2019高中数学人教B版必修二空间点直线平面之间的位置关系小结版同步练习含答案

人教B版 数学 必修2：
空间点、直线、平面之间的位置关系小结
一、选择题
1. a,b是两条异面直线， （ ）
A．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一个平面与a，b都平行
B．过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个
C．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都平行
D．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都垂直
2.若三棱锥S —ABC的项点S在底面上的射影H在△ABC的内部，且是在△ABC的垂心，
则 ( )
A．三条侧棱长相等 B．三个侧面与底面所成的角相等
C．H到△ABC三边的距离相等 D．点A在平面SBC上的射影是△SBC的垂心
3. a、b是异面直线，下面四个命题： ①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至少有一条直线与a、
b都垂 直；④至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 把正方形ABCD沿对角线A C折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，
直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )
A. 90° B .60° C. 45° °
5. 在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D1
中，A
1
A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D
1
P ⊥PC，
则棱AD的长的取值范围是 （ ）
A．
[1,2]

二、填空题
6. 已知直线m，n，平面
?
,
?
，给出下列命题：
①若
m?
?
,m?
?
,则
?
?
?
；②若
m
?
,m
?
,则
?

?
；
③若m?
?
,m
?
,则
?
?
?
；④若异面 直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其
中正确的命题的题号为 ③④
7. 设
l、m、n
是三条不同的直线，
?
、
?
、
?是三个不同的平面，下面有四个命题：
①
若l∥
?
,
?∥
?
,则l∥
?
；
②
若l∥n,m∥n,则l∥m；

B．
(0,2]
C．
(0,2)
D．
(0,1]

③
若
??
?
,l∥
?
,则l?
?
；
④
若l?
?
,m?
?
,
?
?
?
, 则l?m.

其中假命题的题号为 ①③
8.

在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：
①AB与EF所在的 直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°
角；④MN与CD所在的直 线互相垂直.其中正确的命题是 ② ④
9. 有6根细木棒，其中较长的两根分别为
3a< br>，
2a
，其
余4根均为
a
，用它们搭成三棱锥，则其中两条较 长的棱所
F
B

D
C
E N A
M

在的直线所成的角的余弦值为 .
10. 下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 ②④ (写出所有真命题的编号)．
三、解答题
11. 下列五个正方体图形中，
l< br>是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中
点，求能得出
l
⊥面 MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)



12. 如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长的3，侧 棱AA
1
=
一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC
1










13. 如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥
底面ABCD，E是SC上的一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
SA
(3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120?.
AB







33
,
D是CB延长线上
2

S
E

A
B

C

D

14. 如图，正三角形ABC的边长为2，D
、
E
、
F分别为各边的中点将△ABC 沿DE
、
EF
、
DF折叠，使A
、
B
、
C 三点重合，构成三棱锥A
—
DEF ．
(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值
AMEN
(Ⅱ)设点M
、
N分别在AD
、
EF上，
???
(
λ
＞O，
λ
为变量)
MDNF
①当
λ
为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明 你的结论②设异面直线MN
与AE所成的角为
a
，异面直线MN与DF所成的角为β
，试求
a
+
β

的值











【课时42答案】





6.③、④
7.①、③
8.②、④
9.
6

3
10.②、④
11. 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给 定的正方体，l位置固定，
截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在M N、NP、MP三
条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则 可断定
l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．
解法1 作正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截
面BA
1
D、EFGHKR和C B
1
D
1
都是对角线l (即 AC
1
)的垂面．
对比图①，由MN∥BA
l
，MP∥BD，知面MNP∥面BA
l
D，故得l⊥面MNP．
对比图②，由MN与面CB
1
D
1
相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CB
l
D
l
内，
所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．
对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．
对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA
1
D，故l⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．

综合得本题的答案为①④⑤．
解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为
?
．各图可讨
论如下：
在图①中，MN,NP在平面
?
上的射影为同一直线，且与l垂
直，故 l⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是
MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂 线，故l⊥
MN，从而l⊥面 MNP．
在图②中，由MP⊥面
?
，可证明MN在平面
?
上的射影不是l的垂线，故l不垂直于
MN．从而l不垂直于面 MNP．
在图③中，点M在
?
上的射影是l的中点，点P在
?上的射影是上底面的内点，知
MP在
?
上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．
在图④中，平面
?
垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面 的射影(即侧面正方形
的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．
在图⑤中，点N在平面
?
上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面
?
上的 射影分
别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l
⊥面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
12. （Ⅰ）证明：CD
1
C
1
C又DB
1
?
平面AB
1
D，BC
1
?
平面AB
1
D，∴直线BC
1
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB
1
，
∵B
1
B⊥平面ABD，∴B
1
E⊥AD ，
∴∠B
1
EB是二面角B
1
—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
BE?
1
AC?
3
.

22
在Rt△B
1
BE中，
3
3
B
1< br>B
2
tan?B
1
BE???3.
∴∠B
1
EB=60°．
3
BE
2

即二面角B
1
—AD—B的大小为60°
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC 于F，∵B
1
B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB
1
C
1C，
∴AF⊥平面BB
1
C
1
C，且AF=
331
?3?3,
∴
V
C?ABB
?V
A?BBC< br>?S
?
BBC
?AF

11111
111
2 2
3
11333327
即三棱锥C
1
—ABB
1
的 体积为
27

?(??3)??.
.
32228
8
解法二：在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，
?S
?ABB
?S
?AAB
?V
C
1
?ABB
1
?V
C
1
?AA
1
B
1
?V
A ?A
1
B
1
C
1

1
1
1
?
113
2
3327
即三棱锥C
1
—ABB
1< br>的体积为
27

S
?A
1
B
1
C< br>1
?AA
1
?(4??3)??.
.
33428
8< br>13.
(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴SA⊥BD
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面SAC，又BD?平面EBD
∴平面EBD⊥平面SAC.
(2)解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD
B

S
E

A
O

C

D

由AB＝2，知BD＝22
SO ＝SA
2
＋AO
2
＝4
2
＋(2)
2
＝3 2
11
∴S
△SBD
＝
BD·SO＝·22·32＝6
22
11
令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD, 则·S
△SBD
·h＝
·S
·SA
33
△ABD
144
∴6h＝·2·2·4 ? h＝ ∴点A到平面SBD的距离为
233
14. （Ⅰ）如图，取DE的中点G，连接AG、FG
由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角
由题意得AG=FG=
3
．在△AGF中，
2
3
?
（3）
?
2
1
（）
1
22
??

3
33
2??
22
22
22
2
AG
?< br>FG
?
AF
cos?AGF?
2AG·FG
∴平面ADF与底 面DEF所成二面角的余弦值为
1

3
（Ⅱ）（1）λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段
当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，
则由题意，知AN=DN=
3
，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF
2
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段．
（2）过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ．
由MH∥DF，得
AHAMAMENAHEN
，∴
?，又??
HFMDMDNFHFNF

∴HNAE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ．
∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN
由题意 得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，
记为O．
∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF
又∵HNAE，MHDF，∴∠MNH=
?
2
，∴
?
?
?
?
?
??MHN?
?
2