人教A版高中数学必修二课时作业第1章检测试题

第一章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
选题明细表
知识点、方法
空间几何体的结构
三视图与直观图
空间几何体的侧面积与表面积
空间几何体的体积
综合应用
题号
1,3
2,4,7,14
5,6,14,16,19
8,9,11,13,18
10,12,15,17,20,21,22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( B )

(A)①是棱柱 (B)②不是棱锥
(C)③不是棱锥 (D)④是棱台
解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义 可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,
③不是棱锥,故B错误.故选B.
2.下列说法中,正确的个数为( B )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中

对应的线段仍然相等;③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;
④线段的中点在直观图中仍然是线 段的中点.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:③④正确.
3.棱锥的侧面和底面可以都是( A )
(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形
解析:三棱锥的侧面和底面均是三角形.故选A.
4.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物是( A )


解析:根据三种视图的对角线位置关系,容易判断A是正确结论.
5.以边长为1的正方形的 一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周
所得圆柱的侧面积等于( A )
(A)2π (B)π (C)2 (D)1
解析:所得旋转体是底面半径为1,高为1的圆柱,其侧面积S
侧
=2πRh=
2π×1×1=2π.
6.已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱,侧棱长为5,菱形的对角

线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( A )
(A)30
(C)30
(B)60
+135 (D)135
=

解析:由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为< br>,则这个棱柱的侧面积为4××5=30.
7.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△AB C的直观图,则在△ABC的
三边及线段AD中,最长的线段是( D )

(A)AB (B)AD
(C)BC (D)AC
解析:△A′B′C′是水 平放置的△ABC的直观图,则在△ABC中,AB⊥
BC,AC为斜边,AD为三角形内部的一条线段 ,AC的长度最长,即最长的
线段是AC;故选D.
8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是
( B )

(A) cm
3
(B)1 cm
3
(C)2 cm
3
(D)3 cm
3

解析:由 题意,该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的
四棱锥,如图,四棱锥的体积为××1×2 =1(cm
3
).故选B.

9.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面
上,则该球的体积为( D )
(A) (B)4π (C)2π (D)
解析:因为该正四棱柱的外接球的半 径是四棱柱体对角线的一半,所以
半径r==1,所以V
球
=×1
3
=.故选D.
10.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的
是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体
毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C )

(A) (B) (C) (D)
解析:该零件是一个由两个圆柱组成的组合 体,其体积V=π×3
2
×2+π
×2
2
×4=34π(cm
3
),原毛坯的体积V
毛坯
=π×3
2
×6=54π(cm
3
),被切部分

的体积V
切
=V
毛坯< br>-V=54π-34π=20π(cm
3
),所以==.
11.如图,如果底 面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的
最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部 分的体积是( B )

(A)πr
2
(a+b)
(B)πr
2
(a+b)
(C)πr
2
(a+b)
(D)2r
2
(a+b)
解析:将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成 一个高为a+b的圆柱,
故圆柱被截后剩下部分的体积为πr
2
(a+b).
12.《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的
研究,已知某囤积粮食的容器 的下面是一个底面积为32π,高为h的圆
柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有 外接球,则外
接球的体积为( C )
(A)36π (B)π (C)288π (D)π
解析:如图所示,根据圆柱与圆锥和球的对称性知,

其外接球的直径是2R=3h,
设圆柱的底面圆半径为r,母线长为l=h,则πr
2
=32π,解得r=4,
又l
2
+(2r)
2
=(3h)
2
,
所以h
2
+(8)
2
=9h
2
,解得h=4,
所以外接球的半径为R=×4=6,
所以外接球的体积为V=
故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知正四棱锥P- ABCD的所有棱长都为2,则此四棱锥体积
为 .
解:因为棱锥的棱长都为2,
==288π.

所以四棱锥PABCD为正四棱锥,则AO=,
在Rt△POA中,可得PO=,
所以棱锥PABCD体积
答案:
=×2×2×=.

14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

解析:由三视图可知:原几何体为圆柱的一半,(沿中轴线切开)
由题意可知,圆柱的高为2,底面圆的半径为1,
故其表面积为S=2×π×1
2
+2×2+×2π×1×2=3π+4.
答案:3π+4
15.如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面一边< br>作一个平行于棱CC
1
的平面A
1
B
1
EF,这个平 面分三棱台成两部分,这两部
分的体积之比为 .

解析:设三棱台的上底 面面积为S
0
,则下底面面积为4S
0
,高为h,则
=(S
0
+4S
0
+2S
0
)h=S
0
h,=S
0
h.设剩余的几何体的体
积为V,则V=S
0
h-S
0
h =S
0
h,体积之比为3∶4或4∶3.
答案:3∶4(或4∶3)
16 .已知P,A,B,C是球O的球面上的四个点,PA⊥平面ABC,PA=2BC=6,
∠BAC=6 0°,则该球的表面积为 .

解析:由题意画出几何体的图形如图,

把P,A,B,C扩展为三棱柱,
上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径,
由PA=2BC=6,∠BAC=60°,
所以AE=×=××3=,
所以R=AO===2;
所以外接球的表面积为
S=4πR
2
=4π·(2)
2
=48π.
答案:48π
三、解答题(共70分)
17.(本小题满分10分)
如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和
侧视图(单位:cm).
(1)画出该多面体的俯视图,并标上相应的数据;
(2)按照给出的数据,求该几何体的体积.

解:(1)该几何体的俯视图如图所示.

(2)该几何体的体积
V=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm
3
).
18.(本小题满分12分)
如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的 正方形,EF∥
AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的
体积.

解:如图,连接EB,EC.四棱锥E-ABCD的体积

=×4
2
×3=16.
因为AB=2EF,EF∥AB,
所以S
△EAB
=2S
△BEF
.
所以==
+
==×
=16+4=20.
=4.
所以多面体的体积V=
19.(本小题满分12分)

如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.

解:(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是 正方体AC
1
及三棱柱B
1
C
1
Q-A
1
D
1
P的组合体.
由PA
1
=PD
1
=,A1
D
1
=AD=2,
可得PA
1
⊥PD
1
.
故所求几何体的表面积
S=5×2
2
+2×××+2××2
=22+4(cm
2
),
所求几何体的体积V=2
3
+( )
2
×2=10(cm
3
).
20.(本小题满分12分) 某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如图),其
中正视图与侧视图为两个全 等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图

尺寸如图所示(单位:cm).

(1)求出这个工件的体积;
(2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是 每平方厘米1元,现要
制作10个这样的工件,请计算喷漆总费用(精确到整数部分).
解: (1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为4,母线长为3,设圆锥
高为h,则h==,则V=S h=πR
2
h=π×4×=π(cm
3
).
(2)圆锥的侧面积S
1
=πRl=6π,
则表面积=侧面积+底面积=6π+4π=10π(cm
2
),
喷漆总费用=10π×1×10=100π≈314(元).
21.(本小题满分12分)
如图所示,圆台母线AB长为20 cm,上、下底面半径分别为5 cm和10 cm,
从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度
的最小值.

解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥.

连接MB′,P,Q分别为圆台的上、下底面的圆心.
在圆台的轴截面中,
因为Rt△OPA∽Rt△OQB,
所以
所以
=,
=.
所以OA=20(cm).
设∠BOB′=α,
由扇形的长与底面圆Q的周长相等,
,
,
得2×10×π=2×OB× π×
即20π=2×(20+20)π×
所以α=90°.
所以在Rt△B′OM中,
B′M===50(cm),
即所求绳长的最小值为50 cm.
22.(本小题满分12分)
一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个
内切球.求:

(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥里内切球的体积.
解 :(1)如图所示,作出轴截面,则等腰△SAB内接于☉O,而☉O
1
内切于
△SA B.

设☉O的半径为R,则有πR
3
=972π,
所以R
3
=729,R=9.
所以SE=2R=18.
因为SD=16,
所以ED=2.
连接AE,又因为SE是直径,
所以SA⊥AE,
SA
2
=SD·SE=16×18=288,
所以SA=12.
因为AB⊥SD,
所以AD
2
=SD·DE=16×2=32,
所以AD=4.
所以S
圆锥侧
=π×4×12=96π.
(2)设内切球O
1
的半径为r,
因为△SAB的周长为2×(12+4)=32,

所以r×32=×8×16.
所以r=4.
所以内切球O
1
的体积V
球
=πr
3
=π.