高中数学基础知识与练习题

2020年10月6日发(作者：穆恩之)

第一讲 集合与逻辑用语
第1节 集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有 且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”
表示).
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
文字语言
关系
相等
集合间
子集
的基本
关系
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元
真子集
素不是A中的元素
空集
3.集合的基本运算

符号表示
集合的并集
A∪B
集合的交集
A∩B
合A的补集为?
U
A
图形表示

意义
4.集合的运算性质
并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
补集的性质 ：A∪(?
U
A)＝U；A∩(?
U
A)＝?；?
U
(?< br>U
A)＝A；
?
U
(A∪B)＝(?
U
A)∩(?
U
B)；?
U
(A∩B)＝(?
U
A)∪(?
U< br>B).
{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x?A}
集合的补集
若全集为U，则集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A B
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B
集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B
符号语言
★
练习
1.已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{ x|2＜x＜10}，则(?
R
A)∩B＝________.
2.(2015·全 国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B1 98

中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}， 则A∪B等于( )
A.(－1，3) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，3)
4.(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x
2
－2x≥3}， Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q等于( )
A.[3，4)
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}， 则A∩(?
U
B)
等于( )
A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2} D.{1，2，3，4}
B.(2，3] C.(－1，2) D.(－1，3]
2. (2015·南昌监测)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2
＋y
2
＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且
y＝x}，则A∩ B的元素个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
?
?
x＋1
?
≥0
?
，则P∩Q等于( ) 3 .(2015·长春监测)已知集合P＝{x|x≥0}，Q＝
?
x
?
??
x－2
?
A.(－∞，2) B.(－∞，－1]C.[0，＋∞) D.(2，＋∞)
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}， 集合B＝{2，3}，则A∪B
等于( )
A.{2} B.{1，2，3}C.{－1，0，1，2，3} D.{0，1，2，3}
5.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
6.(2014·宜春检测)设 集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x
2
－x＞0}，则下列结论正确的是( )
A.P?Q

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系
B.Q?PC.P＝Q D.P∪Q＝R

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2 98

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q? p
p? q且q?p
p?q
p? q且q?p
★
练习
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x
2
＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A.若方 程x
2
＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x
2
＋x－m＝0有实根， 则m≤0
C.若方程x
2
＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x
2
＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
4.下列命题：
①x＝2是x
2
－4x＋4＝0的必要不充分条件；
②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；
③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.
其中为真命题的是__________(填序号).
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·重庆卷)“x＝1”是“x
2
－2x＋1＝0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题
4.“ 若a≤b，则ac
2
≤bc
2
”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命 题中真命题的个数
3 98

是________.
1
5 .“m<”是“一元二次方程x
2
＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分 不必要、必
4
要不充分、充要”).
6.函数f(x)＝x
2
＋m x＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
P且q
真
假
假
假
P或q
真
真
真
假
非p
假
假
真
真
2．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2) 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有
的”等．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
★
练习
1．(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是( )
A．任意x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．任意x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．存在x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D．存在x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
2..若命题“?x∈R，ax
2
－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是___ _____.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·抚州二检)若p是真命题，q是假命题，则( )
A.p且q是真命题 B.p或q是假命题
4 98

C.非p是真命题D.非q是真命题
2．.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A.对任意实数x，都有x＞1B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤1
3．下列四个命题
1< br>?
x
?
1
?
x
p
1
：存在x∈(0 ，＋∞)，
?
?
2
?
＜
?
3
?
； p
2
：存在x∈(0,1)，
1
?
x
p
3
：任意x∈(0，＋∞)，
?
?
2
?
＞
其中真命题是( )
A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4


11
0，
?
，
??
x
＜；p
4
：任意x∈
?
?
3??
2
?
；
.
第二讲 函数概念与函数基本性质
第1节 函数及其表示
1．函数的基本概念(1)函数的定义
给定两个非空数集A 和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集
合B中都存在唯一的数f(x)与 之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记
作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此 时x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈
A}叫作函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．
(4)分段函数
若函数 在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通
常叫作分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2.函数定义域的求法
类型
2n
f（x），n∈N
*

x满足的条件
f(x)≥0
f(x)≠0
f(x)＞0
各个函数定义域的交集
使实际问题有意义
5 98
1
与[f(x)]
0

f（x）
log
a
f(x)
四则运算组成的函数
实际问题

★
练习
1.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x
2.(2015·重庆卷) 函数f(x)＝log
2
(x
2
＋2x－3)的定义域是( )
A.[－3，1] B.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
?
1－x，x≥0，
3.(2015·陕西卷 )设f(x)＝
?
x
则f(f(－2))等于( )
?
2，x＜0，
A.－1
1
B.
4
1
C.
2
基础巩固题组
一、选择题
1.下图中可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
3
D.
2

2.下列函数中，与函数y＝
1
A.y＝
sin x
1
3
x
C.y＝xe
x

sin x
D.y＝
x
的定义域相同的函数为( )
ln x
B.y＝
x
x
2
＋1，x≤1，
?
?
3.设函数f(x)＝
?
2
则f(f(3))等于( )
，x＞1，
?
?
x
1
A.
5
B.3
2
C.
3

13
D.
9
4..某 学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数
大于6时再增选 一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取
整函数y＝[x]([x]表 示不大于x的最大整数)可以表示为( )
x
?
A.y＝
?
?
10
?

二、填空题
6.函数f(x)＝
x＋1
log
0.2
（3 －x）
的定义域为________.
B.y＝
?
x＋3
?
x＋4
?
C.y＝
?
?
10
??
10
?
D.y＝
?
x＋5
?
?
10
?

2
?
?
3－x，x∈[－1，2]，
7.已知函数f(x)＝
?
则方程f(x)＝1的解为________.
?
?
x－3，x∈（2，5]，
6 98

第2节 函数的单调性与最大(小)值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数 减函数
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x
1
，x
2
∈A
定义
当x
1
＜x
2< br>时，都有f(x
1
)＜f(x
2
)，那么就说
函数f(x)在 区间A上是增加的
续表


图像描述
自左向右看图像是上升的

当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＞f (x
2
)，那么就说
函数f(x)在区间A上是减少的
自左向右看图像是下降的

(2)函数单调性的两种等价形式:设任意x
1
，x
2
∈[a，b]且x
1
＜x
2
，那么
f?x
1
?－f?x
2
?f?x
1
?－f?x
2
?
①＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；＜0?f(x)在[a，b]上是减函数． < br>x
1
－x
2
x
1
－x
2
②(x1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]＞0 ?f(x)在[a，b]上是增函数；(x
1
－x
2
)[f(x
1< br>)－f(x
2
)]＜0?f(x)在[a，b]
上是减函数．
(3)单调区间的定义:如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
2．函数的最值
前提
条件
结论
函数y＝f(x)的定义域为D
(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
(2)存在x
0
∈D，使得f(x
0
)＝M
M为最大值
(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；
(4)存在x
0
∈D，使得f(x
0
)＝M
M为最小值
★
练习
1.(2015·宜春调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )
1
A.y＝－x
x
B.y＝x
2
－xC.y＝ln x－x D.y＝e
x
－x
2.数f(x)＝lg x
2
的单调递减区间是______.
3f(x)＝
2
，x∈[2 ，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
x－1
基础巩固题组
一、选择题
7 98

1.(2015·九江模拟)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )
A.y＝log
2
x
1
?
B.y＝xC.y＝－
?
?
2
?

x
1
D.y＝
x
2.已知函数f(x)＝2ax
2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
3
0，
?
A.
?
?
4
?
3
0，
?
B.
?
?
4
?
3
0，
?
C.
?
?
4
?
3
0，
?
D.
?
?
4
?
1
3.函数f(x)＝log(x
2
－4) 的单调递增区间为( )
2
A.(0，＋∞)
二、填空题
4.( 2015·中山质检)y＝－x
2
＋2|x|＋3的单调增区间为________.
5.已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a
2
－a)＞f(a＋3)，则实 数a的取值范围为________.


第3节 函数的奇偶性与周期性
1．奇函数、偶函数
图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于 原点对称的区间上的单调
性相反(填“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如 果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周 期.
B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
★
练习
1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋sin 2x
1
B.y＝x
2
－cos x C.y＝2
x
＋
x

2
D.y＝x
2
＋sin x
8 98

2.已知f(x)＝ax
2
＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 ( )
1
A.－
3
1
B.
3
1
C.
2
1
D.－
2
3.(2 014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝
?< br>－4x
2
＋2，－1≤x＜0，
?
3
?
?
则 f
?
＝________.
2
??
?
x，0≤x＜1，
?
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x ＜0时，f(x)＝________.


基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( )
A.y＝sin x B.y＝ln(x
2
＋1－x)C.y＝e
x
D.y＝lnx
2
＋1
2.(2015·石家庄模拟)设函数f(x)为偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log
2
x，
则f(－2)＝( )
1
A.－
2
1
B.
2
C.2 D.－2
2
?
?
x＋1，x>0，
3.(2014·福建卷)已知 函数f(x)＝
?
则下列结论正确的是( )
?
cos x，x≤0，
?
A.f(x)是偶函数
C.f(x)是周期函数


B.f(x)是增函数
D.f(x)的值域为[－1，＋∞)
x
2
＋x＋1
2
4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝
2，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
3
x＋1
2
A.
3
二、填空题
5.函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1， 则当x＜0时，f(x)＝________.

2
B.－
3
4
C.
3
4
D.－
3

第三讲 基本初等函数及其性质
第1节 二次函数性质的再研究与幂函数
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)
2
＋n(a≠0) .③零点式：f(x)＝a(x
－x
1
)(x－x
2
)(a≠0).
9 98

(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a＜0)
图象

定义域
值域
(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)
?
4ac－b
2
，＋∞
?

?
4a
?
b
－∞，－
?
上单调递减； 在
?
2a
??
b
－，＋∞
?
上单调递增 在
?
?
2a
?
?
－∞，
4ac－b
2
?< br>
4a
??
b
－∞，－
?
上单调递增； 在
?
2a
??
b
－，＋∞
?
上单调递减 在
?
?
2a
?
单调性
对称性
2.幂函数
b
函数的图象关于x＝－对称
2a
(1)幂函数的定义“”如果一个函数， 底数是自变量x，指数是常量α，即y＝x
α
，这样的函
数称为幂函数．
(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质
特征 函数

性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
y＝x y＝x
2
y＝x
3

y＝x
[0，＋∞)
[0，＋∞)
非奇非偶
增
1
2
y＝x
1

{x|x∈R，
且x≠0}
{y|y∈R，
且y≠0}
奇
(－∞，0)减，
(0，＋∞)减
(1，1)
－
R
R
奇
增
R
[0，＋∞)
偶
(－∞，0]减，
[0，＋∞)增
R
R
奇
增
(0，0)，(1，1)
★
课前练习
10 98

1
1.函数y＝x
2
－5x＋1的对称轴和顶点坐标分别是( )
2
23232323
5，－
?
B.x＝－5，
?
－5，
?
C.x＝5，
?
－5，
?
D.x＝－5，
?
5，－
?
A.x＝5，
?
2
?
2
?
2
?
2
?????
2.已知f(x)＝x2
＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A.5 B.－5 C.6 D.－6
1
3.在同一坐标系内，函数y＝x
a
(a≠0)和y＝ax＋的图象可能是( )
a

4.已知幂函数y＝f(x) 的图象过点
?
2，
?
2
?
，则此函数的解析式为_____ ___；在区间________
2
?
上递减.
基础巩固题组
一、选择题
1.二次函数y＝－x
2
＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是( )
A.－4 B.4
－
a
C.－2 D.2
2.若a ＜0，则0.5
a
，5
a
，5
A.5
a
＜5
a
＜0.5
a

C.0.5
a
＜5
a
＜5
a

－
－
的大小关系是( )
B.5
a
＜0.5
a
＜5
a

D.5
a
＜5
a
＜0.5
a

－
－


3.(2015·汉中模拟)如果函数f(x)＝x
2
－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a满足的条
件是( )
A.a≥8 B.a≤8 C.a≥4 D.a≥－4
4若二次函数f(x)＝ ax
2
＋bx＋c满足f(x
1
)＝f(x
2
)，则f(x
1
＋x
2
)等于( )
b
A.－
2a
b
B.－C.c
a
4ac－b
2
D.
4a
5..已知函数f(x)＝x
2
＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.

第2节 指数与指数函数
11 98

n
1.根式:(1 )概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
nnn
(2)性质：(a)
n
＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a
n
＝a，
当n为偶数时，
2.分数指数幂
m
n
(1)规定：正数的正分数指 数幂的意义是a＝a
m
(a＞0，m，n∈N
*
，且n＞1)；正数的负分< br>n
m1
数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N
*
，且n＞1) ；0的正分数指数幂等于0；0的
n
n
a
m
负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：a
r
a
s
＝a
rs
；(a
r
)
s
＝a
rs
；(ab)
r
＝a
r
b
r
，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.
3.指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
＋
n
?
?
a，a≥0，
a＝|a|＝
?

?
－a，a＜0.
?
n
图象

定义域
值域
R
(0，＋∞)
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
性质

当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
在(－∞，＋∞)上是增函数
当x＜0时，y＞1；
当x＞0时，0＜y＜1
在(－∞，＋∞)上是减函数

★
课前练习
1.下列运算中，正确的是( )
A.a
2
·a
3
＝a
6
B.(－a
2
)
3
＝(－a
3
)
2
C.(a－1)
0
＝0 D.(－a
2
)
3
＝－a
6

2.(2015·山东卷)设a＝0.6
0.6
，b＝0.6
1.5
，c＝1 .5
0.6
，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
1
3.已知0≤x≤2，则y＝4 x－－3·2
x
＋5的最大值为______.
2
基础巩固题组
一、选择题
12 98

1.函数f(x)＝a
x
2
＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0，1) B.(1，1) C.(2，0) D.(2，2)
－
2.函数f(x)＝1－2
x
的定义域是( )
A.(－∞，0] B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)
xa
x
3..函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是( )
|x|


1
－
4.若函数f(x)＝a
|2x
4|
(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
9
A.(－∞，2]
二、填空题
3
－
16
?
4
54
5.
?
＋log
3
＋log
3< br>＝________.
?
81
?
45
6.已知函数f(x) ＝a
x
(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是_______ _.
第三节 对数与对数函数
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1 )的b次幂等于N，即a
b
＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，
记作log
a
N＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2.对数的性质与运算性质
( 1)对数的性质①alog
a
N＝N；②log
a
a
N
＝N (a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数.
(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
M
①log
a
(M·N)＝log
a
M＋log
a
N；②log
a＝log
a
M－log
a
N；③log
a
M
n
＝nlog
a
M(n∈R).
N
(3)对数的重要公式
log
a
N1
①换底公式：log
b
N＝ (a，b均大于 零且不等于1)；②log
a
b＝，推广log
a
b·log
bc·log
c
d
log
a
blog
b
a
＝log
a
d.
13 98
－
B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]

3.对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1
图象

定义域
值域
(0，＋∞)
R
过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
性质 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
在(0，＋∞)上是增函数

当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y
＞0
在(0，＋∞)上是减函数

★
练习
1.函数f(x)＝log
a
(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点( )
A.(1，0) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(－1，－1) 2.(2015·浙江卷)计算：log
2
2
＝______；2log
2
3＋log
4
3＝______.
2
3.函数f(x)＝log
5
(2x＋1)的单调增区间是________.
3
4.若log
a
＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.
4
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数 ，则“a＞b＞1”是“log
2
a＞log
2
b＞0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.若函数y＝log
a
x( a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

14 98

3.已知b＞0，log
5
b＝a，lg b＝c，5
d
＝10，则下列等式一定成立的是( )
A.d＝ac B.a＝cd C.c＝ad D.d＝a＋c
3
4.若log
a
＜1，则a的取值范围是( )
5
3
0，
?
A.
?
?
5
?
33
，＋∞
?
C.
?
，1
?
B.< br>?
?
5
??
5
?
3
0，
?
∪(1，＋∞) D.
?
?
5
?
5.(2015·萍乡调研)函数f (x)＝log
a
(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
二、填空题
6.(2015·四川卷)lg 0.01＋log
2
16的值是________.
1
7.函数y＝log (x
2
－2x)的定义域是________；单调递减区间是________.
2
8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log
2
x，则满足不等式f(x)＞0的
x的取值范围是________.
1
B.(0，1)C.(0，)
3
D.(3，＋∞)

第四讲 函数图像及其应用
第1节 函数的图像
1.利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线.
首先：(1)确定函数的定义 域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周
期性、对称性等).
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连
线.
2.函数图象间的变换
(1)平移变换
15 98

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.
(2)对称变换

(3)伸缩变换
纵坐标不变
y＝f(x)
各点横坐标变为原来的
――→
1
（a＞0）倍
y＝f(ax).
a
横坐标不变< br>y＝f(x)
各点纵坐标变为原来的
――→
A(A＞0)倍
y＝Af( x).
★
练习
1.(2015·广州一调)把函数y＝(x－2)
2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
所得图象对应的函数解析式是( )
A.y＝(x－3)
2
＋3 B.y＝(x－3)
2
＋1C.y＝(x－1)
2
＋3 D.y＝(x－1)
2
＋1
2.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运 动一周，O，P两点连线的距离y与
点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是( )

3.(2016·延安调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图(2) 中的图象对应的函数为
( )
16 98

A.y＝f(|x|) B.y＝|f(x)|C.y＝f(－|x|) D.y＝－f(|x|)
?
?
log
2
x（x＞0），
4 .(2015·长沙模拟)已知函数f(x)＝
?
且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根 ，
?
?
2
x
（x≤0），
则实数a的取值范围是________.
基础巩固题组
一、选择题
1.函数y＝1－
1
x－1
的图象是( )

2.函数 y＝5
x
与函数y＝－
1
5
x
的图象关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称C.原点对称 D.直线y＝x对称
3.已知定义在区 间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(



4.使log
2
(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( )
A.(－1，0) B.[－1，0) C.(－2，0) D.[－2，0)
17 98
)

二、填空题
6.设奇函数f(x)的 定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，
则不等式f(x)＜0的解集是 ________.
7.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y ＝|x－
a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
第2节 函数的应用
1．函数的零点
(1)函数的零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在 区间端点的函数值符号相反，即
f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至 少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，
b)内至少有一个实数解．
2.二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

二次函数
y＝ax
2
＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
零点个数

(x
1
，0)，(x
2
，0)
两个
(x
1
，0)
一个

无交点
零个

Δ>0 Δ＝0 Δ<0
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
y＝a
x
(a＞1)
性质
在(0，＋∞)
单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快
随x的增大逐渐表现为与y
随x的增大逐渐表现为与x
图象的变化 轴平行
轴平行

值的比较 存在一个x
0
，当x＞x
0
时，有log
a
x＜x
n
＜a
x

各有不同
随n值变化而
越来越慢 相对平稳
单调递增 单调递增
y＝log
a
x(a＞1) y＝x
n
(n＞0)
18 98

★
练习
1.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0， 16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题
中正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点
6
2.已知函数f(x)＝－log
2
x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间 是( )
x
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞)
?
?
2－|x|，x≤2，
3.(2015·天津卷)已 知函数f(x)＝
?
函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－
?（x－2）
2
，x＞2，
?
g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资 等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销
售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价元
日均销售量桶
6
480
7
440
8
400
9
360
10
320
11
280
12
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.

基础巩固题组
一、选择题
1
1.(2015·瑞金模拟)函数f(x)＝ 2
x
－的零点所在的大致区间是( )
x
1
0，
?
A.
?
?
2
?
1
?
B.
?
?
2
，1
?

3
1，
?
C.
?
?
2
?
3
?
D.
?
?
2
，2
?

2.若函 数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx
2
－ax的零点是( )
A.0，2
1
B.0，
2
x
1
C.0，－
2
1
D.2，－
2
1
?
3.(2015·周口二 模)已知函数f(x)＝
?
?
5
?
－log
3
x， 若x
0
是函数y＝f(x)的零点，且0＜x
1
＜x
0
，则
f(x
1
)的值( )
A.恒为正值 B.等于0C.恒为负值 D.不大于0
4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每 年都要花
费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A.10 B.11 C.13
19 98
D.21

5.若函数 f(x)＝ax
2
－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为( )
A.0
1
B.－
4
1
C.0或－
4

D.2
第五讲 导数及其应用
第1节 导数的概念及运算
1．导数与导函数的概念
(1)当x
1
趋于x
0
，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个
值就是函数y＝f(x)在x
0
点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)
在x
0
点的导数，通 常用符号f′(x
0
)表示，记作
f′(x
0
)＝.
( 2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：
f′( x)＝
Δ
lim
x
→
0
f?x＋Δx?－f?x?
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，
Δx
通常也简称为导数 ．
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x
0
处的导数的几何意义， 就是曲线y＝f(x)在点P(x
0
，f(x
0
))处的
切线的斜率 k，即k＝f′(x
0
)，切线方程为：y－f(x
0
)＝f′(x
0
)(x－x
0
).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)＝C(C为常数)
f(x)＝x
α
(α是实数)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝e
x

f(x)＝a
x
(a＞0，a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝log
a
x (a＞0，且a≠1)
导函数
f′(x)＝0
f′(x)＝αx
α
－
1

f′(x)＝cos__x
f′(x)＝－sin__x
f′(x)＝e
x

f′(x)＝a
x
ln__a
1
f′(x)＝
x

1
f′(x)＝
xln a

20 98

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
?
f（x）
?
f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
?
′＝
(3)
?
(g(x)≠0).
[g（x）]
2
?
g（x）
?
★练习
1.已知函数f(x)＝ax
2
＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A.1 B.2 C.－1 D.0
2.(2016·铜川调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A.e B.－e
1
C.
e

1
D.－
e

3 已知函数f(x)＝ax
3
＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则 a＝___.
sin x
4曲线y＝
x
在点M(π，0)处的切线方程为________.
基础巩固题组
一、选择题
1.设f(x)＝xln x，若f′(x
0
)＝2，则x
0
的值为( )
A.e
2
B.e
ln 2
C.
2
2
2.设y＝x
2
e
x
，则y′＝( )
A.x
2
e
x
＋2x B.2xe
x
C.(2x＋x
2
)e
x
D.(x＋x
2
)e
x

3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )
A.－e B.－1 C.1 D.e
4.(20 15·榆林模拟)设曲线y＝ax
2
在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，< br>则a＝( )A.0 B.1 C.2 D.3
x
2
＋a3π
5.(2016·南阳模拟)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为
4
，则实数a
x＋1
＝( )A.1
二、填空题
ln x
6.(2015·长春质量检测)若函数f(x)＝
x
，则f′(2)＝_____ ___.
7.(2016·河南六市联考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx
21 98
B.－1 C.7 D.－7

＋2是曲线y＝f(x)在x＝ 3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，
则g′(3)＝____ ____.
第2节 导数与函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当 f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内
是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的 区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在[a，b] 上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单
调递减，则f′(x)≤0恒 成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x) ＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)
在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
★练习
1.函数f(x)＝x
2
－2ln x的单调递减区间是( )
A.(0，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1，1)
2.(2 016·合肥模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图
所示，则y＝f (x)的图象最有可能是( )


22 98

3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k
的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)
基础巩固题组
一、选择题
1.(2016·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)e
x
的单调递增区间是( )
A.(－∞，2)
∞)
2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象 之一，且其导函数y＝f′(x)
的图象如图所示，则该函数的图象是( )
B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋
D.[1，＋∞)

3.函数f(x)＝x
3
＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 ( )
A.[3，＋∞)
∞，－3)
4.(2015·安徽卷)函数f( x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx＋d的图象如图所示，
则下列结论成立 的是( )
A.a>0，b<0，c>0，d>0B.a>0，b<0，c<0，d>0
C.a<0，b<0，c>0，d>0D.a>0，b>0，c>0，d<0
二、填空题
9
5函数f(x)＝x＋
x
的单调递减区间为________.
6.如果函数f(x)＝ax
3
－x
2
＋x－5在R上单调递增，则a的取值 范围是________.
第3节 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值与导数
(1)判断f(x
0
)是极值的方法
23 98
B.[－3，＋∞)C.(－3，＋∞) D.(－

一般地，当函数f(x )在点x
0
处连续且f′(x
0
)＝0，
①如果在x
0< br>附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x
0
)是极大值；
②如果在x
0
附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x
0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符 号.如果左正右负，那么f(x)在这
个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和
最小值.
(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值 和最
小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极 值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值.
★练习
1.函数f(x)＝－x
3
＋3x＋1有( )
A.极小值－1，极大值1
C.极小值－2，极大值2
B.极小值－2，极大值3
D.极小值－1，极大值3
2函数y＝xe
x
在其极值点处的切线方程为________.
1
3.函数f(x)＝
3
x
3
－4x＋4在[0，3]上的最大值与最小值分 别为________.
基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)＝2x3
－6x
2
－18x－7在[1，4]上的最小值为( )
A.－64 B.－61 C.－56 D.－51
2.函数f(x)＝x
3
＋3x
2
＋3x－a的极值点的个数是( )
A.2 B.1 C.0 D.由a确定
24 98

3.设函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a，b，c∈R).若x＝－1为函数f(x)e< br>x
的一个极值点，
则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
4.(2015·咸阳模拟)函数f(x)＝x
3
－3bx＋3b在(0，1)内有极小值 ，则( )
1
A.b＜
2
B.b＜1 C.b＞0 D.0＜b＜1
5.(2016·长沙模拟)已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实
数a的取值范围是( )
A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
二、填空题
6.已知函数f(x)＝x
3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，
则M－m＝________ .
7.(2016·广州模拟)已知f(x)＝x
3
＋3ax
2
＋ bx＋a
2
在x＝－1时有极值0，则a－b＝
________.
第六讲 三角函数定义及三角恒等变形
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所成的图形.
?
按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.
(2)分类
?

?
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连 同角α在内，可构成一个集合S
＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
l
|α|＝
r
(弧长用l表示)
25 98

角度与弧度的换算
弧长公式
扇形面积公式
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦
π
?
180
?
①1°＝
180
rad；②1 rad＝
?
π
?
°
??
弧长l＝|α|r
11
S＝
2
lr＝
2
|α|r
2

余弦 正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
定义
y叫做α的正弦，记x叫做α的余弦，记
作sin α
Ⅰ
各象限
符号
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ

＋
＋
－
－

作cos α
＋
－
－
＋

y
x
叫做α的正切，
记作tan α
＋
－
＋
－

三角函数线


线 正切线

有向线段MP为正弦有向线段OM为余弦有向线段AT为
线
★练习
9π
1.下列与
4
的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
9
B.k·360°＋
4
π(k∈Z)
D.kπ＋
5π
(k∈Z)
4
2如图所示，在直角坐标系xOy中 ，射线OP交单位圆O于点P，
若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A.(cos θ，sin θ)
C.(sin θ，cos θ)


B.(－cos θ，sin θ)
D.(－sin θ，cos θ)
3.若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
26 98
D.第四象限

4. (北师大必 修4P12习题6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大
小为________弧度.
基础巩固题组
一、选择题
1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )
4
A.
5

3
B.
5

3
C.－
5

4
D.－
5

3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角
α
∈(0，π)的弧
度数为( )
π
A.
3

π
B.
2
C.3 D.2
3π
??
3π
4.已知点P
?
sin
4
，cos
4
?
落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )
??
π3π5π7π
A.
4
B.
4
C.
4
D.
4

?
α
??
α
?
?
sin
2
??
cos
2
?
????
5.若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
αα
sin
2
cos
2
A.0
二、填空题
6.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边
25上一点，且sin θ＝－
5
，则y＝______.

第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
sin α
(1 )平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1.(2)商数关系：
co s α
＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
角
一
2kπ＋α(k∈Z)
二
π＋α
三
－α
四
π－α
五
π
2
－α
六
π
2
＋α
B.2 C.－2 D.2或－2
27 98

正弦
余弦
正切
sin α
cos α
tan α
-sin__α -sin__α sin__α cos__α cos__α
-sin__α

函数名改
-cos__α cos__α -cos__α sin__α
tan__α -tan__α -tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 变，符号
看象限
练习
570°的值为( )
1
A.
2

313
B.
2
C.－
2
D.－
2

?
5π
?
1< br>2已知sin
?
2
＋α
?
＝
5
，那么cos α＝( )
??
2112
A.－
5
B.－
5
C.
5
D.
5

5
3若sin α＝－
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
121255
A.
5
B.－
5
C.
12
D.－
12

4.已知tan α＝2，则
sin α＋cos α
的值为________.
sin α－cos α
基础巩固题组
一、选择题
4
1.若cos α＝
5
，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )
4
A.
3

3
B.
4

4
C.±
3

3
D.±
4

3π
?
1
?
2.已知tan α＝
2
，且α∈
?
π，
2
?
，则sin α＝( )
??
552525
A.－
5
B.
5
C.
5
D.－
5

π
??
π
?3
?
3.(2016·西安模拟)已知sin
?
2
＋α
?
＝
5
，α∈
?
0，
2
?
，则sin(π ＋α)＝( )
????
3344
A.
5
B.－
5
C.
5
D.－
5

4.1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝( )
2－cos 2 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2) 2－sin 2
28 98

5
5.已知sin α＝
5
，则sin
4
α－cos
4
α的值为( )
131
A.－
5
B.－
5
C.
5

二、填空题
45
?
4
?

3
π·cos
6
π·tan
?
－
3
π< br>?
的值是________.
??

3
D.
5

第3节 两角和与差及二倍角的三角函数
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±c os__αsin__β.cos(α?
β
)＝cos__αcos__β±sin__αsi n__β.
tan(α±β)＝
tan α±tan β
.
1?tan
α
tan
β
2tan α
.
1－tan
2
α
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α. tan 2α＝
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan__
α
tan__
β
).
(2)cos
2
α＝
1＋cos 2α1－cos 2α
2
，sin
α＝
.
22
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)
2
，1－sin 2α＝(sin α－cos α)
2
，sin α±cos α＝2
?
π
?
?
. sin
?
α±
?
4
?
4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a
2
＋b
2
sin (α＋
b
?
a
???
φ)
?
其中tan φ＝a
?
或f(α)＝a
2
＋b
2
·cos(α－φ)?
其中tan φ＝
b
?
.
????
练习
π
?
4
?
1若cos α＝－
5
，α是第三象限角 ，则sin
?
α＋
4
?
＝( )
??
727222
A.－
10
B.
10
C.－
10
D.
10

11
2.(2015·重庆卷)若tan α＝
3
，tan(α＋β)＝
2
，则tan β等于( )
1155
A.
7
B.
6
C.
7
D.
6

1
?
π
?
3.(2016·渭南模拟)已知sin α＋cos α＝
3
，则sin
2
?
4
－α
?
＝( )
??
29 98

1
A.
18

17
B.
18

8
C.
9

2
D.
9

4sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.

基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
3
A.－
2

3
B.
2

1
C.－
2

1
D.
2

2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
6
?
π
?
3.(2015·温州测试)已知sin x＋3 cos x＝
5
，则cos
?
6
－x
?
＝( )
??
3344
A.－
5
B.
5
C.－
5
D.
5

x
2sin
2
2
－1
?
π
?
?
12
?
的值为______ __. 4.(2015·郑州质量预测)已知f(x)＝2tan x－
x
，则f
x
??
sin
2
cos
2
?
π
?
1
5.设θ为第二象限角，若tan
?
θ ＋
4
?
＝，则sin θ＋cos θ＝________.
??
2
第4节 三角函数的图像与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
?
π
?
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关 键点是：(0，0)，
?
2
，1
?
，(π，
??
?
3π
?
0)，
?
2
，－1
?
，(2π，0 ).
??
?
π
?
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π ]的图象中，五个关键点是：(0，1)，
?
2
，0
?
，(π，??
?
3π
?
－1)，
?
2
，0
?< br>，(2π，1).
??
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
图象

定义
域
R
30 98
y＝sin x y＝cos x y＝tan x

R

{
x
|
x∈R，且x≠

值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
对称中心
对称轴方程
练习
1.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
[－1，1]
2π
奇函数
ππ
??
?
2kπ－
2
， 2kπ＋
2
?

??
π3π
??
?
2kπ ＋
2
，2kπ＋
2
?

??
(kπ，0)
π
x＝kπ＋
2

[－1，1]
2π
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
π
??
?
kπ＋
2
，0
?

??
x＝kπ
?
π
kπ＋
2
，k∈Z
?

?
R
π
奇函数
ππ
??
?
kπ－
2
，kπ ＋
2
?

??
无
?
kπ
?
?
2
，0
?

??
无
π
?
π
???
A.y＝sin
?
2x＋
2
?
B.y＝cos
?
2x＋
2
?
C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x
????
π
?
π
???
2.函数f(x)＝sin
?
2x－
4
?
在区间
?
0，
2
?
上的最小值为( )
????
22
A.－1 B.－
2
C.
2
D.0
?
π
?
3.函数f(x)＝sin
?
x－
4
?
的图象的一条对称轴是( )
??
ππππ
A.x＝
4
B.x＝
2
C.x＝－
4
D.x＝－
2

基础巩固题组
一、选择题
1.(2016·南昌检测)下列函数中，是周期函数的为( )
A.y＝sin|x| B.y＝cos|x|C.y＝tan|x| D.y＝(x－1)
0

π
??
2.(2015·石家庄模拟)函数 f(x)＝tan
?
2x－
3
?
的单调递增区间是( )
??
?
kπ
π
kπ
5π
??
kπ
πkπ
5π
?
－，＋
A.
?
212212
?(k∈Z) B.
?
2
－
12
，
2
＋
12
?
(k∈Z)
????
π5π
?
π2π
?? ?
C.
?
kπ－
12
，kπ＋
12
?
(k ∈Z) D.
?
kπ＋
6
，kπ＋
3
?
(k∈Z)
????
1
3.(2015·云南统一检测)已知函数f(x)＝cos
2< br>3x－
2
，则f(x)的图象的相邻两条对称
轴之间的距离等于( )
31 98

2π
A.
3

π
B.
3

π
C.
6

π
D.
12

4.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考 )函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任
?
π
??
π
??
π
?
意x都有f
?
4
＋x
?
＝f
?
4
－x
?
，则f
?
4
?
等于( )
??????
A.2或0 B.－2或2 C.0 D.－2或0
π
??
5.(2015·金华十校模拟) 关于函数y＝tan
?
2x－
3
?
，下列说法正确的是( ) < br>??
π
??
A.是奇函数B.在区间
?
0，
3
?
上单调递减
??
?
π
?
C.
?
6< br>，0
?
为其图象的一个对称中心D.最小正周期为π
??
第七讲 解三角形与三角函数应用
第1节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图 的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个
点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.

x
ωx＋φ
y＝Asin(ωx＋φ)
φ
－
ω

0
0
π
2
－φ
ω

π
2

A
π－φ
ω

π
0
3π
2
－φ
ω

3π
2

－A
2π－φ
ω

2π
0
(2)作图：在坐标系中描出这五 个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx
＋φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相
关的概念如下表：
简谐振动
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)
振幅
A
周期
2π
T＝
ω

32 98
频率
1
f＝
T

相位
ωx＋φ
初相
φ

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

练习
π
??
1要得到函数y＝sin
?
4x－
3
?
的图象，只需 将函数y＝sin 4x的图象( )
??
ππ
A.向左平移
12
个单位 B.向右平移
12
个单位
π
π
C.向左平移
3
个单位 D.向右平移
3
个单位
π
2将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向 左平移
8
个单位，所得到的函数图象关于y轴
对称，则φ的一个可能取值为( )
3π
A.
4

π
B.
4
C.0
基础巩固题组
一、选择题
π
1.(2016·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移
4
个单位，再向下平移1
个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )
π
??
D.y＝cos
?
2x－
4
?
< br>??
ππ
??
2.(2015·萍乡联考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ )
?
ω＞0，－
2
＜φ＜
2
?
的
??A.y＝sin 2x B.y＝sin 2x＋2C.y＝cos 2x
部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
1
π
A.
2
和
6

1
π ππ
B.
2
和－
3
C.2和
6
D.2和－
3

π
D.－
4

3.(2015·河 南六市联考)将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋
ππ
?
π
?
A≠ 0，ω＞0，－＜φ＜
?
φ)
?
的图象向左平移
22
?6
个单位得到的图象关于原点对称，
?
则
ω
的值可以为( )
A.6 B.3 C.4 D.2
33 98

??
π
??
4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈(0，2π)，其中f(x )≤
?
f
?
6
??
，对x∈R恒成立，
????< br>?
π
?
且f
?
2
?
＜f(π)，则f(x) 的单调递增区间是( )
??
π2π
?
π
???
A.< br>?
kπ＋
6
，kπ＋
3
?
(k∈Z) B.
?
kπ，kπ＋
2
?
(k∈Z)
????
π π
?
π
???
C.
?
kπ－
3
，kπ＋< br>6
?
(k∈Z) D.
?
kπ－
2
，kπ
?
(k∈Z)
????< br>ππ
??
5将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
?
ω＞0，－
2
≤φ＜
2
?
图象上每一点的横坐标缩短为原来
??
π< br>的一半，纵坐标不变，再向右平移
6
个单位长
ππ
??
ω＞ 0，－
≤φ≤
6已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
?
的图象上的两个相 邻的最高点和
22
?
??
1
??
最低点的距离为22，且过 点
?
2，－
2
?
，则函数解析式f(x)＝________.
??
第2讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，
则
定理 正弦定理
abc
＝＝
sin Asin Bsin C
＝2R
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
常见
变形
abc
(2)sin A＝
2R
，sin B＝
2R
，sin C＝
2R
；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
余弦定理
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos__A；
公式 b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos__B；
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos__C
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝
2bc
；
c
2
＋a
2
－b
2
cos B＝
2ac
；
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab

111abc1
2.S
△
ABC
＝
2
absin C＝
2
bcsin A＝
2
acsin B＝
4R
＝
2
(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的
半径)，并可由此计算R，r.
3.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 ，目标视线在
水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
34 98

(2)方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫
作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏
西45°等.
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
练习
1(2015·广东卷) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，
3
cos A＝
2
，且b＜c，则b＝( )
A.3 B.22 C.2 D.3
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c
2
＝(a－b)
2
＋6，C
π
＝
3
，则△ABC的面积是( )
A.3
93
B.
2

33
C.
2
D.33
3在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
基础巩固题组
一、选择题
3
1.(2016·汉中模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的 面积为
2
，
则C＝( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，
则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定
3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联 考)已知△ABC中，内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，a
2
＝b
2
＋c
2
－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
1
A.
2
B.1 C.3
35 98
D.2

2π
4.(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝ 6，A＝
3
，则B＝________.
5.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C
1
＝－
4
，3sin A＝2sin B，则c＝________.

第八讲 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
平行向量
共线向量
定义
既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模)
长度为零的向量；其方向是任意的
长度等于1个单位的向量
方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做
共线向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
两向量只有相等或不等，不能
比较大小
0的相反向量为0
0与任一向量平行或共线
备注
平面向量是自由向量
记作0
a
非零向量a的单位向量为±
|a|

相等向量
相反向量
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
求两个向量和的
运算

求a与b的相反向
减法 量－b的和的运算
叫做a与b的差
36 98
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋
(b＋c)
加法
a－b＝a＋(－b)

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，
数乘
求实数λ与向量a
λa的方向与a的方向相同；
的积的运算 当λ＜0时，λa的方向与a的
方向相反；当λ＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
λ(μa)＝λμa；(λ＋
μ)a＝λa＋μa；λ(a
＋b)＝λa＋λb
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数
λ
，使得b＝λa.
练习
ab
1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使
|a|
＝
|b|
成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
2.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边 BC，CA，AB的中点，
→
＋FC
→
＝( ) 则EB
→

1
→
B.
2
AD
→

1
→
D.
2
BC
3.设M为平 行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内
→
＋OB
→＋OC
→
＋OD
→
等于( ) 任意一点，则OA
→

→
B.2OM
→
C.3OM
→
D.4OM
→
＝4. (北师大必修4P79B4改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相 交于O，且OA
→
＝b，则DC
→
＝______，BC
→
＝________(用a，b表示). a，OB

基础巩固题组
一、选择题
1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反
C.|－λa|≥|a|


B.a与λ
2
a的方向相同
D.|－λa|≥|λ|·a
→＋CD
→
＋EF
→
2.(2015·铜川二模)如图，在正六边形ABC DEF中，BA
＝( )
A.0
→

→

→

37 98

→→→→→
3.(2016·福 州质量检测)在△ABC中，AD＝2DC，BA＝a，BD＝b，BC＝c，则下
列等式成立的是( )
A.c＝2b－a
3a
b
B.c＝2a－bC.c＝
2
－
2

3b
a
D.c＝
2
－
2

→
＝2 a＋pb，BC
→
＝a＋b，CD
→
＝a－2b，4.(2016·温州八校 检测)设a
，
b不共线，AB
若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
5.如图所示，已知AB是圆O的直径， 点C，D是半圆弧的两个三等
→
＝a，AC
→
＝b，则AD
→
＝( ) 分点，AB
1
A.a－
2
b
11
B.
2
a－bC.a＋
2
b
1
D.
2
a＋b
→
＝3(e＋e)，CB
→＝e－e，CD
→
＝2e＋e，给出下列结论：6.向量e
1
，e
2
不共线，AB
122112
①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D 共线；④A，C，D共线，其中
所有正确结论的序号为________.
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e
1
，e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，
存在唯一一对实数λ
1
，λ
2
，使a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
.
其中不共线的向量e
1
，e
2
叫表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、 数乘向量及向量的模设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
， y
2
)，则
2
a＋b＝(x
1
＋x
2
， y
1
＋y
2
)，a－b＝(x
1
－x
2
， y
1
－y
2
)，λa＝(λx
1
，λy
1
)，|a|＝x
1
＋y
2
1
.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
→
＝(x－x，
→
|＝（x－x）
2
＋（y－y）
2
. ②设A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则AB|AB
21
y
2
－y
1
)，
2121
3.平面向量共线的 坐标表示：设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a∥b?x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0
练习
→
＝(－4，－3)，则向量BC
→
＝1.( 2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC
38 98

( )A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4)
2.(2015·四川卷)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3已知?ABCD的顶点A(－1，－2)， B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
基础巩固题组
一、选择题
→
同方向的单位向量为( ) 1.已知点A(1，3)，B(4，－ 1)，则与向量AB
4
??
3
A.
?
5
，－
5
?

??
3
??
34
??
4B.
?
5
，－
5
?
C.
?
－
5
，
5
?

????
?
43
?
D.
?
－
5
，
5
?

??
→< br>＝2PC
→
，点Q是AC的中点，若P
→
2.在△ABC中，点P在B C上，且BPA＝(4，3)，
→
＝(1，5)，则BC
→
等于( ) PQ
A.(－2，7) B.(－6，21) C.(2，－7) D.(6，－21)
3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则 λ等于
1
( )A.
4

1
B.
2
C.1 D.2
4.(2016·青岛质量检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)， m∈R，则“m＝－6”
是“a∥(a＋b)”的( )
A.充分必要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
11
5..若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则
a＋
b
的值为________.
第3节 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积

(1)向量的夹角
→
＝a，OB
→
＝b，则∠AOB＝①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作OA
θ(0°≤θ≤1 80°)叫作a与b的夹角．
②当θ＝0°时，a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向 ．当θ＝90°时，
a与b互相垂直．
39 98

(2)向量的数量积
定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数
量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，由定义可知零向量与任一向量的数
量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos
θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，θ为向量a，b的夹角.
2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
. (2)模：|a|＝a·a＝x
2
1
＋y
1
.
a·b
(3)夹角：cos θ＝
|a||b|
＝
x
1x
2
＋y
1
y
2
.
2222
x1
＋y
1
·x
2
＋y
2
(4)两非零向量a⊥ b的充要条件：a·b＝0?x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x
1< br>x
2
＋y
1
y
2
|≤
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a· b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配
律).
练习
1(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
222
x
2
1< br>＋y
1
·x
2
＋y
2
.
2(2014·新课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )
A.1 B.2 C.3 D.5
2π
3.(2016·延安模拟)已 知平面向量a，b的夹角为
3
，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝_.
4已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a ·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )
A.0 B.1 C.2 D.5
2.(2015·萍乡二模)已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( )
40 98

A.25 B.5 C.10 D.5
→
3.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→
＝(2，1)，则AD
→
·
→
等于( ) ＝(1，－2)，ADAC
A.5 B.4 C.3 D.2
4.(2016· 东北三校联考)向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量
a与b的 夹角为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
→
⊥AB
→
，|OA
→
|＝3，则OA
→
·
→
＝________. 5.(2015·湖北卷)已知向量OAOB

第九讲 数列
第1节 数列的概念及简单表示法
1.数列的概念
(1)数列的定义：按照一定次 序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫做
这个数列的项.
(2)数列与函数的关系： 从函数观点看，数列可以看成以正整数集N
*
(或它的有限
子集)为定义域的函数a< br>n
＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应
的一列函数值.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2.数列的分类
分类原则
按项数分类
类型
有穷数列
无穷数列
递增数列
按项与项间的大小关
系分类
按其他
标准分类
递减数列
常数列
有界数列
摆动数列
满足条件
项数有限
项数无限
a
n
＋
1
＞a
n

a
n
＋
1
＜a
n

a
n
＋
1
＝a
n

其中
n∈N
*

存在正数M，使|a
n
|≤M
从第二项起，有些项大于它的前一项，
41 98

有些项小于它的前一项的数列
3.数列的两种常用的表示方法
(1 )通项公式：如果数列{a
n
}的第n项a
n
与序号n之间的关系可以用一个 式子a
n
＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公 式：如果已知数列{a
n
}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开
始的任 一项a
n
与它的前一项a
n
－
1
(或前几项)间的关系可以 用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
练习
1.设数列{ a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
，则a
8
的 值为( )
A.15 B.16 C.49 D.64
2.(2016·西 安调研)在数列{a
n
}中，已知a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2a
n
＋1，则其通项公式为a
n
＝( )
A.2
n
－1 B.2
n
－
1
＋1 C.2n－1 D.2(n－1)
1
3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＝，a＝2，则a
1
＝___ _____.
1－a
n
8
4根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的 数列的一个通项公式a
n
＝
________.

基础巩固题组
一、选择题
1.数列{a
n
}满足a
n
＋
1＋a
n
＝2n－3，若a
1
＝2，则a
8
－a
4
＝( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2(2016·黄冈 模拟)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝n
2
－2n＋ 2，则数列{a
n
}的通项
公式为( )
A.a
n
＝2n－3 B.a
n
＝2n＋3
?
1，n＝1，
D.a
n
＝
?

?
2n＋3，n≥2
?
1，n＝1，
C.a
n
＝
?

?
2n－3，n≥2
3.(2016·九江模拟)已知数列{a
n
} 满足a
1
＝1，a
n
＋
1
a
n
＝2
n
(n∈N
*
)，则a
10
等于( )
42 98

A.64 B.32 C.16 D.8
4.(2015·石家庄二 模)在数列{a
n
}中，已知a
1
＝2，a
2
＝7，an
＋
2
等于a
n
a
n
＋
1
( n∈N
*
)
的个位数，则a
2 015
＝( )
A.8 B.6
n
C.4 D.2
134
5.若数列{a
n
}满足关系a
n
＋
1
＝1＋
a
，a
8
＝< br>21
，则a
5
＝________.
第2节 等差数列及其前n项和
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那 么这个数
列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表 达式：a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
＋
， d为常数)，或a
n
－a
n
－
1
＝d(n≥2，d为常数)．
(2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与ba＋b
的等差中项，即A＝
2
.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a
n
}的首项 是a
1
，公差是d，则其通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1 )d.
通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(m，n∈N
*
).
(2)等差数列的前n项和公式
n（a
1
＋a< br>n
）n（n－1）
*
S
n
＝＝nad(其中n∈N，a
1
为首项，d为公差，a
n
为第n
1
＋
22
项) .
3.等差数列的有关性质
已知数列{a
n
}是等差数列，S
n
是{a
n
}的前n项和.
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N< br>*
)，则有a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
.
(2)等差数列{a
n
}的单调性：当d＞0时，{a
n}是递增数列；当d＜0时，{a
n
}是递
减数列；当d＝0时，{a
n
}是常数列.
(3)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k< br>，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…(k ，m∈N
*
)是公差为md
的等差数列.
(4)数列S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…也 是等差数列.
(5)S
2n
－
1
＝(2n－1)a
n
.
43 98

nd
(6)若n为偶数，则S
偶
－S
奇
＝
2
；若n为奇数，则S
奇
－S
偶
＝a
中
(中间项).
d
?
d
?
4.等差数列的前n项 和公式与函数的关系S
n
＝
2
n
2
＋
?
a
1
－
2
?
n.
??
数列{a
n
}是等差数列?S
n
＝An
2
＋Bn(A，B为常数).
5.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a
n
}中，a
1＞0，d＜0，则S
n
存在最大值；若a
1
＜0，d＞0，则S
n
存
在最小值.
练习
1.(2015·全国Ⅱ卷)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＋a
3
＋a5
＝3，则S
5
＝
( )A.5 B.7 C.9 D.11
2(2015·全国Ⅰ卷)已知{a
n
}是公差为1的等差数列，S
n
为{a
n
}的前n项和.若S
8
＝
17
4S< br>4
，则a
10
等于( )A.
2

19
B.
2
C.10 D.12
3.(2014·江西卷) 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝7，公差为d，前n项和为S
n，当且仅当
n＝8时S
n
取得最大值，则d的取值范围为________.
4. (北师大必修5P19A5改编)在等差数列{a
n
}中，若a
3＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝450 ，
则a
2
＋a
8
＝________.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2016·武汉调研)已知数列{a
n
}是等差数列，a
1
＋a
7
＝－8，a
2
＝2，则数列{a
n
}的
公差d等于( )
A.－1 B.－2 C.－3 D.－4
2.已知等差数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
101
＝0，则有( )
A.a
1
＋a
101
＞0 B.a
2
＋a100
＜0C.a
3
＋a
99
＝0 D.a
51
＝51
3.设数列{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，且a
1
＝25，b
1
＝75，a
2
＋b< br>2
＝100，则a
37
＋b
37
等于( )
A.0 B.37 C.100 D.－37
4.(2016·沈阳质量监督) 设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，公差 d＝2，
S
n
＋
2
－S
n
＝36，则n＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
44 98

5. 设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，S
2
＝S
6
，a
4
＝1，则a
5
＝________.
6.在等差 数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
3
＝－3.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{a
n
}的前k项和S
k
＝－35，求k的值.
第3节 等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，
那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母
q(q≠0)表示.
a
n
＋
1
a
n
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或
a
＝q(n∈N*
，q为非零常
a
n
－
1
n
数).
(2)如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数
Gb
列的定 义，
a
＝
G
，G
2
＝ab，G＝±ab，那么G叫作a与b 的等比中项．即：G
是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G
2
＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a
n
}的首 项为a
1
，公比是q，则其通项公式为a
n
＝a
1
q
n
－
1
；通项公
式的推广：a
n
＝a
m
q
n
－
m
.
a
1
（1－q
n
）
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S
n
＝na
1
；当q ≠1时，S
n
＝
1－q
a
1
－a
n
q
＝.
1－q
3.等比数列 的性质:已知{a
n
}是等比数列，S
n
是数列{a
n
}的 前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
*
)，则有a
k
·a
l
＝a
m
·a
n
.
(2)等比数列{a
n
}的单调性：
当q＞1，a
1
＞0 或0＜q＜1，a
1
＜0时，数列{a
n
}是递增数列；
当q＞ 1，a
1
＜0或0＜q＜1，a
1
＞0时，数列{a
n
}是 递减数列；
当q＝1时，数列{a
n
}是常数列.
(3)相隔等距离的项 组成的数列仍是等比数列，即a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…仍是等比数
45 98

列，公比为q
m
.
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇 数时，S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－S
2n
仍成等比数列，
其公比为q
n
.
练习
1. 已知{a
n
}为等比数列，a
4
＋a
7
＝2，a
5
a
6
＝－8，则a
1
＋a
10
等于( )
A.7 B.5 C.－5 D.－7
1
2.(2015·全国Ⅱ卷)已知 等比数列{a
n
}满足a
1
＝
4
，a
3
a
5
＝4(a
4
－1)，则a
2
等于( )
11
A.2 B.1 C. D.
28
3(2015·全国Ⅰ卷)在 数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝ 2a
n
，S
n
为{a
n
}的前n项和.若S
n＝
126，则n＝________.
4.(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比 数列{a
n
}中，若a
2
＝1，a
8
＝a
6
＋2a
4
，则
a
6
的值是________.
例题讲解
基础巩固题组
一、选择题
1.(2016·宜春模拟)等比数列{a
n< br>}中a
1
＝3，a
4
＝24，则a
3
＋a
4
＋a
5
＝( )
A.33 B.72 C.84 D.189
2.已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为( )
A.－3 B.±3 C.－33 D.±33
3.在等比数列{a
n
}中，如果a
1
＋a
4
＝18，a
2
＋a3
＝12，那么这个数列的公比为( )
A.2
1
B.
2

1
C.2或
2

1
D.－2或
2

11
C.－
3
D.
3

4.(2016·湘潭模拟)已知等比数列{a
n
}的公比 为正数，且a
2
·a
6
＝9a
4
，a
2
＝ 1，则
a
1
的值为( )A.3 B.－3
5.设各项都是正数 的等比数列{a
n
}，S
n
为前n项和，且S
10
＝10， S
30
＝70，那么
S
40
等于( )A.150 B.－200C.150或－200
第4节 数列求和
1.求数列的前n项和的方法:( 1)公式法;①等差数列的前n项和公式S
n
＝
D.400或－50
46 98

n（a
1
＋a
n
）n（n－1）
＝n a
1
＋d.
2 2
②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，S
n
＝na
1
；
a
1
（1－q
n
）a
1
－a
n
q
(ⅱ)当q≠1时，S
n
＝＝.
1－q 1－q
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减 法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列
的求和，即等比数列求和公式的推导过 程的推广.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
形如a
n
＝(－1)
n
f(n)类型，可采用两项合并求解.
例 如，S
n
＝100
2
－99
2
＋98
2
－ 97
2
＋…＋2
2
－1
2
＝(100＋99)＋(98＋9 7)＋…＋(2＋1)
＝5 050.
2.常见的裂项公式(1)
111
＝
n
－.
n（n＋1） n＋1
1
?
11
?
1
1
－
(2)＝
2
?
2n－12n＋1
?
.(3)＝n＋1－n.1
（2n－1 ）（2n＋1）
??
n＋n＋1
1.若数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n
＋2n－1，则数列{a
n
}的前n项和为( )
A.2
n
＋n
2
－1 B.2
n
＋
1
＋n
2
－1C.2
n
＋
1
＋n
2－2 D.2
n
＋n－2
2.数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，已知S
n
＝1－2＋3－4＋…＋(－1)
n
－1
·n，则S
17
＝( )
A.9 B.8 C.17 D.16
?
n
?
?
1
?
3(2015·江苏卷) 设数列{a
n
}满足a
1
＝1，且a
n
＋
1
－a
n
＝n＋1(n∈N
*
)，则数列
?
a
?< br>前
10项的和为________.
4. 1＋2x＋3x
2
＋…＋ nx
n
－
1
＝________(x≠0且x≠1).
基础巩固题组
一、选择题
?
1
?
n
1.(20 15·绵阳一诊)已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝2n－3
?
5
?
，则其前20项和为
??
47 98

( )
1
?
1
?
1
?
3
?
2
?
3
?
A.380－
5
?
1－
5
19
?
B.400－
5
?
1－
5
20
?
C.420－
4
?
1－
5
20
?

??????
1
?
4
?
D.44 0－
5
?
1－
5
20
?

??
?
?
1
?
?
2.(2016·西安一模)若等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，a
4
＝4，S
4
＝10，则数 列
?
aa
?
?
?
nn
＋
1
??
的前2 015项和为( )
2 014
A.
2 015

2 015
B.
2 016

2 016
C.
2 015

2 017
D.
2 016

3.数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝(－1)< br>n
－
1
·(4n－3)，则它的前100项之和S
100
等于
( )A.200 B.－200 C.400 D.－400
1
4 .(2016·宝鸡模拟)数列{a
n
}满足a
n
＋a
n
＋
1
＝
2
(n∈N
*
)，且a
1
＝1，S< br>n
是数列{a
n
}的
前n项和，则S
21
＝____ ____.
5.(2015·武汉测试)在数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＋
1
＝(－1)
n
(a
n
＋1 )，记S
n
为{a
n
}的前n
项和，则S
2 013
＝________.

第十讲 不等式
第1节 不等式的性质与一元二次不等式
1.两个实数比较大小的方法
?
?
a?
(1)作差法
?
a－b＝0?a＝b，
(2)作商法
?
b
＝1?a＝b（a∈R，b＞0），

?
a－b＜0?a＜b；
a
?
?
b
＜1?a＜b（a∈R，b＞0）.
a－b＞0?a＞b，
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
nn
(5)可乘方：a＞b＞0?a
n
＞b
n
(n∈N，n≥1)；(6 )可开方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，
n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＞0
48 98
a
b
＞1?a＞b（a∈R，b＞0），
Δ＝0 Δ＜0

Δ
＝b
2
－4ac
二次函数
y＝ax
2
＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax
2
＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
ax
2
＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
ax
2
＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
练习
1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
ab
A.
d
＞
c

ab
B.
d
＜
c

ab
C.
c
＞
d

ab
D.
c
＜
d


有两相异实根
x
1
，x
2
(x
1
＜x
2
)
{x|x＞x
2

或x＜x
1
}
{x|x
1
＜x＜x
2
}

有两相等实根
b
x
1
＝x
2
＝－
2a

?
b
?
?
x|x≠－
?

2a
??

没有实数根
R
? ?
2.(20 15·广东卷)不等式－x
2
－3x＋4＞0的解集为________(用区间表示). < br>3.已知不等式x
2
－2x＋k
2
－1>0对一切实数x恒成立，则实 数k的取值范围是
______________.
4. 若关于x的一元二次方程x
2
－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是________.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·广州一调)若f(x)＝3x
2
－x＋1，g(x)＝2x
2
＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系
是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
2.(2015·西安检测)下列命题中，正确的是( )
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
ab
C.若
c
2
＜
c
2
，则a＜b


B.若ac＞bc，则a＞b
D.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
3.(2016·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是( )
49 98

11
A.＞
b

a－b
|b|< br>|b|＋1
B.a
2
＜abC.
|a|
＜
|a|＋1
D.a
n
＞b
n

4.若集合A＝{x|ax
2
－ax＋1＜0}＝?，则实数a的取值范围是( )
A.{a|0＜a＜4} B.{a|0≤a＜4}C.{a|0＜a≤4} D.{a|0≤a≤4}
5.(2016·皖南八校联考)若不等式x
2
－2x＋5 ≥a
2
－3a对任意实数x恒成立，则实
数a的取值范围是( )
A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
D.[－2，5] C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
第2节 基本不等式及其应用
a＋b
1．基 本不等式：ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
a＋b
(3)其中
2< br>称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．
2.几个重要的不等式
( 1)a
2
＋b
2
≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ?
a＋b
?
2
?
(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤
?
?
2
?
a
2
＋b
2
?
a＋b
?
2
?
(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ( 3)
2
≥
?
?
2
?
ba
(4)
a
＋
b
≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p， 那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积
定和最小).
s
2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4
(简记：和定积< br>最大).
1.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A.a
2
＋b
2
＞2ab
112
B.a＋b≥2abC.
a
＋
b
＞
ab
50 98
ba
D.
a
＋
b
≥2

xy
2.(2015·福建卷)若直线
a
＋
b
＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于
( )A.2 B.3 C.4 D.5
12
3.(2015·湖南卷)若实数a，b满足
a
＋
b
＝ab，则ab的最小值为( )
A.2 B.2 C.22 D.4
4.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形
的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
基础巩固题组
1.下列不等式一定成立的是( )
1
??
?
x
2
＋
4
?
>lg x(x>0)
??
2

1
x＋
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
1
C.x＋1≥2|x|(x∈R) D.
2
>1(x∈R)
x＋1
14
2.已知a＞0，b＞0，a＋ b＝2，则y＝
a
＋
b
的最小值是( )
79
A.
2
B.4 C.
2
D.5
3.(2016·南昌一模)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
11
A.
ab
>
2

4
A.
3

11
B.
a
＋
b
≤≥2
5
B.
3

D.
11
≤
a
2
＋b
2
8
4.若正数x，y满足4x
2
＋9y
2
＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
C.2
5
D.
4

1
??
1
??
5.设 x，y∈R，且xy≠0，则
?
x
2
＋
y
2
??< br>x
2
＋4y
2
?
的最小值为________.
????
第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By
＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界 直线.不等式Ax＋By＋
C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.
(2)对于直 线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相
同，也就是位于同一 半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而
位于另一个半平面内的点，其坐标适合 另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平
51 98

面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
名称
线性约束条件
目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
练习
1.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A.(0，0) B.(－1，1)C.(－1，3) D.(2，－3)
意义
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束
条件
关于x，y的解析式
关于x，y的一次解析式
满足线性约束条件的解(x，y)
所有可行解组成的集合
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
2.不等式(x－2y＋1)(x ＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表
示)，应是下列图形中的( )

?
x＋y－2≤0，
3.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件< br>?
x－2y＋1≤0，
则z＝3x＋y的最大值为
?
2x－y＋2≥0 ，
________.
?
y≤x，
4若变量x，y满足约束条件
?
x＋y≤4，
且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝___.
?
y≥k，
52 98

基础巩固题组
一、选择题
?
y≤－x＋2，
1.(2016·吉安模拟)不等式组
?
y≤x－1，
所表示的平面区域的面积为(
?
y≥0
A.1
1
B.
2

1
C.
3

1
D.
4

)
?
x－2≤0，
2.( 2015·天津卷)设变量x，y满足约束条件
?
x－2y≤0，
则目标函数z＝3x ＋y
?
x＋2y－8≤0，
的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.14
?
y≤－x＋1，
3.(2015·长春质量监测)若x，y 满足约束条件
?
y≤x＋1，
则3x＋5y的取值范围
?
y≥0，< br>是( )
A.[－5，3] B.[3，5] C.[－3，3] D.[－3，5]
?
x＋y－2≤0，
4.(2014·安徽卷)x，y满足约束条 件
?
x－2y－2≤0，
若z＝y－ax取得最大值的最
?
2x－y ＋2≥0.
优解不唯一，则实数a的值为( )
1
A.
2
或－1
1
B.2或
2
C.2或1 D.2或－1
?
x＋y≤1，
5.(2016·兰州诊断)已知不等式组
?
x－y≥－1，
所表示的平面区域为D，若直线y
?
y≥0
＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的 取值范围为( )
A.[－3，3]
1
??
1
??
B.
?
－∞，－
3
?
∪
?
3
，＋∞?

????
?
11
?
D.
?
－3
，
3
?

??
C.(－∞，－3]∪[3，＋∞)

第十一讲 立体几何
第1节 简单几何体的三视图、直观图、表面积与体积
53 98

1．简单几何体的结构特征
(1)多面体①棱柱：两 个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体 叫作棱柱．
②棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成
的 几何体叫作棱锥．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱
台．
(2)旋转体①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．
②圆台可以由直角梯形绕直 角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由
平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
2．三视图(1)三视图的名称：几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
② 三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方
观察几何体得到的正投影图 ．
③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别
是它们的交 线位置．
3．直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1 )在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，
两轴交于点O′， 使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线 段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′
轴的线段；
(3)已知图形中平行于x轴的线段 ，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线
1
段，长度为原来的
2
.
4.柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱
面 积
S
侧
＝2πrh
54 98
体 积
V＝Sh＝πr
2
h

圆锥 S
侧
＝πrl
111
V＝
3
Sh＝
3
πr
2
h＝
3
πr
2
l
2
－r
2

1
V＝
3
(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下)h＝
1
22
π(r
1
＋r
2
＋r
1
r
2
)h
3
V＝Sh
1
V＝
3
Sh
1
V＝
3
(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下
)h
4
V＝
3
πR
3

圆台 S
侧
＝π(r
1
＋r
2
)l
直棱柱
正棱锥
正棱台
球
S
侧
＝Ch
1
S
侧
＝
2
Ch′
1
S
侧
＝
2
(C＋C′)h′
S
球面
＝4πR
2

5.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等
于侧面积与底面面积之和.
1(2014·新课标 全国Ⅰ卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，
粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱
2.(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长
棱的棱长为( )

A.1 B.2 C.3 D.2
3.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方 体被一个平面截去一部分后，剩余
部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
为( )
55 98

1
A.
8

11
B.
7
C.
6

1
D.
5

4一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体
积为________cm
3
.
A.1＋3 B.1＋22C.2＋3 D.22
基础巩固题组
一、选择题
1.一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图
所示的矩形、正方形，则其俯视图不可能为( )
A.矩形 B.直角三角形C.椭圆 D.等腰三角形
2.(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何
体的体积为( )
13π
1
A.
3
＋2π B.
6

7π5π
C.
3
D.
2

3.(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何
体的表面积等于( )
A.8＋22 B.11＋22C.14＋22 D.15
4.如图所示，已知三棱柱A BC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长均
为1，且AA< br>1
⊥底面ABC，则三棱锥B
1
－ABC
1
的体积
为 ( )
336
A.
12
B.
4
C.
12

6
D.
4

5.(2015·山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该
三角形绕其斜边所在的直线旋转 一周而形成的曲面所围成的
几何体的体积为( )
22π42π
A.
3
B.
3
C.22π
二、填空题
6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的面ADD
1
A
1
、
面BCC
1
B
1
的中心，则四边形BFD
1
E在该 正方体的面上的正投
影可能是________(填序号).
56 98
D.42π

第2节 空间图形的基本关系与公理
1．空间图形的公理
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在
这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个
平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这
个点的公共 直线．
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(5)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
或互补．
2．空间中两直线的位置关系
平行
?
?
共面直线
?
?
?
相交
(1)位置关系的分类：
?
?
?
异面直 线：不同在任何一个平面内



(2)异面直线所成的角①定义：过空间任 意一点P分别引两条异面直线a，b的平
行线l
1
，l
2
(a∥l< br>1
，b∥l
2
)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，π
??
b所成的角．②范围：
?
0，
2
?
.
??
3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
57 98

C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
2.下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；②梯 形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最
多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则 这两个平面重合
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2015·广东卷)若 直线l
1
和l
2
是异面直线，l
1
在平面α内，l
2
在平面β内，l是平
面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与 l
1
，l
2
都不相交B.l与l
1
，l
2
都相交
C.l至多与l
1
，l
2
中的一条相交D.l至少与l1
，l
2
中的一条相交
4.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D ′中，AB的中点为M，DD′的
中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________.
基础巩固题组
一、选择题
1.在下列命题中，不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2.(2 016·江西七校联考)已知直线a和平面α，
β
，
α
∩
β
＝l，a?
α
，a?
β
，且a
在α，
β
内的射影分 别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行
C.平行或异面


B.相交或异面
D.相交、平行或异面
3.在正方体AC< br>1
中，E，F分别是线段BC，CD
1
的中点，则直线A
1
B 与直线EF
的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
4.(2016·深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )
A.两条相交直线
C.两个点
B.两条平行直线
D.一条直线和直线外一点
5.如图所示，平面α，
β
，
γ
两两相交，a，b，c为三条交线，
58 98

且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________.
第3节 平行关系
1．直线与平面平行的判定与性质
判定

定义 定理
性质
图形

a∩α＝?
a∥α

a α，b α，a∥b
b∥α
a∥α


a∥α，a β，α∩β
＝b
a∥b
条件
结论 a∩α＝?
2.面面平行的判定与性质
判定

图形
定义

α∩β＝?
α∥β
定理


α∥β，a β
a∥α
性质
条件
结论
a β，b β，a∩b
α∥β，α∩γ＝a，
＝P，a∥α，b∥α
α∥β
β∩γ＝b
a∥b
1.若直线m?平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列命题中，错误的是( )
A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

基础巩固题组
一、选择题
1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
59 98

A.a平行于α内的所有直线B.
α
内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等D.
α
内存在无数条直线与a成90°角 2.平面α∥平面β，点A，C∈
α
，B，D∈
β
，则直线AC∥直线B D的充要条件
是( )
∥CD ∥CB 与CD相交 D.A，B，C，D四点共面
3.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE ∶EB＝CF∶FB
＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定
4.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面 α，β，
γ
的三个命题：①若l与
m为异面直线，l?
α
，m?β
，则α∥β；
②若α∥β，l?
α
，m?
β
，则l∥m；
③若α∩β＝ l，
β
∩
γ
＝m.γ∩α＝n，l∥
γ
，则m∥n.
其中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0
5.(2016· 郑州模拟)设α，
β
，
γ
为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在< br>命题“α∩β＝m，n?
γ
，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组 条件
中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n?
β
；②m∥γ，n∥
β< br>；③n∥β，m?
γ
.
可以填入的条件有( )
A.①或②
二、填空题
6.(2016·安康一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，< br>AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的
中点，则BE与平面 PAD的位置关系为________.
第4节 垂直关系
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，
那么称这条直线和这 个平面垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言
B.②或③C.①或③ D.①或②或③
60 98

如果一条直线和一
个平面内的两条相
判定定理
交直线都垂直，那
么该直线与此平面
垂直(线线垂直?
线面垂直)
如果两条直线同垂
性质定理 直于一个平面，那
么这两条直线平行
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
如果一个平面经过另
判定定理 一个平面的一条垂线，
那么这两个平面垂直
续表
如果两个平面互相
垂直，那么在一个
性质定理 平面内垂直于它们
交线的直线垂直于
另一个平面
1.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )
A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内无数条直线垂直
C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内任意一条直线垂直
2.设平面α与平面 β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且
b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


图形语言 符号语言



l⊥a
l⊥b
?
?
a∩b＝O
?
?l⊥α
aα
?
?
bα

a⊥α
?
?
?a∥b
b⊥α
?

l⊥α
?
?
?α⊥β
lβ
?

α⊥β
α∩β＝a
l⊥a
lβ
⊥α
?
?
?l
?
61 98

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2015·浙江 卷)设α，
β
是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?
α
，m?
β
( )
A.若l⊥β，则α⊥β
C.若l∥β，则α∥β
B.若α⊥β，则l⊥m
D.若α∥β，则l∥m
4. 在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
基础巩固题组
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的 两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平
行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面 都平行，那么这两个平面相互平
行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平
面.其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α ⊥平面γ，平面β⊥平面γ，
α
∩
β
＝l，那么l⊥平面
γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )
A.A′C′ C.A′D′ ′
4.(2016·宝鸡一模)设m，n为空 间两条不同的直线，
α
，
β
为空间两个不同的平
面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥
β
，则α∥
β
；②若m⊥α，m∥
β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，
α
∥
β< br>，则m⊥β.其中的正确命题序
号是( )
A.③④ B.①②C.②④ D.①③
62 98

5.(2016·九江模拟)如图，在四面体D－A BC中，若AB＝CB，AD
＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

第十二讲 直线与圆
第1节 直线与直线方程
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)
按逆时针方向绕着交点 旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当
直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.
②范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当 α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜
率常用小写字母k表示，即k＝t an_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
y
2< br>－y
1
经过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(x
1
≠x2
)的直线的斜率公式为k＝.
x
2
－x
1
2.直线方程的五种形式
名称

斜截式
点斜式
两点式
几何条件

纵截距、斜率
过一点、斜率
过两点
方程

y＝kx＋b
y－y
0
＝k(x－x
0
)
y－y
1
x－x
1
＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
xy
a
＋
b
＝1
适用条件


与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直
的直线
不过原点且与两坐标
轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距
63 98

一般式

Ax＋By＋C＝0
(A＋B≠0)
22
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P
1
，P
2
的坐标分别为( x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，线段P
1
P
2
的中点M的坐标为(x，y)，
x
1
＋x< br>2
?
x＝
?
2
，
则
?
此公式为线段 P
1
P
2
的中点坐标公式.
y
1
＋y
2
?
?
y＝
2
，
1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾 斜角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
2.已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.
基础巩固题组
一、选择题
1.如图中的直线l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3< br>，则( )
A.k
1
2
3
B. k
3
1
2
C.k
3
2
1
D.k
1
3
2

2.直线x＋(a
2
＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
π
??
A.
?
0，
?

4
??
π
??
π
??
C.
?
0，
?
∪< br>?
，π
?

4
??
2
??
?
3π
?
?
B.
?
，π
?
4
?
?
ππ
??
3π< br>?
?
D.
?
，
?
∪
?
，π
2
??
4
?
4
?
3.(2016·上饶质检)若直线l与 直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的
中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
1
A.
3

1
B.－
3

3
C.－
2

2
D.
3

4 .(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l
1
：ax＋y＋b＝0和直线l< br>2
：
bx＋y＋a＝0有可能是( )

5.(2016·衡水一 模)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y
－4＝0的斜率的倒数，则直线l的 方程为( )
64 98

A.y＝3x＋2
二、填空题
1
B.y＝3x－2C.y＝3x＋
2
D.y＝－3x＋2
6.(2015·烟台模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝
___ _____.
第2节 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1 )两条直线平行：对于两条不重合的直线l
1
，l
2
，其斜率分别为k
1
，k
2
，则有l
1
∥l
2
?k
1＝k
2
.特别地，当直线l
1
，l
2
的斜率都不存在时 ，l
1
与l
2
平行.
(2)两条直线垂直：如果两条直线l
1
，l
2
斜率都存在，设为k
1
，k
2
，则l< br>1
⊥l
2
?k
1
·k
2
＝－1，当一条直线 斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交：直线l
1
： A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0和l
2
：A< br>2
x＋B
2
y＋C
2
＝0的公共点的坐
?
A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，
标与方程组
?
的解一一对应.
?
A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解.
3．距离公式(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)间 的距离公式为|AB|＝?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
.
特别地，原点O(0,0)与任一点P( x，y)的距离|OP|＝x
2
＋y
2
.
(2)点到直线的距离 公式：平面上任意一点P
0
(x
0
，y
0
)到直线l：Ax ＋By＋C＝0
|Ax
0
＋By
0
＋C|
的距离d＝. < br>A
2
＋B
2
(3)两条平行线间的距离公式:一般地，两条平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0，l
2
：Ax
＋By＋ C
2
＝0间的距离d＝
|C
1
－C
2
|
.
A
2
＋B
2
1.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直 线方程是( )
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.2 B.2－2 C.2－1 D.2＋1
3.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.
65 98

4.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋ 4)y－7＝0垂直，则a＝
________.
基础巩固题组
一、选择题 1.(2016·济南模拟)已知两条直线l
1
：(a－1)x＋2y＋1＝0，l
2
：x＋ay＋3＝0平行，
则a＝( )A.－1 B.2 C.0或－2 D.－1或2
2.(2016·萍乡质量预测)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2 )x－3y－2＝0
垂直”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.过两直线l
1
：x－3y＋4＝0和l
2< br>：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
4.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
( )A.0 B.2
1
C.
3
D.4
5.若直线l
1
：y＝k(x－4)与直线l
2
关于点(2，1)对称，则直线l
2
经过定点( )
A.(0，4) B.(0，2) C.(－2，4) D.(4，－2)
6.点(2，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________.
第3节 圆与圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义
标
准
方程
一
般
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)
222
圆心C(a，b)
半径为r
充要条件：D
2
＋E
2
－4F＞0
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0
(D
2
＋E
2
－4F＞0)
E
??
D< br>圆心坐标：
?
－
2
，－
2
?

??
1
半径r＝
2
D
2
?E
2
?4F

2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x
0
，y
0
)与 圆C：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
之间存在着下列 关系：
(1)d＞r?M在圆外，即(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＞r
2
?M在圆外；
(2)d＝r?M在圆 上，即(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
?M在圆上；
66 98

(3)d＜r?M在圆 内，即(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＜r
2
?M在圆内.
1.(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1
C.(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
B.(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝1
D.(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
2方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋2a
2
＋a－1＝0表示圆，则a的取值 范围是( )
?
2
??
2
?
A.(－∞，－2)∪?
3
＋∞
?
B.
?
－
3
，0
?
C.(－2，0)
??? ?
2
??
D.
?
－2，
3
?

? ?
3.若点(1，1)在圆(x－a)
2
＋(y＋a)
2
＝4的内部 ，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，1) B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1
4圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________.

基础巩固题组
一、选择题
1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.x
2
＋y
2
＝2 B.x
2
＋y
2
＝2C.x
2
＋y
2
＝1 D.x
2
＋y
2
＝4
2.圆(x－1)
2
＋(y －3)
2
＝1关于直线2x＋y＋5＝0对称的圆的方程是( )
A.(x＋7)
2
＋(y＋1)
2
＝1 B.(x＋7)
2
＋(y＋2)
2
＝1
C.(x＋6)
2
＋(y＋1)
2
＝1 D.(x＋6)
2
＋(y＋2)
2
＝1
3.若圆心在x轴上，半径 为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，
则圆O的方程是( )
A.(x－5)
2
＋y
2
＝5 B.(x＋5)
2
＋y
2
＝5C.(x－5)
2
＋y
2
＝5 D.(x＋5)
2
＋y
2
＝5
4.已知点A(－2，0)，B(0 ，2)，点C是圆x
2
＋y
2
－2x＝0上任意一点，则△ABC
面 积的最小值是( )
A.3－2
2
B.3＋2 C.3－
2
D.
3－2
2

5.(2016·瑞金模 拟)点P(4，－2)与圆x
2
＋y
2
＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
( )
A.(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
C.(x＋4)
2
＋(y－2)
2
＝4
B.(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
D.(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
67 98 < /p>

6.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是____ ____.
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆 C：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，直线l：Ax＋ By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的
?
（x－a）
2
＋（y－b）< br>2
＝r
2
，
距离为d，由
?

?
A x＋By＋C＝0
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
相交
相切
相离

2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来
表示：
位置关系
几何特征
代数特征
公切线条数
相离
d＞R＋r
无实
数解
4
外切
d＝R＋r
一组实
数解
3
相交 内切 内含
几何法
dd＝r
d>r
代数法
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
两组实数解
2
一组实
数解
1
无实
数解
0
2.(201 5·安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0相切 ，则b的值是
( )A.－2或12 B.2或－12C.－2或－12 D.2或12 < br>3.已知点M(a，b)在圆O：x
2
＋y
2
＝1外，则直线ax＋b y＝1与圆O的位置关系是
( )A.相切 B.相交C.相离 D.不确定
4. (2015·湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x
2
＋y
2
＝r
2
(r>0)相交于A，B两点，且
∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝____ ____.
5.圆x
2
＋y
2
－4＝0与圆x
2
＋y
2
－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
基础巩固题组
68 98

一、选择题
1.已知圆x
2
＋y< br>2
＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a
的值是( )A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
2.若圆C
1
：x
2
＋y
2
＝1与圆C
2
：x
2
＋y
2
－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A.21 B.19 C.9 D.－11
3.(2016·南昌模拟)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝2－x
2
相 交于A，B两
点，O为坐标原点，当S
△
AOB
＝1时，直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135° C.120° D.不存在
4.(2016 ·青岛一模)过点P(1，3)作圆O：x
2
＋y
2
＝1的两条切线，切点分 别为A
和B，则弦长|AB|＝( )A.3 B.2 C.2 D.4
.(2 015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆
5< br>心到原点的距离为( )A.
3

二、填空题
6.(2015 ·重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切
线方程为_______ _.

2125
B.
3
C.
3

4
D.
3

第十三讲 直线与圆锥曲线
第1节 椭 圆
1．椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F
1
，F
2
的距 离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的集合叫
作椭圆．这两个 定点F
1
，F
2
叫作椭圆的焦点，两个焦点F
1
，F
2
间的距离叫作焦
距．
集合P＝{M||MF
1
|＋|MF2
|＝2a}，|F
1
F
2
|＝2c，其中a＞0，c＞0，且 a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜ c，则集
合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质

69 98

标准方程
x
2
y
2
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)
y
2
x
2
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)
图形

范围
对称性
顶点
性质
轴
焦距
离心率
a，b，c的关系
－a≤x≤a －b≤y≤b

－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)，
B
1
(0，－b)，B
2
(0，b)
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)，
B
1
(－b，0)，B
2
(b，0)
长轴A
1< br>A
2
的长为2a；短轴B
1
B
2
的长为2b
|F
1
F
2
|＝2c
c
e＝
a
∈(0，1)
c
2
＝a
2
－b
2

x
2
y
2
1.(2015·广东卷)已知椭圆
25
＋
m
2＝1(m>0)的左焦点为F
1
(－4，0)，则m＝( )
A.2 B.3 C.4 D.9
x
2
y
2
3
2已知椭圆 C：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F
1
，F< br>2
，离心率为，过F
2
ab3
的直线l交C于A，B两点.若△AF< br>1
B的周长为43，则C的方程为( )
x
2
y
2
x
2
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A.
3
＋
2
＝1 B.
3
＋y＝1 C.
12
＋
8
＝1 D.
12
＋
4
＝1
x
2
y
2
3 .设椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点 分别为F
1
，F
2
，P是C上的点，
PF
2
⊥F< br>1
F
2
，∠PF
1
F
2
＝30°，则C的离 心率为( )
3
A.
6

1
B.
3

1
C.
2

3
D.
3

x
2
y
2
4.已知点 P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F
1
，F
2
为顶点
54
的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
基础巩固题组
一、选择题
x
2
y
2
1.椭圆
m
＋4
＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3
70 98
D.8

x
2
y
2
2.“2m－26－m
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2016·西安质量检测) 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等
1
于
2
，则C的 方程是( )
x
2
y
2
x
2
y
2x
2
y
2
x
2
2
A.
3
＋< br>4
＝1 B.
4
＋＝1 C.
4
＋
3
＝1 D.
4
＋y＝1
3x
2
y
2
4.(2015·兰州诊断)已知椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，
6
右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为
6
|F
1
F
2
|，则椭
圆C的离心率e＝( )
2
A.
2

3
B.
2

2
C.
3

3
D.
3

5. (2016·江西师大附中模拟)椭圆ax
2
＋by
2
＝1与直线y＝1－x 交于A、B两点，过
3b
原点与线段AB中点的直线的斜率为
2
，则
a
的值为( )
3239323
A.
2
B.
3
C.
2
D.
27

x
2< br>y
2
6.若椭圆
25
＋
16
＝1上一点P到焦点F< br>1
的距离为6，则点P到另一个焦点F
2
的
距离是________.
第2节 抛物线
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l 不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物
线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的 准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形

标准
方程
性 顶点


x
2
＝2py(p>0) y
2
＝2px(p>0) y
2
＝－2px(p>0)

x
2
＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
O(0，0)
71 98

质 对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围
开口方向
p
x＝－
2

x≥0，y∈R
向右
?
p
?
F
?
2
，0
?

??
y＝0
?
p
?
F
?
－
2
，0
?

??
p
x＝
2

x≤0，y∈R
向左
p
??
0，
?
F
2
?
??
e＝1
p
y＝－
2

y≥0，x∈R
向上
x＝0
p
??
0，－
?
F
2
?
??
p
y＝
2

y≤0，x∈R
向下
1.(2015·陕西卷)已知抛物线y
2
＝2px(p＞0)的准线 经过点(－1，1)，则该抛物线焦
点坐标为( )
A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1)
2.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知 抛物线C：y
2
＝x的焦点为F，A(x
0
，y
0
)是C上 一点，
5
|AF|＝
4
x
0
，则x
0
＝( )
A.4 B.2 C.1 D.8
3.已知抛物线方程为y
2< br>＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则
直线l的斜率的取值范围是___ _____.
4.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2016·沈阳质量监测)抛物线y＝4ax
2
(a≠0)的焦点坐标是( )
A.(0，a)
1
??
B.(a，0)C.
?
0 ，
16a
?

??
?
1
?
D.
?
16a
，0
?

??
11
D.y＝
1 2
x
2
或y＝－
36
x
2

2.点M(5 ，3)到抛物线y＝ax
2
(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A.y＝12x
2
B.y＝12x
2
或y＝－36x
2
C.y＝－36x
2

3.O为坐标原点，F为抛物线C：y
2
＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF| ＝42，
则△POF的面积为( )
A.2 B.22 C.23 D.4
4.(2014·辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y
2
＝2px(p＞0 )的准线上，过点A
的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
1
A.
2

2
B.
3

3
C.
4

72 98
4
D.
3

5.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、 大连四市联考)已知抛物线C：y
2
＝4x的焦点为F，
→
＝mFB
→
，则实数m的直线y＝3(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若AF
值为( )
A.3
3
B.
2
C.2 D.3
6.设 抛物线C：y
2
＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，
则| MF|＝________.
第3节 双曲线
1．双曲线的定义
我们把平面内到 两定点F
1
，F
2
的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F
1
F
2
|)
的点的集合叫作双曲线．定点F
1
，F
2
叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离
叫作双曲线的焦距．
集合P＝{M||| MF
1
|－|MF
2
||＝2a}，|F
1
F
2< br>|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若aa>c时，则集合P为空集．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x
2
y
2< br>a
2
－
b
2
＝1(a>0，b>0)
y
2
x
2
a
2
－
b
2
＝1(a>0，b>0)
图 形

范围
对称性
顶点
性
质
离心率
实虚轴
渐近线
x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)
b
y＝±
a
x
c
e＝
a
，e∈(1，＋∞)
线段A
1
A
2
叫做双曲线的实轴，它的长|A
1
A
2
|＝2a；线段B
1
B
2
叫
做双曲线的虚轴，它的长|B
1
B
2< br>|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
a
y＝±
b
x
73 98

b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系

x
2
y
2
x
2
y
2
1.若实数k满足025
－＝1与曲线－＝1的( )
9－k25－k
9
A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等
x
2
y
2
2.(2015·湖南卷)若双曲线a
2
－
b
2
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线 的
离心率为( )
7
A.
3

5
B.
4

4
C.
3

5
D.
3

c
2
＝a
2
＋b
2

1
3.(2 015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±
2
x，则该双曲
线的标准方程为________.
4.经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

基础巩固题组
一、选择题
x
2
y
2
1.(20 16·甘肃二次诊断)设双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a＞0， b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，
则双曲线的渐近线方程为( )
12
A.y＝±x B.y＝±2x
22
x C.y＝±2x D.y＝±
x
2
y2
π
2.(2016·南昌模拟)若双曲线C：
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线倾斜角为
6
，
则双曲线C 的离心率为( )
2323
A.2或3 B.
3
C.2或
3
D.2
x
2
y
2
3. (2014·天津卷)已知双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a＞0 ，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y
＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方 程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
3y
2
A.
5
－
20
＝1 B.
20
－
5
＝1C.
25
－
100
＝1 D.
100
－
25
＝1
x
2
2
4.如图 ，F
1
，F
2
是椭圆C
1
：
4
＋y＝1与 双曲线C
2
的公共焦
点，A，B分别是C
1
，C
2
在第二、四象限的公共点.若四边形
AF
1
BF
2
为矩形，则C2
的离心率是( )
74 98

36
A.2 B.3 C.
2
D.
2

x
2
y
2
5.(2015·重庆卷)设双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别
是A
1
， A
2
，过F作A
1
A
2
的垂线与双曲线交于B，C两点，若 A
1
B⊥A
2
C，则该双
曲线的渐近线的斜率为( )
12
A.±1 D.±2
2
B.±
2
C.±
y
2
2
6.(2015·北京卷) 已知(2，0)是双曲线x－
b
2
＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝_______ _.

第十四讲 统计与概率
第1节 抽样方法
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本
(n≤N)， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样
方法叫作简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体中的个体数较少．
2.系统抽样
(1)定义：当总体中的个 体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按
照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到 所需要的样本，这种抽样方法
叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
N
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进 行分段，当
n
(n是样本容量)是整数时，
N
取k＝
n
；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步获 取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个
个体编号(l＋k)，再加k得到 第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取
整个样本.
(3)应用范围：总体中的个体数较多.
75 98

3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型(有 时称作层)，然后在每
个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时< br>也称为类型抽样．
(2)应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样．
1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽
取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时
间的全体是( )
A.总体 B.个体C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本
2.(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三 个年级之间的学生
视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，
则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.系统抽样法C.分层抽样法 D.随机数法
3.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的
样本，已知7号、3 3号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号
应为( )
A.13 B.19 C.20 D.51
4一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽 样的方法从全体运动
员中抽出一个容量为14的男女运动员分别为________、________ 人.
基础巩固题组
一、选择题
1.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的
考试成绩 ，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确
的是( )
A.1 000名学生是总体B.每个学生是个体
C.1 000名学生的成绩是一个个体D.样本的容量是100
2.(2016·柳州、北海、钦州三市联考 )某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150
个，120个，190个，140个销售点.为了调查 产品的质量，需从这600个销售点
中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20 个特大型销售
76 98

点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完 成①，②这两项调查宜采用的
抽样方法依次为( )
A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法
C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法
3.在一个容量为N的总体中 抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽
样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个 个体被抽中的概率分别为
p
1
，p
2
，p
3
，则( )
A.p
1
＝p
2
＜p
3
B.p
2
＝p
3
＜p
1
C.p
1
＝p
3
＜p
2
D.p
1
＝p
2
＝p
3

4.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况，用分层抽
样 的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，
则n为( )A.100 B.150 C.200 D.250
5.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的 导弹中随机抽取5枚来进行发
射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚 导弹
的编号可能是( )
A.5，10，15，20，25
C.1，2，3，4，5


B.3，13，23，33，43
D.2，4，6，16，32
6.(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员 的成绩(单位：分钟)的茎叶图
如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为1～3 5号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则
其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )
A.3
二、填空题
7.(2015·武昌调研)已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：
年级
小学
人数
3 500
近视率
10%
B.4 C.5 D.6
77 98

初中
高中
4 500
2 000
30%
50%
为了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行
调查，则：(1)样本容量为________；(2)抽取 的高中生中，近视人数为________.
第2节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
1．用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．(2)频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的
左边区间的中点 开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点直至右边所加区间的
中点，就可以得到一条折线，我们称之为 频率折线图．
(3)茎叶图
①茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数 ，叶就是从茎的
旁边生长出来的数．
②对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是 两位整数，则将十位数
字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数< br>字作叶，样本数据为小数时做类似处理．

2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．体现了样本数据的最< br>大集中点，不受极端值的影响而且不唯一.
(2)中位数
将一组数据按大小依次排列 ，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据
的平均数)叫作这组数据的中位数．它不受极端值的 影响，仅利用了排在中间数
据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面
积相等．
78 98

1
(3)平均数:样本数据的算 术平均数，即x＝
n
(x
1
＋x
2
＋…＋x
n)，它与每一个样本数
据有关，仅有一个．
(4)极差:一组数值中最大值与最小值的差 ，它反映一组数据的波动情况，但极差
只考虑两个极端值，可靠性极差．
(5)标准差:①考 查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，标准
差是样本数据到平均数的一种平均距离， 一般用s表示：
s＝
1
222
[?x
1
－x?＋?x< br>2
－x?＋…＋?x
n
－x?].
n
②标准差的平方s
2
叫作方差：
1
s
2
＝
n
[(x
1
－x)
2
＋(x
2
－x)
2
＋…＋(x
n
－x)
2
]．
2.对某商店一个 月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎
叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别 是( )
A.46，45，56 B.46，45，53C.47，45，56 D.45，47，53
3.(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名
志愿者 进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单
位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14 )，[14，15)，
[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编
号为第 一组，第二组，……，第五组.如图是根据试
验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有2 0人，第三组中没有疗
效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A.6 B.8 C.12 D.18
4.(2015·江苏卷)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组 数据的平均数为________.
5. (北师大必修3P31习题1改编)甲、乙两台机床同时生 产一种零件，10天中，
两台机床每天出的次品数分别是：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
则机床性能较好的为________.
基础巩固题组
一、选择题
79 98

1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(°C)数据的茎叶 图如下：

则这组数据的中位数是( )
A.19 B.20 C.21.5 D.23
2.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，
样 本质量均在[5，20]内，其分组为[5，10)，[10，15)，[15，
20]，则样本质量落 在[15，20]内的频数为( )
A.10 B.20C.30 D.40
3.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x
1
，x
2
，…，x
10
，
其均值和方差分别为x和s
2
，若从下月起每位员工的月工资 增加100元，则这
10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x，s
2
＋100
2
B.x＋100，s
2
＋100
2
C.x，s
2
D.x＋100，s
2

4.(2016·郑州质量检测)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数
m
也相同，则
n
＝( )
A.1
1
B.
3

2
C.
9

3
D.
8

5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随
机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分
制)如图所示，假设得分值的中位数为m
e
，众数
为m
o
，平均值为 x，则( )
A.m
e
＝m
o
＝
x
B. m
e
＝m
o
＜
x
C.m
e
＜m
o
＜
x
D.m
o
＜m
e
＜
x

6.(2016·南昌模拟)若1，2，3，4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差
为________.

第3节 相关性、最小二乘估计与统计案例
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．
80 98

设具有线性相关 关系的两个变量x，y的一组观察值为(x
i
，y
i
)(i＝1,2，…，n )，则
回归直线方程y＝a＋bx的系数为：
?
?
?x－x??y－y?
?
xy－nx y
?
b＝＝，
?
?
?x－x?
?
x－nx
?
?
a＝y－bx.
nn
iiii
i
＝
1i＝
1
n
i
2
n
2
i
2
i＝
1i
＝
1


1
n
1
n< br>其中x＝
n
?
x
i
，y＝
n
?
y< br>i
，(x，y)称为样本点的中心．
i
＝
1i
＝
1
(3)相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r的绝对值越接近于0，表明两个 变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大
于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A
1
，A
2
＝A
1
；
变量B：B
1
，B< br>2
＝B
1
.
2×2列联表
B
A
A
1

A
2

总计
2
B
1

a
c
a＋c
B
2

b
d
b＋d
总计
a＋b
c＋d
a＋b＋c＋d
n?ad－bc?
2
构造一个随机变量χ ＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
量．
(2)独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检
验．
81 98

(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断
①当 χ
2
≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B
是 没有关联的；
②当χ
2
＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
③当χ
2
＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
④当χ
2
＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
1.( 2015·湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列
结论中正确 的是( )
A.x与y正相关，x与z负相关
C.x与y负相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
D.x与y负相关，x与z正相关
2.两个变量 y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R
2
如下，其中拟合效果最好 的模型是( )
A.模型1的相关指数R
2
为0.98
C.模型3的相关指数R
2
为0.50
B.模型2的相关指数R
2
为0.80
D.模型4的相关指数R
2
为0.25
3．为了评价某个电视栏目的改革效 果，在改革前后分别从居民点抽取了100位
居民进行调查，经过计算χ
2
≈0.99 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
4.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ
2
＝27. 63，根
据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或
“无关”).
基础巩固题组
一、选择题
1．(2016·湖北七市(州)联考 )为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关
关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标 轴单位长度相同)，用回归直
线y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立 的是
( )
82 98

A．线性相关关系较强，b的值为3.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值
2.设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，…，(x
n
，y
n
)是变量x和y的n个样本点，
直线l是由这些样本点通过 最小二乘法得到的线性回归直线
(如图)，以下结论正确的是( )
A.直线l过点(
x
，
y
)B.x和y的相关系数为直线l的斜率
C.x和y的相关系数在0到1之间
D.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元件)负相关，则其回归方程可能是( )
A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200
4.登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计 了4次山高与
相应的气温，并制作了对照表：
气温(℃)
山高(km)
18
24
13
34
10
38
－1
64
^
(a
^
∈R).由此请估计山高为72 km处气由表中数据，得到线性回归方程
^
y＝－2x＋a
温的度数为( )
A.－10 B.－8 C.－4 D.－6
5.(2016·郑州质量预测) 通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，
得到如下的列联表：

爱好
不爱好
总计
附表：
83 98
男
40
20
60
女
20
30
50
总计
60
50
110

P(K
2
≥k
0
)
k
0

0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
2
n（ad－bc）
若由K
2
＝算得 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
110×（40×30－20×20）
2K＝≈7.8.
60×50×60×50
2
参照附表，得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

第4节 随机事件的概率
1.事件的分类
确
定
事
件
不可能事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然
事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不
可能事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条
件S的随机事件
随机事件
2.频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试 验中
n
A
事件A出现的次数n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现 的比例f
n
(A)＝
n
为事
件A出现的频率.
(2)在相 同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某
个常数附近摆动，即随机事件A发 生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数
叫作随机事件A的概率，记作P(A)．
3.事件的关系与运算

定义
84 98
符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时
包含关系 称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件
B)
相等关系
和事件
(并事件)
若B?A且A?B
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B
发生，称此事件为事件A与事件B的和事件
(或并事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B
交事件(积事件) 发生，则称此事件为事件A与事件B的交事
件(或积事件)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B
互斥
若A∩B为不可能事件，A＋B为必然事件，
那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?
A∩B＝?
P(A＋B)＝
P(A)＋P(B)＝1
A∩B(或AB)
A＝B
A＋B
(或A∪B)
B?A(或A?B)
对立事件
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取 值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概
率P(F)＝ 0.
(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
2.(2 015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收
粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28
粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石
3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该
同学 的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175
cm的概率为( )
85 98

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
4.从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张 ，事件A为“抽
得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A+B)＝________(结果用 最简分
数表示).
基础巩固题组
一、选择题
1.把红、蓝、黑、白4张 纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，
事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.不可能事件 D.以上都不对
2.( 2016·九江二模)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事
件B＝{抽到二等 品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，
P(C)＝0.1， 则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
3.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是
( )
A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球
11
4.甲 、乙两人下棋，两人和棋的概率是
2
，乙获胜的概率是
3
，则乙不输的概率是
( )
5
A.
6

2
B.
3

1
C.
2

1
D.
3

5.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中 任取2张，若事件“2张
37
全是移动卡”的概率是
10
，那么概率为
10
的事件是( )
A.至多有一张移动卡
C.都不是移动卡
二、填空题
6.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出
11
现2点”，已知P(A)＝
2
，P(B)＝
6
，则“出 现奇数点或2点”的概率为________.
第5节 古典概型
86 98
B.恰有一张移动卡
D.至少有一张移动卡

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事
件的 和.
2．古典概型
(1)定义:具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
②每一个试验结果出现 的可能性相同．(2)概率公式：P(A)＝
事件A包含的可能结果数
.
试验的所有可能结果数
1.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
1
A.
18

1
B.
9

1
C.
6

1
D.
12

2 .(2015·全国Ⅰ卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这
3个数为一组勾 股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一
组勾股数的概率为( )
3
A.
10

1
B.
5

1
C.
10

1
D.
20

3.(2016·西安诊断)从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这
个两位数 大于30的概率为( )
1
A.
6

1
B.
3

1
C.
2

2
D.
3

4. (北师大必修3P135例2改编)3本不同的语 文书，2本不同的数学书，从中任
意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为________.
基础巩固题组
一、选择题
1.一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为( )
2
A.
3

1
B.
4

1
C.
3

1
D.
2

2. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的
机会均等，则甲或乙被录用 的概率为( )
2
A.
3

2
B.
5

3
C.
5

9
D.
10

3.(2016·江西统一检测)在2，0，1，5这 组数据中，随机取出三个不同的数，则
87 98

数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
3
A.
4

5
B.
8

1
C.
2

1
D.
4

4. 第31届夏季奥运会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行.运动会期间来自
A大学2名和B大学 4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取
2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学 志愿者的概率是( )
1
A.
15

2
B.
5

3
C.
5

14
D.
15

5.(2016·柳州、北海、钦州三市联考)一个 袋子中有号码为1，2，3，4，5大小相
同的五个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然 后再从袋中任取一
个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为( )
3
A.
5

二、填空题
6.(2015·江苏卷)袋 中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2
只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这 2只球颜色不同的概率为________.
第6讲 几何概型
1．几何概型
向 平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G
1
G的概
4
B.
5

3
C.
20

3
D.
10

G
1
的面积
率与G
1
的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G
1
)＝，
G的 面积
则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中，事件A的概率计算公式的扩展
P(A)＝
构成事件A的区域长度?面积或体积?
.
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
3．几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
1
?
1
?
1.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log
2
?
x＋
2
?
≤1”
??
发生的概率为( )
3
A.
4

2
B.
3

1
C.
3

1
D.
4

88 98

2.(2016·西宁复习检测)已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体 内任取一
点，则这一点不在球内的概率为________.
3点A为周长等于3的圆周上的 一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧
︵
AB的长度小于1的概率为________ .
4. 如图，圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆，
则它落在阴影部分 的概率为________.
基础巩固题组
一、选择题
1
?
π π
?
??
1.在区间
－，
上随机取一个数x，cos x的值介于0到
2
之间的概率为( )
?
22
?
1212
A.
3
B. C.
2
D.
3

π
2.(2016·东北三省三校联 考)实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x
2
－mx
＋4＝0有实根的概 率为( )
1
A.
4

1
B.
3

1
C.
2

2
D.
3

3.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，
CB 的长，则该矩形面积大于20 cm
2
的概率为( )
1
A.
6

1
B.
3

2
C.
3

4
D.
5

4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中
AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直 径的半圆内的概率是
( )
π
A.
2

π
B.
4

π
C.
6

π
D.
8

5.(2016·上饶质检)如图，大正方形的面积是3 4，四个全等直角三角形围成一个小
正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小 花朵，则小
花朵落在小正方形内的概率为( )
1
A.
17


2
B.
17

3
C.
17

4
D.
17

第十五讲 推理证明与复数
第1节 归纳与类比
89 98

1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种 属性，推断该类事物中每一个都有这种属
性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由 部分到整体，由个别到一般
的推理．
归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，
结论：任意d∈M，d也具有某属性．
2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基 础上，根据一类对象的其他
特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比 推理．简言之，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性：a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
4.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推
理 .简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A.28 B.32 C.33 D.27
2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x
2
＋1)是 正弦函数，因此f(x)＝sin(x
2
＋1)是奇函数，以上推理
( )A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确
3.(2015·陕西卷)观察下列等式
11
1－＝
22
11111
1－＋－＝＋
23434
11111111
1－＋－＋－＝＋＋
23456456
……
据此规律，第n个等式可为________.
90 98

基础巩固题组
一、选择题
1.(2016 ·西安八校联考)观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2 ，
4?1，…，则式子3?5是第( )
A.22项 B.23项 C.24项 D.25项
2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命 题，
推理错误的原因是( )
A.使用了归纳推理B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误
3.观察(x
2
)′＝2x，(x
4
)′＝4x
3
，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足
f(－x)＝f(x)，记g (x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)
4.观察下列各式：a＋b＝1，a
2
＋b2
＝3，a
3
＋b
3
＝4，a
4
＋b
4
＝7，a
5
＋b
5
＝11，…，则a
10
＋b< br>10
等于( )
A.28 B.76 C.123 D.199
5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
aca a·c
a
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ ＝”类比得到“＝”.
bcbb·cb
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A.1 B.2C.3 D.4
第2节 综合法、分析法、反证法
1．直接证明
内容 综合法
从命题的条件出发，利用定义、公
定义 理、定理及运算法则，通过演绎推
理，一步一步地接近要证明的结论，
直到完成命题的证明 ．我们把这样
91 98
从求证的结论出发，一步一步地探
索保证前一个结论成立 的充分条
件，直到归结为这个命题的条件，
分析法

的思维方法称为综合法.
或者归结为定义、公理、定理等．我
们把这样的思维方法称为分析法．

实质 由因导果 执果索因
Q?P
1
→P
1
?P
2
框图表示
P?Q
1
→Q
1
?Q
2
→…→Q
n
?Q
得到一个明显
→…→
成立的条件

要证……只需证……
即证……
文字语言
2.间接证明
因为……所以……
或由……得……
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反 证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、
公理、定理矛盾，或 与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反
面不可能成立，由此断定命题结论 成立的方法叫反证法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬— —根据假设进
行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
1(2016·成都二模)要证a
2
＋b
2
－1－a
2b
2
≤0，只要证明( )
A.2ab－1－a
2
b
2
≤0 B.a
2
＋ b
2
－1－
a
4
＋b
4
≤0
2
D.(a
2
－1)(b
2
－1)≥0
（a＋b）
2
C.－1－a
2
b
2
≤0
2
2.若a，b，c为实数，且a
2
2
B.a
2
>ab>b
2
11
C.<
ab
ba
D.>
ab
3.(2 016·九江一模)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假
设( )
A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°
4.在△ABC中， 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，
c成等比数列，则△ ABC的形状为________.
基础巩固题组
一、选择题
1.用反证法证明 命题“设a，b为实数，则方程x
3
＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的
92 98

假设是( )
A.方程x
3
＋ax＋b＝0没有实 根B.方程x
3
＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x
3
＋a x＋b＝0至多有两个实根D.方程x
3
＋ax＋b＝0恰好有两个实根
2.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
(1＋a
2
)>0
a
a＋1
B.a
2
＋b
2
≥2(a－b－1)C.a
2
＋3ab>2b
2
D.<
b
b＋1
3.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )
A.a>b B.a4.分析法又称执果 索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b
2
－ac＜
3 a”索的因应是( )
A.a－b＞0 B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0 D.(a－b)(a－c)＜0
5.①已知p
3
＋q
3
＝2，求证 p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，
|a|＋|b|<1，求证方程 x
2
＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有
一根x< br>1
的绝对值大于或等于1，即假设|x
1
|≥1.以下正确的是( )
A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确
第3节 算法
1.(2015·陕西卷)根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于( )
A．1 B．2C．5 D．10
2．(2015·全国Ⅱ卷)下边算法框图的算法思路 源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更
相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14 ,18，则输出的a等于( )

93 98

A．0 B．2 C．4 D．14
3如图，是求实数x的绝对值的算法框图，则判断框①中可填________．

4．算法框图如图所示：
该程序的算法功能是________．
基础巩固题组
一、选择题
1．(2015·福建卷)阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序．若输入< br>x的值为1，则输出y的值为( )
A．2 B．7C．8 D．128
2.(2015·四川卷)执行如图所示的算法框图，输出S的值为( )
94 98

A.－
3
2
B.
3
2
C.－
11
2
D.
2



第2题图 第3题图
3.(2016·武汉二模)执行如图所示的算法框图，若a＝7，则输出的S＝( )
A.
6
B.
15
78
C.
13
7
D.
11
6

4.(2016·九江联考)某算法框图如图所示，该程序运行后输出的x值是
( )A.3 B.4C.6 D.8
5.(2015·安徽卷)执行如图所示的算法框图，输出的n为( )
95 98

A.3 B.4 C.5 D.6
卷)执行如图所示的算法框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )
6
A.
7
38
B.C.
79
4
D.
9
第4节 复 数
1．复数的有关概念
内容
复数的
概念
复数相
等
共轭复
数
意义
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，
其中a，b分别是它的实部和虚部
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d
∈R)
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，
b，c，d∈R)
用直角坐标平面内的点来表示复数时，
复平面 称这个直角坐标平面为复平面，x轴称
为实轴，y轴称为虚轴
复数的
模
→→
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ
的长度叫作复数z＝a＋bi的模
备注
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且
b≠0，则a＋bi为纯虚数


实轴上的点都表示实数；除了原点外，
虚轴上的点都表示纯虚数，各象限 内的
点都表示虚数
|z|＝|a＋bi|＝a
2
＋b
2

2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平 面内所有以原点
O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
96 98

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ
→
.
3.复数的运算
设z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z
1
＋z
2
＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i；
②减法：z
1
－z
2
＝(a＋bi)－(c＋di )＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z
1
·z
2
＝(a＋b i)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：
z
1
a＋bi（a＋bi）（c－di）ac＋bd＋（
z
2
＝
c＋di
＝
（c＋di）（c－di）
＝
bc－ad）i
c
2
＋d< br>2
(c＋di≠0).
1.(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A.－2－i B.－2＋I C.2－i D.2＋i
2.(2015·全国Ⅱ 卷)若a为实数，且
2＋ai
1＋i
＝3＋i，则a等于( )
A.－4 B.－3 C.3 D.4
3.(2015·重庆卷)复数(1＋2i)i的实部为________.
4.已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R ，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(
A.3，－2 B.3，2C.3，－3 D.－1，4
2.(2016·九江质量监测)复数
1－i
2－i
对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(2016·遵义联考)复数
5
3＋4i
的共轭复数为( )
A.3－4i B.3＋4i C.
3
－
4
i D.
34
555
＋
5
i
4.设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若z
2
≥0，则z是实数 B.若z
2
＜0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z
2
≥0 D.若z是纯虚数，则z
2
＜0
5.(2016·西安质检)已知复数z＝
1＋2i
2－i
(i为虚数单位) ，则z的虚部为( )
A.－1 B.0 C.1 D.i
6.(2015·广东卷)已知i是虚数单位，则复数(1＋i)
2
＝( )
97 98
)

A.2i B.－2i C.2 D.－2
7.(2015·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )
A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i
1
8.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设z＝＋i，则|z|＝( )
1＋i
1
A.
2
二、填空题
9.(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________.
1
10.(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－＝________.
i
11.(2016·唐山模拟)若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝_____ ___.
12.(2016·昆明模拟)设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相 反数，则实数a的
值为________.

B.
2

2
C.
3

2
D.2
98 98