新版高中数学必修四-高中数学必修四向量课件
《柱、锥、台、球》教学设计
◆ 教材分析
本节教材
先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的结构特征，
从整体上认识空间几何体
，再深入细节认识，更符合学生的认知规律．
值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所
以本节的学习不能建立在严格
的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分
注意到这一点．本
节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，
增强
学生的感受．
◆ 教学目标
1．掌握柱、锥、台、球的结构特征，
学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何
直观能力．
2．能够描述现实生活中简单物体
的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学
建模的思想．
◆ 教学重难点
◆
教学重点：柱、锥、台、球的结构特征．
教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征．
◆ 教学过程
导入新课
思路1．从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城
市大厦的
旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠
心、整体协调的建筑物
，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这
些建筑物呢？引出课题：柱、锥、台
、球的结构特征．
思路2．在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？
这
些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流．教师对学生的活动及时给予
评
价．引出课题：柱、锥、台、球的结构特征．
新知探究
提出问题
1．观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？
图1
2．你能给出多面体和旋转体的定义吗？
活
动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的
学生，教师予以提示
．
1．根据围成几何体的面是否都是平面来分类．
2．根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体．
讨论结果：
1．通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16
）具有同样的
特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面
体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点：组成
它们的面不全是
平面图形，像这样的几何体称为旋转体．
2．多面体：一般地，由若干个平面
多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各
个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多
面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面
体的顶点．按围成多面体的面数分为：四面体、五面体、六面体、…
…，一个多面体最少有
4个面，四面体是三棱锥．棱柱、棱锥、棱台均是多面体．
旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋
转
体，这条定直线叫做旋转体的轴．圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体．
提出问题
1．与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？
2．请给出棱柱的定义？
3．与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？
4．请给出棱锥的定义．
5．利用同样的方法给出棱台的定义．
活动：学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示．
对于1、3，可根据围成多面体的各个面的关系来分析．
对于2，利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱．
对于4，利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥．
对于5，利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台．
讨论结果：
1．特点是：有两个面平行，其余的面都是平行四边形．像这样的几何体称为棱柱．
2．定义
：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边
都互相平行，由这些面围成
的多面体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；
其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的
公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做
棱柱的顶点．
表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱．
分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3．其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥．
4．定义：有一面为
多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多
面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥
的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的
侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面
的公共边叫做棱锥的侧棱．
表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示．
分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
5．定义：用一个平行于棱锥底
面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．原
棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；
其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共
边叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点．
表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台．
分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
提出问题
1．与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征？
2．请给出圆柱的定义．
3．其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征？
4．请给出圆锥的定义．
5．类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义．
6．用同样的方法给出球的定义．
讨论结果：
1．静态的观点：有两个平行的平面
，其他的面是曲面；动态的观点：矩形绕其一边旋
转形成的面围成的旋转体．像这样的旋转体称为圆柱．
2．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋
转体叫做
圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
平行于轴的边旋转而成
的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位
置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面
的母线．
表示：圆柱用表示轴的字母表示．
规定：圆柱和棱柱统称为柱体．
3．
静态的观点：有一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕其一直角边
旋转形成的面围成的旋
转体．像这样的旋转体称为圆锥．
4．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两
边旋转而形成的面
所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称
为圆
锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，
无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线．
表示：圆锥用表示轴的字母表示．
规定：圆锥和棱锥统称为锥体．
5．定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，
其余各边旋转而形成的曲
面所围成的几何体叫做圆台．还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥
，截面与底
面之间的部分．旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成
的圆面称为圆台的底面；
不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条
边都叫做圆
台侧面的母线．
表示：圆台用表示轴的字母表示．
规定：圆台和棱台统称为台体．
6．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一
周所形成的曲面称为球面，
球面所围成的旋转体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心，连接球面上任
意一点与球心
的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径．
表示：用表示球心的字母表示．
知识总结：
1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示：
结构特征 棱柱
两个平面互相平行，其
余各面都是四边形，并且每
定义
相邻两个四边形的公共边
都互相平行，这些面围成的
几何体称为棱柱
两底面是全等的多边
底面
形
侧面
侧棱
平行于底
面的截面
过不相邻
平行四边形
两侧棱的截面
2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示：
结构
圆柱
特征
定义 以矩形的一边以直角三
棱锥
有一面为多边
形，其余各面是
有一
个公共顶点的三角
形，这些面围成的几
何体叫做棱锥
多边形
棱台
用一个平行于棱
锥底面的平面去截棱
锥，底面与截面之间
的部
分，这样的多面
体叫做棱台
两底面是相似的
多边形
平行四边形
平行且相等
与两底面是全等的多
边形
三角形
相交于顶点
与底面是相似的
多边形
三角形
梯形
延长线交于一点
与两底面是相似
的多边形
梯形
圆锥 圆台
以直角梯形垂
球
以半圆的直
所在的直线为旋转
轴，
其余各边旋转
而形成的曲面所围
成的几何体叫做圆
柱
角形的一条直直于底边
的腰所在径所在的直线为
旋转轴，将半圆旋
转一周所形成的
曲面称为球面，球
面所围成的几何
体称为球体，简称
球
角边为旋转轴，的直线为旋转轴，
其余
各边旋转
而形成的曲面
所围成的几何
体叫做圆锥
其余各边旋转而形
成的曲面所围成的
几何体叫做圆台
两底面是平行
底面
且半径相等的圆
侧面
矩形
展开图
相交于顶
母线
平行
与两底面是平
于底面的
行且半径相等的圆
截面
轴截
矩形
面
3．简单几何体的分类：
形
等的圆
等腰三角
面且半径不相
平行且相等
点
平行于底
扇形
圆
两底面是平行
无
但半径不相等的圆
扇环
延长线交于一
无
点
与两底面是平
球的任何截
行且半径不相等的
面都是圆
圆
等腰梯形 圆
不可展开
?
?
棱柱
?
?
多面体
?
棱锥
?
?
棱台
?
?
?
?
简单几何体
?
?
圆柱
?
?
?
旋
转体
?
圆锥
?
?
?
圆台
?
?
球<
br>?
?
?
应用示例
思路1
例1
下列几何体是棱柱的有（）
图2
A．5个
B．4个C．3个 D．2个
活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结
构特征，注意定
义中的特殊字眼，切不可马虎大意．
棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相
平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边
形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体
同时满足这三方面的结构特征时，
这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符
合．
答案：D
点评：本题主要考查棱柱的结构特征．本题容易错认为几何体②也是棱柱，其
原因是忽
视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看
到图形就
想到文字叙述．
变式训练
1．下列几个命题中，
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，
将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个
不同的圆柱．
其中正确的有__________个．（）
A．1 B．2 C．3 D．4 分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所
以①是错误的
；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就
不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．
答案：A
2．下列命题中正确的是（）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
答案：D
3．下列命题中正确的是（）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
分析：以直角梯
形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以B不正确；
圆锥仅有一个底面，所以C不正确；
圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等
于圆锥的母线长，所以D不正确．很明显A正确．
答案：A
思路2
例1 长方体AC
1
的长、宽、高分别为3、
2、1，从A到C
1
沿长方体的表面的最短距
离为（）
A．
1?3
B．
2?10
C．
32
D．
23
活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体
表面展开，
转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想．
解：如图3，在长方
体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB
=3，BC=2，BB
1
=1．
图3
如图4所示，将侧面AB
B
1
A
1
和侧面BCC
1
B
1
展开，
图4
则有AC
1
=
5
2
?1
2
?
即经过侧面ABB
1
A
1
和
侧面BCC
1
B
1
时的最短距离是
26
；
26<
br>，
如图5所示，将侧面ABB
1
A
1
和底面A
1B
1
C
1
D
1
展开，
则有AC
1<
br>=
3
2
?3
2
?32
，即经过侧面ABB
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D1
时的最短距离是
32
；
图5
如图6所示，将侧
面ADD
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D
1
展开，
图6
则有AC
1
=
4
2
?2
2
?25
，即经过侧面ADD
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D
1<
br>时的最短距离是
25
．
由于
32
＜
25
，
32
＜
26
，
所以由A到C
1
在正方体表面上的最短距离为
32
．
答案：C
点评：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把图形
展
成平面图形．
变式训练
1．图7是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处
，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，
请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．
图7图8
分析：制作实物模型（略）．通过
正方体的展开图8可以发现，AB间的最短距离为A、
B两点间的线段的长
2
2
?1
2
?5
．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．具体
爬行路线
如图9中的粗线所示，我们要注意的是爬行路线并不唯一．
解：爬行路线如图9（1）—（6）所示：
图9
2． 如图10所示，已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长为1，高为8，一质点自A
点出发，沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达A
1
点的最短路线的长为_________．
．．
图10
分析：将正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
沿侧棱AA
1
展开，其侧面展开图如图11所示，则沿
着三棱柱的侧面绕行两
周到达A
1
点的最短路线的长就是图11中AD+DA
1
．延长A
1
F至M，
．．
使得A
1
F=FM，连接DM，则A
1
D=DM，如图12所示．
图11 图12
则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A
1
点的最短路线的长就是图12中线段AM的长．
在
．．
图
AM=
12中，△AA
1
M是直角三角形，则AA
1
2
?A
1
M
2
?8
2
?(1?1?1?1?1?1)
2
=10．
答案：10
拓展提升
1．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？
分析
：如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这
个几何体不是棱柱，因
此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱
柱．
图18
由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互
相平行；
②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺
一不可，图18所示的
几何体不具备特征③．
2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
剖
析：如图19所示，将正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D<
br>1
截去两个三棱锥A—A
1
B
1
D
1
和C—B
1
C
1
D
1
，得如图20所示的几何体．
图19 图20
图20所示的几何体有
一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显
这个几何体不是棱锥，因此说有一个面
是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱
锥．
由此看，判断一个几何体是否是棱锥
，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是
多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一
个公共顶点．这3个特征缺一不可，
图18所示的几何体不具备特征③．
课堂小结
本节课学习了柱体、锥体、台体、球体的结构特征．
作业
1．如图21，甲所示为一几何体的展开图．
图21
（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．
（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6
c
m的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中指出这几个几何体的名称．
答案：（1）有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图22甲所示．
图22
（2）需要3个这样的几何体，如图22乙所示．分别为四棱锥：A
1
—CDD
1
C
1
，A
1
—ABCD，
A
1
—BCC
1
B
1
．
2．如图23，在正三棱柱ABC—
A
1
B
1
C
1
中，AB=3，AA
1
=4
．M为AA
1
的中点，P是
BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC
1到M的最短路线长为
29
，设这条最短路线与
CC
1
的交点为N，求P点的位置．
图23 <
br>分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即
确定了P点的
位置．
解：如图24所示，把正三棱锥展开后，设CP=x，
图24
根据已知可得方程2
2
+（3+x）
2
=29．解得x=2．
所以P点的位置在离C点距离为2的地方．
◆ 教学反思
本节教学设计
，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求：降低逻辑推理，通过直
观感受和操作确认来设计．在使
用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课
时不足的矛盾．