高中数学精编答案

高中数学精编答案


【篇一：上中学子教辅书清单】

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型 上海海文音像出版社 16.00 英语 上海市英语高考信息模拟卷
中国青年出版社 22.00

英语 2010年最新版高考突围英语卷（含答案） 中国少年儿童新闻
出版社 30.00

语文高中文言300实词例释（秦振良编著，上海古籍出版社）

原子能出版社 原子能出版社 24.00 50.00

【篇二：2011届上中学子教辅书清单】


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化学 龙门专题高中化学有机化学 龙门书局 19.50★

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化学 化学（高中上册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）
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化学 化学（高中下册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）
上海教育出版社 12.00

化学 五年高考试题透析2006~2010化学（上海卷） 上海科技教育
出版社 32.00★

化学 高中化学双基要点精析高二册 上海科学技术文献出版社
24.00★

化学 高中化学双基要点精析高一册 上海科学技术文献出版社
24.00★

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化学 上海中学化学笔记a 待定 ★

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历史 五年高考试题透析2004~2008历史（上海卷） 上海科技教育
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历史 上海中学历史笔记a 待定 ★

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生物 金牌奥赛高级教程高中生物 科学技术文献出版社 27.00

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数学 高考复习教程数学答案与详解 华东师范大学出版社 22.00
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数学 高考复习教程数学上册 华东师范大学出版社 21.00 全新

数学 重点难点手册高二数学（上册） 华中师范大学出版社 16.00
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数学 重点难点手册高三数学 华中师范大学出版社 18.90 全新

数学 重点难点手册高中数学2（必修） 华中师范大学出版社
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数学 文化课强化训练——上海市区县高三第一学期期末质量抽查试
卷精编数学参考答案 上海百家出版社 6.00

数学 初高中数学衔接 上海辞书出版社+上海中学数学组 编写
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数学 高中数学排列、组合、概率精练800题 上海交通大学出版社
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数学 数学（高中上册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）
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数学 高中五星级题库数学（课改版） 上海科技教育出版社 24.50
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数学 同步课课练数学高二年级第二学期 上海科技教育出版社
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数学 上海市重点中学高考能力引导数学 上海人民出版社 16.00
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数学 高考突围（数学卷）最新上海高考检测定位模拟卷2009版
文汇出版社 20.00 全新

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用）——专项训练提高 原子能出版社 24.00

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用）——专项训练提高篇解题思路与方法实践

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用）——基础知识梳理篇 原子能出版社 50.00

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用）——基础知识梳理篇解题思路与方法实践

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英语 中级英语测试指导——高考英语语法新视角 复旦大学出版社
17.00★

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英语 精编高中英语教学与评估 光明日报出版社 25.00★

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英语 2010年全国普通高等学校招生统一考试高考英语词汇手册 人
民教育出版社 13.00

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民教育出版社 13.00

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民教育出版社 13.00

英语 灿烂在六月上海市最新高考模拟强化训练测试精编 上海百家
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英语 中学英语语法练习3000题 上海交通大学出版社 19.00★

英语 高考英语分类复习翻译与作文 上海教育出版社 12.00★

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英语 高考英语听力模拟试题集（不含音带） 上海译文出版社
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英语 高考英语专题突破阅读理解 上海远东出版社 29.80★

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语文 高中语文概念地图 广西师范大学出版社 22.00★ 全新

语文 赢在高考高考满分作文完全解读方案 湖北长江出版集团+崇文
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语文 高考古诗词阅读专题训练 上海辞书出版社 14.50 崭新

语文 高考文言文阅读强化训练 上海辞书出版社 17.00☆

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语文 高考文言文阅读训练 上海辞书出版社 18.80★ 崭新

语文 高中古诗文译注与拓展高二年级 上海科学普及出版社
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语文 高中古诗文译注与拓展高一年级 上海科学普及出版社
16.00★ 崭新

语文 上海中学学校课程系列丛书高中古诗文必背 上海社会科学院
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语文 上海中学学校课程系列丛书高中古诗文必读 上海社会科学院
出版社 20.00★

语文 走进新课程（高二年级第一学期）语文专题训练与解题指导
文汇出版社 20.00 全新

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招生 2008年上海高考指南 华东理工大学出版社+上海市教育考试
院 编 18.00★ 全新

招生 2008上海市普通高等学校招生专业目录 上海古籍出版社+上
海市教育考试院 编 28.00★ 全新

招生 2010全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册 上海古
籍出版社+上海市教育考试院 编 15.00★ 全新 招生 上海市高中阶
段学校招生信息2008年升学指导 上海古籍出版社+上海市教育考试
院 编 10.00★ 全新

招生 2010高考试题分析与评价 上海教育出版社 32.00★ 全新

政治 高中《思想政治》学习与探究——高二年级分册（含答案）
北方妇女儿童出版社 15.00★

政治 高中《思想政治》学习与探究——高一年级分册（含答案）
北方妇女儿童出版社 15.00★

综合 高中综合专题讲座下册 华东师范大学出版社 6.95 全新

2012届

1. 语文

d 【教辅】高中文言300实词例释（秦振良 编著，上海古籍出版社）

【篇三：生物光合作用】


=txt>绍兴县越崎中学数学组 徐民江

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高
中数学 的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对
称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广 泛存在于数学问题之

中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还< br>充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之
间的对称性这两个方面来探讨函 数与对称有关的性质。

一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点a (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点p(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点
p( x ,y)关于点

a (a ,b)的对称点p‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b
－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要
性得证。

（充分性）设点p(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a
－x0) 。故点p（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点p
与点p关于点a (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点o对称的充要条件是f (x) + f
(－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条
件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点a (a ,c)和点b (b ,c)成中
心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称
（a‘‘

≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点a (a ,c) 成中心对称又关于直线x
=b

成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周
期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点a (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x
得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个
周期。

二、 不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点a (a ,b)成中
心对称。 定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x =
a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对
称。 ③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成
轴对称。 定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的
③

设点p(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点
p( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为p‘（x1， y1），则x1 = a
+ y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中
得x1－a = f (a + y1) ∴点p‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的
图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a
的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对
称。

三、 三角函数图像的对称性列表

注：①上表中k∈z

四、 函数对称性应用举例

例1：定义在r上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x)
= f (5+x),则f (x)一定是（） （第十二届希望杯高二 第二试题）

(b)是偶函数，但不是周期函数

(d)是奇函数，但不是周期函数 (a)是偶函数，也是周期函数 (c)是奇
函数，也是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周
期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一
个偶函数。 故选(a)

例2：设定义域为r的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x
－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那
么f(4)=（ ）。

（a） 1999； （b）2000； （c）2001； （d）2002。 -1

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g(x－2)的反函数是:y =
2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4)
= 2001,应选（c）

例3.设f(x)是定义在r上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0
时， f (x) = －-1-1-11x，则f (8.6 ) = _________（第八届希望杯高
二 第一试题） 2

解：∵f(x)是定义在r上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以
2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) =
0.3

5?)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高2

???5?考理) (a) x = － (b) x = － (c) x =(d) x = 4248

5?5??解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x +
= k?+ 222

k??∴x = －?,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(a) 22例
4.函数 y = sin (2x +

例5. 设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

(a) 0.5 (b) －0.5 (c) 1.5(d) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在r上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1
是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(b)

(1)函数图像关于点对称?①若函数y = f(x)的图像关于原点对称?圳
f(x)+f(-x)=0 (例1)?对于这一结论的导出,学生只 知道应用而不知道根
由,教学中可以利用对称的概念进行证明?

证明:(?坩)设点m(x , y)是y = f(x)图像上的任一点,则点m关于原点
的对称点m1(-x,-y)也在y = f(x)上,所以-y = f(-x),即 y+f(-x)=0,故f
(x ) +f(-x ) = 0

(?圯)设点m(x0, y0)是图像上的任一点,则y0=f(x0),因为f (x)+f(-
x)=0,所以f(x0)+f(-x0)=0,即-f(x0)=f(-x0) ,故-y0=f(-x0),所以说点
m1(-x0,-y0)也在y = f(x)图像上,而点m1(-x0-y0)与点m(x0, y0)关于
原点对称?

2.在证明了上面的结论后,可以给出下面结论,进行拓展:

函数y = f(x)的图像关于点p (a ,b)对称?圳 f (x) + f (2a-x) = 2b(例2)
证明:(必要性)设点m(x ,y)是y = f(x)图像上任一点,因为点m(x ,y)关
于点p(a ,b)的对称点m1(2a- x,2b- y)也在y = f (x)图像上,所以2b-
y = f (2a- x)即y + f (2a- x)=2b故f (x) + f (2a- x) = 2b?

(充分性)设点m(x0, y0)是y = f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0)

∵ f (x) + f (2a- x) =2b ∴f (x0) + f (2a- x0) =2b,即2b- y0 = f (2a-
x0) ?

故点m1(2a- x0,2b- y0)也在y = f(x)图像上,而点m与点m1关于点
p(a ,b)对称?

在掌握了例2式以后,也基本解决了函数y = f(x)在平面内关于任一
点对称的问题?

(2)函数图像关于直线对称?①若函数y = f(x)的图像关于y轴对称?
圳 f(x)-f(-x)=0

证明:(必要性)设点m(x , y)是y = f(x)图像上的任一点,则点m关于y
轴对称的点m1(-x,-y)也在y = f(x)上,所以y = f(-x) ,即 f(x)=f(-x),故
f(x)-f(-x)=0?