【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估(附答案)

综合质量评估
(第一至第四章)
(120分钟 150分) < br>一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项 是符合题目要求的)
1.已知圆的方程是(x-2)
2
+(y-3)
2=4,则点P(3,2)满足 ( )
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
【解析】选C.因为(3-2)
2
+(2-3)
2
=2 <4,故点P(3,2)在圆内.
2.直线x-y-4=0与圆x
2
+y
2
-2x-2y-2=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相交且过圆心 D.相离
【解析】选D.圆的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=4, < br>则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。>2,所
以直线与圆相 离.
【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)
2
+(y-4)
2
=13与直
线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与k取值有关
【解析】选A.对 任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而
(4-3)
2
+(3-4)
2
<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.
3.( 2015·乌海高一检测)已知空间两点P
1
(-1,3,5),P
2
(2, 4,-3),则|P
1
P
2
|等于
( )
A.错误！未找到引用源。 B.3错误！未找到引用源。 C.错

误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引
用源。. < br>4.已知两圆的方程是x
2
+y
2
=1和x
2
+y< br>2
-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是
( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
【解析】选C.将圆x
2
+y
2< br>-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)
2
+(y-4)
2
=16.
所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。=5,又r
1
+r
2< br>=5,所以两圆外切.
5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:
①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;
②若m?β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;
③若m?α,m∥n,则n∥α;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为 ( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.③④
【解析】选A.①正确 ,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可
能有α,β相交或平行,故选A. 6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x
2
+y
2
=1相切于第一象限的直
线方程是 ( )
A.x+y-错误！未找到引用源。=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+错误！未找到引用源。=0
【解析】选A.由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由错误！未找到引用源。
=1,得k=± 错误！未找到引用源。.由切点在第一象限知,k=错误！未找到引用源。.
故所求的直线方程y=-x +错误！未找到引用源。,即x+y-错误！未找到引用源。

=0.
【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x
2
+y
2
-2x+4y=0 截得的最长弦所在的直线
方程为 ( )
A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0
C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0
【解析】选A .依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得错误！
未找到引用源。=错误！未 找到引用源。,即3x-y-5=0.
7.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为 ( )
A.(-2,1,-4) B.(2,1,-4)
C.(-2,-1,-4) D.(2,-1,4)
【解析】选C.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
【变 式训练】(2014·宁波高一检测)已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射
影,则线段P Q的长等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.由题意,Q(3,4,0),故线段PQ的长为5.
8.与圆O
1< br>:x
2
+y
2
+4x-4y+7=0和圆O
2
:x< br>2
+y
2
-4x-10y+13=0都相切的直线条数是
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.两圆的方程配方得,O
1
:(x+2)
2
+(y-2)
2
=1,O
2
: (x-2)
2
+(y-5)
2
=16,圆心
O
1
( -2,2),O
2
(2,5),半径r
1
=1,r
2
=4, 所以|O
1
O
2
|=错误！未找到引用源。=5,r
1
+r
2
=5.
所以|O
1
O
2
|=r
1
+r
2
,故两圆外切,故有3条公切线.
9.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为 ( )
A.4x+3y+5=0 B.4x+3y-5=0

C.3x+4y+5=0 D.3x+4y-5=0
【解析】选B.直线l的斜率与直 线4x-3y+5=0的斜率互为相反数,且过点错误！
未找到引用源。,所以直线l的方程为4x+3 y-5=0.
【拓展延伸】直线关于直线对称问题的两种情形
(1)两直线平行,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解.
(2)两直线相交.一般解 题步骤是:①在所求曲线上选一点M(x,y);②求出这点关
于中心或轴的对称点M'(x
0
,y
0
)与M(x,y)之间的关系;③利用f(x
0
,y
0
)=0求出曲
线g(x,y)=0.
10.(2015·大连高一检测)当点P在 圆x
2
+y
2
=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线
PQ的中 点的轨迹方程是 ( )
A.(x+3)
2
+y
2
=4 B.(x-3)
2
+y
2
=1
C.(2x-3)
2
+4y
2
=1 D.(2x+3)
2
+4y
2
=1
【解析】选C.设P(x
1
,y
1
),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=错误！
未找到引用源。,y=错误！未找到引用源。,所以x
1
=2x-3,y
1< br>=2y.又点P(x
1
,y
1
)在
圆x
2
+ y
2
=1上,所以(2x-3)
2
+4y
2
=1.
故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)
2
+4y
2
=1. 11.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积
是 ( )

A.8cm
3
B.12cm
3
C.错误！未找到引用源。cm
3
D.错误！
未找到引用源。cm
3

【解析】选C.由题意得,该几何体为一 正方体与四棱锥的组合,所以体积V=2
3
+
错误！未找到引用源。×2
2< br>×2=错误！未找到引用源。(cm
3
).
12.(2015·潍坊高一检测)方程错误！未找到引用源。=lgx的根的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【解析】选B.设f(x)=错误！未 找到引用源。,g(x)=lgx,则方程根的个数就是
f(x)与g(x)两个函数图象交点的个数. 如图所示,在同一平面直角坐标系中画出
这两个函数的图象.

由图可得函数f(x )=错误！未找到引用源。与g(x)=lgx仅有1个交点,所以方程
仅有1个根.
【延伸 探究】曲线y=1+错误！未找到引用源。与直线y=k(x-2)+4有两个交点,
则实数k的取值范 围是 ( )
A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。
【解析】选D.如图所示,曲线y=1+错误！未找到引用源。

变形为x
2
+(y-1)
2
=4(y≥1),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当 直线l与半圆相切

时,有错误！未找到引用源。=2,解得k=错误！未找到 引用源。.当直线l过点(-2,1)
时,k=错误！未找到引用源。.因此,k的取值范围是错误！未 找到引用源。错误！未找到引用源。.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线
上) 13.已知△ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边B C上的中
线长为 .
【解析】BC的中点为D(1,-2,3),则|AD|=错误！未找到引用源。=2.
答案:2
14.已知直线a和两个不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,则α,β的位置关系
是 .
【解析】垂直于同一直线的两个平面互相平行.
答案:平行
15.已知一个球的表面积为36πcm
2
,则这个球的体积为 cm
3
.
【解析】设球的半径为r,因为4πr
2
=36π,所以 r=3,故体积为错误！未找到引
用源。πr
3
=36π.
答案:36π
16.(2015·大庆高一检测)方程x
2
+y
2
+2ax-2a y=0表示的圆,①关于直线y=x对称;
②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点; ④其圆心在y轴上,且过
原点,其中叙述正确的是 .
【解析】已知方程配方,得(x +a)
2
+(y-a)
2
=2a
2
(a≠0),圆心坐标为 (-a,a),它在直
线x+y=0上,所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.
答案:②

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出 必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
17.(10分)已知直线l
1
: ax+by+1=0(a,b不同时为0),l
2
:(a-2)x+y+a=0,
(1)若b=0且l
1
⊥l
2
,求实数a的值.
(2)当 b=3且l
1
∥l
2
时,求直线l
1
与l
2
之间的距离.
【解题指南】(1)当b=0时,直线l
1
的斜率不存在,此时l< br>1
⊥l
2
,即l
2
的斜率为
0,a-2=0. (2)l
1
∥l
2
,即A
1
B
2
-A
2
B
1
=0且B
1
C
2
-B
2< br>C
1
≠0,求出a的值,利用平行线间距离公式d=错
误！未找到引用源。求解 .
【解析】(1)当b=0时,l
1
:ax+1=0,由l
1
⊥l
2
知a-2=0,解得a=2.
(2)当b=3时,l
1
:ax+3y+1=0,
当l
1
∥l
2
时,有错误！未找到引用源。解得a=3,
此时,l
1
的方程为:3x+3y+1=0,
l
2
的方程为:x+y+3=0,即3x+3y+9=0,
则它们之间的距离为d=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
18.(12分) 自A(4,0)引圆x
2
+y
2
=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方 程.
【解析】连接OP,则OP⊥BC,设P(x,y),当x≠0时,k
OP
·k
AP
=-1,即错误！未找到
引用源。·错误！未找到引用源。=-1.
即x
2
+y
2
-4x=0.①
当x=0时,P点坐标为( 0,0)是方程①的解,所以BC中点P的轨迹方程为
x
2
+y
2
- 4x=0(在已知圆内).
【一题多解】由上述解法可知OP⊥AP,取OA中点M,则M(2,0) ,|PM|=错误！未找
到引用源。|OA|=2,由圆的定义,知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆 心,2为半径的

圆.
故所求的轨迹方程为(x-2)
2
+y
2
=4(在已知圆内). < br>19.(12分)(2015·滁州高一检测)已知圆M:x
2
+y
2
-2mx+4y+m
2
-1=0与圆
N:x
2
+y
2
+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐
标.
【解析】由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1).两圆的
方程相 减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m
2
-1=0.
因为A,B两点平分 圆N的圆周,所以AB为圆N的直径,所以AB过点N(-1,-1).
所以2(m+1)×(-1)- 2×(-1)-m
2
-1=0,解得m=-1.
故圆M的圆心M(-1,-2).
20.(12分)(2015·湖北高考)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与
底 面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P- ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接
DE,BD,BE.

(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的 直
角(只需写出结论);若不是,请说明理由.
(2)记阳马P-ABCD的体积为V
1
,四面体EBCD的体积为V
2
,求错误！未找到引用源。
的值. 【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面?平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E

是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平 面PCD,DE
⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个 鳖
臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.
(2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,
所以V
1
=错误！未找到引 用源。S
ABCD
·PD=错误！未找到引用源。BC·CD·PD;
由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BC⊥CE,
所以V
2
=错误！ 未找到引用源。S
△BCE
·DE=错误！未找到引用源。BC·CE·DE.
在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,
所以DE=CE=错误！未找到引用源。CD,
于是错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=4.
21.( 12分)(2015·广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的
平面垂直,P D=PC=4,AB=6,BC=3.

(1)证明:BC∥平面PDA.
(2)证明:BC⊥PD.
(3)求点C到平面PDA的距离.
【解析】(1)因为四边形ΑΒCD是长方形,
所以ΒC∥ΑD,
因为ΒC?平面ΡDΑ,ΑD?平面ΡDΑ,
所以ΒC∥平面ΡDΑ.
(2)因为四边形ΑΒCD是长方形,
所以ΒC⊥CD,

因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,
平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΒC?平面ΑΒCD,
所以ΒC⊥平面ΡDC,
因为ΡD?平面ΡDC,
所以ΒC⊥ΡD.
(3)取CD的中点Ε,连接ΑΕ和ΡΕ,
因为ΡD=ΡC,所以ΡΕ⊥CD,
在 Rt△ΡΕD中,ΡΕ=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！
未找到引用源。,
因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,
平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,
ΡΕ?平面ΡDC,
所以ΡΕ⊥平面ΑΒCD,
由(2)知:ΒC⊥平面ΡDC,
由(1)知:ΒC∥ΑD,
所以ΑD⊥平面ΡDC,
因为ΡD?平面ΡDC,所以ΑD⊥ΡD,
设点C到平面ΡDΑ的距离为h,
因为V
三棱锥C-ΡDΑ
=V
三棱锥Ρ-ΑCD
,
所以错 误！未找到引用源。S
△ΡDΑ
·h=错误！未找到引用源。S
△ΑCD
·Ρ Ε,
即h=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
所以点C到平面ΡDΑ的距离是错误！未找到引用源。.
22.(12分)(2015·杭州 高一检测)已知曲线C:x
2
+y
2
+2kx+(4k+10)y+10k+ 20=0,其

中k≠-1.
(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上.
(2)证明曲线C过定点.
(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.
【解析】(1)原方程可化为(x+k)
2
+(y+2k+5)
2
=5(k+1)
2
.因为k≠-1,所以5(k+1)
2
>0.
故方程表示圆心为(-k,-2k-5),半径为错误！ 未找到引用源。|k+1|的圆.设圆心
的坐标为(x,y),则错误！未找到引用源。
消去k,得2x-y-5=0.
所以这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.
(2)将原方程变形为(2x+4y+10)k+(x
2
+y
2
+10y+2 0)=0,所以上式对于任意k≠-1恒
成立,所以错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。所 以曲线C过定点
(1,-3).
(3)因为圆C与x轴相切,所以圆心(-k,-2k-5)到x轴的距离等于半径.
即|-2k-5|=错误！未找到引用源。|k+1|.
两边平方,得(2k+5)
2
=5(k+1)
2
.
解得k=5±3错误！未找到引用源。.
【补偿训练】已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4错误！未找到引用源。
=0相切.

(1)求圆C的方程.
(2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA ,PB,切点为A,B,求证:直线

AB恒过定点.
【解题指南】 求出圆的半径即可写出圆的方程,而公共弦的方程只需将两圆的方
程相减即可得到.
【解析】(1)依题意得:圆C的半径r=错误！未找到引用源。=4,
所以圆C的方程为x
2
+y
2
=16.
(2)因为PA,PB是圆C的两条切线,
所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,
设点P的坐标为错误！未找到引用源。,b∈R,
则线段OP的中点坐标为错误！未找到引用源。,
所以以OP为直径的圆方程为错误！未找到 引用源。+错误！未找到引用源。=4
2
+
错误！未找到引用源。,b∈R,
化简得:x
2
+y
2
-8x-by=0,b∈R,
因为AB为两圆的公共弦,
所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,
所以直线AB恒过定点错误！未找到引用源。.