高中数学选修知识点总结 (3)(2020年九月整理).doc

学 海 无 涯
高中数学选修1-1知识点总结

第一章 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论 .
3、原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题： “若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
” 逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B 是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件；
6、逻辑联结词：
⑴且(
and
) ：命题形式
p?q
；
⑵或（
or
）：命题形式
p?q
；
⑶非（
not
）：命题形式
?p
.
p

真
真
假
假
q

真
假
真
假
p?q

真
假
假
假
p?q

真
真
真
假
?p

假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；
第二章 圆锥曲线

1

学 海 无 涯
一、椭圆
1、椭圆的定义：平面内与两个定点
F
1
，
F< br>2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆．即：
|
MF
1
|
?
|
MF2
|
?
2
a
,(2
a?
|
F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质
：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

顶点
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
二、双曲线

1

学 海 无 涯 < br>1、双曲线的定义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的 距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）
的点的轨迹称 为双曲线．即：
||
MF
1
|
?
|
MF
2
||
?
2
a
,(2
a?
|
F
1< br>F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

2、双曲线的几何性质
：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
x
2
y
2< br>?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
y??
a
x

b
渐近线方程

1

学 海 无 涯
3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线
．
三、抛物线
1、抛物线的 定义：平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物< br>线．定点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线
．
2、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形

顶点



?
0,0
?

x
轴
y
轴 对称轴
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?
,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?< br>
2
??
p
??
F
?
0,
?
?

2
??
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
范围
e?1

x?0

x?0

y?0

y?0


1

学 海 无 涯
3 、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
? ?
，称为抛物线的“通
径”，即
???2p
．
4、焦半径公式：
p
；
2
p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物 线
y?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
2
第三章 导数及其应用
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
1、函数
f< br>?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平 均变化率：

x
2
?x
1
2、导数定义：
f?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?< br>x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导 数的几何意义是曲线
线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
'
①
C
?0
；②
(x)?nx
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
??
处的切
n'n?1
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
x< br>''
⑤
(
a
)?
a
ln
a
；⑥(e)?e
； ⑦
(log
a
x)
'
?
x'xx'
11
；⑧
(lnx)
'
?

xlnax
5、导数运算法则：
?
?
1
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
?
?f
?
?
x
?g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?< br>?
x
?
fx?gx
?
????
?
2
?

?
??
；
?
f
?
x
??
?
f
?
?
x
?
g
?
x?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?< br>g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
．
6、在某个区间< br>?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
??0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?< br>?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：

1

学 海 无 涯
解方程
f
??
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：


?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
??0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么< br>f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?< br>如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那 么
f
?
x
0
?
是极小值．
8、求函数
y ?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最 小值的步骤是：


?
1
?
求函数
y? f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值； ?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值 与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b?
比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。






高中数学选修1-2知识点总结
第一章 统计案例

1

学 海 无 涯

一．线性回归方程
1、变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
2、制作散点图，判断线性相关关系
3、线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?
b?
n
2
其中，
?
2
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?< br>注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
.
4、相关系数（判定两个变量线性 相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(yi
?y)
2

?
(x
i?1
n
i?x)
?
(y
i?1
n
i
?y)
2
注 ：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；

1

学 海 无 涯
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之
间几乎不存在线性相关关系。
二、独立性检验
1、相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件
A
，
B
，如果_
P
(
AB
)＝
P
(
A
)
P
(
B) ，则称
A
、
B
相互独立．
(2)如果
A
1
，
A
2
，…，
A

n
相互独立，则有
P
(
A
1
A
2
…
A
n
)＝_
P
(
A
1
)
P< br>(
A
2
)…
P
(
A
n
).
－－－－
(3)如果
A
，
B
相互独立，则
A
与< br>B
，
A
与
B
，
A
与
B
也相 互独立．
2、独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2列联表
设
A ,B
为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量
A:A
1
,A
2
?A
1
;
变量
B:B
1
,B
2
? B
1
;

通过观察得到右表所示数据：

并将形如此表的表格称为2×2
列联表．
(2)独立性检验
根据2×2列 联表中的数据
判断两个变量A，B是否独立的
问题叫2×2列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2的计算公式
χ2=

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
n（ad－bc）
2
第二章 推理与证明

1

学 海 无 涯


1.推理
⑴合情推理：
归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、 比较、联想，在进行归纳、
类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理
由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推
理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。归纳推理是由部分
到 整体，由个别到一般的推理。
②类比推理
由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特 征，推出另一类对象也具有这些特征
的推理，称为类比推理，简称类比。类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理
从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。演绎推理 是由
一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前
提---------所研究的特殊情况；⑶结 论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
2.证明
(1)直接证明
①综合法

1

学 海 无 涯
一般地， 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后
推导出所要证明的结论成立 ，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
②分析法
一般地，从要证明 的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法
叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
(2)间接证明……反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明假设错误，从
而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

第三章 数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念
(1)把平方等于－1的数用符号i表示，规定i
2
＝－1，把i叫作虚数单位．
(2)形如
a
＋
b
i的数叫作复数(
a
，
b
是实数，i是虚数单位)．通常表示为
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)．
(3)对于复数
z
＝a
＋
b
i，
a
与
b
分别叫作复数
z< br>的实部与虚部，并且分别用Re
z
与Im
z
表
示．
2.数集之间的关系

1

学 海 无 涯
复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.
3.
复数的分类
实数（< br>b
＝0）
?
复数
a
＋
b
i
?
?
?
纯虚数（
a
＝0）

?
（
a
，
b
∈R）
虚数（
b
≠0）
?
?
??
?
非纯虚数（
a
≠0）
4.两个复数相等的充要条件 设
a
，
b
，
c
，
d
都是实数，则a
＋
b
i＝
c
＋di，当且仅当a=c,b=d
特殊的，
a+bi?0?a?b?0

5.复平面
(1)定义：当用坐标轴上的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．
(2)实轴：x轴称为实轴．
虚轴：y轴称为虚轴．
6.复数的模
若z＝a＋bi(a，b?R)，则z?a+bi?a
2
?b
2

7.共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部相同，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫 作互为共轭复数．复
数
z
的共轭复数用
z
表示，即若
z＝
a
＋
b
i，则
z?a?bi

（2)性质：
?
z
1
?
z
1
??
?(z
2
?0)
z
1
?z
2
?z
1?z
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

?
z
2
?
z
2

必背结论
1.(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0 (
a,b∈R
)
?
z=
z
?

z
2
≥0；
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
)；
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a
=0 且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
＋
z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
(4)
a
+< br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
)；

1

学 海 无 涯
2．复数的代数形式及其运算
设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
)，则：
(1)
z

1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i；
(2)
z
1
·
z
2
= (
a
+
bi< br>)·(
c
+
di
)＝（
ac
-
bd
）+ (
ad
+
bc
)
i
；
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(
z
≠0)
?

ac
2
?i
(c? di)(c?di)
c
2
?d
2
c
2
?d
2
3．几个重要的结论
(1)
(1
?
i)
2
??
2i
；
1?i
?i;
1?i
??i;

1?i1?i
4n
(2)
i
性质：T=4；
i
? 1,
i
4n?1
?
i
,
i
4n?2
??1 ,
i
4n?3
??
i
；
i
4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

1
(3)
z?1?zz?1?z?
。
z
4．运算律：（ 1）
z?z?z
mnm?n
;(2)(
z
m
)
n< br>?z
mn
;(3)(
z
1
?z
2
)
m
?z
1
z
2
(
m
,
n?N
);

mm


第四章 框图

1

学 海 无 涯





1、流程图
流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．流程图是表述工作方式、工艺流 程的一种
常用手段，它的特点是直观、清晰．
2、结构图
一些事物之间不是先后 顺序关系，而是存在某种逻辑关系，像这样的关系可以用结构图来描
述．常用的结构图一般包括层次结构 图，分类结构图及知识结构图等．


高中数学选修2-2知识点总结

1

学 海 无 涯
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个
命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若
p
，则
q”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命题，如果 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否
定，则这两个命题称为互否命题.中一 个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
5、对于两个 命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否
定，则这两个命题称为互为 逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否
命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
假


四种命题的真假性之间的关系：
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
真
假
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、当
p
、
q
都是真命题时，
p?q
是真命题；
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把命题p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真 命题；当
p
、
q
两个命题都是假
命题时，
p?q
是 假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．

1

学 海 无 涯
若
p
是真命 题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题 ．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
是特称命题．






10、全称命题
p
：
?x??< br>，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x ??
，
?p
?
x
?
．全称命题的否定
第二章 圆锥曲线与方程
一、椭圆
1、椭圆的定义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2）的点的
轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a


1

学 海 无 涯
顶点
?
1
?
?a ,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?< br>1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b< br>?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
3、设?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
?F
2
??e
．
d
1
d
2
二、双曲线
1、双曲线的定义：平面内与两个定 点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）
的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点， 两焦点的距离称为双曲线的焦距．
2、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形



1

学 海 无 涯
x
2
y2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0< br>?

a
2
b
2
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
4、设
?
是双曲 线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1< br>，点
?
到
F
2
对应准线的距离
为
d
2
，则
?F
1
?F
2
??e
．
d
1
d
2
三、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定 点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物
线．定点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
2、过抛物线的焦点 作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为 抛物线的“通
径”，即
???2p
．
标准方程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

1
?
p?0
?

?
p?0
?

学 海 无 涯
图形

顶点
对称轴
焦点


?
0,0
?

x
轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
??
p
??
F
?
0,
?
?

2
??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?
,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
范围
e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

3、抛物线的几何性质：
4、焦半径公式：
p
；
2
p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y??2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
2
若点?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x?2p y
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
p
2
若点
?
?
x0
,y
0
?
在抛物线
x??2py
?
p?0< br>?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
． < br>2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
2
5、“回归定义” 是一种重要的解题策略。 如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，
写出所求 的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，
常用定义结合解三角 形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问
题时，常利用定义把到焦点的距离 转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

1

学 海 无 涯
6、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数 问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元 得到一个一元二次方程（注意在和双
曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相 交、相切、相离的充分
必要条件分别是
??0
、
??0
、
? ?0
.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与 双曲
线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
x
1
? x
2
y?y
2
y?y
?2x
0
,
1
?2y
0
,
21
?k
）
22x
2
?x
1
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
① 直线具有斜率
k
，两个交点坐标分别为
A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
)

2
AB ?1?
k
2
x
1
?x
2
?(1?
k
2
)
?
(x?x)?4x
1
x
2
?
12
??
?1?
1
y
1
?y
2

k
2
② 直线斜率不存在,则
AB?y
1
?y
2
.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（
k
1
k
2
??1
）
注意：
① 圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，
既熟练掌握方程组理论 ，又关注图形的几何性质，以简化运算。
② 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

1

学 海 无 涯
③ 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 :一是建立函数，用求值域的方
法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
④ 注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
⑤ 求曲线轨迹常见做法：定义法、 直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代
入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差 法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交
轨法等。
例1.已知定点
F
1
(
?
3,0),
F
2
(3,0)
，在满足下列条件的平面 上动点P的轨迹中是椭圆的是
（答：C）；
A．
PF
B．
1
?PF
2
?4
D．
PF
1
2
C．
PF

PF
1
?PF
2
?
10< br>1
?PF
2
?6
?PF
2
2
?
12

?
例2已知双曲线的离心率为2，F
1
、F
2< br>是左右焦点，P为双曲线上一点，且
?F
1
PF
2
?60，
S
?PF
1
F
2
x
2
y
2
?1
）
?123
．求该双曲线的标准方程（答：
?
412
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆分方程；
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。
x
2
1
?y
2
?1; m?(,2)
） （答：
32
y
2
?1
相交于两点P
1
、P2
，求线段P
1
P
2
中例4过点A（2，1）的直线与双曲线< br>x
?
2
2
点的轨迹方程。
第三章 空间向量与立体几何
1、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

1

学 海 无 涯
?
2
?
向量可用一条有向线 段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示
向量的方向．
，记作
??
．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模（或长度）为
0
的 向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与 向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
?
1
?
求两个向量和的运算称为向量 的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点
?
为起点的两个已知向量
a、
b
为邻边作平行四边形
??C?
，则以
?
起点的对角 线
?C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和的方法，称为向量加 法的平行四边形法则．
?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循 三角形法则．即：在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
???a?b
．

3、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，
?
a
为零向量，记为
0
．
?
a
的
长度是
a
的长度的
?
倍．
4、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合 律．
分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b
； 结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行

1
??

学 海 无 涯
向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量< br>a
，
bb?0
，
ab
的充要条件是存在
实数
?
，使
a?
?
b
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，
y
， 使
??
???x???y?C
；或对空间任一定点
?
，有
? ?????x???y?C
；或若四点
?
，
?
，
?
，
C
共面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1?
．
9、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
????
称为
向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
．两个向 量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
10、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a
,
b? ?
?
2
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a ?b
．
11、已知两个非零向量
a
和
b
，则
ab cos?a,b?
称为
a
，
b
的数量积，记作
a?b
．即
a?b?abcos?a,b?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．
12、
a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
13、若a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向2
?
a?b?
a?b?a?b?0
；
，
，
a? a?a
；
a?a?a
23
????
?
?aba与b反向< br>?
?
??
??
?
4
?
cos?a,b??< br>a?b
ab
；
?
5
?
a?b?ab
． 14、向量数乘积的运算律：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b ?a?
?
b
；
????
?
3
?
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
15、若
i
，
j
，
k
是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有 序实数组
?
x,y,z
?
，使
p?xi?yj?zk
得，称
xi
，
yj
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k
上的分量．
16、空间向量基本定理：若三个向 量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数

1

学 海 无 涯
组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
17、若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间 向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
．这个集 合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
?
a,b,c
?
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以
构成空间的一个基底．
18、设e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），
以
e
1
，
e
2
，
e
3
的公共起点
?
为原点，分 别以
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正
方向建立空间直角坐标系< br>?xyz
．则对于空间任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它的
起 点与原点
?
重合，得到向量
???p
．存在有序实数组
?
x ,y,z
?
，使得
p?xe
1
?ye
2
?ze3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底
e
1
，
e
2
，
e
3下的坐标，记
作
p?
?
x,y,z
?
．此时，向量p
的坐标是点
?
在空间直角坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z
?
．
19、设
a?
?
x
1< br>,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
5
?
若< br>a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a ?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1< br>?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y1
2
?z
1
2
．
a?b
ab
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
???
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
?
8
?
cos?a,b??
．
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
??< br>?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
??
?
?
x
2
?x
1
?
?< br>?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
222
．
20、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任意一点
?
的位置可以用向量
??
来表

1

学 海 无 涯
示．向量
??
称为点
?
的位置向量．
21、空间中任意一 条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定 ．点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，有
???ta
，这样
点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置 ，还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
22、空间中平面
?
的 位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
?
，它们 的方向向量分别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上 任意一点，存在有序实数对
?
x,y
?
，使
得
???xa? yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确定了平面
?
的位置．
23、直线
l
垂直
?
，取直线
l< br>的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量． < br>24、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a，
b
，
则
ab?ab?
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
25 、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a?
?
，
则
a
?
?a
?< br>?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a ?
?
n
．
26、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a
，
b
，
则
?

?
?ab?
a?
?
b
，
?
?
?
? a?b?a?b?0
．
27、设异面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则 有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
．
28、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量 为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
n
的夹角
为
?
，则有
sin
?
?
cos
?
?
l?n
ln
．
29、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的 两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其
补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l ?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
n1
?n
2
n
1
n
2
．

1

学 海 无 涯
30、点
?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
31、在 直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l的向量为
n
，则定点
?
到直线
l
的距离
为d???
cos
???
,
n??
???n
n
．
32、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，则点
?
到
平面
?
的距离为
d???
cos
???
,
n??
小结：
1. 空间向量及其运算
???n
n
．
①
②
③
a?a?a?x?y?z
d
??
?? ??
2
1
2
1
2
1
,
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1< br>?
?
?
z
2
?z
1
?
222

共线向量定理：
ab?a?
?
b
(b?0)

共面向量定理：
p,a,b共面?p?xa?yb(x,y?R)
；
四点共面
MP?xMA?yMB(x,y?R)

④ 空间向量基本定理
p?xa?yb?zc(x,y,z?R)
（不共面的三个向量
a,b,c
构 成
一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的 法向量）（
a,b
是a,b的方向向量，
n
是平面
?
的法向
量）
线线平行：
ab
?
ab

c
是
?
内不共线向量）
a
?
?a?n
或
ab
，线面平行：
b?
?
或
a?xb?yc(b，< br>面面平行：
?

?
?n
1
n
2

3. 垂直
线线垂直：
a?b
?
a?b?a?b?0


1

学 海 无 涯
c
是
?
内不共线向量） 线面垂直：
a?
?
?an
或
a?b,

a?c (b，
面面垂直：
?
?
?
?n
1
?n
2

4. 夹角问题
线面角 sin
?
=cosa ,n?
a?b
a?b
an
an
,(注意异面直线夹角范围0?
?
?
?
2
)

线面角sin
?
=cos?a,n??

二面角 cos
?
=cos?n
1
,n
2
??
一般步骤 ：
n
1
n
2
n
1
n
2

①求平面的法向量；②计算法向量夹角；③回答二面角
（空间想象二面角为锐角还是钝角或借 助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说
明理由。
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P到平面
?
的距离
d?
|PA?n|
|n|
（ 其中
A
是平面
?
内任一点，
n
为平面
?
的 法向量）
6、立体几何解题一般步骤
1) 坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于 已有的垂直关系构造）；②写点坐标；
③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结 果。
2) 基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。
3)
几何法：
作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；

1

学 海 无 涯
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.
高中数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
1. 平均变化率
?y
f(
x
0
??x)?f(
x
0
)?

?x?x
2. 导数（或瞬时变化率）
f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数)：
f
?
(x)?lim

?x?0
?x
3. 导数的 几何意义：函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
0< br>处的导数
f
?
(
x
0
)就是曲线
y
＝
f
(
x
)在点(
x
0
，
f
(< br>x
0
))
处的切线的斜率，即
k
＝
f
?(
x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(
C
)′＝0(
C
为常数)； ②(
x
)′＝
?
x
?
?
?1
'
(sinx)?cosx
(
x
＞0，
?
?Q
)； ③
'
(cosx)?-sinx
⑤(e
x
)′＝e
x
； ⑥
④
( a
x
)
'
?a
x
lna(a?0,且a?1)

⑦
(lnx)?
1
1
； ⑧
(lo g
a
x)?
(
a
＞0，且
a
≠1)．
xlna
x
(2)导数的运算法则：
①[
u
(
x
)±
v
(
x
)]′＝
u
′(
x
) ±
v
′(
x
)； ②[
u
(
x
)
v
(
x
)]′＝
u
′(
x
)< br>v
(
x
)＋
u
(
x
)
v
′ (
x
)；
③
[
u(x)u
?
(x)v(x)?u (x)
?
v
?
(x)
]
?
?
(
v
(
x
)
?
?
0)
.
v(x)v
2
(x)
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有 导数
u?
x
?
?
?
(
x
)
，函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
处有导数
y?u
?f?
?
u
?
，则复合函数
y?f(
?(x))
在点
x
处也有导数，且
y'
x
?y'
u
?u'
x
或
f?
x
(
?
(x))?f ?(u)?
?
?(x)
。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，

1

学 海 无 涯
乘以中间变量对自变量的导数。
5. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式 表示，注意确定上方函数，下方
函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理
?
b< br>a
f(x)dx?F(x)|
b
?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
6. 函数的单调性 （1）设函数
y?f(x)
在某个区间（a，b）可导，如果
f
(x)< br>?0
，则
f(x)
在此区间上为
'
增函数；如果
f< br>(x)?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间 内恒有
f
(x)?0
，则
f(x)
为常数。
反之，若已知 可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增，则
零；可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调递减，则
求单调性的步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间 形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔
开，不能用“
7. 极值与最值
对 于可导函数
f(x)
，在
x?a
处取得极值，则
f'(a)?0.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)=0
；
”连结。
'
'
f'(x)< br>?
0
，且不恒为
f'(x)
?
0
，且不恒为零.

1

学 海 无 涯
③ 检验
f'(x) =0
的根的两侧的
f'(x)
符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，
还是非极值点.
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直
接说某某就是最大或者最小。
8. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a
”和“
f(x)?a?f(x)
min
?a
” ，注意参数
的取值中“=”能否取到。
例1
1
8
y?x
3
，过
P(2 , )
的切线方程为
3
3
32
例2 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1,x?2
处取得极值。
（1）求
a,b
的值； （2）若对于任意的
x?[0,3]
，都有
f(x)?c
成立，求c的取 值范围。
2
（答：(1)a=-3,b=4;(2)
c?(??,?1)
例3 设函数
f(x)??
(9,??)
）
1
3
x?
2
ax
2
?
3
a
2
x?b
,0
?a ?
1.

3
（1）求函数
f(x)
的单调区间、极值.
（2）若当
x?[a?1,a ?2]
时，恒有
|f
?
(x)|?a
，试确定a的取值范围. （答：（1）
f(x)
在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单 调递减；
x?a
时，
f
极小
(x)?b?
4
34
a
，
x?3a
时，
f
极小
(x)?b
（2）a的取值范围是
[,1)
）
5
3
第二章 推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对 象都具有这种性质的推
理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据 两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事
物类似的性质的推理 ,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:

1

学 海 无 涯
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之 间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某
些性质上相同或相似,那么他们在 另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能
是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的 相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比
得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；
B.假设在n=k时命题成立
C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这 两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
n
0
,且
n?N
)结论都 成立。
考点四：证明
1. 反证法:
2. 分析法:
3. 综合法:
第三章 数系的扩充和复数的概念
考点一:复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b
分别叫它的实 部和虚部.

1

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(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,
叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部
分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
考点二：复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设
z1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
则
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i

z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i

z
1
(ac?bd)?(ad?bc)i
?(z
2
?0)

22
z
2
c?d
2,几个重要的结论
2222
(1)
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|?2(|z
1
|?|z
2
|)

22
(2)
z?z?|z|?|z|

(3)若
z
为虚数,则
|z|?z

22
3.运算律
(1)
z?z?z
mnm?n
;(2)
(z)?z
mnmn
nnn
;(3)
(z
1
?z< br>2
)?z
1
?z
2
(m,n?R)

4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）
i??1
（2）
i??i
（3）
i?1
（2）
i?i


1
23
4
nn?2
?i
n?3
?i< br>n?4
?0

学 海 无 涯


高中数学选修2-3知识点总结
第一章 计数原理
一、概念
1、分类加 法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1
种不同的
方法， 在第二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有M
N
种不同的 方法，
那么完成这件事情共有M
1
+M
2
+……+M
N种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m 1种不同的
方法，做第二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成这件事共有
N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。 3、排列：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)个元 素，按照一定顺序排成一列，叫做从
n
个
．．．．．．
不同元素中取出
m
个元素的一个排列
4、排列数：
A
m
?n(n?1)?(n ?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
5、组合 ：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组， 叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合。
m
mn
n

m
A
m
n
(
?)
1< br>?
(n
(
??1)
1)
m
m
n!
n !
A
n
1
?)
?
n
m
?m?
n< br>n
n(
n
6、组合数：
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C?
n
?
n
m!m!( n
A
m
m!m!(
?
n
m
?
)!
m)!
A
m

n?m
C
m
?C
nn
;


1m
C
m?
n
?C
m
?C
nn?1

n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Ca b?…?Cb

nnnnn
7、二项式定理：
rn?rr
8、二项式通项公式
展开式的通项公式：T
?
Cab
(
r
?0
，
1
……n
)
r?1n

1

学 海 无 涯
二、排列、组合问题技巧方法
一、不相邻问题——插空法
插空法：对于某两个 元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限
制条件的元素，然后将有限制条件 的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省 用电而又不能影响正常的照明，可
以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯 ，则熄灯的方法有
（ ）
A．C
11
3
种 B．C
9
3
种 C．C
8
3
种 D．A
8
3
种
解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两 端的灯不能熄灭，则有8个
符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C8
3
种方法，故选C
二、相邻问题——捆绑法
捆绑法：要求某几个元 素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的
元素合并为一个元素，再与其它元素 一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排
列。
（2011石景山一模理6）．某单位 有
7
个连在一起的车位，现有
3
辆不同型号的车需停放，
如果要求剩 余的
4
个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．
16
B．
18
C．
24
D．
32

三、特殊元素 “优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素
(2011门头沟一 模理7)．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体
育不在第一节上,数学不在第 六、七节上，这天课表的不同排法种数为
75
（A）
A
7
?A
5
（B）
A
4
A
5

25
（C）
A
5
A
6
A
5

115

6115
（D）
A
6
?A
4A
5
A
5

四．选排问题——先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
例、四个不 同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________

1

学 海 无 涯
种
五、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
例：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那
么不同的
排法种数有（ ）
A．24种
C．90种
B．60种
D．120种
六、分排问题用“直排法
”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处
理.
七、名额分配问题隔板法:
例：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
八、“至多”、“至少”问题间接法
例1从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至 少要甲型和乙型电视机各一
台，则不同取法共有
[ ]
A．140种
C．70种
B．80种
D．35种

九、涂色问题：
思路：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法
例、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相

1

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邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法（260）

2 1
方法一（基本方法）对每个区域分步涂色，再根据分布计数原理相乘起来。
3 4
方法二：根据总共用了多少种颜色讨论
方法三：根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论
第二章 随机变量及其分布
1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验
的结果的不同而变 化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或
希腊字母 ξ、η等表示。 < br>2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我
们可以 按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的, 设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i< br>(i=1,2,......）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，
简称分布列

4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．
5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任

1

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取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P
(
X?k
)
?
(
k?
0,1,2,
n
C
N
,
m
)
，
其中
m?min
?
M,n
?< br>,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、条件概率：对任意事件 A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B的概率
8、公式：

P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)

9 、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事
件叫做 相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随
机 变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么
kkn?k< br>?C
n
pq
P(
?
?k)
在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称
为期望．是离散型随机变量。

1

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13、方差:D(ξ)=(x
1
-E ξ)
2
·P
1
+（x
2
-Eξ)
2
·P< br>2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简称
方差。
14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布
期望
Eξ=p
方差
Dξ=pq，q=1-p

二项分布，ξ ～ B（n,p） Eξ=np Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?

1
e
2
??
?
(x??
)
2
2
?
2
,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

1

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②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限延伸时，
以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散；
?
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小
概 率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
第三章 统计案例
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：


x
1

x
2

总计
y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计
a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关
系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中 的数据算出随机变量

1

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K^2的值（即K的平方） K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中
n=a+b+c+d为 样本容量，K
2
的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95% 可能性有关；K
2
>6.635时X
与Y有99%可能性有关
2、回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
1
x
?
y
?
n
?
其中
b?
1
22
?
x?
n
(
?
x )
?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
?

a?y?bx

SS
?
(x?x)< br>2
x
3、什么是回归分析，它的步骤是什么？
答：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
其步骤：收集数据
?
作散点图
?
求回归直线方程
?
利用方程进行预报.
4、 线性回归模型与一次函数有什么不同？
答：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
5、什么是残差？
?
i
?y
i
?y
?
i
.
答：样本值与回归值的差叫残差，即
e
6、什么是残差分析？
答：通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工
作称为残差分析.
7、如何建立残差图？
答：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横 坐标，作出的图形称
为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用 的模型比
较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
8、建立回归模型的基本步骤是什么？
答：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

1

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（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观 察它们之间的关系（如是否存在
线性关系等）；
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观 察到数据呈线性关系，则选用线性回归方
程y＝bx＋a）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是 否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规
律性等等），若存在异常，则检查数据是否有 误，或模型是否合适等。
9、什么是总偏差平方和？答：所有单个样本值与样本均值差的平方和，SST?
10、什么是残差平方和？答：回归值与样本值差的平方和，即.
SSE?n
?
(y
i?1
i
?y)
2

?(y
i?1
n
i
n
?
i
)
2

?y
i
11、什么是回归平方和？答：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
2
?
(y?y)
?
ii
n
?
?< br>(y
i?1
?y)
2
.
2
R?1?
12、 什么是相关指数？答：
?
(y?y)
i
i?1
i?1
n2

13、非线性回归模型的方程是什么？
y?e
bx?a

14、如何根据观测数据判断两变量的相关性？


1