数学必修五选修21知识点总结归纳

必修五知识点总结归纳
（一）解三角形
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、< br>?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
正弦定理的变形公式：①< br>a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
sin??
，
sinC?< br>；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
2、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
接圆的半径，则有
3、余弦定理 ：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2 accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b< br>2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a< br>2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
4、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
(二)数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的 数列．
a
n?1
?a
n
?0

6、递减数列：从第 2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
a
n?1
?a
n
?0< br>
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称
为等差数列 ，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与b
的
等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
14、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?< br>n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
??
n?1
?
d
；③
d?
④
n?
an
?a
1
；
n?1
a
n
?a
1
a?a
m
．
?1
；⑤
d?
n
dn?m
*
15、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
*
若
?
a< br>n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
．
16、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?n?1
?
d
． ；②
S
n
?na
1
?
22
17、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??*
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
??
S
偶
?S
奇
?nd< br>，
S
奇
a
?
n
．
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1n??
*
，则
S
2n? 1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
（其中
S
奇
?n a
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
an
）．
??
S
奇
n

?
S
偶
n?1
18、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列称
为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
19、在
a与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比项
．若
G?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．注意：
a
与
b
的等比中项可能是
?G

n?1
20、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a< br>1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q< br>．
2

n?m
n?m
?
21、通项公式的变形 ：①
a
n
?a
m
q
④
q
a
n．
a
m
*
22、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p< br>、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
2
若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??< br>），则
a
n
?a
p
?a
q
．
*< br>?
na
1
?
q?1
?
?
n
23、等 比数列
?
a
n
?
的前项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1 ?q
24、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
?< br>*
?
，则
S
S
偶
奇
?q
．
n
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
．③< br>S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列（
S
n
?0
）．
（三）不等式
1、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b；
a?b?0?a?b
．
2、不等式的性质： ①
a?b?b?a；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

二次函数
2
nn
?
n??,n?1
?
；
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

一元二次方程
ax?bx

2
有两个相异实数根
有两个相等实数根
?c?0
?
a?0
?
的根
?b ??
x
1,2
?
?
x
1
?x
2
?

2a
x
1
?x
2
??
b

2a
没有实数根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0
?
xx?x或x?x
?

12
?b?
xx??
??

2a
??
R

?
a?0
?

若二次项系数为负，先变为正
5、设
a
、
b
是两个正数，则
几何平均数．
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数 ，
ab
称为正数
a
、
b
的
2
6、均值不等 式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即22
a?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
7、常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
a
2< br>?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
a b?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
222
????
8、极值定理 ：设
x
、
y
都为正数，则有
22
s
2
⑴ 若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最 大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
知识点
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两
个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于 两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的
否定，则这两个命题称为 互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的
否定，则这两 个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆
否命题.
若原命 题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
假
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
真
假

四种命题的
真假性之间
的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把命题p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真 命题；当
p
、
q
两个命题都是假
命题时，
p?q
是 假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题 ，则
?p
必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻 辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
p
?
x
?
?p
?
x
?
10、全称命题
p
：
?x??
，，它的否定
?p
：
?x??
，．全称命题的否定
是特称命题．
11、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等 于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭
圆．这两个定点 称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
12、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围

xy
??1
?
a?b?0?
a
2
b
2

?a?x?a
且
?b?y?b

22
yx
??1< br>?
a?b?0
?
a
2
b
2

?b?x?b
且
?a?y?a

22
?
1
?
?a,0
?
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
、
?
2
?
a,0
?


?
1
?
0,?a
?
?
1
?
?b,0
?F
1
?
0,?c
?
、
?
2
?
0,a
?


?
1
?
0,?b
?
F
1
?
?c,0
?
、
?
2
?
0, b
?
F
2
?
c,0
?
、
?
2?
b,0
?
F
2
?
0,c
?
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

、 、
F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

y
关于
x
轴、轴、原点对称
cb2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa

F
1
，
．
14、平面内与两个定点
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨
迹 称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率

xy
??1
?
a?0,b?0
?
22
ab

x??a
或
x?a
，
y?R

22
yx< br>??1
?
a?0,b?0
?
22
ab

y??a
或
y?a
，
x?R

22
?1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

y
关于
x
轴、轴对称，关于原点中心对称
渐近线方程
c b
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa

b
y??x
a

y??
a
x
b

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称
为抛 物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且 交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为抛物线的
“通径”，即
???2p
．
20、焦半径公式：若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0?
p
2
；
若点
?
?
x
0
, y
0
?
在抛物线
y??2px
?
p?0
?
2
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
p
2
；

若点
?
?
x
0
,y
0
?
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线< br>x?2py
?
p?0
?
2
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
p
2
；
p
2
． 若点在抛物线
x??2py
?
p?0
?
2
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
21、抛物线的几何性质：
标准方程
?
p?0
?

y
2
?2px

?
p?0
?


y
2
??2px

x
2
?2py
?
p?0
?



?
p?0
?

x
2
??2py

图形

顶点

?
0,0
?

x
轴
对称轴
y
轴
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?

p
??
F
?
0,
?
2
?

?
p
??
F
?
0,?
?
2
?

?
焦点
?
p
?
F
?
,0
??
2
?

准线方程
x??
p
2
x?

p
2
y??

p
2
y?

p
2

离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

23、空间向量的加法和减法：
?1
?
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行
四边形法则．即：在空间以 同一点
?
为起点的两个已
知向量
a
、
b
为邻边作平 行四边形
??C?
，则以
?
起
点的对角线
?C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角
??a
，
???b
，形法则．即：在空间任取一点
?
，作
?
则
???a?b
．
24、实数
?
与空间向量
a< br>的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时 ，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，?
a
为零向量，记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍．
25、设
?
，
?
为 实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b
??
；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为 共线向量或平
行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
27、向量共线的充要条件：对于空 间任意两个向量
a
，
在实数
?
，使
a?
?
b
．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
29、向量共面定理：空间一 点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，< br>y
，
使
bb?0
??
，
ab
的充要条件是存
???x???y?C
；或对空间任一定点
?
，有
???????x ???yC
；或若四点
?
，
?
，
?
，
C< br>共面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
．
30、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?< br>，作
???a
，
???b
，则
????
称
为 向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值 范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
31、对于 两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??
?
2
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a?b
．
称为
a
，
b
的数量积，记作
a?b
．即32、已知两个非零向量
a
和
b
，则
abcos?a,b?
a?b?abcos?a ,b?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．

bcos?a, b?
a
b
a
a?b
a
33、等于的长度与在的方向上的投影 的乘积．
34、若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位 向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向
?
a?b?
?
?aba与b反向
a?a ?a
2
a?a?a
?
?
2
?
a?b?a?b?0< br>；
?
3
?
?
，，；
??
??
?< br>4
?
cos?a,b??
a?b
ab
；
?
5
?
a?b?ab
．
1
?
a?b?b?a
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
?
a? b
?
?a?
?
?
b
?
?
35、向量数乘积 的运算律：；；
?
3
?
?
a?b
?
?c?a?c ?b?c
．
36、若
i
，
j
，
k
是空间 三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序实数组
?
x,y,z< br>?
，使得
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k
上的分量．
37、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数
组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
38、若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
．这个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
?
a,b,c
?< br>称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间 任意三个不共面的向量都可
以构成空间的一个基底．
39、设
以
e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），
e
1
，
e
2
，
e
3
的公共起点
?
为原点，分别以
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，< br>y
轴，
z
轴的正
方向建立空间直角坐标系
?xyz
． 则对于空间任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它
???p
．存在有序实 数组
?
x,y,z
?
，使得的起点与原点
?
重合，得到向量
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把
x，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，

记作
p?
?
x,y,z
??
x,y,z
?
．． 此时，向量
p
的坐标是点
?
在空间直角坐标系
?xyz
中的 坐标
，40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
b?
?
x
2
,y
2
,z2
?
，则
．
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．

、
?
2
?a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
b
为非零向量
．
，
?
4
?
则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2
?
5
?
若
a
a?b?a?b?0?x
1
x?
2
yy?
1
zz
2
?0
．
?
6
?
若b?0
，则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1< br>?
?
z
2
．
?
7
?
?
8
?
?
9
?
d
??
????
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
cos? a,b??
a?b
ab
?
．
x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?z
1
z
2
222x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
? x
2
?y
2
?z
2
．
，
2
1< br>?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?< br>?
2
则
2
?
2
?x
??
?
2
?
1
?
?
?
x
?
2
．
yyz
1
41、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任意一点?
的位置可以用向量
??
来表
示．向量
??
称为点?
的位置向量．
42、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定．点
?
是直
线
l
上一点，向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l上的任意一点
?
，有
???ta
，
这样点
?
和 向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置，还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
43、空间中平面
?
的位置可以由
?
内的两条相 交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
?
，它们的方向向量分别为
a
，< br>b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序实数对
?x,y
?
，使
得
???xa?yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确定了平面
?
的位置．
44、直 线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则 向量
a
称为平面
?
的法向量．
45、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
a b?ab?

a?
?
b
?
?
?R< br>?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
46、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a
?

?a?n?a?n? 0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n< br>．
47、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为< br>a
，
b
，则
?

?
?ab?

a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
48、设异面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向 向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
． < br>49、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l< br>与
n
的夹角
sin
?
?cos
?
?
为
?
，则有
50、设
l?n
ln
．
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或
其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
n
1?n
2
n
1
n
2
．
51、点
?与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
．53、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平 面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，则点
?
到平面
?
的距离为

d???cos???,n??
???n
n
．