；当0＜A
1
P＜
2
时，∠APD
1
为钝角，故C
2
结论错误；将平面
AA
1
B沿A
1
B展成与平面A
1
BCD
1
共面的平面图形，线段AD
1
即AP＋PD
1
的最小值，解三角形得AD<
br>1
＝2＋2，故D结论正确．故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．切割
某圆柱后得到的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，
则该几何体的体积为_
_______．
答案：2π
解析：由三视图，知该几何体为圆柱的一部分，其
高为3，底面扇形的半径为2，圆心
π
1
角为，所以几何体的体积V＝×π×2
2
×3＝2π.
36
14．如图，在正方体ABCD—A
1
B<
br>1
C
1
D
1
中，点P是上底面A
1
B
1
C
1
D
1
内一动点，则三棱
锥P—ABC的主视图与左
视图的面积的比值为________．
2019-2020学年
答案：1
解析：把P选在和B
1
重合的位置，主视图与左视图完全一样．
15．如图
，直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是边长为1的正方形，AA
1
＝2，则异面
直线A
1
B
1
与BD
1
的夹角等于________．
答案：60°
<
br>解析：由直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是边长为1的正方形，AA
1
＝2，可得BD
1
＝2.由
AB∥A
1
B
1
，知∠ABD
1
就是异面直线A
1
B
1
与BD
1
的夹角．连接AD
1
，则AB⊥AD
1
，cos∠
AB1
ABD
1
＝＝，所以∠ABD
1
＝60°，即异面直线A
1
B
1
与BD
1
的夹角
等于60°.
BD
1
2
16．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容
器一半容积的水，任意转动这个正方
体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②矩形；③正方形；
④正六边形．其中正确
的结论是________．(把你认为正确的序号都填上)
答案：②③④
解析：可以看做用一个平面去截正方体，截面的形状．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(12分)
如图所示，已知四边形ABCD是矩形，E是以DC为直径的半
圆周上一点，且平面CDE
⊥平面ABCD.
求证：CE⊥平面ADE.
证明：因
为E是以DC为直径的半圆周上一点，所以CE⊥DE.又因为平面CDE⊥平面
ABCD，平面CDE
∩平面ABCD＝DC，因为AD⊥DC，所以AD⊥平面CDE.又CE?平面
CDE，所以AD⊥C
E.又DE∩AD＝D，所以CE⊥平面ADE.
18．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′
C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，
BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．
2019-2020学年
(1)求三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体的表面积的比值；
(2)求三棱锥A′－BC′D的体积．
解：(1)正方体ABCD－A′B′C′D′的棱
长为a，则三棱锥A′－BC′D的棱长为2
3
a，表面积为4××(2a)
2
＝23a
2
，正方体表面积为6a
2
，
4
∴三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为3：3；
111
(2)三棱锥A′－BC′D的体积为a
3
－4××a
3
＝a
3<
br>.
323
19．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为22
的正方形，其他四个
侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD的中点E作截面EFGH，使截面EFG
H∥平面
PBC，且截面EFGH分别交棱PA，AB，CD于点F，G，H.
(1)证明：EF∥GH；
(2)求三棱锥F－ABD的体积．
解：(1)∵平面
EFGH∥平面PBC，平面EFGH∩平面PCD＝EH，平面PBC∩平面PCD
＝PC，
∴EH∥PC.
又E是PD的中点，∴H是CD的中点．
同理可证F，G分别是PA，AB的中点，
∴EF∥AD，GH∥AD，
∴EF∥GH.
(2)如图，连接AC，设AC∩BD＝O，连接PO.
∵底面ABCD是边长为22的正方形，∴AC⊥BD，且AC＝BD＝4.
∵侧面为全等的等腰三角形，
∴PO⊥AC，PO⊥BD.
又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
4
?
2
在Rt△PO
A中，PO＝?5?
2
－
?
?
2
?
＝1.
1
又F在PA的中点，∴V
F
－
ABD
＝V
P
－
ABD
.
2
1114
又V
P
－
ABD<
br>＝S
△
ABD
·PO＝××(22)
2
×1＝，
3323
2
∴V
F
－
ABD
＝.
3
2019-2020学年
20．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体的形状；
(2)画出该几何体的侧视图，并求侧视图的面积；
(3)求该几何体的体积．
解：(1)由题意，可知该几何体为正六棱锥．
(2)其侧视图如图所示，其中AB＝AC，
AD⊥BC，且BC＝3a，AD＝3a，所以该平面
13
图形的面积S＝×3a×3a＝a<
br>2
.
22
133
(3)体积V＝×6×a
2
×3a
＝a
3
.
342
21．(12分)如图，已知矩形ABCD中，AB＝10
，BC＝6，将矩形沿对角线BD把△ABD
折起，使A移到A
1
点，且A
1
在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
(1)求证：BC⊥A
1
D；
(2)求证：平面A
1
BC⊥平面A
1
BD；
(3)求三棱锥A
1
－BCD的体积．
解：(1)证明：∵A
1
在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A
1
O⊥平面BCD.又BC?平面BCD，∴BC⊥A
1
O，
又∵BC⊥CO，A
1
O∩CO＝O，∴BC⊥平面A
1
CD，又∵
A
1
D?平面A
1
CD.
∴BC⊥A
1
D.
(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴A
1
D⊥A
1
B.
由(1)知A
1
D⊥BC，A
1
B∩BC＝B，
∴A
1
D⊥平面A
1
BC.
又∵A
1
D
?平面A
1
BD，∴平面A
1
BC⊥平面A
1
BD. (3)解：∵A
1
D⊥平面A
1
BC，∴A
1
D⊥A<
br>1
C.
∵A
1
D＝6，CD＝10，∴A
1
C＝8，
11
∴VA
1
－BCD＝VD－A
1
BC＝×(×6×8)×6＝48. 32
22．(14分)如图，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧面AA
1
C
1
C⊥侧面ABB
1
A1
，AC＝AA
1
＝2
AB，∠AA
1
C
1<
br>＝60°.AB⊥AA
1
，H为棱CC
1
的中点，D为BB
1
的中点．
(1)求证：A
1
D⊥平面AB
1
H；
(2)AB＝2，求三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积
．
2019-2020学年
证明：(1)连接AC<
br>1
，∵AC＝AA
1
，∠ACC
1
＝∠AA
1
C
1
＝60°，∴△ACC
1
是等边三角形，
∴AH⊥CC
1
，
∵CC
1
∥AA
1
，∴AH⊥AA
1
，
又∵侧面AA
1
C
1
C⊥侧面ABB
1
A
1
，侧面AA
1
C
1
C∩侧面ABB
1
A
1
＝AA
1
，AH?平面AA
1
C
1
C，
∴AH
⊥平面ABB
1
A
1
，∵A
1
D?平面ABB
1<
br>A
1
，
∴AH⊥A
1
D.
∵四边形ABB
1
A
1
是平行四边形，AB⊥AA
1
，∴四边形ABB
1
A
1
是矩形，
2B
1
D2A
1
B
1
2
∵AA
1
＝2AB，∴B
1
D＝AB，∴＝，＝，
2A
1
B
1
2AA
1
2
又∵∠DB
1
A
1
＝∠B
1
A
1
A＝90°，∴△DB1
A
1
∽△B
1
A
1
A，∴∠DA
1
B
1
＝∠A
1
AB
1
＝∠AB
1
D，
∴∠AB
1
D＋∠A
1
DB
1
＝∠DA1
B
1
＋∠A
1
DB
1
＝90°，∴A
1
D⊥AB
1
，
又∵AH?平面AB
1
H，AB
1
?平面AB
1
H，AH∩AB
1
＝A，
∴A
1
D⊥平面AB
1
H.
(2)连接BH，
∵AH⊥AA
1
，AB⊥AA
1
，AH?平面ABH，AB?平面ABH，A
B∩AH＝A，
∴AA
1
⊥平面ABH，
∵AH⊥平面AB
1<
br>BA
1
，AB?平面ABB
1
A
1
，
∴AH⊥AB.
∵AB＝2，∴AC＝AA
1
＝2，∴AH＝3.
1
∴V棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
＝S
△
ABH
·AA
1
＝×2×3×2＝6.
2
2019-2020学年