函数对称性的探求

函 数 对 称 性 的 探 究


函数是中学数学教学的主线， 是中学数学的核心内容，也是整个高中数学
的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称 性是函数的一个
基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更
简 捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自
身的对称性和不同函数之间的 对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性
质。
一、 函数自身的对称性探究
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)
关于点A (a ,b)的对称点P
‘
（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－
y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x
0
,y
0
)是y = f (x)图像上任一点，则y
0
= f (x
0
)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x
0
) + f (2a－x
0
) =2b，即2b－y
0
= f (2a－
x
0
) 。
故点P
‘
（2a－x
0
，2b－y
0
）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P
‘
关于点A (a ,b)
对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－
x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中
心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对
称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线
x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周
期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个
周期。

二、 不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中
心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对

称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴
对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴
对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x
0
,y
0
)是y = f (x)图像上任一点，则y
0
= f (x
0
)。记点P( x ,y)
关于直线x－y = a的轴对称点为P
‘
（x
1
， y
1
），则x
1
= a + y
0
, y
1
= x
0
－a ，
∴x
0
= a + y
1
, y
0
= x
1
－a 代入y
0
= f (x
0
)之中得x
1
－a = f (a + y
1
) ∴点
P
‘
（x
1
， y
1
）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴
对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、 三角函数图像的对称性列表

函 数
y = sin x
y = cos x
y = tan x
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ2 ,0 )， 而在岑申、王
而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈
兆镇主 编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y =
对称中心坐标
( kπ, 0 )
( kπ+π2 ,0 )
(kπ2 ,0 )
对称轴方程
x = kπ+π2
x = kπ
无

tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

四、 函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f
(5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数
(B)是偶函数，但不是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期
的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶
函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y =
g
(x)都有反函数，并且 f(x－1)
和
g
(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若
g
(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y =
g
(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y =
g
(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y =
g
(x－2)的反函数是:y =
2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
-1-1
-1
-1

f (x) = －
1
x，则f ) = _________
（第八届希望杯高二 第一试题）
2
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)
是以2为周期的周期函数，∴f ) = f (8+ ) = f ) = f (－ ) =
5
?
)的图像的一条对称轴的方程是（ ）
(92全
2
5
?
???
国高考理)
(A) x =
－
(B) x =
－
(C) x = (D) x =
4
248
5
?
5
?
?
解：
函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x +
= k
?
+
22
2
k
?
?
∴x =
－
?
,显然取k = 1时的对称轴方程是
x =
－ 故选(A)
2
2
例4.函数 y = sin (2x +
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f ) = （ ）

(A)

(B)
－


(C) (D)
－
解：
∵
y = f (x)是定义在R上的奇函数，
∴点（0，0）是其对称中心；
又∵
f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)，
∴直线x = 1
是y =
f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴
f ) = f (8－ ) = f (－ ) = －f ) =－ 故选
(B)