2020年人教A版数学必修二全册教案

4．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是( D )
A．m＝1
?
m＝1
?
C．
?

?
n≠－1
?
B．m＝±1
?
m＝1，
?
m＝－1，
??
D．
?
或
?

??
n≠－1，n≠1
??

m1
[解析] 根据两直 线平行可得
＝，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠
1m
－1；m ＝－1时，n≠1.
二、填空题
5．(2018～2019·合肥高一检测)已知直线l与 直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴
围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为3x＋4 y±24＝0.
[解析] 设直线l方程为3x＋4y＋b＝0，
bb
令x＝0得y＝－；令y＝0得x＝－
.
43
1
?< br>b
??
b
?
－
·
－
＝24. 由条件知·
2
?
4
??
3
?
解之得b＝±24.
∴直线l方程为3x＋4y±24＝0.
6．若直线(m＋1)x＋(m
2
－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，则实数m的值3.
[解析] 直线(m＋1)x＋(m< br>2
－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m
＋1 ，
1
由题意知m＋1≠0，(m－2)y＝1，由题意得＝1，
m－2
∴m＝3.
212
7．若直线l
1
：y＝－x－与 直线l
2
：y＝3x－1互相平行，则a＝－.
aa3
?
－
a
＝3，
[解析] 由题意可知
?1
－
?
a
≠－1，
2
解得a＝－
.
3
三、解答题
2


8．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)若直线l经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
1
3
?
1
，
3
?
，
x－
?
，
[解析] (1)将 直线l的方程整理为y－
＝a
?
所以l的斜率为a，且过定点A
?
5 5
?
5
?
5
?
13
?
而点A
?< br>?
5
，
5
?
在第一象限，故不论a为何值，直线l恒过第一象 限．
a>0
?
?
a－3
(2)将方程化为斜截式方程：y＝ax－ .要使l经过第一、三、四象限，则
?
a－3
5
?
?
－5
<0
解得a>3.
9．求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
31
[解析] (1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋
，
88
3
所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，
8
33
则所求直线的斜率k＝2×(－
)＝－.
84
又直线经过点(－1，－3)，
3
因此所求直线的方程为y＋3＝－
(x＋1)，
4
即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，
因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋
解得a＝±3，
xyxy
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
34
－3
4
即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.

a
2
＋4
2
＋|a|＝12，

，
3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公
式

情景引入
Q
ing jing yin ru


小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小华现在
的位 置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，
用向量的方式来解 决．
新知导学
X
in zhi dao xue


1．两条直线的交点坐标
(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条 直线的交点坐标，因此
解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系．
一般地，将直线l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0和直线l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0的方程联立，得方 程
组
?
?
A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0
?
.
?
A
2
x＋B
2
y ＋C
2
＝0
?

当方程组有唯一解时，l
1
和l
2
相交，方程组的解就是交点坐标；
当方程组无解时，l
1
与l
2
平行；
当方程组有无数组解时，l
1
与l
2
重合．
2．两点间的距离公式
两点P
1
(x
1
，y
1< br>)、P
2
(x
2
，y
2
)间的距离公式|P
1
P
2
|＝
?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
.
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
(2) 步骤：①建立坐标系，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结
果“翻译”成几何关 系．

预习自测
Y
u xi zi ce

1．两条 直线l
1
：2x－y－1＝0与l
2
：x＋3y－11＝0的交点坐标为( B )
A．(3,2)
C．(－2，－3)
B．(2,3)
D．(－3，－2)

??
?
2x－y－1＝0
?
x＝2
[解析] 解方程组
?
，得
?
.故选B．
x＋3y－11＝0y＝3
??
??
2．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－ 1＝0平行的直
线l的方程．

?
?
?
2x－3y－3＝0
[解析] 由方程组
?
，解得
?
7
?
?
x＋y＋2＝0
y＝－
?
5

3
x＝－
5

.
∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
7
∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－(－
)
5
3
＝－3[x－(－
)]．
5
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
3．(2019·宜春高一检测)直 线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1
＝0的交点，则直线l的方程为( B )
A．2x＋y＝0
C．x＋2y＝0
B．2x－y＝0
D．x－2y＝0
?
?
2x＋3y＋8＝0
[解析] 解法1：由
?

?
?
x－y－1＝0
?
?
x＝－1
解得
?

?
?
y＝－2
∴k
l< br>＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.
解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0.
∵l过原点，
∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0.


互动探究解疑
H
u dong tan jiu jie yi



命题方向1 ?两直线的交点问题

典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l
1
：2x＋y＋3＝0，l
2
：x－2y－1＝0；
(2)l
1
：x＋y＋2＝0，l
2
：2x＋2y＋3＝0；
(3)l
1
：x－y＋1＝0，l
2
：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的
方程组的解的个数．
??
?
2x＋y＋3＝0
?
x＝－1
[解析] (1)解方 程组
?
，得
?
，所以直线l
1
与l
2
相交 ，交点坐标为
x－2y－1＝0y＝－1
??
??
(－1，－1)．

?
?
x＋y＋2＝0 ①
(2)解方程组
?
，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．
?
?
2x＋2y＋3＝0 ②
所以直线l
1
与l
2
无公共点，即l
1
∥l
2
.


?
?
x－y＋1＝0 ①
(3)解方程组
?
，①×2得2x －2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一
?
?
2x－2y＋2＝0 ②
个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．
『规律方法』 两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
〔跟踪练习1〕 (1)已知直线l
1
：3x＋4y－5＝0与l
2
：3x＋5y－6＝0 相交，则它们的交点坐标为( C )
1
A．(－1，)
3
1
C．(，1)
3
1
B．(1，)
3
1
D．(－1，－)
3
(2)若两直线l
1
： x＋my＋12＝0与l
2
：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( C )
A．6
C．±6
B．－24
D．以上都不对
?
?
3x＋4y－5＝0
[解析] (1)联立方程组
?
，
?
3x＋5y－6＝0
?

1
?
?
x＝
3
1
解得
?
，故交点为(， 1)．
3
?
y＝1
?
(2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交 点分别为：－
12m
由题意得－＝－，
m3
解得m＝±6.
命题方向2 ?平面上两点间的距离

典例2 已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值．
[思路分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值．
[解析] ∵|AB|＝?a－3?
2
＋?3－3a－3?
2
＝5，
12m
和－，
m3

8
即5a
2
－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝
.
5
『规律方法』 两点间的距离公式|P
1
P
2
|＝?x< br>1
－x
2
?
2
＋?y
1
－y
2?
2
与两点的先后顺序无关，
利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进 行研究．我们求线段的长度时，常常使
用两点间的距离公式．
〔跟踪练习2〕
解释 代数式?x＋1?
2
＋1＋?x－3?
2
＋4的几何意义，并求它的最小值．
[解析]
?x－3?
2
＋?0－2?
2
，
∴代 数式的几何意义为x轴上的点P(x,0)到点A(－1，－1)和点B(3,2)的距离之和，易知
代 数式的最小值为A，B两点间的距离，即d(A，B)＝
小值为5.


典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、
B(－1,3)、C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
?3＋1?
2< br>＋?2＋1?
2
＝5，故代数式的最
∵?x＋1?
2
＋1＋? x－3?
2
＋4＝[x－?－1?]
2
＋[0－?－1?]
2
＋

[解析] (1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证

解法一：∵|AB|＝
|AC |＝
|BC|＝
?－1－1?
2
＋[3－?－1?]
2
＝2 0＝25，
?3－1?
2
＋[0－?－1?]
2
＝5，
[3－?－1?]
2
＋?0－3?
2
＝25＝5，
∴|AB|
2
＋|AC|
2
＝|BC|
2
，
即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
解法二：∵k
AB
＝
3－?－1?0－?－1?
1
＝－2，k
AC
＝
＝，
2< br>－1－1
3－1
∴k
AB
·k
AC
＝－1，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
1
(2)∵ ∠A＝90°，∴S
△ABC
＝
|AB|·|AC|＝5.
2
『规律方法』 三角形形状的判断方法：
(1)判断三角形的形状，要采用数形结 合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的
方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从 两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形
边的长度特征．
〔跟踪练习3〕
已知点A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)则△ABC的形状为( C )
A．等边三角形
C．等腰三角形
[解析] ∵|AB|＝
|AC|＝

B．直角三角形
D．等腰直角三角形
?4－2?
2
＋?3－1?
2
＝22，
?0－2?
2
＋?5－1?
2
＝25，

|BC|＝?5－3?
2
＋?0－4?
2
＝25，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形．

学科核心素养
X
ue ke he xin su yang

直线方程的设法技巧与直线系方程
直线方程中含有参数时，由 于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数
时，方程表示一簇平行或过定点的直线． < br>(1)已知l：y＝kx＋b，与l平行的直线方程设为y＝kx＋b
1
；与l垂直的直 线方程设为y＝
1
－x＋b
1
(k≠0)．
k
(2)已知 l：Ax＋By＋C＝0，与l平行的直线方程设为Ax＋By＋C
1
＝0，(C
1< br>≠C)与l垂直
的直线方程设为Bx－Ay＋C
2
＝0.
(3)过定 点P(x
0
，y
0
)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y
0＝k(x－x
0
)．
(4)与x轴交于点(x
0,
0)的直线 方程可设为x＝my＋x
0
.
(5)若直线l
1
：A
1< br>x＋B
1
y＋C
1
＝0，l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0，l
1
与l
2
相 交于点P，则过点P的
直线方程设为A
1
x＋B
1
y＋C
1
＋λ(A
2
x＋B
2
y＋C
2
)＝0(不包括l< br>2
)．
(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b.

典例4 已知直线l
1
：x－2y＋3＝0，l
2
：2x＋3y－8＝0.求经过l< br>1
，l
2
的交点且与
已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程 ．
[思路分析] 可先求l
1
与l
2
的交点，再求过交点与已知直 线平行的直线，也可以先写出
所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．
?
?
x－2y＋3＝0
[解析] 解法一：解方程组：
?
， 得x＝1，y＝2，∴l
1
与l
2
的交点为(1,2)，
?
?
2x＋3y－8＝0
∵直线l过点(1,2)且与直线3x＋4y－2＝0平行，
∴设方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－2)，把(1,2)代入得：C＝－11，
∴所求方程为：3x＋4y－11＝0.
解法二：∵l过l
1
与l
2
的交点，∴设l的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0，
即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，
∵l与直线3x＋4y－2＝0平行，

?
?
∴
?
8λ－3
1
≠
?
3λ－2
?
2

2λ＋1
3
－＝－
4
3λ－2

，∴λ＝10，

∴l的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，即3x＋4y－11＝0.
〔跟踪练习4〕
求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y－3＝0的直线方
程．
[解析] 解法一：设过两直线交点的直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.
3＋2λ
整理为一般式，得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，其斜率为－
.而直线6x－7y－3 ＝0
4＋λ
3＋2λ
66
的斜率为，由垂直条件可得
×(－)＝－1 ，解得λ＝2.
77
4＋λ
故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2 ＋2×2＝0，即7x＋6y＋2＝0.
??
?
3x＋4y－2＝0，
?< br>x＝－2，
解法二：将两直线方程联立得
?
解得
?
即两直线的 交点坐标
?
2x＋y＋2＝0，
?
??
y＝2，
为(－2, 2)．
由于所求直线与直线6x－7y－3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0.而 此直
线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m＝0，所以m＝2.
故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0.

易混易错警示
Y
i hun yi cuo jing shi
因考虑问题不全面而致误

典例5 若三条直线l
1
：ax＋y＋1＝0，l
2
：x＋ay＋1 ＝0，l
3
：x＋y＋a＝0共有三
个不同的交点，则a的取值范围为( D )
A．a≠±1
C．a≠－2
[错解] 选A或选B
[错因分析] 在解题过程中，若只由解析中①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考
虑 问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．
由解析②处得a≠±1 ，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相
交于一点的情况．
[解析] 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易
B．a≠1且a≠－2
D．a≠±1且a≠－2

直接求参数，可考虑从反面着手求解．
?
?
x＋ay＋1＝0
(1)若三条直线交于一点，由
?
，
?
x＋y＋a＝0
?
?
?
x＝－a－1
解得
?
，将l
2
，l
3
的交点(－a－1,1)代入l
1的方程解得a＝1或a＝－2.①
?
y＝1
?
(2)若l
1< br>∥l
2
，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，②
当a＝1时，l
1
与l
2
重合．
(3)若l
2
∥l
3
，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，
当a＝1，l
2
与l
3
重合．
(4)若l
1
∥l
3
，则a×1－1×1＝0得a＝1，
当a＝1时，l
1
与l
3
重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－ 1时，l
1
∥l
2
；
当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－
2.
[正解] D

课堂达标验收
K
e tang da biao yan shou



1．直线l
1
：3x＋4y－2 ＝0与l
2
：2x＋y＋2＝0相交，则交点是( B )
A．(2，－2)
C．(－2,1)
B．(－2,2)
D．(－1,2)
?
?
3x＋4y－2＝0
[解析] 由方程组
?
，
2x＋y＋2＝0
?
?
?
?
x＝－2
解得
?，即l
1
与l
2
的交点坐标为(－2,2)．
y＝2
?
?
2．已知点A(2k，－1)、B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k等于( A )
A．±3
C．－3
[解析] 由题意得
解得k＝±3.



B．3
D．0
?2k－k?
2
＋?－1－1?
2
＝13，

3．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为C (1,1)，则|AB|
等于( D )
A．2
C．4
a＋0
?
1＝
?
2
，
[解析] 设A(a,0)， B(0，b)，则
?
0＋b
?
1＝
?
2
，
＝2
2
＋?－2?
2
＝22.
4．已知点A(3,6)，在x轴上 的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为(－5,0)或(11,0).
[解析] 设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10得
?x－3?
2
＋?0－6?
2
＝10，
解得x＝11或x＝－5.
∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．



A级 基础巩固
一、选择题
1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( C )
A．2
C．5
[解析] N(－1,2)，|ON|＝
B．1
D．5
?－1?
2
＋2
2
＝5.故选C．
B．2
D．22

?
?
a＝2，
即
?
所以A(2,0)，B(0,2)，所以|AB|
?
?
b＝2，

2．已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( C )
A．－3
C．－3或5
[解析] 由两点间的距离公式知
|AB|＝
由5＝
?－1－2?
2
＋?b－1?
2
＝
b
2
－ 2b＋10，
b
2
－2b＋10，
B．5
D．－1或－3

解得b＝－3或b＝5.
3．经过两点A(－2,5)、B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是( A )
1
A．(－，0)
3
1
C．(，0)
3
B．(－3,0)
D．(3,0)
[解析] 过点A(－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐
1
标为(－，0)． < br>3
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于 ( B )
A．－2
C．2
1
B．－
2
1
D．
2
?
?
x－y＝1
[解析] 由
?
，得交点(－1，－2)，
?
2x＋3y＋8＝0
?
1
代入x＋ky＝0得k＝－，故选B．
2
5．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点 B
的坐标为( A )
A．(－3,1)或(7,1)
C．(－3,1)或(5,1)
B．(2，－2)或(2,7)
D．(2，－3)或(2,5)

[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，
∴a＝－3或7.
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( C )
A．5
C．25
B．42
D．210
[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|
＝ ?0－4?
2
＋?－2－0?
2
＝20＝25.
二、填空题
1
7．已知A(1，－1)、B(a,3)、C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝.
2
[解析]

?a－1?
2
＋?3＋1?
2< br>＝?4－a?
2
＋?5－3?
2
，

1
解得a＝
.
2
8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与 直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝－2
2
或－.
3
2
[解析] 由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－.
3
三、解答题
9．(2018～2019·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x－y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角
三角形面积为9的直线方程．
c1
[解析] 设 所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，x＝－
，令x＝0，y＝c，所以
22
?
c·
?
－
c
??
＝9，解得c＝±6，故所求直线方程 为2x－y±6＝0.
??
2
??
xy
解法2：设所求直线方程为＋＝1.
ab
变形得bx＋ay－ab＝0.
?
?
由条件知
?1
?
?
2
|ab|＝9②
∴a＝±3.
ba
＝①
2
－1


由①得b＝－2a代入②得a
2
＝9，
当a＝3时，b＝－6，当a＝－3时，b＝6，
∴所求直线方程为2x－y±6＝0. < br>10．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取
值范围．
?
?
x＋y－3m＝0
[解析] 由
?
?
?
2x－y＋2m－1＝0

m＋1
?x＝
?
3
，得
?
8m－1
?
y＝
?< br>3

.
m＋18m－1
∴交点M的坐标为(，
)．
33
∵交点M在第四象限，

m＋1
?
?
3
>0
∴
?
8m－1
?
?
3
<0

1
，解得－1.
8
1
∴m的取值范围是(－1，
)．
8
B级 素养提升
一、选择题
1．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是( C )
A．210，(1,2)
C．210，(－1,2)
[解析] |AB|＝
C．
2．已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于10，则实数m的范围是( B )
4
A．－＜m＜2
5
4
C．m＜－2或m＞
5
[解析] 根据两点间的距离公式
|PQ|＝
2.
3．已知直 线上两点A(a，b)，B(c，d)，且a
2
＋b
2
－c
2
＋d
2
＝0，则( D )
A．原点一定是线段AB的中点
B．A，B两点一定都与原点重合
C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点
D．原点一定在线段AB的垂直平分线上
[解析] 由a
2
＋b
2
－c
2
＋d
2
＝0得a
2
＋b
2
＝c
2
＋d
2
，即A，B两点到坐标原点的距
?m－1?
2
＋?1－2m?
2
＝
4
5m
2
－6m＋2＞10， ∴5m
2
－6m－8＞0，∴m＜－或m＞
5
4
B．m＜－或m＞2
5
4
D．－2＜m＜
5
?－4－2?
2
＋?1－ 3?
2
＝2
B．210，(－1，－2)
D．210，(1，－2) 2－43＋1
10，中点坐标为(，
)，即(－1,2)，故选
22
离相 等，故选D．
4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)， 则m－n＋p为( B )
A．24
C．0
B．20
D．－4

[解析] ∵两直线互相垂直，∴k
1
·k
2
＝－1，
m2
∴－
·
＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，
45
∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，
∴m－n＋p＝20.
二、填空题
5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限， 则a的取值范围是
3
－2
?
?
5x＋4y＝2a＋1
[解析] 解方程组
?
?
2x＋3y＝a
?

2a＋3
??
x＝
7
，得
?
a－2
?
y＝
?7

.交点在第四象限，所以
2a＋3
?
?
7
>0
?
a－2
?
?
7
<0

3
，解得－
2
6．(2018·吉林检测)已知点A( 1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为5.
[解析]

如图所示，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA′|＝|PA|.∴|PA |＋|PB|＝|PA′|
＋|PB|≥|A′B|.
∵|A′B|＝?1－4?
2
＋?－1－3?
2
＝5，
∴|PA|＋|PB|≥5.
故|PA|＋|PB|的最小值为5.
7．(201 8·河北省保定市质检)函数y＝x
2
－2x＋3＋x
2
＋4x＋8的值域为 [15＋42，＋
∞).

[解析] 将原函数解析式配方整理得
y＝?x－1?
2
＋2＋?x＋2?
2
＋4，
?x－1?
2
＋2＝
?x＋2?
2
＋4＝
?x－1?
2
＋?0－2?
2
表示点P(x,0)到点A(1，2)的距离，
?x＋2?
2
＋[0－?－2?]
2
表示点P(x,0)到点B(－2，－2)的距离．
故y表示x轴上的点P(x,0)到两定点A(1，2)，B(－2，－2)的距离之和．
由 平面几何知识可知，当点P为直线AB与x轴的交点时，y
min
＝d(A，B)＝
? 1＋2?
2
＋?2＋2?
2
＝15＋42.
而当点P沿x轴的正方 向或负方向离直线AB与x轴的交点越来越远时，y越来越大，且
趋于无穷大．
所以函数的值域为[
三、解答题
8．直线l过定点P(0,1)，且与直线l
1
：x－3y＋10＝0，l
2
：2x＋y－8＝0分别交于A、B
两点． 若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
[解析] 解法一：设A(x
0
，y0
)，由中点公式，有B(－x
0
，2－y
0
)，∵A在l1
上，B在l
2
上，
15＋42，＋∞)．
??
?
x
0
－3y
0
＋10＝0
?
x
0
＝－4
∴
?
?
?
，
??
?
－2x
0
＋?2－y
0
?－8＝0
?
y
0
＝2
∴k
AP
＝
1－2
1
＝－，
4
0＋4

1
故所求直线l的方程为：y＝－
x＋1，
4
即x＋4y－4＝0.
解法二：设所求直线l方程为：
y＝kx＋1，l与l
1
、l
2
分别交于M、N.
?10k－1
?
y＝kx＋1
7
解方程组
?
，得M(，< br>)．
3k－13k－1
?
?
x－3y＋10＝0
?
8k＋2
?
y＝kx＋1
7
解方程组
?
，得N(，
)．
k＋2k＋2
?
?
2x＋y－8＝0

∵M、N的中点为P(0,1)则有：
1771
(
＋
)＝0，解得∴k＝－.
2
3k－1k＋2
4
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
9．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，
宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得< br>两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．

[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

因为AD＝5 m，AB＝3 m，
所以C(5,0)、D(5,3)、A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，
所以k
AC
·k
DM
＝－1，
即
3－03－0
·
＝－1.
0－55－x
所以x＝3.2，即|BM|＝3.2，
即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．
由两点间距离公式得|DM|＝


334
?5－3.2?
2
＋?3－0?
2
＝
.
5
3．3.3 点到直线的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离

情景引入
Q
ing jing yin ru


在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来， 易知从仓库垂直于铁
路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁 路的最短
距离呢？
新知导学
X
in zhi dao xue


1．点到直线的距离公式
点P
0
(x
0
，y< br>0
)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
|Ax
0
＋By
0
＋C|
.
A
2
＋B
2
[归纳总结] 点到几种特殊直线的距离：
( 1)点P(x
0
，y
0
)到x轴的距离d＝|y
0
|； < br>(2)点P(x
0
，y
0
)到y轴的距离d＝|x
0
|；
(3)点P(x
0
，y
0
)到直线y＝a的距离d＝|y0
－a|；
(4)点P(x
0
，y
0
)到直线x＝b 的距离d＝|x
0
－b|.
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条平行直线间的距离．
(2)求法： 转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条
直线的距离就是这两条平行 直线间的距离．
(3)公式
一般地，已知两条平行直线l
1
：Ax＋By ＋C
1
＝0，l
2
：Ax＋By＋C
2
＝0(C
1
≠C
2
)．设P(x
0
，
y
0
)是直线l
2
上的任意一点，则Ax
0
＋By
0
＋C
2
＝0，即Ax
0
＋By
0
＝－C
2
，于是P(x
0
，y
0
)到直线
l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0的距离
|Ax
0
＋By
0
＋C
1
||C< br>1
－C
2
|
d＝＝
2
.
A
2< br>＋B
2
A＋B
2
此式就是两条平行直线l
1
与l2
间的距离公式．
[归纳总结] (1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：
①把直线方程化为直线的一般式方程；
②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．

(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任 意一点到另一条直线的距离，
且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．
(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两直线都与x轴垂直 时，l
1
：x＝x
1
，l
2
：x＝x
2
， 则d＝|x
2
－x
1
|；
②两直线都与y轴垂直时，l
1
：y＝y
1
，l
2
：y＝y
2
，则d＝|y
2
－y
1
|.
预习自测
Y
u xi zi ce

1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( A )
A．
5

5
25
B．
5
D．25 C．5
|2－2＋1|
5
[解析] 点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为d＝
＝
.
5
4＋1
2． 已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为( B )
1
A．0或－
2
11
C．－或
22
1
B．或－6
2
1
D．0或
2
4－2
－1－3
或
[解析] 由题知直线mx＋y＋3＝0与AB 平行或过AB的中点，则有－m＝
3－12＋4
1
m×
＋＋3＝0，∴m＝或 m＝－6.
222
3．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于( A )
52
A．
2
C．52
B．
2

2
D．2
[解析] 直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2,0)，点P到直 线x＋y－3＝0的距离d＝
|－2＋0－3|
5252
＝，即这两条平行线间的距离 为
.
22
22
1
＋1
4．经过点M(3，－2)且与原点 距离为3的直线l的方程为x－3＝0或5x－12y－39＝0.
[解析] 若直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为
y＋2＝k(x－3)，即kx－y－(3k＋2)＝0，

由点到直线的距离公式，得
|3k＋2|
k
2
＋1
5
＝3，解得k＝，
12
55
故直线l的方程为
x－y－(
＋2)＝0
124
即5x－12y－39＝0，
当直线的斜率不存在时，x＝3也符合题意，
∴所求直线方程为5x－12y－39＝0或x－3＝0.


互动探究解疑
H
u dong tan jiu jie yi

命题方向1 ?点到直线的距离公式

典例1 求点P(3，－2)到下列直线的距离．
31
(1)y＝x＋； (2)y＝6; (3)x＝4.
44
[思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化 )，然后再利用点到
直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
31
[解析] ( 1)把方程y＝x＋
写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝
44
|3 ×3－4×?－2?＋1|
18
＝
.
5
22
3
＋ ?－4?
|0×3＋?－2?－6|
(2)解法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由 点到直线的距离公式得d＝
0
2
＋1
2
＝8.
解法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
『规律方法』 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用
点到直线的距离公式．
2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要

注意数形结合．
3．几种特殊情况的点到直线的距离：
(1)点P
0
(x
0
，y
0
)到直线x＝a的距离d＝| x
0
－a|；
(2)点P
0
(x
0
，y
0
)到直线y＝b的距离d＝|y
0
－b|.
〔跟踪练习1〕
( 2019·辽宁省鞍山市高一期末)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(1,3)到直线l
的 距离为2，则直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
[思路点拨] 先设出适当的直线方程，然后根据点到直线的距离公式列出等式，从而求
得直线l的方程．
[解析] 由题意知，若截距为0，
则设所求直线l的方程为y＝kx(k≠0)．
由题意知
|k－3|
＝2，解得k＝1或－7，此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝ 0.
k
2
＋1
若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a ≠0)．
|1＋3－a|
由题意知＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－ 2＝0或x＋y－
2
6＝0.
综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

命题方向2 ?求两平行直线的距离

典例2 (2019·山东省烟台市期末)与 直线2x－y－1＝0平行，且距离为2的直线
方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝ 0.

[思路点拨]
思路一 由直线平行设出方程→
利用平行线间

的距离公式求解
利用点到直线的距
设出直线上任意
思路二 →
离公式求出直线上的

一点的坐标
点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它与直线2x

－y－1＝0的距离为d＝
|C－?－1?||C＋1|
＝＝2，
5
22
2
＋?－1?
∴|C＋1|＝25，C＝±25－1，
故所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.
方法二 设P(x，y)为所求直线上任意一点，
则点P到直线2x－y－1＝0的距离d＝
|2x－ y－1|
2
2
＋?－1?
2
＝
|2x－y－1|
＝ 2，即2x－y－1＝±25，
5
故所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.

『规律方法』 1.求两平行直线间距离的两种思路：
(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两条平行直线间距 离公式d＝
|C
1
－C
2
|
.
A
2＋B
2
2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
(1 )两直线都与x轴垂直时，l
1
：x＝x
1
，l
2
：x＝x
2
，
则d＝|x
2
－x
1
|；
(2) 两直线都与y轴垂直时，l
1
：y＝y
1
，l
2
：y＝y< br>2
，
则d＝|y
2
－y
1
|.
〔跟踪练习2〕
(2019·益阳高一检测)直线2x＋3y＋1＝0与4x＋my＋7＝0 平行，则它们之间的距离为
( C )
A．4
513
C．
26
213
B．
13
710
D．
20
[解析] 由题意，得2m－3×4＝0，∴m＝6.
7
|1－|2
2
2
＋3
513
＝
.
26
2
故两直线2x＋3y＋1＝0与4x＋6y＋7＝0的距离d＝

学科核心素养
X
ue ke he xin su yang


一、数形结合思想

典例3 两互相平行的 直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋
转，如果两条平行线间的距离为d .
(1)求d的变化范围；
(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法一：(1)设两条直线方程分别为
y＝kx＋b
1
和y＝kx＋b
2
，
??
?2＝6k＋b
1
?
b
1
＝2－6k
则
?
，即
?
.
??
?
－1＝－3k＋b
2
?
b
2
＝3k－1
而d＝
|b
2
－b
1
|
＝
|9k－3|
，两边平方整理得

1＋k
2
1＋k
2
即(81－d
2
)k
2
－54k＋9－d
2
＝0，
由于k∈R，
所以Δ＝54
2
－4(81－d
2
)(9－d
2
)≥0，
整理得4d
2
(d
2
－90)≤0，∴054
(2)因d＝310时，k＝
＝－3，
?81－90?×2
故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝310最大，当
两 直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．
∴0(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
『规律方法』 上面 我们用两种思路作了解答，不难发现解法二比解法一简捷的多，这
足以显示数形结合的威力，在学习解析 几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数
形结合能力的提高和思维能力的发展．
〔跟踪练习3〕

若A(1,4)、B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.
(1)d的取值范围为[0,5]；
(2)当d取最大值时，直线l的方程为4x＋3y＋9＝0；
(3)当d＝4时，直线l的方程为7x＋24y－3＝0.
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线l⊥AB时，d取最大值，当l经过A、B时，
d取最小值，
∴0≤d≤5.
4－1
13
(2)当d＝5时，k
l
＝－
，k
AB
＝
＝，
k
AB
1－?－3?
4
4
∴直线l的方程y－1＝－
(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
3
(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，
由A(1,4)到l距离为4知
|k－4＋3k＋1|
7
＝4，∴k＝－，
24
1＋k
2
当斜率k不存在时，x＝－3也满足题意．
故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0.
二、对称问题(关于x，y的二元方程可记作f(x，y)＝0)
1．中心对称，由中点坐标公式知，点A(x
0
，y
0
)关于点P
(m，n)的对称点坐标为(2m－x
0,
2n－y
0
)，所以曲线 (直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的
曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝ 0，特别地，点P(x
0
，y
0
)关于原点的对称点为(－x
0，－y
0
)．
2．轴对称：
(1)点关于直线的对称点的求法 点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P
0
(x
0
，y< br>0
)，满足关系
x＋xy＋y
A·＋B·＋C＝0，
?
2?
2
?
y－y
B
?
?
x－x
＝
A
，
00
0
0

解方程组可得点P
0
的 坐标．其中主要抓两个关键点：一是两
对称点的中点在对称轴上；二是两对称点连线与轴垂直．
(2)特殊的轴对称问题．
点P(x
0
，y
0
)关于x轴 、y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n的对称
点的坐标依次为(x< br>0
，－y
0
)、(－x
0
，y
0
)、(2m －x
0
，y
0
)、(x
0,
2n－y
0
) 、(y
0
，x
0
)、(－y
0
，－x
0
) 、

(y
0
－m，x
0
＋m )、(－y
0
＋n，－x
0
＋n)，于是曲线(直线)f(x，y)＝0关于 x轴、y轴、x＝m、y
＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程 依次为：f(x，－y)＝0、f(－
x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝ 0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、
f(－y＋n，－x＋n )＝0.
典例4 光线通过点A(2,3)在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1 ,1)，
则反射光线所在直线的方程为4x－5y＋1＝0.
[思路分析] 点A关于直线l 的对称点A′在反射光线所在直线上，又反射光线通过点B，
则反射光线所在直线为A′B
．< br>
[解析] 点A(2,3)关于l：x＋y＋1＝0的对称点A′坐标x＝－3－1＝－4，y ＝－2－1＝
1＋3
4
－3，即A′(－4，－3)．由题意反射光线所在直线为A′ B
．
∵k
A
′
B
＝
＝，∴直线方程为
1＋ 4
5
4
y－1＝(x－1)，整理得4x－5y＋1＝0.
5
〔跟踪练习4〕
直线2x＋y－1＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程为x＋2y－3＝0.

易混易错警示
Y
i hun yi cuo jing shi
求直线方程时，忽略斜率不存在的情况
典例5 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
[错解] 由题意设l 的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距
|－k＋2|
33
离为1，所以
2
＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1) ，即3x－4y＋5
44
k＋1
＝0.
[错因分析] 符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了
一条直线．
[正解] 当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距
离为1，满足题 意．
当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即k x－y－
|－k＋2|
3
k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以
2
＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为
4
k＋1
3
y－2＝(x －1)，即3x－4y＋5＝0.
4
综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
[警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．

课堂达标验收
K
e tang da biao yan shou
1．(2019·安溪高一检测)若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小 值
是( B )
A．10
C．6
B．22
D．2
[解析] |OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距 离公式，得
d＝
|－4|
1
＋1
22
＝22.
2 ．平行直线l
1
：3x－y＝0与l
2
：3x－y＋10＝0的距离等于( A )
A．1
C．10
[解析] d＝
|0－10|
＝1.
B．0
D．3
3
2< br>＋?－1?
2
3．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实 数m等于( C )
3
A．
4
4
C．－
3
3
B．－
4
4
D．
3
|m＋4－1|
4
[解析] 由题意得
＝1，解得m＝－
.
3
m
2
＋1
4．求 点P
0
(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0; (2)x＝2; (3)y－1＝0.
[解析] (1)由点到直线的距离公式知
|2×?－1?＋2－10|
10
d＝
＝＝25.
5
22
2
＋1

(2)解法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.
由点到直线的距离公式

|－1＋0×2－2|
d＝
＝3.
22
1
＋0
解法二：∵直线x＝2与y轴平行，
∴由右图知d＝|－1－2|＝3.
(3)解法一：由点到直线的距离公式得
|－1×0＋2－1|
d＝
＝1.
22
0
＋1
解法二：∵直线y－1＝0与x轴平行，
∴由下图知d＝|2－1|＝1.





A级 基础巩固
一、选择题
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( C )
A．3
1
C．
10
B．7
1
D．
2
1
[解析] 在3x＋4y－2＝0上取一点(0，)，其到6x＋8y－5＝0的 距离即为两平行线间的
2
1
|0＋8×
－5|
2
1
距离，d＝＝
.
10
6
2
＋8
2
2．已知△AB C的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的
距离为( B )
9
A．
2
25
C．
5

92
B．
2
D．43

|2×1＋6×1＋1|
[解析] BC边所在直线的方程为
＝，即x＋y＋1＝0； 则d＝＝
2
－3－3
2＋4
92
.
2
3．若点A (－3，－4)、B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )
7
A．
9
71
C．－或－
93
1
B．－
3
71
D．或
93
y－ 3x＋4
|－3a－4＋1||6a＋3＋1|
17
[解析] 由题意及点到直线的距离公式得
＝，解得a＝－或－
.
39
a
2< br>＋1
a
2
＋1
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x －y－1＝0的距离为2，则点P的坐
标为( C )
A．(1,2)
C．(1,2)或(2，－1)
[解析] 设点P的坐标为(x
0
，y
0
)，则有
B．(2,1)
D．(2,1)或(－1,2)
?
3x＋y－5＝0
?
|x－y－ 1|
?
2
＝2
00
00

??
?
x
0
＝1
?
x
0
＝2
，解得
?
或
?
.
?
y
0
＝2
?
??
y0
＝－1

5．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C )
A．3
C．5
B．4
D．6
?3－1?
2
＋?1－3?
2
＝22，AB边
y－3x－1
1
[解析] 设AB边上的高为h，则S
△ABC
＝
|AB|·h.|AB|＝
2
上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.
1－ 33－1
|－1＋0－4|
515
点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S< br>△ABC
＝
×22×
＝5.
2
222
6．直线l垂 直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为2，则直线l的方程是( A )
A．x＋y－2＝0
C．x＋y－1＝0
B．x＋y＋1＝0
D．x＋y＋2＝0
[解析] 方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又

l在y轴上截距为2，所以所求直线l的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
方法2： 将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以
设直线l的方程 为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为2，所以－c
＝2，即c＝－2， 所以直线l的方程为x＋y－2＝0.
二、填空题
7．已知直线l
1
：( k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l
2
：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l< br>1
与l
2
55
间的距离为或.
210
[解析] ∵l
1
∥l
2
，
?
?
?k－3?×?－2?－2 ?k－3??4－k?＝0
∴
?
，
?
?
?－2?×1－?4－k?×3≠0
解得k＝3或k＝5.
3 5
当k＝3时，l
1
：y＝－1，l
2
：y＝
，此时l1
与l
2
间的距离为
；
22
当k＝5时，l
1
：2x－y＋1＝0，l
2
：4x－2y＋3＝0，此时l
1
与l
2
间的距离为
5
.
10
8．过点A(－3,1)的所有直 线中，与原点距离最远的直线方程是3x－y＋10＝0.
1
[解析] 当原点与点A的连线 与过点A的直线垂直时，距离最大．∵k
OA
＝－
，∴所求直
3
线的 方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.
三、解答题
9．已知三条直线l< br>1
：4x＋y－4＝0，l
2
：mx＋y＝0，l
3
：2x－ 3my－4＝0.求m的值，使它
分别满足以下条件：(1)l
1
，l
2，l
3
交于同一点；(2)l
1
，l
2
，l
3
不能围成三角形．
[解析] (1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l
2
，l
3
的方程中分别得x
1
＝
，x
2
＝< br>m－4
6m＋3
，
1＋6m
由
6m＋3
2
＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．
3
m－46m＋1
－4
－4
|3－2|
4
2
＋?－2?
2
＝

2
(2)首先由(1)知，当m＝－1或
时，不能围成三角形；
3
又kl
1
＝－4，kl
2
＝－m，kl
3
＝
2，
3m
1
若l
1
∥l
2
，则m＝4；若l< br>1
∥l
3
，则m＝－
；
6
由于kl
2与kl
3
异号，显然l
2
与l
3
不平行．
12
综上知，m＝－1，－，或4.
63
B级 素养提升
一、选择题
1．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C )
9
A．
5
C．3
18
B．
5
D．6
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y －12＝0上取点(4,0)，然
后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
2． (2019·潍坊高一检测)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程
是( A )
A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
B．3x－4y－11＝0
C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
D．3x－4y＋9＝0
[解析] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得
解得m＝9或－11.
3．到两条直线l
1
：3x－4y＋5＝0与l
2
：5x－12y＋13＝0 的距离相等的点P(x，y)必定满
足方程( D )
A．x－4y＋4＝0
B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0
[解析] 结合图形可知，这样的直线应该 有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分
|m－?－1?|
＝2，
3
2
＋?－4?
2

线．由 公式可得
|3x－4y＋5|
3
＋?－4?
22
＝
|5x－ 12y＋13|3x－4y＋55x－12y＋13
，即＝±，化简得7x＋4y
513
22
5
＋?－12?
＝0或32x－56y＋65＝0.
4．(2018 ·定州中学高一期末)两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的
距离为( D )
A．4
5
C．13
26
2
B．13
13
D．
7
10
20
[解析] ∵直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，
6m1
∴＝
≠
，解得m＝2.
31
－3
因此，两条直线分别为3x＋y－3＝0与6x＋2y＋1＝0，
即6x＋2y－6＝0与6x＋2y＋1＝0.
∴两条直线之间的距离为d＝
二、填空题
5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0 上，则x
2
＋y
2
的最小值是8.
[解析] x
2
＋y
2
表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
|－4|
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝22，
2
∴x
2
＋y
2
最小值为8.
6．(2018· 江西省赣州市高一期末)过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是x＝1.
[解析]
|－6－1|
＝
77
＝
10.
40
20
6
2
＋2
2

如右图，当过点A 的直线恰好与直线AP垂直时，所求直线与点P的距离最大，故所求
直线方程为x＝1.

7．(2018·湖南省长沙市岳麓区高三模拟)已知a＋b＝3，则a< br>2
＋b
2
＋10a－4b＋29的最小
值为32.
[解析] 由题意易得点P(a，b)在直线x＋y－3＝0上，
而a
2
＋b
2
＋10a－4b＋29＝?a＋5?
2
＋?b－2?
2
，因此原问题可以转 化为求点P(a，b)与
|－5＋2－3|
点A(－5,2)的距离的最小值，又点A(－5, 2)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝32，
2
故a
2
＋b
2＋10a－4b＋29的最小值为32.
三、解答题
8．(2018·定州中学高一期 末)已知△ABC三边所在直线方程：l
AB
：3x－2y＋6＝0，l
AC
：
2x＋3y－22＝0，l
BC
：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)当BC边上的高为1时，求m的值．
32
[解析] (1)直线AB的斜率为k
AB
＝
，直线AC的斜率 为k
AC
＝－
，
23
所以k
AB
·k
AC
＝－1，
所以直线AB与AC互相垂直，
因此，△ABC为直角三角形．
??
?< br>3x－2y＋6＝0
?
x＝2
(2)解方程组
?
，得
?
，即A(2,6)．
??
?
2x＋3y－22＝0
?
y ＝6
|3×2＋4×6－m||30－m|
由点到直线的距离公式得d＝＝，
522
3
＋4
|30－m|
当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，
5
解得m＝25或m＝35.
9．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l
1
：x－y＋1＝0与l
2
：x－y－1＝0所截得的
线段的中点M 在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．
[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，
∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l
1
、l
2
的距离相等，
|t－?3－t?＋1||t－?3－t?－1|
即＝，
22

33
?
3
解得t＝，∴M
?
?
2
，
2
?
.
2
又l过点A(2,4)，
33
y－x－
22
由两点式得＝，
33
4－2－
22
即5x－y－6＝0，
故直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法二：设与l
1
、l
2< br>平行且距离相等的直线l
3
：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式
得< br>|c－1||c＋1|
＝，解得c＝0，即l
3
：x－y＝0.由题意得中点M 在l
3
上，又点M在x＋y－3＝0
22
上．
?
?
?
x－y＝0
解方程组
?
，得
?
3
x＋y－3＝ 0
?
?
y＝
?
2

3
x＝
2

.
33
?
∴M
?< br>?
2
，
2
?
.又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法三：由题意知直线l的斜率必存在，
设l：y－4＝k(x－2)，
?
?
y－4＝k?x－2?
由?
，得
?
x－y＋1＝0
?


?
?
x＝
k－1
?
3k－4
y＝
?
?
k－1< br>?
?
x＝
k－1
?
k－4
?
?
y＝
k－1
2k－5
2k－3
?
?
y－4＝k?x－2?
由
?
，得
?
x－y－1＝0
?


，
.
?
2k－33k－4
?
，
∴直线l与l
1、l
2
的交点分别为
??
，
k－1k－1
??

?
2k－5k－4
?
，
??
.
k－1k－1??
?
2k－42k－4
?
，
∵M为中点，∴M
??< br>.
k－1k－1
??
又点M在直线x＋y－3＝0上，
2k－42k－4
∴＋－3＝0，解得k＝5.
k－1k－1
故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，
即5x－y－6＝0.

章末整合提升

专题一 ?直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面
刻画了直线的倾斜程度．
(1)倾斜角的范围是[0°，180°)．
(2)倾斜角与斜率的对应关系
①α≠90°时，k＝tanα；
②α＝90°时，斜率不存在．
(3)倾斜角与斜率的单调性问题
当直线l的倾斜角α从0°增大到90°时，直线l的斜率 从0增大到＋∞；当直线l的倾斜
角α从90°增大到180°时，直线l的斜率从－∞增大到0. < br>y
2
－y
1
(4)斜率公式：经过A(x
1
，y1
)，B(x
2
，y
2
)(x
1
≠x
2
)两点的直线的斜率公式k＝(x≠x)，
x
2
－x
1
1 2
应用时注意其适用的条件x
1
≠x
2
，当x
1
＝ x
2
时，直线的斜率不存在．
典例1 已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1 ,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，
求直线l的斜率的取值范围．
[解析] 如图所示，直线PA的斜率

k
PA
＝
1
＝，
1－?－1?
2
1－0
直线PB的斜率
k
PB
＝
1－?－4?
5
＝－
.
21－3
1
当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[ ，＋∞)，
2
5
当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围 是(－∞，－
]．
2
51
∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－
]∪[
，＋∞)．
22
『规律方法』 借助数形结合方法既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．

专题二 ?直线方程
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条 件及相互转化，
能根据条件灵活选用方程，要注意各种直线方程的适用条件．
典例2 过点P (－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截
距之差的绝对值为1，求这 两条直线的方程．
[解析] (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x ＝0，它们在
x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意．
(2)当直线的斜率存在时，设其斜 率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋
2.
2
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－
.
k
2
由题意得|－1＋
|＝1，即k＝1.
k
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的两条直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

专题三 ?两条直线的位置关系

(1)已知直线的斜截式方程：l
1：y＝k
1
x＋b
1
，l
2
：y＝k
2
x＋b
2
，则l
1
∥l
2
?k
1
＝k< br>2
，且b
1
≠b
2
；
l
1
⊥l
2
?k
1
k
2
＝－1；
l
1
与l
2
相交?k
1
≠k
2
.
(2)已知直线的一般式方程：
l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，
l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0，
则：l
1
∥l
2?A
1
B
2
＝A
2
B
1
且A
1
C
2
≠A
2
C
1
；
l
1⊥l
2
?A
1
A
2
＋B
1
B
2
＝0；
l
1
与l
2
相交?A
1
B2
≠A
2
B
1
.
(3)注意满足各种条件的直线方程的设法．
典例3 已知两条直线l
1
： ax－by＋4＝0和l
2
：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足
下列条件的a、 b的值．
(1)直线l
1
过点(－3，－1)，并且直线l
1
与直 线l
2
垂直；
(2)直线l
1
与直线l
2
平行， 并且坐标原点到l
1
、l
2
的距离相等．
[解析] (1)∵l< br>1
⊥l
2
，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a
2
－a－b ＝0. ①
又点(－3，－1)在l
1
上，∴－3a＋b＋4＝0. ②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l
1
∥l
2
且l
2
的斜率为1－a，
aa
∴l
1
的斜率也存在，
＝1－a，b＝，
b
1－a
故l
1
与l
2
的方程分别为
4 ?a－1?
a
l
1
：(a－1)x＋y＋
＝0，l
2
：(a－1)x＋y＋
＝0.
a
1－a
∵坐标原点到l
1
，l
2
的距离相等，
a－1
a2
∴4|
|＝||，a＝2或a＝.
a3
1－a

2
?
?
a＝2
a＝
?
?
3
因此
?
，或
?
.
?
?
?
b＝－2
?
b＝2



专题四 ?点、直线间的距离
(1)两点P
1
(x
1< br>，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)间 的距离公式|P
1
P
2
|＝?x
1
－x
2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2
.
| Ax
0
＋By
0
＋C|
(2)点P(x
0
，y0
)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
A
2
＋B
2
(3)两平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0，l
2< br>：Ax＋By＋C
2
＝0(C
1
≠C
2
)之间的距离 为d＝
(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．
求点到直线的距离时，要注 意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，
先把平行线方程中x、y的对应项系数转化 为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成
点到直线的距离求解．
典例4 已知三条直 线l
1
：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l
2
：－4x＋2y＋1＝0和 直线
75
l
3
：x＋y－1＝0，且l
1
与l
2< br>的距离是.
10
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
1
②P点到l
1
的距离是P点到l
2
的距离的；
2
③P点到l
1
的距离与P点到l
3
的距离之比是2
明理由 ．
1
[解析] (1)l
2
即2x－y－
＝0，
2
1
|a－?－?|
2
75
＝，
10
2 2
2
＋?－1?
5.若能，求出P点坐标；若不能，说
|C
1
－C
2
|
.
A
2
＋B
2
∴l
1
与l
2
的距离d＝
1
|a＋|
2
7517
∴＝，∴|a＋
|＝
，
1022
5
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x
0
，y
0
)，若P点满足条件②，
则P点在与l
1
，l
2
平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，

1
|C＋|
|C－3|
1
2
1311
且＝
·
，即C＝或C＝，
226
55
1311
∴2x
0
－y
0
＋
＝0，或2x
0
－y
0
＋
＝0；
26
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有
|2x
0－y
0
＋3|
2
|x
0
＋y
0
－1|
＝
·
，
552
即|2x
0
－y
0
＋3|＝|x
0
＋y
0
－1|，
∴x
0
－2y
0
＋4＝0或3x
0
＋2＝0；
由于P在第一象限，
∴3x
0
＋2＝0不可能．
13
联 立方程2x
0
－y
0
＋
＝0和x
0
－2y
0
＋4＝0，
2
?
?
x
0
＝－3
解得< br>?
，应舍去．
1
y＝
?
?
0
2
1 1
?
?
x
0
＝
9
?
2x
0
－y
0
＋
6
＝0
由
?
，解得
?
37
?
y＝
0
?
x
0
－2y
0
＋ 4＝0
?
18


1

.
137
∴P(，
)即为同时满足三个条件的点．
918


专题五 ?对称问题
(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称， 解决此类问题要抓
住两点：一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点 的连
线与对称轴垂直．
(2)与对称有关的最值问题．
在直线l上找一点P到直线 同侧两定点A、B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，
所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的 点．
在直线l上找一点P到直线同侧两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或
BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点．
可以简单记为“异侧和最小，同侧差最大”．

典例5 已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有M和N使△AMN的周
长最 短，求点M，N的坐标．
[解析] 如图所示，点A关于直线x－y＝0的对称点为A
1(1,3)，点A关于直线y＝0的对
称点为A
2
(3，－1)，


∵|AM|＝|A
1
M|，|AN|＝|A
2
N|， < br>∴|AM|＋|MN|＋|AN|＝|A
1
M|＋|MN|＋|A
2
N |≥|A
1
A
2
|，
∴连接A
1
A
2< br>，与直线x－y＝0和y＝0的交点则分别为M，N点．
∵直线A
1
A
2
的方程为2x＋y－5＝0，
555∴分别与直线x－y＝0和y＝0联立得，交点M(，
)，N(
，0)．
332
555
故△AMN的周长最短时，点M(，
)，N(
，0)．
332
专题六 ?分类讨论思想
分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来 解决．在解题过程中，需选定一个
标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问 题得到解决．
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、
两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．
典例6 设直线l的方程为(a＋1)x＋y ＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相
等，求直线l的方程．
[解析] ①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x
＋y＝0.
②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意．
③当a≠－1且a≠2时，由题意得：
a－2
＝a－2，解得：a＝0.
a＋1

此时直线的方程为：x＋y＋2＝0.
综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

专题七 ?数形结合的思想方法
数学结合的思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类 “以数
解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之间的关系．
典例7 已知：x，y满足2x＋ 3y－12＝0(0≤x≤9)，求x
2
＋y
2
－2x＋4y的最小值．
[解析] 令R＝x
2
＋y
2
－2x＋4y＝(x－1)
2
＋(y＋2)
2
－5，


又点(x，y)是线段AB上 的动点，与定点(1，－2)的距离d＝
∴R＝d
2
－5.
显然，当PQ⊥AB时，R取最小值，由点到直线距离公式知R
min
＝


专题八 ?转化与化归思想
数学问题的解答离不开转化与化归．利用它把代数问题 几何化，几何问题代数化，将不
熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，可使复杂的数学问题直观化、简 单化、具体化，从
而使问题快速得到解决．
典例8 在直线2x＋3y＝6上求一点P(x，y)，使S＝xy的值最大．
6－2x
[解析] ∵点P(x，y)在2x＋3y－6＝0上，∴y＝.
3
x?6－2x?
2
∵S＝xy＝＝－
(x
2
－3x)
33
233
＝－
(x－)
2
＋
.
322
3
∴当x＝时，S取得最大值，此时y＝1，
2

?x－1?
2
＋?y＋2?
2
，
191
.
13

3
即点P的坐标为(，1)．
2

专题九 ?自招竞赛，能力拔高
典例9 (复旦大学自主招生)平面上三条直线x－2y＋2 ＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，
若这三条直线将平面划分成六个部分，则k的取值情况可能是( C )
A．只有唯一值
B．可取两个不同值
C．可取三个不同值
D．可取无穷多个值
[解析]

设l
1
：x－2y＋ 2＝0，l
2
：x－2＝0，l
3
：x＋ky＝0，如图，l
1与l
2
交于点A(2,2)，显然l
3
恒过坐标原点．当l
3< br>∥l
2
时，符合题意，此时k＝0；当l
3
∥l
1
时 ，符合题意，此时k＝－2；当
l
3
过点A(2,2)时，符合题意，此时k＝－1.
当k＝0，－2，－1时，三条直线将平面分成七个部分，综上可知选C．
典例10 (全国高中数学联赛天津赛区预赛)在平面
直角坐标系中定义两点P(x
1
，y1
)，Q(x
2
，y
2
)之间的交通距离为d(P，Q)＝|x
1
－x
2
|＋|y
1
－
y
2
|. 若点C(x，y)到点A(1,3)，B(6,9)的交通距离相等，其中实数x，y满足0≤x≤10，0≤y ≤10，
则所有满足条件的点C的轨迹构成的线段的长度之和为52＋5.
[解析] 由条件得|x－1|＋|y－3|＝|x－6|＋|y－9|.
当x≤1，y≥9时，无解；
当1≤x≤6，y≥9时，无解；
当x≥6，y≥9时，无解；当x≤1,3≤y≤9时，y＝8.5，线段长为1；
当1≤x≤6,3≤y≤9时，x＋y＝9.5，线段长为52；
当x≥6,3≤y≤9时，y＝3.5，线段长为4；
当x≤1，y≤3时，无解；

当1≤x≤6，y≤3时，无解；
当x≥6，y≤3时，无解．
综上所述，点C的轨迹构成的线段的长度之和为1＋52＋4＝52＋5.

第三章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线经过点A(0,3)和点B(－1,2)，则直线AB的斜率为( B )
A．－1
1
C．－
2
[解析] 由斜率公式，得k
AB
＝
＝1.
－1－0
2－3
B．1
1
D．
2
2．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为( A )
A．x＋y－1＝0
C．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
[解析] 用－x替换方程x－y＋1＝0中的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．
3．直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°.则直线l的方程为( C )
A．x＋3y－23－1＝0
B．x＋3y＋23－1＝0
C．x－3y－23－1＝0
D．x－3y＋23－1＝0
[解析] ∵直线l的倾斜角为30°，
∴直线l的斜率k＝tan30°＝
3
，
3
3
(x－1)，
3
由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝
即x－3y－23－1＝0.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( A )

3
A．－
2
2
C．
5
2
B．－
3
D．2
3
[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y＝2x＋3.令y＝0，则x＝－
，
2
3
∴直线在x轴上的截距为－，故选A．
2
5．已知点A(3,2)、B(－2，a)、C(8,12)在同一条直线上，则a的值是( C )
A．0
C．－8
B．－4
D．4
12－2a－2
[解析] 根据题意可知k
AC
＝k
AB
，即
＝，解得a＝－8.
8 －3
－2－3
6．已知直线l
1
：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l
2
：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
A．1或3
C．3或5
B．1或5
D．1或2
k－3
[解析] 当k＝3时，两直线显然平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－
4－k
＝
2?k－3?
.解得k＝5，故选C．
2
7．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( D )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
ACAC
[解析] Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－
，由AB<0，BC<0， 得－
>0，－>0，故直
BBBB
线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经 过第四象限．
8．已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y －2＝0，则实数
m的值是( C )
A．－2
C．3
B．－7
D．1
1＋m
[解析] 由已知条件可知线段AB的中点 (
，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标
2
代入直线方程，解得m＝3. < br>9．经过直线l
1
：x－3y＋4＝0和l
2
：2x＋y＋5＝0的交 点，并且经过原点的直线方程是
( C )

A．19x－9y＝0
C．3x＋19y＝0
B．9x＋19y＝0
D．19x－3y＝0
?
?
?
x－3y＋4＝0
[解析] 解
?
，得
?
3
?
?
2x＋y＋5＝0
y＝
?
7

19
x＝－
7

193
， 即直线l
1
、l
2
的交点是(－
，
)，由两点
77
式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0.
10．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( C )
A．(0,0)
21
C．(，)
77
12
B．(，)
77
11
D．(，)
714
21
[解析] 直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(
，
)．
77
11．(2018·临沂市沂水一中高一期末)已知直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋(2a－ 1)y＋3＝0
垂直，则a＝( D )
1
A．－
2
C．－2或0
B．0
1
D．－或0
2
1
[解析] 由题意得2a＋a(2a－1)＝0，解得a＝－
或0. < br>2
12．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值 范围为( A )
A．[－2,2]
11
C．[－，]
22
B．[－1,1]
D．[0,2]
[解析] 直线可化为y＝－2x ＋b，当直线过点M时，可得b＝2，当直线过点N时，可
得b＝－2，故b的取值范围是[－2,2] ．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13 ．若直线l经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，则直线l的方程是3x－4y＝
0或3 x＋4y＝0.
[解析] 由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则直线l的方程为kx－y
＝0.
由 点M(5,0)到直线l的距离等于3，得
|5k|
k
2
＋1
＝3，

33
解得k＝或k＝－，
44
3 3
故直线l的方程为
x－y＝0或－x－y＝0，即3x－4y＝0或3x＋4y＝0. 44
14．(2018·河北省邢台市第一中学高二月考)已知两条平行直线l
1
：3x＋4y＋5＝0，l
2
：6x
＋by＋c＝0间的距离为2，则b＋c＝38或 －2.
34
[解析] 因为直线l
1
与直线l
2
平行，所 以
＝，解得b＝8，所以l
2
：6x＋8y＋c＝0，即
6b
cl
2
：3x＋4y＋
＝0，而l
1
与l
2
间的 距离d＝
2
＝38或b＋c＝－2.
15．直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线方程为2x＋3y＋8＝0.
[解析] 取直线2x＋3y－6＝0上的点M(0,2)、N(3,0)，则点M、N关于点A(－1 ，－1)的
y＋4x－2
对称点M′(2，－4)、N′(－1，－2)，故所求直线方程为＝ ，即2x＋3y＋8
－2－?－4?－1－2
＝0.
16．(2018·陕西省延安 市黄陵中学重点班高三期中)在x轴上有一点P，使以点A(1,2)，
B(3,4)和P为顶点的三角 形的面积为10，则点P的坐标为(9,0)或(－11,0).
[解析] 由题意得|AB|＝y－2
?1－3?
2
＋?2－4?
2
＝22，
x－1
?
5－
c
?
?
2
?
3
2
＋4
2
＝2，解得c＝－10或c＝30，所以b＋c
直线AB的方程是＝，即x－y ＋1＝0.
4－23－1
11
在△PAB中，设AB边上的高为h，则三角形的面积 S＝
|AB|·h＝×22h＝10，解得h＝
22
52，即点P到直线AB的距离为 52.
设点P(a,0)，则h＝
或(－11,0)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2018·大连海湾高级中学高一检测)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线方程；
(2)求过点P且与原点距离最大的直线方程．

|a＋1|
1
2
＋?－1?
2
＝52，解得a＝9或a＝－11.故所求点P的坐标是(9,0)< /p>

[解析] (1)当直线斜率不存在时，方程x＝2适合题意．
当直线斜率存在时，设直线方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0，
则
|2k＋1|
3
＝2，解得k＝
.
4
k
2
＋1
∴直线方程为3x－4y－10＝0.
∴所求直线方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
1
(2)点P且与原点距离最大 的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，k
OP
＝－
，则所
2
求 直线的斜率为2.
∴直线方程为y－(－1)＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
18 ．(本小题满分12分)(2018·浙江省温州市高二期中)直线l
1
过点A(0,1)，直 线l
2
过点
B(5,0)，如果l
1
∥l
2
，l< br>1
到l
2
的距离为5，求直线l
1
，l
2
的 方程．
[思路点拨] 直线l
1
∥l
2
且l
1
到 l
2
的距离为5，即点A(0,1)到直线l
2
的距离是5，从而可
以求得直线的斜率，并且要特别注意直线的斜率不存在时已知条件是否成立．
[解析] 当直线l
1
，l
2
的斜率存在时，
设直线的斜率为k，可得l
1
的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l
2
的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，
则点A到直线l
2
的距离d＝
|1＋5k|
1＋k
2
＝5，
12
所以25k
2
＋10k＋1＝25k
2
＋25，解得k＝
.
5
故直线l
1
的方程为12x－5y＋5＝0，直线l
2
的 方程为12x－5y－60＝0.
若l
1
，l
2
的斜率不存在，则 l
1
：x＝0，l
2
：x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
19．(本小题满分12分)(2018·长春外国语高一期中)过点M(1,2)的直线l：
(1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线l的方程；
(2)若l与坐标轴交 于A、B两点，原点O到l的距离为1时，求直线l的方程以及△AOB
的面积．
[解析] (1)当l过原点时，设l方程为y＝kx，∴2＝k，

∴l方程为y＝2x，
xy
当l不过原点时，设l方程为＋＝1，
ab< br>12
①a＝b时，把M(1,2)代入得＋＝1，∴a＝3，l方程为x＋y－3＝0；
aa
12
②a＝－b时，把M(1,2)代入得－＝1，a＝－1，l方程为x－y＋1＝0 .
aa
综上所述，直线l的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. < br>(2)依题，直线l斜率存在，设其为k，设l方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
|－k＋2|
3
∴原点O到l的距离d＝＝1，则k＝，所以直线l的方程为3x－4 y＋5＝0；△AOB
4
2
k
＋1
15525
的面积S＝< br>··
＝
.
23424
20．(本小题满分12分)△ABC中，A( 0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4
＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程 为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
[解析] (1)由已知得直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
1?
?
2x－y＋1＝0
x＝
?
2
?
(2)由< br>?
，得
?
.
?
2x＋y－3＝0
?
?
?
y＝2


1
即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．
2
设C(m，n)， ?
m＋2n－4＝0
则由已知条件得
?
m
n＋1
2·< br>?
2
＋
2
－3＝0
?
?
m＝2
解得
?
，∴C(2,1)．
?
?
n＝1


，

x－2
∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.
2－1
1
－2
2
(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．
∴|BE|＝
15
?－1?
2
＋?2－1?
2
＝，
22
y－1
?
?
2x－y＋1＝0
由
?
?
?
x＋2y－4＝0
29
∴D(，
)，
55
< br>?
x＝
5
，得
?
9
y＝
?
5
2

.
29
|2×
＋－3|
55
2
∴D到BE的距离为d＝＝，
55
22
2
＋1
11
∴S
△BDE
＝·d·|BE|＝.
210
21．(本小题满分12分)(2018·泰安一中高一检测 )在△ABC中，已知M为线段AB的中点，
顶点A，B的坐标分别为(4，－1)，(2,5)．
(1)求线段AB的垂直平分线方程；
(2)若顶点C的坐标为(6,2)，求△ABC垂心的坐标．
5＋1
[解析] ( 1)∵AB的中点是M(3,2)，直线AB的斜率是
＝－3，线段AB中垂线的斜率
2－4< br>11
是，故线段AB的垂直平分线方程是y－2＝
(x－3)，
33
即x－3y＋3＝0
1
(2)∵k
AB
＝－3，∴AB边上的高所在线斜率
，
3
1
∵C(6,2)，∴AB边上的高所在直线的方程y－2＝
(x－6)，即x－3 y＝0.
3
同理，∴AC边上的高所在直线的方程：2x＋3y－19＝0.
1919
联立x－3y＝0和2x＋3y－19＝0，得x＝，y＝
.
39
1919
∴△ABC的垂心为(，
)．
39
22．( 本小题满分12分)某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0)，一
条河 所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A、B两镇的管

道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？
[解析]

如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若 P′(异于P)在直线
l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.
因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．
设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
a＋1b＋2
?
?
2
＋2×
2
－10＝0
即
?
b－2
1
·?－?＝－1
?
2
a－1
?

?
?
a＝3
，解得
?
，即A′(3,6)．
b＝6
?
?

所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0. ?
?
?
6x＋y－24＝0
解方程组
?
，得
?
36
?
x＋2y－10＝0
?
y＝
?
11

38
x＝
11

.
3836
所以P点的坐标为(，
)．
1111
3836
故供水站应建在点P(，
)处，
1111
此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝


?3－4?
2
＋?6－0?
2
＝37.

坐落在河北省赵县洨河上的赵 州桥，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石
拱桥，其跨度约为37.02 m，圆拱高约为7.2 m，是我国第一批全国重点文物保护单位，赵州
桥的设计构思和工艺的精巧，在 我国都是首屈一指，其上狮象龙兽形态逼真，琢工精致秀丽，
不愧为文物宝库中的艺术珍品．如何求出这 个圆拱所在圆的方程呢？这就要用到本章中的知
识．

4.1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程

情景引入
Q
ing jing yin ru


有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降
1 m后，水面宽多少米？

新知导学
X
in zhi dao xue

1．圆
基本
要素
标准
方程
当圆心的位 置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的
基本要素是圆心和半径
圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2


图示

说明

2．点与圆的位置关系
圆C：(x－a )
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)，其圆心为(a，b )，半径为r，点P(x
0
，y
0
)，设d＝|PC|
＝?x
0
－a?
2
＋?y
0
－b?
2
.
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点
(x
0
－a)
2
＋
(y
0
－b)
2
>r
2


点在圆上 d＝r


若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方 程(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
；反之，
若 点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，则点M在圆C上
点在圆外
d>r
(x
0
－a)
2
＋
(y
0
－b)
2
＝r
2

点在圆内
d
(x
0
－a)
2
＋
(y
0
－b)
2
2


预习自测
Y
u xi zi ce

1．圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝2的半径为( B )
A．1
C．2
B．2
D．4
[解析] 圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝2的半径r＝2.
2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( C )
A．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝4
B．(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
C．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝16
D．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝16
[解析] 圆心 为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝16 .
3．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C 的方
程为(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝5.
[解析] 由圆的几何性质，得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝
∴圆的方程为(x－2)
2
＋ (y＋3)
2
＝5.
4．圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点(2,2)，其 圆心在直线x＋y－11＝0上，求圆C
的方程．
[解析] 设与3x＋4y－14＝0垂直的直线方程为4x－3y＋m＝0，
又∵过点(2,2)，∴m＝－2.
?2－0?
2
＋?－3＋2?
2
＝5，
?
?
4x－3y－2＝0
由
?
，
?
x＋ y－11＝0
?
?
?
x＝5
得
?
.
?
y＝6
?
∴圆的半径r＝



< br>?5－2?
2
＋?6－2?
2
＝5，∴圆C的方程为(x－5)
2
＋(y－6)
2
＝25.

互动探究解疑
H
u dong tan jiu jie yi

命题方向1 ?求圆的标准方程

典例1 (2018·浙江省杭州市高三月考)已 知圆C与圆(x－1)
2
＋y
2
＝1关于直线y
＝－x对称，则圆C 的标准方程为( C )
A．(x＋1)
2
＋y
2
＝1
B．x
2
＋y
2
＝1
C．x
2
＋(y＋1)
2
＝1
D．x
2
＋(y－1)
2
＝1
[解析] 由已知圆(x－ 1)
2
＋y
2
＝1得圆心C
1
(1,0)，半径r
1
＝1.设C(a，b)，由两圆关于直
线y＝－x对称，得圆心C
1
(1, 0)与C(a，b)关于直线y＝－x对称，
·?－1?＝－1，
?
a－1
?
则
?
a＋1
b
?
－
?
2
＝2
，
b


?
?
a＝0，
解得
?

?
b＝－1，?
故圆C的标准方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝1.
『规律方法』 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标
和 圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．
〔跟踪练习1〕
(2018·江苏省苏州市高二检测)过点A(5,2)和点B(3，－2)，且圆心C在直线2x－y－3＝0
上的圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝10.
[思路点拨]
思路一
根据圆心C在直线上，根据|CA|＝求a及
→→→得方程
设圆心坐标为?a，2a－3?|CB|列方程半径

根据弦AB的垂直平分
思路二
线与直线的交点就是
→求半径→得方程
所求圆的圆心求圆心

[解析] 方法一 由于点C在直线2x－y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(a,2a－3)．
∵圆C过点A，B，∴|CA|＝|CB|，
即?a－5?
2
＋?2a－3 －2?
2
＝?a－3?
2
＋?2a－3＋2?
2
，解得a＝ 2，
∴圆心C的坐标为(2,1)，半径r＝|CA|＝10，
故所求圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝10.
方法二 ∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心在线段AB的垂直平分线上．
2＋?－2?5－3
?
5＋3
?
∵线段AB的垂直平分线的方程为y －＝－
?
x－
?
，即x＋2y－4＝0，
2
2
?
2－?－2?
?
∴圆心C为直线2x－y－3＝0与x＋2y－4＝0的交点． ??
?
2x－y－3＝0，
?
x＝2，
解方程组
?得
?

?
x＋2y－4＝0，
?
??
y＝1，
∴圆心坐标为C(2,1)，半径r＝|CA|＝?2－5?
2
＋?1－2?
2
＝10，

故所求圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝10.
命题方向2 ?判断点与圆的位置关系

典例2 已知两点P
1
( 3,8)和P
2
(5,4)，求以线段P
1
P
2
为直径的圆 的方程，并判断
点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
3＋58＋4
[解析] 设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P
1
P
2
的中点得a＝
＝4，b＝
22
＝6，即圆心坐标为C(4,6 )
又由两点间的距离公式得r＝|CP
1
|＝
－4)
2
＋ (y－6)
2
＝5.
分别计算点M、N、P到圆心C的距离：
|CM|＝
|CN|＝
|CP|＝
?4－5?
2
＋?6－3?
2
＝10>5，
?4－3?
2
＋?6－4?
2
＝5，
?4－3?
2
＋?6－5?
2
＝2<5，
?4－3?2
＋?6－8?
2
＝5，故所求圆的标准方程为(x

所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．
『规律方法』 点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x
0
－a)
2< br>＋(y
0
－b)
2
＞r
2
，点在圆外；
② (x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r< br>2
，点在圆上；
③(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＜r
2
，点在圆内．
〔跟踪练习2〕
(2019·北京市怀柔区段考)若点(3，a)在圆x
2
＋y
2
＝16的 内部，则a的取值范围是( A )
A．[0,7)
C．{7}
B．(－∞，7)
D．(7，＋∞)
[解析] 由已知得a≥0，且(3－0)
2
＋(a－0)
2
＜16，所以0≤a＜7.

命题方向3 ?圆的标准方程的综合应用

典例3 求过点A(1，－1)、B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准
方程．
[解析] 解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2＝r
2
，
?1－a?
＋?－1－b?＝r
?
?
由已知条件知
?
?－1－a?
＋?1－b?＝r
?
?
a＋ b－2＝0
22
22
2
2

，
a＝1
?
?
解此方程组，得
?
b＝1
?
?
r
＝4< br>2

.故所求圆的标准方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.
解法二：设点C为圆心，
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|＝|CB|.

∴?a－1?
2
＋?2－a＋1?
2
＝?a＋1?
2
＋?2－a－1?
2
，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.
解法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，
k
AB
＝
1－?－1?
＝－1，
－1－1
∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点
??
?
y＝x?
x＝1
由
?
，得
?
.即圆心为(1,1)，圆的半径 为?1－1?
2
＋[1－?－1?]
2
＝2，
?
x＋y－ 2＝0
?
??
y＝1
故所求圆的标准方程为(x－1)
2
＋ (y－1)
2
＝4.
『规律方法』 1.直接代入法
已知圆心坐标和半径大小，直接代入圆的标准方程即可．
2．待定系数法
(1)根 据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r＞0)；

(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程．
3．几何性质法
如果在求解圆的方程问题时能够结合圆的有关几何性质来考虑，可以更加直观地解决问
题，这就是我们所 说的“数形结合”思想．
常用的圆的几何性质：
(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；

(2)圆心到切线的距离等于圆的半径； (3)圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r
2
＝h
2
＋d
2
；
(4)圆的弦的垂直平分线过圆心；
(5)一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点；
(6)已知圆 心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线
的交点即为圆心．
〔跟踪练习3〕
已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为 直角三角形，则圆C的方
程为( C )
A．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4
B．(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝2
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
D．(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝5
[解析] 由题知，设圆心C(1，b)，b＞0，半径为r，
2
?
?
2r
＝4
则
?
，
2－1＝b
2
r
?
?
?
?
r＝2
解得< br>?
，
b＝1
?
?
∴圆C的标准方程为：(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
故选C．


学科核心素养
X
ue ke he xin su yang
数形结合思想


1．若点P在⊙C外；直线PC交⊙C于A、B两点，Q是⊙C上 任一点，则有|PC|－
r≤|PQ|≤|PC|＋r.如图．

由于在△PQC中，|PQ|＋|QC|>|PC|＝|PA|＋|CA|＝|PA|＋|QC|，
∴|PQ|>|PA|＝|PC|－r.
又|PB|＝|PC|＋|CB|＝|PC|＋|CQ|>|PQ|.
∴|PC|＋r>|PQ|.
2．若点P在⊙C内，直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C 上任一点，则总有
|PA|≤|PQ|≤|PB|.

如图，由于|PA|＋|PC|＝|AC|＝|CQ|<|PC|＋|PQ|，
∴|PA|<|PQ|.
作CD⊥PQ，垂足为D，则由半径大于半弦知|BC|>|MD|.
又Rt△PCD中，|PC|>|PD|，
∴|PB|>|PM|>|PQ|.
故仍有r－|PC|≤|PQ|≤r＋|PC|.
典例4 已知x，y满足(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝16，则x
2
＋y
2
的取值 范围是[21－85，
21＋85].
[解析] x
2
＋y
2表示圆C：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝16的动点P(x，y)与原 点O(0,0)连线段长度d
的平方，由于r－|OC|≤d≤r＋|OC|，
∴4－5≤d ≤4＋5，∴21－85≤d
2
≤21＋85.∴21－85≤x
2
＋y2
≤21＋85.
〔跟踪练习4〕
(2018·四川省成都外国语学校月考) 圆(x＋2)
2
＋y
2
＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(x
－2)
2
＋y
2
＝5.
[解析] 因为所求圆的圆心与圆(x＋ 2)
2
＋y
2
＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，故所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝5.
易混易错警示
Y
i hun yi cuo jing shi
对圆心位置考虑不全致错
典例5 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆
的标准方程．
[错解] 如图，由题设知

|AB|＝8，|AC|＝5.
在Rt△AOC中，
|OC|＝|AC|
2
－|OA|
2
＝5
2
－4
2
＝3.
∴C点坐标(3,0)，
∴所求圆的标准方程为(x－3)
2
＋y
2
＝25.
[错因分析] 由题意知，|OC|＝4，C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可能在x
轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况．
[正解]

正解一：如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.
在Rt△AOC 中，|OC|＝|AC|
2
－|AO|
2
＝5
2
－4
2
＝3.
设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的标 准方程为(x＋3)
2
＋y
2
＝25或
(x－3)
2
＋y
2
＝25.
正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)
2
＋y
2
＝25.
∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a
2
＋1 6＝25，∴a＝±3，∴所求圆的标准方程为(x＋3)
2
＋y
2
＝25或 (x－3)
2
＋y
2
＝25.
[警示] 借助图形解决数学问题， 只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问
题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是 由于考虑问题不全面所致．

课堂达标验收
K
e tang da biao yan shou

1．方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝0表示的图形是( C )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
[解析] ∵(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝0，
∴
?
?
?
x－a＝0

?
?
，∴
?
x＝a
?
y－b＝0
?
?
y＝b

.
?
故选C．
2．已知A(0，－5)、B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(
A．(x＋3)
2
＋y
2
＝2 B．x
2
＋(y＋3)
2
＝4
C．(x＋3)
2
＋y
2
＝4 D．(x－3)
2
＋y
2
＝2
[解析] 圆的圆心是(0，－3)，
半径是r＝
1
2
|－5－(－1)|＝2.
故圆的方程为x
2
＋(y＋3)
2
＝4.
3．若点P(－ 1，3)在圆x
2
＋y
2
＝m
2
上，则实数m＝±2.
[解析] ∵点P(－1，3)在圆x
2
＋y
2
＝m
2
上，
∴1＋3＝m
2
，∴m＝±2.
4．写出下列各圆的标准方程．
(1)圆心在原点，半径长为2；
(2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交 点，半径长为
1
4
.
[解析] (1)∵圆心在原点，半径长为2，
即a＝0，b＝0，r＝2.
∴圆的标准方程为x
2
＋y
2
＝4.
(2)∵圆心是两直线的交点，
由
?
?
?
x＋y－1＝0
?
?
2x－y＋3＝0

，
x＝－
2
得
?
?
3
?
y＝
5
3

.

B )

25
∴圆心为(－，
)，
33
1
又∵半径长为
.
4
251
∴圆的标准方程为(x＋
)
2
＋(y－
)
2
＝
.
3316


A级 基础巩固
一、选择题
1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( A )
A．(x－4)
2
＋(y＋1)
2
＝10
B．(x＋4)
2
＋(y－1)
2
＝10
C．(x－4)
2
＋(y＋1)
2
＝100
D．(x－4)
2
＋(y＋1)
2
＝10
[解析] 设圆 的标准方程为(x－4)
2
＋(y＋1)
2
＝r
2
，把点( 5,2)代入可得r
2
＝10，故选A．
2．已知圆的方程是(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝4，则点P(3,2)满足( C )
A．是圆心
C．在圆内
[解析] 因为(3－2)
2
＋(2－3)
2
＝2<4，
故点P(3,2)在圆内．
3．圆(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4的圆心坐标和半径分别为( A )
A．(－1,2)，2
C．(－1,2)，4
B．(1，－2)，2
D．(1，－2)，4
B．在圆上
D．在圆外
[解析] 圆(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4的圆心坐标为(－1 ,2)，半径r＝2.
4．(2018·集宁一中高一检测)若圆C与圆(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1关于原点对称，则圆C的方
程是( D )
A．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝1
C．(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝1
B．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
D．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
[解析] 由题意 得，圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，故圆C的方程是(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1.
5．(全国卷Ⅱ)圆x
2
＋y
2
－2x－8y ＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝

( A )
4
A．－
3
C．3
[解析] 配方得(x－1)
2
＋(y－4)
2
＝4，
∴圆心为C(1,4)．
|a＋4－1|
4
由条件知＝1.解之得a＝－
.
3
a
2
＋1
故选A．
6．若P(2，－1)为圆(x－1 )
2
＋y
2
＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( A )
A．x－y－3＝0
C．x＋y－1＝0
B．2x＋y－3＝0
D．2x－y－5＝0
3
B．－
4
D．2
[解析] ∵点P(2，－1)为弦AB的中点，又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)，
0－?－1?
∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝＝－1，
1－2
∴直线AB的斜率k′＝1，
故直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
二、填空题
25
7．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是(x－2)
2
＋( y＋1)
2
＝.
2
[解析] 将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的 半径r＝
25
(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝
.
2
8．(2017·山东省济南市期中)若圆(x＋1)
2
＋(y－3)2
＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y
－4＝0对称，则k的值为2.
[解析] 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．由题设知，圆的圆心为(－1,3)，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.
三、解答题
9．写出圆心为(3,4)，半径为5的圆的方程，并判定点A(0,0)、B(1,3)与该圆的位置 关系．
[解析] 该圆的方程为(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝25，
|2－1－6|
5
＝，所以圆的方程为
2
1＋1

把A、B两点的坐标分别代入圆的方程
(0－3)
2
＋(0－4)
2
＝25，
(1－3)
2
＋(3－4)
2
＝5<25.
∴A点在圆上，B点在圆内．
10．求经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在 直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方
程．
[解析] 解法一：(直接法)
由题意，得AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0.
由
?
?
?
3x＋2y－15＝0

?
?< br>x＝7
?
?
3x＋10y＋9＝0
，解得
?
?

.
?
y＝－3
则圆心C为(7，－3)，
圆C的半径r＝|CB|＝7
2
＋?－3－1?
2
＝65.
故所求圆的标准方程是(x－7)
2
＋(y＋3)
2
＝65.
解法二：(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)
2
＋(y－b)2
＝r
2
(r>0)，
?
?6－a?
2
＋? 5－b?
2
＝r
2
则有
?
?
?0－a?
2
＋?1－b?
2
＝r
2
?
?
3a＋10b＋9＝0

，
解得a＝7，b＝－3，r＝65.
故所求圆的标准方程是(x－7)
2
＋(y＋3)
2
＝65.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018～2019·宁波高一检测)点
?
13
1
?
2
，
2
?
?
与圆x
2
＋y
2
＝
2
的位置关系是(
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
[解析] 将点
?
1
?
2
，
3
2
?
?
的坐标代入圆的方程可知(1
2
)
2
＋(
31
2
)
2
＝ 1>
2
.
∴点在圆外．

C )

2．若点(2a，a－1)在圆x
2
＋(y＋1)
2
＝5的内部，则 a的取值范围是( B )
A．(－∞，1]
C．(2,5)
B．(－1,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 点(2a，a－1)在圆x
2
＋(y＋1)
2
＝5的内部，则(2a)
2
＋a
2＜5，解得－1＜a＜1.
3．若点P(1,1)为圆(x－3)
2
＋y
2
＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( D )
A．2x＋y－3＝0
C．x＋2y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
1
[解析] 圆心C(3,0)，k
PC
＝－
，又点P是弦MN的中 点，∴PC⊥MN，∴k
MN
k
PC
＝－1，
2
∴kMN
＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
4． 点M在圆(x－5)
2
＋(y－3)
2
＝9上，则点M到直线3x＋4y－2 ＝0的最短距离为( D )
A．9
C．5
B．8
D．2
|3×5＋4×3－2|
[解析] 圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝ 0的距离为d＝
＝5.又r＝3，则M
22
3
＋4
到直线的最短距离 为5－3＝2.
二、填空题
5．已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝10.
[解析] 设所求圆C的方程为(x－a)
2
＋y
2
＝r
2
，
把所给两点坐标代入方程得
222
??
?
?5－a?
＋1 ＝r
?
a＝2
，解得
?
，
?
2222
? ?
?
?1－a?
＋3＝r
?
r
＝10

所以所求圆C的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝10.
6． 以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为x
2
＋(y －4)
2
＝20或(x－2)
2
＋y
2
＝20.
[解析] 令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和 B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x
2
＋(y－4)
2
＝20，
以B为圆心过A的圆方程为(x－2)
2
＋y
2
＝20.
7．(2018·上海市华师大二附中高二期中)以A(5,1)和B(1,5)为直径的两端点的圆的标准方< br>

程为(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝8.

[解析] 方法一 ∵线段AB为直径，
∴圆心C的坐标为
?
11
半径r＝
|AB|＝
22
1
＝
×42＝22.
2
∴圆的标准方程为(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝8.
方法二 设P(x
0
，y
0
)为所求圆上除A，B外的任意一点，
∵线段AB为直径，
∴|PA|
2
＋|PB|
2
＝|AB |
2
＝(1－5)
2
＋(5－1)
2
＝32，
∴ (x
0
－5)
2
＋(y
0
－1)
2
＋(x
0
－1)
2
＋(y
0
－5)
2
＝32.
整理得(x
0
－3)
2
＋(y
0
－3)
2
＝8，∴满足点P的圆的标准方程为：(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝8.
三、解答题
8.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所 在直线的方程为x－3y－6
＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．求AD边所在直线的方程 ．
?
5＋11＋5
?
?
，即(3,3)，
?
2
，
2
?
?1－5?
2
＋?5－1?
2


[解析] 因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的
斜率为－3. < br>又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x< br>＋y＋2＝0.
9．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P( 3，－2)的圆的方程，
并写出圆的圆心及半径．
[解析] 设圆的标准方程为(x－a)< br>2
＋(y－b)
2
＝r
2
，由题意有

?
?
b＋2
＝1
?
a－3?
?
?3－a?
＋?－2－b?＝r
22
4a＋b＝0
2

，
4a＋b＝0
?
?
化简得
?
b＝ a－5
?
?
?3－a?
＋?－2－b?＝r
222

，
a＝1
?
?
解得
?
b＝－4
?
?
r
＝8
2

.所求圆的方程为(x－1)
2
＋ (y＋4)
2
＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为
半径的圆．


4．1.2 圆的一般方程

情景引入
Q
ing jing yin ru


一个形如x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心
坐标和半径分别是什么？
新知导学
X
in zhi dao xue

1．圆的一般方程
(1)方程：当D
2
＋E
2
－4F>0时，方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆
DE1
心为C(－ ，－)，半径为r＝D
2
＋E
2
－4F.
222
(2)说 明：方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当D
2
＋E
2
－4F>0时，表示
DE
圆：当D
2
＋ E
2
－4F＝0时，表示一个点(－，－)；当D
2
＋E
2
－4F<0时，不表示任何图形．
22
(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
2 ．二元二次方程Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件 是：A＝C≠0，B＝0，
D
2
＋E
2
－4AF>0.
3 ．点P(x
0
，y
0
)与圆x
2
＋y
2
＋ Dx＋Ey＋F＝0(D
2
＋E
2
－4F>0)的位置关系是：
2
P在圆内?x
2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F<0，
2
P在圆上?x
2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F＝0，
2
P在圆外?x
2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋ F>0.
4．求轨迹方程的五个步骤：
①建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；
③列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；
④化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；
⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
预习自测
Y
u xi zi ce

1．(2018·山东省泰 安市检测)圆x
2
＋y
2
－4x＋2y＝0的圆心和半径分别是( A )
A．(2，－1)，5
C．(－2,1)，5
B．(2，－1)，5
D．(－2,1)，5
[解析] 方法一 方程x
2
＋y
2
－4x＋2y＝0，即(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝5，所以圆心为(2，－1)，
半径为5.
DE
－，－
?
，即(2，方法二 由方程x
2
＋y
2
－4x＋2y＝0，知D＝－4，E＝2，F＝0.圆心为
?
2
??
2
D
2
＋E
2
－4F
－1)，半径为＝5.
2
[点评] 由圆的一般方程求圆心和半径的主要方法：一是通过配方法将圆的一般方程化为标准方程；二是直接利用圆的一般方程中的公式求解．
2．(2018·辽宁省丹东市期中)若 直线3x＋y＋a＝0过圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0的圆心，则a
的值为( B )
A．－1
C．3
B．1
D．－3
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)
2
＋(y－2)
2＝5，则圆心为(－1,2)．
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.

3．(2018·浙江省金华四校联考)若方程x
2
＋y
2
－x＋y＋a＝0表示一个圆，则实数a的取值
范围是( C )
A．(－∞，2]
1
－∞，
?
C．
?
2
??
B．(－∞，2)
1
－∞，
?
D．
?
2
??
1
[解析] 由二元二次方程表示圆的条件，知(－1 )
2
＋1
2
－4a＞0，解得a＜
.
2
4．求经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．
[解析] 设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
?
?
2D－4E－F＝20 ①
由题意得
?
，
?
?
3D－E＋F＝－10 ②
又令y＝0，得x
2
＋Dx＋F＝0，
由已知得|x
1
－x
2
|＝6(其中x
1
、x
2
是方程x
2
＋Dx＋F＝0的两根)，∴D
2
－4F＝36 ③
由①②③联立组成方程组，解得
D＝－2
?
?
?
E＝－4
?
?
F＝－8


D＝－6
?
?
，或
?
E＝－8
?
?
F＝0

.
∴所求 圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－4y－8＝0或x
2
＋y< br>2
－6x－8y＝0.


互动探究解疑
H
u dong tan jiu jie yi

命题方向1 ?二元二次方程与圆的关系

典例1 m是什么实数时，关于x、y的方程(2m
2
＋m－1)x
2
＋(m
2
－m＋2)y
2
＋m＋
2＝0表示一个圆？
[解析] 由题意，得2m
2
＋m－1＝m
2
－m＋2，
即m
2
＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
当m＝1时，原方程化为2x
2
＋2y
2
＋3＝0.

不合题意舍去；
当m＝－3时，原方程化为14x
2
＋14y
2
－1＝0，
1
即x
2
＋y
2
＝，表示以原点为圆心，
14
以
14
为半径的圆．
14
『规律方法』 形如x2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有
两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D
2
＋E
2
－4F>0，则表示圆 ，否则不表示圆；②将方
程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是 不是x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种 形式再求解．
,〔跟踪练习1〕
已知方程x
2
＋y
2
＋ 2mx－2y＋m
2
＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解析] (1)由题意，得D
2
＋E
2
－4F＝(2m)
2
＋(－2)
2
－4(m
2
＋5 m)>0，
即4m
2
＋4－4m
2
－20m>0，
1
解得m<，
5
1
故m的取值范围为(－∞，
)． 5
(2)将方程x
2
＋y
2
＋2mx－2y＋m
2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)
2
＋(y－1)
2
＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.
命题方向2 ?用待定系数法求圆的方程

典例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ ABC的
外接圆的一般方程．
[解析] 设△ABC的外接圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A、B、C三点在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
?
?
∴< br>?
4＋9－2D＋3E＋F＝0
?
?
16＋25＋4D－5E＋F＝0


D＝－2
?
?
，解得
?
E＝2?
?
F＝－23

.

∴△ABC 的外接圆的一般方程为x
2
＋y
2
－2x＋2y－23＝0.
『规律方法』 用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：

求圆的方程的基本思想
(1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独
立的 条件，才能确定一个圆；
(2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出 圆的标准方程，
否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解；
(3)解答圆的相关问题时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质，以简化运算过程．

〔跟踪练习2〕
求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．
DE
[解析] 设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F ＝0，则圆心为(－，－
)，
22
－＝－
?
?
22
∴
?
2－D＋E＋F＝0
?
?
10＋D＋3E＋F＝0
D ＝－2
?
?
∴
?
E＝－2
?
?
F＝－2< br>DE

，

.
∴所求圆的一般方程为x
2
＋y
2
－2x－2y－2＝0.

学科核心素养
X
ue ke he xin su yang

求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：

(2)代入法(也称相关点法)：若动点P(x， y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x
0
，y
0
)
的运动 而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如
下：
①设 所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x
0
，y
0
)；
②根据条件列出x，y与x
0
、y
0
的关系式，求得x
0< br>、y
0
(即用x，y表示出来)；
③将x
0
、y
0
代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．
(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．

典例3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C
的 轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
[解析] 设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，则
?x－4?
2< br>＋?y－2?
2
＝?4－3?
2
＋?2－5?
2
，整 理得(x－4)
2
＋(y－2)
2
＝10.
这是以点A(4,2) 为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三
个顶点，所以A、B、C三点不 共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两
个端点．

因为B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为B、C不能为一直径的两个端点，
x＋3y＋5
所以
≠4，且≠2，
22

即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)
2
＋(y－2)
2
＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是 以点
A(4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
〔跟踪练习3〕
1
(2019·江西省南昌市高二期中)已知点M与两个定点A(1 ,0)，B(3,2)的距离的比为，则点
3
31
9
x－
?
2
＋
?
y＋
?
2
＝ . M的轨迹方程为
?
?
4
??
4
?
8
[解析] 设M(x，y)是满足条件的 任意一点，则
?x－1?
2
＋y
2
|MA|1
＝
. 由两点间的距离公式，得
|MB|3
31
1311
x－
?
2
＋
?
y＋
?
2
＝
.两边平方并化简，得x
2
＋y
2
－
x＋y－
＝0，配方得
?
?
4
??
4
?
3222
?x－3?
2
＋?y－2?2
9
＝
.
8

典例4 已知点P在圆C：x
2
＋y
2
－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M
的轨迹方程．
[思路分析] 求动点的轨迹方程即求动点的坐标(x，y)满足的关系式．可以建立点P与点
M的坐标之间的关系，由点P的坐标满足方程x
2
＋y
2
－8x－6y＋21 ＝0，得点M的坐标满足
的条件，求出点M的轨迹方程．也可以根据图形的几何特征，直接利用圆的定义 求解．
[解析] 解法一：设点M(x，y)，点P(x
0
，y
0
)，则
?
?
y
?
y＝
2
x
0
x＝
2
0
?
?
x
0
＝2x
，∴
?
.
?
y
0
＝2y
?

∵点P(x
0
，y
0
)在圆C：x
2
＋y
2
－8x－6y＋21＝0上，
2
∴x
2
0
＋y
0
－8x
0
－6 y
0
＋21＝0.
∴(2x)
2
＋(2y)
2
－ 8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.
21
即点M的轨迹方程为x
2
＋y
2
－4x－3y＋＝0.
4
解法二：设点M的坐标为(x，y)，连接OC、PC，取线段OC的中点A，连接MA．

圆C的方程可化为(x－4)< br>2
＋(y－3)
2
＝4，圆心C(4,3)，|CP|＝2.
3
则点A的坐标为(2，
)．
2
如图，在△OCP中，M、A分别是OP、OC的中点，
1
则|MA|＝
|CP|，即|MA|＝1.又当O、C、P三点共线时，|MA|＝1.
2
∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．
3
∴点M的轨迹方程为(x －2)
2
＋(y－
)
2
＝1.
2
〔跟踪练习4〕
(2019·郑州高一检测)已知圆的方程为x
2
＋y
2
－6x－6 y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直
线与圆相交所得弦PQ的中点M的轨迹方程．
[解析]

设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝4.圆心C(3,3)．
y－3y＋5
因为 CM⊥AM，所以k
CM
·k
AM
＝－1，即·
＝－1，即x
2
＋(y＋1)
2
＝25.
x－3x＋3
所以所求轨迹方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝25(已知圆内的部分)．

易混易错警示
Y
i hun yi cuo jing shi
忽视圆的方程成立的条件
典例5 已知点O(0,0)在圆x
2
＋y
2＋kx＋2ky＋2k
2
＋k－1＝0外，求k的取值范围．
1
[错解] ∵点O(0,0)在圆外，∴2k
2
＋k－1＞0，解得k＞或 k＜－1.∴k的取值范围是(－
2