高中数学选修知识点

高中数学选修2----2知识点

第一章 导数及其应用

知识点：

一． 导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速 率。一般的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x?0
?x
，

我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
，

即
f
?
(x
(x
0
??x)?f(x
0
)
0
)
=?
lim
f
x?0
?x

2. 导数的几何意义：曲线 的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。
容易知道，割线
PP
f(x
n
)?f( x
0
)
n
的斜率是
k
n
?
x?x
，当点
P
n
趋近于
P
时，函数
y?f(x)
在x?x
0
处的
n0
导数就是切线PT的斜率k，即
k?
f(x
n
)?f(x
0
)
?
lim
x?0
x?x
?f
?
(x
0
)

n0
3. 导函 数：当x变化时，
f
?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x )
的导函数.
y?f(x)
的导函数有
时也记作
y
?,即
f
?
(x)?lim
f(x??x)?f(x)
?x?0< br>?x

考点：无

知识点：

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若
f (x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
；

2 若
f(x)?x
?
,则
f
?
(x)?
?
x
?
?1
;

3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx

4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx< br>;

5 若
f(x)?a
x
,则
f
?
(x)?a
x
lna

6 若
f(x)?e
x
,则
f
?
(x)?e
x

7 若
f(x)?log
x
a
,则
f
?
( x)?
1
xlna

8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
1
x

2）导数的运算法则

1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)

2.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)

3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
g(x)
]
?
?
(x)
[g(x)]
2

3）复合函数求导

y?f(u)
和
u?g(x)
,称则< br>y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f(g(x))
为一个复合 函数

考点：导数的求导及运算

★1、已知
f?
x
?
?x
2
?2x?sin
?
，则
f
'
?
0
?
?


★2、若< br>f
?
x
?
?e
x
sinx
，则
f< br>'
?
x
?
?


★3.
f(x)
=ax
3
+3x
2
+2 ，
f
?
(?1)?4
，则a=（ ）

★★4.过抛物 线y=x
2
上的点M
(
1
,
1
24
)的切线的倾斜角是（）

° ° ° °

★★5.如果曲线
y?
9
2
x
2
?3
与
y?2?x
3
在
x?x
0
处的切线互相垂直，则
x
0
=
三.导数在研究函数中的应用

知识点：

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区 间单调递增；

如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y ?f(x)
在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数
y?f(x)
的极值的方法是:

(1)如果在
x< br>0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?< br>(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;

(2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右 侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极 小值;

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤

（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；

（2） 将 函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)< br>比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点：1、导数在切线方程中的应用

2、导数在单调性中的应用

3、导数在极值、最值中的应用

4、导数在恒成立问题中的应用

一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线
y?x
3
在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）

A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）

11
C.（2，8） D.（－
2
，－
8
）

★2.曲线
y?
1
3
x
3
?x
2
?5
，过其上横坐标为1的点作曲线 的切线，则切线的倾斜角为（ ）

??
?
3
A.
6
B.
4
C.
3
D.
4
?

二、题型二：导数在单调性中的运用

★1.(05广东卷)函数
f(x)? x
3
?3x
2
?1
是减函数的区间为( )

A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)

★2．关于函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
，下列说法不正确的是（ ）

A．在区间（
??
，0）内，
f(x)
为增函数 B．在区间（0，2）内，
f(x)
为减函数

C．在区间（2，
??
）内，
f(x)
为增函数 D．在区间（< br>??
，0）
?(2,??)
内,
f(x)
为增函数

★★3．(05江西)已知函数
y?xf
?
(x)
的图象如右图所示 (其中
f'(x)
是函数
f(x)
的导函数)，下面四个
图象中y?f(x)
的图象大致是（ ）

1

1

2

2


4
4

2
1

2


1

1

2

1

2

1

2

1

2


★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）

已知函数
f(x )?1nx?ax?
1?a
x
?1(a?R).

（Ⅰ）当
a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）当
a≤
1
2
时，讨论
f(x)
的单调性．

三、导数在最值、极值中的运用：

★1.（05全国卷Ⅰ）函数
f(x)? x
3
?ax
2
?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ ）

A．2 B. 3 C. 4

★2．函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）

, - 15 , 4 4 , - 15 , - 16
< br>★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
f(x)?ax
3
?cx ?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
时
f(x)
取得极值－2 .

（1）试求a、c、d的值；（2）求
f(x)
的单调区间和极大值；
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数
f(x)?x
2
e
x?1
?ax
3
?bx
2
，已知
x??2和x?1
为
f(x)
的
极值点。

（1）求
a,b
的值；

（2）讨论
f(x)
的单调性；

第二章 推理与证明

知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；

?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

?
证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理

由两 类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征
的推理称为类 比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

?
检验猜想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根 据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，
然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

演绎推理的一般模式———“三段论”，包括

⑴大前提----- 已知的一般原理；

⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻 找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为
判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.

要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法 ：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而
证明了原命题 成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；

(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤;

（1）（归纳奠基）证明当
n
取第 一个值
n
0
(n
0
?N
*
)
时命题成立；

（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N
*< br>)
时命题成立，推证当
n?k?1
时命题也成立.

只 要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.

考点：无

第三章 数系的扩充与复数的引入

知识点：

一:复数的概念

(1)复数:形如
a?bi( a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.< br>
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚
数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复 平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做
虚轴。< br>
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

2．相关公式

⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d

⑵
a?bi?0?a?b?0

⑶
z?a?bi?a
2
?b
2

⑷
z?a?bi

z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算

⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?< br>?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?< br>b?d
?
i
；

⑵复数的乘法：
?
a?bi
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
??
bc?ad
?
i
；

⑶复数的除法：
a?b i
c?di
?
?
a?bi
??
c?di
?
?
c?di
??
c?di
?

（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化）

4.常见的运算规律

(9)
设
?
?
?1?3i
2
是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
2
?0
，
?
3n?1
?
?
,
?
3n ?2
?
?
,
?
3n?3
?1

考点：复数的运算

★山东理科1 若
z?cos
?
?is in
?
（
i
为虚数单位），则
z
2
??1
的
?
值可能是

（A）
?
6
（B）
?
4
（C）
?
3
（D）
?
2

★山东文科1．复数
4?3i
1+2i
的实部是（ ）

A．
?2
B．
2
C．3 D．
4

★山东理科（2）设
z
的共轭复数是
z
，若
z
+< br>z
=4,
z
·
z
＝8，则
z
z
等于

（A）i （B）-i (C)±1 (D) ±i

高中数学 选修2－3知识点

第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1
种不同的方法，在第
二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类 办法中有M
N
种不同的方法，那么完成这件事情共有
M
1
+M
2
+……+M
N
种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第< br>二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成 这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的
方法。

3、排列：从
n
个不同的元素中任取
m( m
≤
n
)个元素，按照一定顺序
．．．．．．
排成一列，叫做从n
个不同元素
中取出
m
个元素的一个排列

4、排列数 ：从
n
个不同元素中取出
m
(
m≤n
)个元素排成一列，称 为从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个排列. 从
n个不同元素中取出
m
个元素的一个排列数，用符号
A
n
m
表示。

5、公式：
，

6、组合：从
n
个不同 的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不 同元素中取出
m
个元素
的一个组合。

7、公式：
C
C
m
?
m
n
n
?
A
m
A
m
n
n
n(
n
n
(n
?
?
1)
1
?
)
?
(n
(n
?
?
m
m
?
?
1)
1)
m
m
n!
n!
A
m
A
m
?
?
m
m
m
m
!
!
C
C
n
?

n
?
m!m
(
!
n
(n
?
?
m
m
)!
)!

8、二项式定理：
(a?b)
n
?C
0n1 n?12n?22rn?rrnn
n
a?C
n
ab?C
n
a b?…?C
n
ab?…?C
n
b

展
9、
开
二项式通项公式
式的通项公式：T
r?1
?C
r
n
a
n?r
b
r
(r?0，1……n)

考点：1、排列组合的运用

2、二项式定理的应用

★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同

学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若

每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同

学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 （ ）

A．72 B．108 C．180 D．216

★★2．在
(x?
1
3
x
)
24
的展开式中,x的幂的指数是整数的 项共有 （ ）

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
< br>★★3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上
层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是

A．420 B．560 C．840 D．20160

★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多 有
一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为

★★5．
(x?
1
x
)
8
的展开式中
x
2
的系数为 （ ）

A．-56 B．56 C．-336 D．336

第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的
不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等
表示。

2、离散型随机变量： 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按
一定次序一一列出，这样的 随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，
简称分布列

4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．
5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N )
件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

则它取值为k时的概率 为
P(X?k)?
C
k
C
n?k
MN?M
C
n
(k?0,1,2,,m)
，

N
其中
m?min?
M,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率

8、公式：

9 、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相
互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如

期望 方差
两点分布 Eξ=p Dξ=pq，q=1-p
D（X）=np（1-p）* （N-n）（N-1）

超几何分布

（不要求）
二项分布，ξ ～ B（n,p） Eξ=np Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）
几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)

果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中
P(
?
?k)
?C
k
p
k
q
n? k
n
（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是
离散型随机变量。

13、两点分布数学期望：E(X)=np

14、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
M
N
.
15、方差:D(ξ)=(x
222
1
-Eξ)·P
1
+（x< br>2
-Eξ)·P
2
+......+（x
n
-Eξ)·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简称
方差。

16、集中分布的期望与方差一览：

17.正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

的图像，其中解析式中的实数
?
、
?
（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差．

则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。

18.基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.

③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降 ．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐
近线，向它无限靠近．

④当< br>?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散；
?
越小，
曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

19. 3
?
原则：

从上表看到,正态总体在
(
?
?2
?
,< br>?
?2
?
)
以外取值的概率 只有%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值的
概率只有% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在
一次试验中几乎是不可能发生的.

考点：1、概率的求解

2、期望的求解

3、正态分布概念

★★★1．(本小题满分 12分)某项考试按科目
A
、科目
B
依次进行，只有当科目
A
成绩合格时，才可
以继续参加科目
B
的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两 个科目成绩均合格方可获得该项合
格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目
A
成绩合格的概率均为
2
3
，每次考科目
B
成绩合格的概率均 为
1
2
。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，< br>记他参加考试的次数为
X
。

(1)求
X
的分布列和均值；

(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

★★★2（本小题满分12分）

济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别
是，，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设< br>?
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游
览的景点数之差的绝对值。

（1）求
?
=0对应的事件的概率； （2）求
?
的分布列及数学期望。

★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。

（1）随机从中取出2个球，< br>?
表示其中红球的个数，求
?
的分布列及均值。

（2）现在 规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖
100元，第二个奖 200元，…，第
k
个奖
k?100
元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结 束取球，按
照这种规则，取球多少次比较适宜说明理由。

第三章 统计案例
知识点：
1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：


y
1

y
2

总计

x
1

a

b

a+b

x
2

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是 否有关系，并且
能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2 的值（即K
的平方） K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K
2
的

值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

K
2
≤时，X与Y无关； K
2
>时，X与Y有95%可能性有关；K
2
>时X与Y有99%可能性有关

2、回归分析

回归直线方程
y
?
?a?bx

?
xy?
1
其中
b?
n
?
x
?
y
?
?
(x?x)(y?y)
SP
?
x
2
?
1
n
(
?
x
2
)
?
( x?x)
2
,
?
SS
x
考点：无
a?y?bx