高中数学人教B版必修二学案：1.1.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行

1.2.2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线、直线与平面平行
[学习目标] 1.能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题.

[知识链接]
1.直线和平面的位置关系有：平行、相交、直线在平面内.
2.当直线与平面无公共点时，直线和平面平行.
[预习导引]
1.平行直线的定义及平行公理
在平面几何中，我们把在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线.
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
2.基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行，即如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c.
3.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
解决学生凝难点：
4.直线和平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相
交
有且只有一个公共
点
a∩α＝A
直线a与平面α平
行
没有公共点
a∥α
公共点
符号表示
图形表示
有无数个公共点
a?α



5.直线与平面平行的判定定理及性质定理
定理
判定
条件
如果不在一个平面内的一条直线
和平面内的一条直线平行
结论
这条直线和这个
平面平行
符号语言
l?α，m?α，l
∥m?l∥α

1

如果一条直线和一个平面平行，
性质 经过这条直线的平面和这个平面
相交
这条直线和这两个
平面的交线平行
l∥α，l?β，α
∩β＝m?l∥
m

要点一 基本性质4及等角定理的应用
例1 如图，已知棱长为a的正方体ABCDA
1
B< br>1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

(1)求证：四边形MNA
1
C
1
是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
证明 (1)如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD、AD的中点，
∴MN是△DAC的中位线，
1
∴MN∥AC，MN＝
AC.
2
由正方体的性质得：
AC∥A
1
C
1
，AC＝A
1
C
1
. < br>1
∴MN∥A
1
C
1
，且MN＝A
1
C1
，即MN≠A
1
C
1
，
2
∴四边形MNA
1
C
1
是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A
1
C
1
，
又∵ND∥A
1
D
1
，
∴∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
相等或互补. 而∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
均是直角三角形的锐角，

2

∴∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两
直 线没有公共点；②利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)等角定理 的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等，还是互
补，还是两种情形都有可能 .
跟踪演练1 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明 (1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
要点二 线面平行的判定
例2 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别
是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，如图①，

①
则PM∥QN，
PMEPQNBQ
∴＝，＝
.
ABEACDBD

3

又∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN.
∴四边形PMNQ是平行四边形.∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
方法二 连接AQ，并延长交直线BC于R，连接ER，如图②.

②
∵AD∥BR，
AQDQ
∴＝
.
ARDB
又DQ＝AP，DB＝AE，
AQAP
∴＝∴PQ∥ER.
ARAE
又PQ?平面CBE，ER?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线
平行的直线.
2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、
平行公理 等.
跟踪演练2 如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：
SA∥平面MDB.

证明 连接AC交BD于点O，连接OM.

4

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是AC的中点，
又∵M是SC的中点，
∴OM∥SA.
∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，∴SA∥平面MDB.
要点三 线面平行的性质定理的应用
例3 已知：α、β是两个平面，a、l是两条直线，且α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.
证明 如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又b?β，c?β，∴b∥β.
又b?α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.
规律方法 线∥面
线面平行的判定
线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线 面平行的判
定与性质是解决此类问题的关键.
跟踪演练3 如图，在直四棱柱ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为等腰 梯形，AB∥
＝＝CD＝2，AA
1
＝2，E，E
1
，F分别是棱A D，AA
1
，AB的中点.
线面平行的性质

证明：直线EE
1
∥平面FCC
1
.

5

证明 如图，在直四棱柱ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中.
取A
1
B
1
的中点F
1
，连接A
1
D，C1
F
1
，CF
1
，FF
1
.

∵FF
1
∥BB
1
∥CC
1
，
∴F
1
F?平面FCC
1
，
∴平面FCC
1
即为平面C
1
CFF
1
.
∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A
1
F
1
，
∴A
1
F
1
CD为平行四边形，
∴CF
1
∥A
1
D.
又E，E
1
分别是棱AD，AA
1
的中点，
∴EE
1
∥A
1
D，∴CF
1
∥EE
1
，
又 EE
1
?平面FCC
1
，CF
1
?平面FCC
1< br>，
∴直线EE
1
∥平面FCC
1
.

1 .如果OA∥O
1
A
1
，OB∥O
1
B
1
，那么，∠AOB和∠A
1
O
1
B
1
( )
A.相等
C.相等或互补
答案 C
解析 因为角的方向不定， 所以∠AOB与∠A
1
O
1
B
1
相等或互补.
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交
C.无数条直线不相交
答案 D
解析 线面平行，则线面无公共点，所以选D，对于C，要注意“无数”并不代表所有.
3.如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱

6
B.互补
D.大小无关
B.两条相交直线不相交
D.任意一条直线不相交

的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )


A.①③
C.②③
答案 B
解析 ①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，AB?平面?平面MNP，∴AB∥
平面MNP； ②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相
交；
④中，∵AB∥NP，AB?平面?平面MNP.
∴AB∥平面MNP.
4.l< br>1
，l
2
，l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )
A.l
1
⊥l
2
，l
2
⊥l
3
?l
1
∥l
3

B.l
1
⊥l
2
，l
2
∥l
3
?l
1
⊥l
3
< br>C.l
1
∥l
2
∥l
3
?l
1
，l
2
，l
3
共面
D.l
1
，l
2
，l
3
共点?l
1
，l
2
，l
3
共面
答案 B
解析 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一 条垂
直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，
如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D
错.
5.如图所示，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交α于E、
F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.

7
B.①④
D.②④

答案
20

9
解析 由已知EG∥BD，
EGAF20
∴＝，∴EG＝
.
BDAC9

1.求证两 直线平行有两种常用的方法：一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何
知识，如平行线分线段 成比例定理、三角形的中位线定理等；二是证明在同一平面内，这两
条直线无公共点.
2.求 证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，
注意两角对应边 方向的讨论；二是应用三角形全等或相似.
3.利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键 是寻找面内与已知直线平行的直
线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
4.利用线面平行的性质定理解题的步骤：
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面；
(3)确定交线，由性质定理得出结论.



8