高中数学课程标准解读

(1) 结合正常的课堂教学，在部分环节上“切入”应用和建模的内容，

(2) 以数学应用和数学建模为主题的课外的活动，


(3) 数学建模选修课程。


数学文化具有十分丰富的内涵。一般来说，数学文化表现 为在数学的起源、
发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包
括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，人的思维的训练功能
和发展人的创造性思维 的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来
的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等等 。


认识数学文化的价值是理解数学文化的重要方面。这种价值体现在数学对
于人的观念、精神以及思维方式具有十分重要的影响，特别是数学的理性精神。
事实上，在我们以往的 教材和数学教学中一直在体现客观地存在于数学中的无形
的数学文化，数学文化与数学同在，只要有数学 ，就一定有数学文化。

“课标”教材通过阅读与思考、探究与发现等拦目，体现“课标”对 数学探
究、数学建模、数学文化的要求。如在模块1中的“函数概念的发展历程”“互
为反函数 的两个函数图象之间的关系”“对数的发明”“中外历史上的方程求解”；
模块2中的“祖 ？原理与柱 体、锥体、球体的体积”“笛卡尔与解析几何”“欧
几里得《原本》与公理化方法”等。

2．与“大纲”相比较，对高中数学内容的整体回顾和比较

以下我们首先从内容的 安排上对高中数学内容作一回顾和比较，以便使大
家从整体上对新课程的变化有一个大致的了解。




（1）代数

“大纲”课程 “课标”课程



集合 必修1

常用逻辑用语（简易逻辑） 选修1-1，2-1

函数 必修1

指数函数，对数函数，幂函数 必修1


三角函数，三角恒等变换， 必修4


解三角形，数列，不等式 必修5

复数 选修1-2，2-2

（2）几 何

“大纲”课程 “课标”课程



立体几何初步 必修2

空间向量与立体几何 选修2-1

平面解析几何初步 必修2

圆锥曲线与方程 选修1-1，选修2-1

平面向量 必修4





（3）概 率 统 计


“大纲”课程 “课标”课程

统计 概率 必修3

统计案例 选修1-2，选修2-3

概率 选修2-3

计数原理 选修2-3



（4）微积分

“大纲”课程 “课标”课程





极限（只限理科学生） 选修1-1，选修2-2

导数




（5）新增内容

算法 必修3

推理与证明 选修1-2，选修2-2

框图 选修1-2

统计案例 选修1-2，选修2-3

函数与方程 必修1

函数模型及其应用 必修1




3．代数有关内容的要求、变化及其原由


（1）函数内容的要求、变化及其原由

对函数内容的要求与变化旨在加强对函数本质的理解。

——关于函数内容的整体定位和基本要求：

?

把函数作为刻 画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习，是一种通
过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对 应关系的数学模型；


?

强调对函数本质的认识和理解，因此要求在高中数学学习中多次接触、
螺旋上升；

?关注背景、应用、增加了函数模型及其应用。

?削弱和淡化了一些内容，如函数的定义域、值域，反函数、复合函数等。

?

注重思想和联系——增加了函数与方程、用二分法求方程的近似根。

希望通过方程根与函数零点的内在联系，加强对函数概念、函数思想及函数
这一主线在高中数学 中的地位作用的认识和理解。并通过用二分法求方程近似根
将函数思想以及方程的根与函数零点之间的联 系具体化。

二分法是求方程近似根的常用方法，更为一般、简单，能很好地体现函数思< br>想，“大纲”只是用“三个二”解决根的分布问题。

?

合理地 使用信息技术，旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质。
应注意的是，现代信息技术不能替代艰苦 的学习和人脑精密的思考，信息技术只
是作为达到目的的一种手段，一种快速计算的工具。

——对函数“三要素”要求的变化

强调的是了解函数的构成要素和函数概念的整体性。对于定义域和值域，只
要求 会求一些简单函数的定义域和值域，减弱了求定义域、值域的要求，尤其是

要避免人为地编制一些求定义域和值域的难题、偏题，进行过于繁琐的技巧训练。
这是与原有 内容很不同的地方。

——关于“反函数”的变化


弱化 了反函数的概念，只以具体函数为例进行解释和直观理解，通过比较同
底的指数函数和对数函数，说明指 数函数 y＝ax (a＞0，a≠1）和对数函数 y＝
logax (a＞0,a≠1）互为反函数 。不一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求
已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的图象间关 于直线 y=x 对称的性质，
只通过具体函数讨论。


为什么有上述 要求的变化？首先是从数学上考虑，其次是针对现实教学中的
情况。希望帮助学生更好地从整体上认识和 理解函数的本质，而真正理解函数概
念是不容易的。因此，不要在过于细枝末节的非本质问题上作过多的 训练，有了
定义域和对应关系，值域自然就定了。那些人为地编制的一些求定义域和值域的
难题 、偏题，进行过于繁琐的技巧等训练，对于后继课程的学习不仅没什么用，
更没有理论意义，过于形式化 的训练也不能帮助学生更好地认识函数本质。此外，
“课标”建议先讲函数再讲映射，也是为了帮助学生 把注意力集中在函数本身，
更好地理解函数，希望能对教和学起到良好的导向作用。


（2）指、对、幂函数的要求、变化及其原由

?

对于指、对、幂数函数的学习，一方面是作为对函数概念学习的具体化，
把他们作为具体的函数模型来学 习；另一方面他们是基本初等函数，出于基础性
的考虑，与“大纲”相比又加上了幂函数。

?

突出背景和应用，把指、对、幂函数作为三种不同的函数增长模型。安
排了“幂增长、指数增长、对数增长的比较” 。这是因为在现代生活中，经常碰
到“函数增长”、“指 数爆炸”等概念，因此“课标”要求结合实例体会指数函数、
对数函数以及幂函数增长差异，认识直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数
类型增长的含义。

?

无理指数幂。但是只要求通过实例了解无理指数幂，体会“逼近”思想。

（3）三角函数的要求、变化及其原由

?

作为对函数概念学习的具体化，把他们作为具体的函数模型来学习。

?

突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质,增加了“三角
函数模型的简单应用”，提 高了对解三角形应用的要求。

?

以“实际问题——定义、诱导 公式——图象与性质——实际应用”
为内容线索展开，加强整体性和联系。

?

重视数形结合思想的学习，如借助于单位圆理解三角函数的定义、
借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式、同角三角函数的关系等。

?

类少了，公式少了，更强调基楚性和数学的简约性，如删去了余切、
正割、余割的定义，公式只 保留了11个，重在培养学生的推理和运算能力。

?

删去了大 纲中“已知三角函数值求角”、“反三角函数”等内容；
降低了“给角求值”、“三角恒等式证明”、公 式推导等要求。

变化的原由在于“削枝强干”，体现新课程注重基础，强调整体性和联系 的
基本理念，体现数学的求简精神。加强新课程的思想性，不只是教知识、训练技
能技巧，还要 渗透思想方法，帮助学生学会数学思考，培养能力，培育意识。

（4）数列的要求、变化及其原由

?

将数列、等差数列和等比数列都作为一种特殊的函数、作为反映自然
规律的基本数学模型来学习 ，加强了与函数的联系，更注重背景和应
用。

?

要求学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等
比数 列这两种数列模型 ，探索并掌握它们的一些基本数量关系，
感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们初步解决一些实际 问题。

?

对于数列的概念、通项公式的要求比“大纲”低了 。前者只是了解，
后者与列表和图象是同等地位，没有单独提出来。

?

在对等差、等比数列的知识要求上与“大纲”大致相同，只是“课标”
更关注学生的参与和发现 、背景和应用，以及与函数的联系。

由上要求与变化可知，以往比较注重数列中各量之间关 系的恒等变形。而“课
标”对数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。< br>数列是一种离散函数，它是一种重要数学模型。日常生活中遇到的许多问题，如
贷款、利率、折扣 ，人口的增长，放射性物质的衰变等都可以用等差数列和等比
数列来刻画。等差数列、等比数列又是一次 函数、指数函数的离散化。总之，希
望能从函数的观点、模型的观点、连续与离散的关系等角度认识数列 ，突出数列
的本质。




（5）不等式的要求、变化及其原由

?

在知识上删 去了解绝对值不等式和解分式不等式的要求；删去了不等
式的证明；只要求会解一元二次不等式，不要求 会解多元不等式。不
要求用基本不等式作推理证明。


?

提高了对不等式背景和应用的要求，例如：强调基本不等式在解决简
单的最大（小）问题中的作 用。

?

关注不等式的几何意义。

由上 要求和变化可知，对于不等式的内容，以往的课程比较关注不等式作为
研究函数的一个工具，关注不等式 的解法。而新课程更多的是关注不等式是刻画
和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述刻 画优化问题的一种数
学模型；淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的实际背景及其应用，例如，将线性规划问题作为不等式的应用来处理；突出了不等式的几何意义及在解
决优化问题中的作用 。希望能为学生理解不等式的本质，体会优化思想奠定一定
的基础。

4．几何课程内容的要求、变化及其原由

（1）关于几何课程的整体定位和基本要求

“课标”指出：三维空间是人类生存 的现实空间，认识空间图形，培养
和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的 能力
以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列几何课程的基本要求。在立体
几何初步部分， 学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；
再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、 线、面的位置关系；能用数学
语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将
了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。在必修课程的立体几何
中，主要是通过直观感 知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的

推理发现、论证一些几何性质。对于 进一步的论证与度量则放在选修系列2
中用向量处理。

解析几何的本质是用代数 方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的
重要数学思想。在平面解析几何初步中，学生将学习在平面 直角坐标系中建
立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关
系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解
决几何问题的能力。圆锥曲线与方 程的内容则放在选修系列1、2中。

为了更好地体现“课标”的目标和要求，几何课程设置有较大的变化：

首先，“ 课标”对几何课程的内容是分三个层次设计的，即必修课程中的几何，
选修系列1、2中的几何，选修系 列3、4中的几何。必修课程中的几何包括立体
几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。选修 系列1、2中的几何包
括圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修系列3、4中的几何主要包括球< br>面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等专题。

其次，与“大纲”课程中 的立体几何内容相比，“课标”中立体几何内
容的变化还表现在内容的定位、处理方式等方面的变化。< br>
（2）立体几何的定位、内容处理的变化及其原由

“课标”中的立体 几何定位于全面看待立体几何的教育价值：培养和发
展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语 言进行交流的能力及几
何直观能力；培养和发展学生的推理能力，包括逻辑推理能力和合情推理能
力等。


在处理方式上，与以往从局部到整体展开几何内容的方式不同，“ 课标”
是按照从整体到局部的方式展开几何内容的，并突出直观感知、操作确认、
思辨论证、度 量计算等探索研究几何的过程，当然，在具体教学中，整体与
局部、宏观与微观应该是有机联系的，并且 应注重三种语言的使用和转换训
练。

内容的分层设计不仅体现在上面所说的分必修 ；选修1、选修2；选修3、
选修4三个层次。在必修课程中，也是分层次设计的：考虑到形状是空间几
何体的结构特征，因此“课标”建议首先借助于丰富的实物模型、图片，或
运用计算机软件所呈 现的空间几何体，通过对这些空间几何体的整体观察、
思考等活动，概括出柱、锥、台、球的结构特征， 结合画三视图和直观图作
进一步认识，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构。在上述基础上，以长方体为载体，直观认识和体会空间的点、线、面之间的位置关
系，抽象出空间线、面的 位置关系（平行与垂直）的定义，并了解一些可以
作为推理依据的公理和定理 。再以空间几何中的定义 、公理和定理为出发点，
通过直观感知、操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。至
于判定定理，在选修系列 2-1中，用向量的方法加以严格的证明。概括地说，
内容处理上的变化主要体现在：

?

从整体到局部的设计，希望能更贴近学生的认知规律，这是一个大的
变化。

?

合情推理与逻辑推理的有机结合，希望避免以往几何课程中以论证几< br>何为主线展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生带来的困
难，使学生在较为自然的探索 过程中学习数学的思考方式。

?

强调自然语言、图形语言、符号语言等三种语言的协同训练。

?

体现直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的几何学习过程。

?

增加了三视图、空间坐标系。


变化的目的，一是希望能增进学生对几 何本质的理解，培养学生对几何
学习的兴趣；二是希望更贴近学生的认知规律，克服以往以论证几何为主 线、
从局部到整体展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生认知带来的
困难，使学生在 较为自然的探索过程中学习几何。此外，对于解决几何学习
容易造成学生两极分化的问题也是有帮助的。 三是对现实立体几何教与学中
问题的思考，希望降低立体几何入门的门槛，把学习的难点分散。


（3）平面解析几何的变化及其原由

相对来说，这一部分的内容变化 要小一些。主要是更加强调了解析几何
方法的灵魂及其体现。目的是帮助学生更好地领悟解析法，习惯于 从数和形
两个角度去思考问题、处理问题，这也是学习数学的基本方法。

?

强调数形结合是解析法的灵魂。数形转换、数形结合这一重要的思
想。具体体现在：

在直线与方程、圆与方程的内容中，首先探索确定直线和圆的几何要素，
用坐标表示他们，再根 据确定直线和圆的几何要素探索建立直线和圆的
方程的几种形式。


?

强调几何背景和学生发展的需要。例如，与“大纲”课程相比 ，“课
标”更关注圆锥曲线的来龙去脉，关注其几何背景。并改变了原来缺乏
层次、要求单一的 设计，对于不同的学生设计了不同的层次，如对希望
在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆 这一特殊的圆锥曲
线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做
在很大 的程度上，是关注学生自身的发展与需要。




5．概率统计的要求、变化及其原由

（1）概率统计的整体定位和要求

现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取
有价值的信息，作出 合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的
学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机 现象在日常生活中随处可见，概率
是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维 模式和解
决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础
知识已 经成为一个未来公民的必备常识。

“课标”要求学生在义务教育阶段学习统计与概率的基础 上，通过实际问题
情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归、独立性检验等基本方法，体会
用样本估计总体及其特征的思想。通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集
与处理的全过程，体会 统计思维与确定性思维的差异。

结合具体实例，学习概率的某些基本性质、简单的概率模型 、随机变量及其
分布等知识，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单
随机事件发生的概率。


在选修2-1和选修2-3中增加了统计案例，通过对 典型案例的讨论，了解和
使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，
认识统计方法在决策中的作用。

在选修2-3中还将学习计数原理、随机变量及其分布等。

（2）与“大纲”的整体比较

内容上：加强了统计（抽样理论，估计理论)、 概 率定义，古典概型；增加
了几何概型、统计案例（回归分析，假设检验），随机变量及其分布等。其目的
是为了加强对统计思想的认识和理解；培育参与意识以及培养运用统计思想解决
实际问题的能力 。

结构上: 文、理科中的统计由选修变为必修，这“课标”课程的模块结构
引起 的变化。由先概率后统计变为先统计后概率，这是希望能更好地体现自然的
认识过程——概率是研究随机 现象规律性的科学，而人们在对随机现象认识的过
程中，首先要进行一些统计工作，经过大量的统计数据 ，才能从中发现随机现象
的规律性。由先计数原理后概率变为先概率后计数原理，目的是希望加强对概率
本身的认识，更好地认识概率的思想和本质。

教学上: 由图表、数据的计算转变 为强调概率、统计的思想,参与和运用概
率、统计思想解决实际问题的能力。

（3）为何在统计教学中要强调案例教学

新课程对统计内容的学习强调通过具体实 例和案例的学习。首先是因为统计
的研究对象使得统计与其他数学内容有很大的差别：其他数学内容更强 调演绎推
理，而统计问题往往是根据具体事物归纳出来的，所以更强调归纳的过程。其次
是因为 中学生的基础和认识水平，决定了学习统计不应该是从定义定理出发，而
应该是从具体的实例出发，这样 做有助于学生了解解决统计问题的全过程：提出
统计问题，收集数据，整理、分析数据，提取信息，得出 推断，做出预测与决策；
有助于学生了解统计基本概念（如总体和样本）；有助于学生掌握用统计解决问
题的基本方法，并在解决问题的过程中进一步加深理解统计的基本思想。

好的统 计案例，应从下面几个方面考虑：一是问题来自学生的生活实际或是
现实问题；二是问题能体现出统计思 想；三是能引起学生的兴趣并适合学生的认
知水平；四是便于使用信息技术。




（4）概率的变化及其原由

在自然科学和社会科学以 及市场经济中，人们遇到了越来越多的随机现象。
对随机现象的正确认识是每一个公民应有的文化素质。 这也正是“课标”设置概
率课程的基本目的。

概率课程的一个大的变化是先学概 率后学计数原理。过去中学的概率学习是先学
计数原理后学概率，用排列组合计算古典概率会带来一些方 便，但是，排列组合
的题目可以很难，学习的重点自然就会变成了如何计数，而不是如何认识和理解随机现象。造成的结果是学生学完后计数原理忘了，不会算了，就留不下东西，
不能很好地认识周围 发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。“课标”更强
调对随机现象的认识，强调对概率本质的认识 ，因此，在学习计数原理后再学概
率，希望能帮助学生更好地认识随机现象，认识概率的本质。有利于学 生的终身
发展，这是“课标”基本理念的具体体现。


6．微积分内容的要求、变化及其原由
在高中数学新课程中，“导数及其应用”这部分内容 的要求和处理有了较大的变化，这
是基于“课标”突出数学本质、为学生的终身发展、更好地适应社会发 展和对人才需求的基

本理念。
“导数及其应用”分别安排在选修系列1-1 和选修系列2-2中学习。其中，对导数概
念的认识、导数在研究函数性质中的应用，以及生活中的优化 问题举例等内容，选修系列
1-1和选修系列2-2的学习和教学要求基本上是一样的。稍有区别的是在 选修系列2-2中，
增加了定积分与微积分基本定理的内容；此外，对运算的要求略有提高。选修系列2 -2比选
修系列1-1增加的有：（1）关于导数的运算，常见函数的导数增加了求
函数的导数 ；增加了求简单复合函数导数（仅限于形如
两个
）。（2）增加了定积分概
念和微积分 基本定理。因为考虑到理科对数学的实际要求多一些、也高一些。
“课标”对这部分内容的调整进行 了反复的研究与思考：为何在我国中学数学中微积分
会出现几进几出的安排？如何使学生感受学习导数的 必要性，帮助学生了解导数在研究函数
性质和生活中涉及的导数的初步应用？如何使学生较好地认识导数 的本质，不仅将导数作为
一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习？如何更有效地学习导数的相关 内容？如何
渗透算法思想、以及与现代信息技术的整合？等等。下面我们对上述问题作简要分析。
（1）我国中学数学课程中微积分几进几出的主要原因

因，除了高考影响外，主要原因是定位不当：



“课标”研制前期首先分析了微积分在我国中学数学课程中几进几出的原


?

把中学微积分内容作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放。学习的
是压缩简编的微积分，是按照微积分学科体系的基本线索：极限理论
连续理论导数与微分积分理 论微积分基本定理展开的。

?

先讲极限概念，把导数作为一 种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概
念就成了学生学习的障碍。一是学习形式化极限本身带来的困难 ，二是
把导数作为一种特殊的极限来学习，对导数概念缺乏感受和认识。

?

无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教和学，
会用公式和法则进行计算，一旦公式和法则忘记了，就留不下什么东西
了。严重影响了对导数概 念本身的认识和理解。造成的结果是：大学不
受欢迎，存在着炒夹生饭现象，中学也感受不到学导数的好 处，反而加
重了学生的负担。

（2）“课标”对“导数及其应用”内容的基本定位
?

强 调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重
要的思想、方法来学习。
?

全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、 研究函数
单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具——导
数的广 泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：人类文明与科技、社会的
发展对微积分创立的促进作用， 以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义
和价值。


?

体现数学的教育价值。

（3）处理方式上的变化及其原由
与原有教材相比较，“课标”在内容的处理上有很大的变化，主要表现在：
?

突出导数概念的本质，感受和领悟微积分的基本思想，而不是学习压缩
简编的微积分

不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处
理，而是直接通过实际背 景和具体实例——速度、膨胀率、效率、增长率等
反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化 率到瞬时变化率的过
程，并通过提出恰当的问题使学生感受学习瞬时变化率的必要性。然后，在
对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。例如，通过问题“ 研
究高台跳水运动员从腾空 到进入水面的过程中不同时刻的速度”以及恰当的
问题，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬 时速度的概念,为抽
象出导数概念作准备。体会导数的思想，体会导数与变化率的关系：凡变化
的对象，都有变化率的问题，导数就是某个时刻的瞬时变化率。现代社会中
存在着大量这样的问题，新课 程希望给学生对他今后的学习和步入社会后，
能留下对微积分的一些实际认识。

动参与数学教学活动的基本理念。

?

强调导数在研 究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优
化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受 和体会导数在处理上述
问题中的一般性和有效性。



同时也体现“课标”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学，主


应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数
在解决数学问题和实际问题中 的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价
值。

?

淡化计算
针对以往微积分教学中的问题，以及“课标”对这部分内容的定位——强调对导< br>数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。因此，在
处理导数的计 算时，首先对几个常见的函数（如：），用
导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的 导数以及导数的运算法
则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，而且明 确
指出“要避免过量的形式化运算练习”。与选修系列1-1相比，选修系列2-2对运算的
要 求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如
?

重视几何直观等思想方法的渗透和学习
）的导数。
反复通过图形去认识和感 受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决
问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的 作用。以往对导数几何意

义的处理和要求是较弱的，“课标”提高了对导数几何意义以及 用导数的几何意
义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学
中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用：

导数作为刻画函数变化的瞬 时变化率，能从数量上反映函数在一个点附近的变化情况，
导数的符号可以反映函数是增还是减，导数绝 对值的大小可以反映函数增减的快慢。我们知
道，函数的单调性是指当自变量增加（减少）时，函数值是 增加还是减少？从函数图象即几
何的角度看，就是函数图像“走势”的变化规律：是上升还是下降？而上 升或下降的快慢，
即图象“走势”是“平缓”还是“陡峭”可以通过导数绝对值的大小反映出来，“课标 ”希
望结合函数图象帮助学生认识和理解导数在研究函数单调性中的作用，使他们对函数的单调
性有一个更完整的深入的认识和理解。
?

关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合
“算法”是高中课程中新增加的内容，“标 准”明确指出：算法是数学及其应用的重要
组成部分，渗透算法思想是算法学习的一个重要方面，与信息 技术的有机整合也是“课标”
的一个基本理念。因此，“课标”建议在阅读材料中，通过介绍用切线法求 方程的近似解，
来渗透算法思想，以及与信息技术的有机整合。


总之 ，为了更好地体现课程改革“进一步提高未来公民所必要的数学素养，
以满足个人发展与社会进步的需要 ” 的总目标，体现课程的时代性和基础性、
强调本质、强调联系的基本理念；也是基于对我国中学数学 课程中微积分内容几
进几出原因分析，以及对微积分教学现状的思考。“课标”对“导数及其应用”内容的处理有了上述变化，并提出了相应的要求。

7．新增内容及增加的原由
新课程的基本理念之一是要与时俱进地认识“双基”。因此，除了在一 些原有内容的要
求和处理上有相应的变化外，还增加了算法、推理与证明、框图、统计案例等新的内容。
（1）算法


算法是高中数学课程中的新增内容，其基本思想是非常重 要的，例如，带余除法、运用
消元法解二元一次方程组、求最大公因数、用二分法求函数零点等都是体现 算法及其基本思
想的典型实例。因此，“算法”一词虽然对中学数学内容来说较为陌生，但并不神秘。
——增加的原由
增加“算法初步”是“课标”基本理念的具体体现
“课标 ”指出，算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现
代信息技术飞速发展，算 法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社
会生活的许多方面，算法思想已经成为 现代人应具备的一种数学素养。增加“算法初步”是
“课标”时代性、与时俱进地认识“双基”的基本理 念的具体体现。
下面我们对这部分课程的内容与要求，以及应注意的问题等方面作简要的分析。


——课程内容与要求
?

整体要求
对“算法初步” 的整体要求是：在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对
具体数学实例的分析，体验程序框图 在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设
计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本 思想以及算法的重要性和有效性，发展有

条理的思考与表达的能力，提高 逻辑思维能力；将算法的学习渗透在整个高中数学课程的学
习中。

?

课程内容与要求
①算法的含义、程序框图
通过对解决具体问题过程与步骤 的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的
思想，了解算法的含义。
算法至今 没有一个统一定义。因此，“课标”要求通过对解决具体问题步
骤的概括，如解二元一次方程组的步骤， 给出算法的含义：算法通常是指按照一
定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。在此基础上，还可通 过一些实例，
如质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题，分析其算法步骤
以 帮助学生进一步理解算法的基本含义。

通过解决具体问题的步骤来表达算法的含义通俗易懂 ，但是不够准确，算法
的基本结构也不清晰。因此，“课标”建议通过框图形式表示具体问题的解决，< br>如“质数的判定”的算法，介绍算法的基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循
环结构），以及用 程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法
步骤更直观，也更准确．
< br>“课标”要求通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过
程。在具体问题的解决 过程中（如三元一次方程组求解等问题），使学生体验为
了有条理地、清晰地表达算法，需要将解决问题 的过程整理成程序框图；理解程
序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构。

顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构，从理论上来说，任何 复
杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现。框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最
好 方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素。因此，将这三种基本逻辑结
构的教学与程序 框图的学习结合起来，不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度，也为学
习程序框图的画法提供了前提 条件。此外，也希望让学生认识到学习三种基本逻辑结构与程
序框图对于“有计划按步骤”地完成一件事 情的好处，发展有条理地思考和数学化地表达的
能力。


②基本算法语句

在现代社会中，越来越多的事情可以由计算机来完成，而计算机 完成任何一项任务都需要算法，因此算
法是计算机科学的基础。但是，用自然语言或程序框图描述的算法 计算机是无法“理解”的，因此我们需要将算
法用计算机能够理解的语言表达出来，这就是通常所说的程 序与程序设计，所用的语言称为程序设计语言。
程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成 的，与程序框图中介绍的算法的三种基本逻辑结构相对
应，“课标”要求理解几种基本算法语句——输入 语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会
算法的基本思想。
③通过阅 读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，
增强民族自豪感
中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就，是数学文化的重要组
成部分。中国古代数 学著作《九章算术》是其中的杰出代表。此外，中国古代数学中的割圆
术、多项式求值的秦九韶算法等也 都是体现算法及其思想的典型算法案例，“课标”建议选
择相应的内容作为阅读材料，使学生体会中国古 代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自
豪感。


——应注意的问题

①

强调算法基本思想


中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法初步 知识外，更重要的是使学生接受算
法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标。因此，无论是算法 的含义、三种基本逻
辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）、程序框图及其画法、五种基本算法语句 （输入
语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程序的编写，更多的应关注算法
思想的提炼，而不是把注意力放在更多的算法知识的学习上。
②

算法学习必须通过实例进行
使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。 有条件的学校，应鼓
励学生尽可能上机尝试。
与其它数学内容的学习相比较，算法学习的一 个最大的特点就是操作实践性强。因此，
在安排具体内容时，要求结合具体例子安排算法知识的学习。例 如，可用学生熟悉的“二元
一次方程组的解法”介绍算法的含义，使学生明确算法实际上就是解决问题的 一种程序性方
法，它通常指向某一类问题．；用“质数的判定”的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻
辑结构；“用二分法求方程的近似解”介绍程序框图的画法；用“计算1＋2＋?＋100的值”
介绍直到型与当型两种不同的循环结构与循环语句，等等。

如果条允许，尽 可能的让学生上机实现，或模拟上机实现，这是检
验学生学习算法的一种方式，也是学生比较感兴趣的部 分。在实例教学中让学生
理解和初步掌握算法的基本思想和操作过程。通过模仿、操作、探索，经历“写
出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证”的全过程，并由此落实算法
教学内容。
③

突出教学重点，体会算法思想


切忌将算法课变成程序设计课。应该抓住用程序框图表示算法这个核心突出教学重点，
突破程序框图的 画法这个难点，理解算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句的对应关系，
通过具体算法案例所蕴涵的算 法思想，重点培养学生利用算法解决问题的意识，并明确自然
语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不 同形式的算法，它们体现了算法逐渐“精确”的
过程。
④

充分关注算法思想在其它数学内容中的渗透
不仅在必修3中的算法教学应注意将算法与其 它数学内容联系，而且还应充
分关注将算法思想渗透到后续的高中数学课程的学习中去，鼓励学生尽可能 地运
用算法解决相关问题。例如，在概率教学时，我们可以给出以下的例子：“天气
预报说，在 今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％。这三天恰有两天下雨
的概率是多少？”试利用整数型随机 数设计算法，估计概率。

（2）推理与证明
——增加的原由
我 们都知道，推理与证明贯穿于整个数学课程，对于它的系统学习是新课程的一个变
化。目的是希望能对以 前所学知识与方法作一个总结、归纳，并对后继学习起到促进的作用；
希望通过此内容的学习，使学生进 一步学会数学的学习和思考方式，为步入社会起到促进学
生发展的作用。
——应关注的问题


?

推理与证明是数 学的基本思维过程，是学数学、做数学的一种基本功，也是人们学

习和生活中经常使用的 思维方式，是发展理性思维的重要方面。
?

合情推理具有猜测和发 现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎
推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的 作用，是公理体系中的基本推理方法。
两者紧密联系、相辅相成，对它们的系统学习有利于培养和发展学 生的逻辑思维能
力和创新思维能力，发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作
用，体会证明的功能和特点，以及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有
据的习惯。
?

通过变隐性为显性、分散为集中，通过挖掘、提炼、明确化，使学生知 道：数学与
其它学科的不同除了研究对象不同之外，最突出的就是数学对象内部的真确性必须
用 逻辑推理的方式来证明，在证明过程中不仅用到演绎推理，而且要用到合情推理，
尤其是对一些较为复杂 的问题，演绎推理与合情推理经常是交替使用的。
?

使学生懂得如何 学会数学地思考，感受和体会推理与证明在学习数学以及日常生活
中的意义和作用，提高数学素养。
?

在教学中，要力求通过恰当选择有关内容，可以从已学的内容和问题中 ，引导学生
观察提炼思想方法；精心设计问题，激发学生思维，引发学生猜想；利用类比和归
纳 ，进行特殊到一般的思维训练；利用演绎证题，揭露蕴涵性质等。渐进地培养学
生的自主探索意识和推理 能力。要让学生感受探究的过程，通过观察问题和从问题
发现到对问题解决的整个思维过程，让学生真实 地感受到数学的创造过程，它需要
经历观察、试验、归纳结论，最后再加以严格证明的一个完整的归纳推 理和演绎推
理相结合的思维过程。例如：关于凸多面体的“欧拉公式”：任意凸多面体的顶点
（ V）、面（F）、棱（E）、之间有关系式：V+F-E=2的探究思路。

（3）框图
——增加的原由
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系 的图示，它的作用在于能够清晰地表达
比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计 算机程序设计、工序流程
的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤 的工具，并
将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。 “课标”在选修1-2中设置
了框图的内容，是为希望在人文社科方面发展的学生新增加的内容，目的是希望通过框图有
关内 容的学习，帮助学生清晰地表达和交流思想，提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，
提高学生思维的 条理性，养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯，以更好地适应现代社会
对未来人才基本素养的要求。
——内容与要求
这部分内容应在必修3算法中学习程序框图有关知识的基础上，通过具体实 例，“进一
步”认识程序框图。如画出用二分法求方程的近似根的程序框图。通过具体实例
了解 工序流程图（即统筹图）——由一些图形符号和文字说明构成的图。工序流程图可以直
观、明确地表示动 态过程从开始到结束的步骤，在日常生活和工作的很多领域都有广泛应用。
通过实例，了解结构图——一 种描述系统结构的图示。一般有构成系统的若干要素和表达各
要素之间关系的连线（或方向箭头）构成。 连线通常按照从上到下、从左到右的方向表示要
素的从属关系或逻辑的先后关系。
（4）统计案 例

——增加的原由
考 虑到统计在日常生活中的广泛应用，学生需要具备一定的数据处理能力，了解和使
用一些常用的统计方法 。因此，“课标”在选修系列1和系列2中都安排了“统计案例”这
一内容。
——内容与要求
在必修3学习的基础上，通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系” 等）的探究，
进一步讨论一元线性回归模型，分析产生随机误差项的原因，从相关系数的角度研究两个变
量间线性相关关系的强弱，使学生了解在什么情况下可以考虑使用回归模型，了解回归的基
本思 想、方法及初步应用。
通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要 求2
×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
——应注意的问题
这部分内容是新增加的内容，有一定难度，在教学中要把握好以下几个方面：
?

给学生提供联系实际、为学生感兴趣的典型实例，激发学生的学习兴趣
教学中，教师首先要 尽可能选择联系实际的、贴近学生的、学生感兴趣的、能反映统
计方法的典型案例，引导学生就如何解决 案例中的问题展开讨论，以激发学生的学习兴趣。
?

引导学生自己设计解决问题的方案，探索解决问题的途径，认识所学的基本思想、
方法

数据处理的能力需要建立在学生亲自处理数据、解决问题的基础上。在对统计案例进行讨 论后，教师不宜
采取直接介绍方法，然后让学生模仿的教学方式。应引导学生尝试设计解决问题的方案， 探索解决问题的途径，
以使他们经历问题处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点 （如统计推断可能犯错误，估
计结果的随机性），体会统计的基本思想、方法。
?

引导学生借助案例体会统计方法的基本思想，不要求追究方法的理论基础，避免
单纯记忆和机械 套用公式
考虑到高中学生的认知特点，教学中更加强调的是具体案例所使用的方法、
具体方 法所反映的思想。对于这些方法的合理性，教学中只要学生能根据案例直
观体会（实际上也是这种方法的 原始产生过程）即可。

?

回归分析在必修部分统计中已经有所讨论，由 于它的应用极其广泛，这
里希望学生能进一步加深理解其思想，能用配方法导出其回归系数公式。也可以
通过实例，讨论一下可线性化的非线性回归问题。

这里我们还要说的一点是，在 “课标”中设计的是四个案例，教材审定组考虑到这部分新增
内容的难度和现实情况，删去了其中的两个 案例，保留了现有教材中安排的两个案例。


四、实验调查的一些结果与思考

从人教社国家级社科基金“十一五”规划国家课题 “新课改后各类教材特点
的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”教材使用情况的调查
与分析（高中部分）所反映出来的情况看，新课程带来了新的变化：

首先是认识 上的变化，越来越多的教师认可“课标”的改革理念和课程的设
计意图；越来越多的教师认识到数学和数 学教育的价值：数学是有用的，数学离
我们很近，尤其是在育人方面的价值，数学能培育人们理性的思维 方式，促进人
们有条理地思考，表达清楚，有效地进行交流；使人实事求是，锲而不舍，使人
得 到文化方面的修养，更好地理解、领略和创造现代社会的文明。其次是在课堂
教学方面的变化，我们的教 师历来在课程的实施中敬业精神强；基于“大纲”的
要求，教学中关注数学思想方法的教学，关注“三大 能力”的培养；有一批优秀

的教师数学素养好，能按科学的教学规律进行课堂教学；在新 课程的实验过程中，
有越来越多的教师认识到课堂教学必需从数学上把握好教学内容，必需遵循教学规律，必需研究学生的认知水平，教学研究逐渐深入，一些实验区在人教社中数
室的课题“数学核心 概念思想方法教学设计的理论与实践研究”带动下，研究型
的教学骨干队伍在原有基础上正在不断扩大和 成长，老师们深切地感受到：能自
如应对不断前进、不断变化的数学教育最有效的途径是不断提高自身的 双专业素
养——数学素养和教学素养。


在实验进程中积累了一些经验 ，也不可避免地也暴露了不少问题，这是课程
改革进程中必然会出现的现象，重要的是需要我们进行认真 的思考，分析主、客
观原因，对有关部门提出建议，也对自身的行为作出相应的调整，以促进新课程的健康发展。这里，我们侧重以下几个方面的问题作一些分析。




（一）对原有内容处理变化的调查与思考

1．关于先讲函数后讲映射的反映与思考

从人教社课题调研的数据看，三分之二的 老师认为，函数教学应该“先讲映
射再讲函数”。但“课标”建议先学习函数再学习映射，这是考虑到函 数是一个
不易理解的概念，从多数中学生的认知水平来看，先学函数后学映射有助于他们
把注意 力集中到函数本身，体会函数概念的本质，也有助于与初中函数学习的衔
接。

从 数学发展史看，函数思想源于运动、变量和曲线的数学描述，函数概念于
16——17世纪逐渐形成。< br>

函数一词是由莱布尼兹于1673年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线< br>上的点变动而变动的量。如：曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等。其后，
伯努利把函数看 作一个变量和一些常数组成的表达式。欧拉在伯努利之后把函数
看作是含变量和常数的任何方程和公式。 不难看出，他们对函数的界定都没跳出
“表达式”的范围。

函数记号f（x）是 克雷罗和欧拉在1734年前后引进的。狄利克雷在1837
年给出了函数定义，直至此时，才开始注意 到函数的本质——对应关系，跳出了
“表达式”的框框，把函数定义为：“如果两个变量x、y有这样的 关系：每当
给x指定一个值，根据某种规则，就自动地给y指定一个值，则我们说y是x
是的函 数，x可取的允许值构成函数的定义域，y所取的值构成函数的值域”。
现行初中教材中的函数定义就是 由此而来的。一般把这种定义方式叫函数的“变
量说”。

到20世纪初，取消了函 数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质
特征——对应关系，用集合论的语言定义为：“设A、 B为两个集合，如果按照
某个确定的对应关系，对于集合A中每一个元素x，总有集合B中唯一确定的< br>元素y与之对应，那么这个对应关系就叫做一个映射，当A、B为数集时，称为
函数”。这是高中 数学中函数的定义方式，一般把这种定义方式叫做函数的“对
应说”或“映射说”。

除了上述两种定义方式外，还可以用关系来定义，把函数作为一种特殊的关
系：“一 个二元关系f若满足：（x
1
，y
1
） f， （x
1
，y
2
） f ，则y
1
=y
2
，
就称f为函数。”这种定义方式即函数的“关系说”。

“变量说”的优点是形象 、直观、自然，通俗易懂。但没有突出函数的本
质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论 的基础上，更接近现代
数学的语言，普适性强，更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。
“关系说”完全用集合论的语言叙述，是完全数学形式化的表述，便于计算
机接受，但过于形式 化，抽去了函数关系的生动直观——变量变化及相互依赖关
系的特征，看不见对应关系的形式和规律，对 初学者来说不易理解和掌握。“课
标”建议先讲函数再讲映射，一是考虑到从特殊（函数）到一般（映射 ）更加符
合中学生的认识规律，有利于学生把注意力集中到对函数的认识；二是有助于与
初中知 识的衔接。人教A版教材以较为直观的3个实例引入，既符合初中学习的
函数定义，与学生在初中已有的 知识经验有较好的衔接，又让学生经历从具体到
抽象的概括过程，在初中学习的基础上提升对函数的认识 ，用集合的语言给出函
数形式化的定义，明确指出对应法则，并用抽象的符号表示。

因此，为了帮助学生把注意力集中在函数本身，更好地认识函数的实质，
我们还是建议 先讲函数后讲映射，在实践中进行思考和比较研究，不要简单地作
出肯定或否定。


2．先概率后计数原理的反映和思考

从实验区的调查情况来看，反映 不一，部分教师认为这样的安排有助于学生
对概率本身的认识，但不少教师对这样的设计还不适应、不认 可。

我们都知道，计数原理与概率是两个不同的概念，他们没有必然的关联，更
没 有因果关系。当然，讲了计数原理后，在讲古典概型举例子时局限性可以小一
些、丰富些，计算也会方便 些。但也许正是这样，在以往教学中不自觉的就把注
意力放在概率的计算上，而忽视了对概率思想、对概 率本身的认识和理解。“课
标”要求先讲概率后讲计数原理的意图正是希望改变这种现象。更好的认识客 观
世界中的随机现象和概率的意义，尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识（如
“中奖率为1 1000的彩票，买了1000张一定中奖）。

面对课程改革带来的变化，我们需要更多 的思考，要在继承、借鉴中发展和
创新，不要简单地肯定或否定。无论是按新的要求做，还是因袭原来的 做法，都
需要首先认真思考自己为什么这么做？原来的课程设计长处是哪些？存在哪些
不足？有 哪些问题？学生通过学习相应的内容能得到些什么？能留下些什么？
“课标”为什么有新的变化和要求？ 如果我们能在认真思考的前提下、在实践一
段时间后再去分析判断，或许我们的行为和结果就不一样了。




3．不讲极限讲导数的反映和思考

前面我们已提到，“课标”对微积分内容的调整进行了反复的研究与思考：
为何在我国中学数学 中微积分会出现几进几出的安排？如何使学生感受学习导

数的必要性，帮助学生了解导数 在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应
用？


如何使学生较好地 认识导数的本质，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要
的思想、方法来学习？如何更有效地学习导 数的相关内容？等等。



从数学发展史看，早在公元前560—公 元前480年，毕达哥拉斯（约公元前
580—公元前500）关于不可公度的发现，以及对于数与无限 的认识中，就已孕
育了微积分的思想方法，约公元3世纪，我国刘徵的割圆术和公元5世纪祖冲之
（429—500）计算圆周率π等问题中，也都包含了极限思想。经历了中世纪的黑
暗和文艺复兴， 直到17世纪，牛顿（1642—1727）和莱布尼兹（1646—1716）
在继承前人工作的基础 上，创立了微积分。但是直到19世纪前，对这门学科的
逻辑基础仍然缺乏清晰的观念，又经过一批数学 家的不懈努力，到了19世纪末，
才把微积分建立在实数理论的坚实基础上，使之有了牢固的逻辑基础， 形成了现
在的微积分体系。柯西（1789—1857）、魏尔斯特拉斯（1815—1897）、戴德 金
（.1831—1916）、康托尔（1845—1918）等人是其中杰出的典型代表。

大家反映的集中问题是：极限是整个微积分的基础，不讲极限怎么讲导数，
不讲极限不方便讲导 数。

的确，极限是整个微积分的基础，连续、导数、定积分、微积分基本定理、
级 数、广义积分等都是不同形式的极限，而且，也必需在学习连续、导数、定积
分、微积分基本定理、级数 、广义积分等内容的过程中才能不断加深对极限的认
识和理解。

因此，我们要思考 的是：从极限思想的孕育到极限理论的建立，经历了漫长
的过程，从牛顿和莱布尼兹创立微积分到建立微 积分的严密的逻辑基础，经历了
200多年的时间。在中学学习极限，学生对极限的内涵能理解到什么程 度？对理
解导数概念能起到什么作用？学生离开学校后不再接触数学，能给他们留下些什
么？如 何讲导数能把学生的注意力集中到导数本身，使他们感到导数、数学与现
实生活有着密切的联系。

“课标”要求不讲极限，直接通过实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变
化率的过程， 了解导数的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想
和内涵。其意图正是希望能把学生的注 意力集中到导数本身，对导数概念本身有
一个较好的认识，使学生离开学校后即便不再接触数学，也能给 他们留下些东西，
提到变化率、增长率能联想到数学与现实生活是有联系的。而不是象以往那样，
更多的是把导数作为一种规则学习，注重的是导数的计算，一旦忘记了求导公式
和法则，就留不下什么 了。




综上分析，我们还是建议不要对“课标”的变化 简单地肯定或否定，还是先
尝试着：先讲函数再讲映射；先讲概率后讲计数原理；不讲极限直接分析实例 ，
让学生经历从平均变化率过到瞬时变化率的过程，引出导数概念。这样的变化或
许会使部分教 师感到不适应，不习惯，尤其是对经验丰富的教师，更会感到自己
积累多年的好经验用不上了、不顺了。 但“课标”设计的课程作出这些处理变化
的依据是：（1）前期的课程比较研究；（2）学生学习心理的 分析研究；（3）

研制过程中的反复研讨和局部实验；（4）吸收了包括一线教师在内的 多方面人
士的经验和建议。“课标”希望能通过这样的变化帮助学生把注意力集中到对函
数本身 、概率本身、导数本身的认识和理解上，希望能使多数学生即便以后不再
接触数学，也能感受数学与社会 、数学与生活是有联系的，数学是有用的，数学
离我们很近。



（二）实验区教师的困惑与思考

对于实验区教师的困惑，我们归纳了以下几个方面，并对他们的困惑作一些
分析。

1．内容多，课时不够，师生负担加重问题与思考

实验区教师普遍感到的一个困惑 是新课程内容多，课时不够，师生负担加
重，尤其是一开始接触新课程时，这一困惑更为突出。但是，从 实验的情况看，
这一困惑会随着实验时间的推移而逐渐得到逐步解惑。

由于新课 程的确增加了新的内容，如：算法、推理与证明、框图、统计案
例等，加强了统计和概率的内容，尤其是 选修系列3、4的专题。因此，刚一接
触新课程感到内容多是自然的，加上对新课程的变化和要求还不很 清楚，仍然按
原来的想法去组织教学，因此，产生课时不够，师生负担加重的困惑是必然的。

——产生这些困惑有多方面的原因


其中，主要原因是还没有把握好“ 课标”的要求和变化，还没有从“大纲”
课程中摆脱出来。如前面提到的函数的有关内容，新课程降低了 对映射、反函数、
不等式等的要求，删减了复合函数的内容。如果我们仍然按原来的方式教学，例
如，大量补充不等式内容，因为按原来的理念和方式教学，不补充就不能做集合
运算中的综合题、求定 义域值域的综合题，涉及到参数讨论的综合题等。而新课
程对集合的要求是把集合作为一种语言来学习， 不仅在当前，而且要在以后的学
习中帮助学生用集合语言简洁、准确地表达数学的一些内容，而不是在当 前的学
习中去做综合题，重点要放在对集合语言的运用上，在使用中熟悉自然语言、集
合语言、 图形语言各自的特点，进行互换。对函数概念学习的重点是从整体上提
升对函数本质的认识，而不是求定 义域值域的综合题，尤其是要避免人为地编制
一些求定义域值域的偏题和过于繁琐的技巧训练。此外，因 为删减了复合函数，
因此，在学习函数的单调性时就不要再进行过于繁琐的技巧训练，对函数单调性的进一步理解应在导数及其应用中进行，这也是“课标”螺旋上升的一个体现。
因此，重要的是必须 要从整体上去把握和看待新课程的变化。

新课程希望不仅把不等式作为一种工具，而且要 了解他的几何意义、应用，
以及现实背景，此外，也受到模块结构在课时上的限制，不等式的内容被安排 在
必修模快5中，这给教学带来一些不便，在具体教学中需要先补充有关不等式的
一些内容，但 是一定要控制难度和课时。关于不等式内容的安排，我们可以酝酿
着提出建设性建议，在修订“课标”时 提出来。

其次一个原因是在教学中做两个并集：一个是“大纲”内容与“课标”内容的并集。做这个并集的根源是对新课程高考的要求心理没底，生怕降低学生的高
考成绩。另一个并集 是把新课程分层次、分阶段完成的教学任务一步到位完成，

还增加了很多的训练，反复训 练，这主要是对新课程设计中螺旋上升的意图不清
楚，按自己原有的观念进行教学造成的。

产生课时不够，师生负担加重的再一个原因是前紧后松，2年完成3年的教
学任务。这个问题在 “大纲”课程中也存在，但是对于新课程，由于不少学校
对选修3、4专题只开设考纲要求的专题，甚至 不开设，因此，后面的时间就显
得更松了。造成这一问题的根源还是高考。但是，即便有了考纲，与“大 纲”课
程一样，高考对正常教学秩序带来的影响仍然是一个需要多方共同努力去研究的
问题。< br>

2．

对高考心里没底问题与思考

高考给教学带来的影响一直是困绕我们的难题。客观的 因素来自社会、各
级行政主管部门，家长等方面，对教师造成了很大的压力，教学中普遍存在着：
只要高考好，怎么做立竿见影就怎么做；高考考什么就教什么，以解题教学代替
概念原理教学，大运动 量机械训练等现象。

新课程对原有内容要求和处理有了变化，又增加了新的内容，教师自 然就
会产生不知道高考会怎么考、对高考心里没底的问题。因此，在实验一开始就瞄
着高考，盼 着早点出台“考纲”。担心“课标”和教材与高考不一致，虽然在某
些方面的要求降低了，但是高考的要 求不会降。于是，不仅原来的一些做法没有
改变，而且做两个并集，大大加重了师生的负担，有悖于课改 的初衷。

各个方面给教师造成的压力，使教师经常是“身不由己”，这是非常能理
解的。这里我们要说的是，我们需要对自己的教学理念有一个反思：如何看待教
师的价值？什么样的教师 是一个合格的教师？为什么普遍存在着把会解题等同
于数学学得好、数学能力强的看法，重视的只是会解 题、考试能得高分，更多的
老师关注的只是在解题上的提高，认为合格的数学教师就是解题高手。应该说 ，
会解题是一个教师必须具有的能力，会解题与数学好的确有一定的联系，从一个
侧面表现出他 们的数学素养。但是，这样的着眼点，这样的教学理念是片面的，
不仅是对数学的理解不到位，而且也是 对数学教育育人功能认识不到位的表现，
看不到这样的理念会使学生失去更多的理解数学的机会。更是日 常教学以解题教
学代替概念原理教学，大运动量机械训练等现象的重要原因所在。

事实上，即便一开始就瞄着高考，也未必就能解决问题，一个合格的教师应
该会解题，但是会解题的教师 未必就是合格的。同样，一个好的教师应该也是解
题的高手，但是解题高手未必是一个好教师。在我们的 教师队伍中，始终有一批
中坚骨干，他们能站在一定的高度来看待数学教育的功能，对数学有较好的认识
和理解，不断地提高自己的数学素养；他们有较为全面的教学理念，在教学中研
究学生的认知规 律，追求遵循科学的教学规律。因此，一个自然的结果是：他们
培养的学生一般都不仅有较好的成绩，也 有较好的能力。“课标”追求的目标之
一正是希望有越来越多的教师成为这样的教师，希望通过“课标” 对原有内容的
要求和处理变化、通过新增内容和专题的设置，提高广大教师的数学素养，提高
对 数学的认识和理解，提高对数学教育功能的认识，提高教学水平，使广大学生
受到高水平的数学教育。< br>

我们还要说的是，学习数学没有一定量的训练是万万不行的，教师希望学生得到好成绩的愿望也是无可指责的。但是，简单重复的大运动量机械训练是低效
的，尤其是对一些综 合性较强的问题，而且这种训练会给学生的学习和对数学的

认识带来很多负面的影响。因 此，重要的是要思考以什么方式、怎样训练使学生
获得好成绩才是科学的、高效的。解题过程中归纳题型 是需要的，关键是如何归
纳？归纳题型的着眼点在哪里？解题后还应作些什么？大家都知道波利亚解决< br>问题的模式，很多教师也有自己的训练方法，有的教师还总结了“精选习题，高
效训练”的方法。 基于上述分析，我们认为，应该立项研究如何进行科学有效的
训练，从一个侧面解决提高学生解题能力的 问题。


3．关于传统优势降低问题与思考


在调查中，有不少教师认为我们的传统优势，如：抽象概括、推理论证、空
间想象、运算求解等能力并没 有提高，反倒是有所降低了，尤其是运算求解的能
力，这是值得我们关注的问题。


应该说，出现这样的现象，原因是比较复杂的，我们建议大家要从整体上来
看待这一 现象。


能力的培养和提高需要经历一个过程，在新旧交替的过程中，教师对新 课程
的理念、变化、要求还不很了解，尤其是新课程虽然在某些内容上降低了要求，
但是，新课 程的模块和专题结构、对原有内容处理的变化、新增内容等，都对教
师在数学上提出了更高的要求，需要 教师从更高的层次上去把握教学内容，这就
必然会使多数教师感到不适应，也就必然会影响到对教学内容 的把握，影响到教
学的效能。

此外，这一轮课改在义务教育阶段的改革中有很多 合理的地方，但也确实存
在一些需要改进的不足，这些不足直接影响到学生一些基本能力的形成，尤其是
运算能力。在修订“义务教育数学课程标准（实验稿）”时已经作出了相应的修
改。

再有，尽管教师认可“课标”和教材重视数学知识的学习过程，加强了启发
性和探究性的意识和 设计，但在实际教学中，由于班额普遍比较大，受升学、考
试等的影响，往往难以落实，很多时候还是停 留在“讲、练”的教学方式，当然，
这种教师示范、学生模仿、适当练习的讲、练方式仍然是主要的教学 方式，但是，
缺乏启发的、，缺乏互动的讲、练方式，以及概念教学中一个定义几项注意式的、
直接抛出概念的教学方式，也都是造成这种现象的原因。


随着新课程的推进和 成熟，随着教师数学素养的提高和对教学规律研究的不
断深入，相信这一问题会逐渐得当解决。



（三）关于“课标”的一些初衷没有达成的问题


1．学生的学习兴趣和学习自主性并没有明显的提高的问题

基于“课标”提倡自主 、探究、合作等学习方式的要求，各个版本的教材在
呈现方式上都作了很大的改进，教材中都设计了一些 引导学生思考、操作的栏目，
注意留给学生探索与交流的空间，选材注重与学生现实生活的联系，等等。 从调
查结果来看，教师对教材的这些处理比较认可。但是，学生的学习兴趣和学习自
主性并没有 明显的提高。出现这样的现象是可以理解的，我们可从以下几个方面
去分析。

—— 教师已经了解了“课标”的基本理念，教师对数学、对数学的教育价值、
对如何进行有效的学习等问题有 较好的认识，从自己以往的经历中有切身的体

验。而学生就完全不同了，他们不知道“课 标”，他们对数学、对数学的教育价
值没有什么感觉，很少会有学生去思考教材的变化会给学习会有怎样 的积极意
义。

——关于探究性学习，并不是所有的知识都是适合的。像数、式运算 等程序
性的知识就不适合探究性学习；无理数、复数等超经验性知识也不适宜用探究性
学习；为 什么要使用弧度制、无理指数幂那样难以证明的知识也不适宜探究性学
习。一般来说，容易引发争议的、 有一定思维深度的、思辨性较强的知识比较适
用于探究性学习，教材中设计了一些探究性学习的问题和拦 目，供教学用，到底
哪些内容适合探究性学习，用什么方式进行探究性学习能提高学生的学习兴趣和学习自主性，需要我们在实验中去探索。同样，对于合作学习的方式，也存在着
到底哪些内容适宜合 作学习，用什么方式进行合作学习是有效的等问题，需要我
们在实验中去探索。

— —随着时间的推移，随着研究的深入，相信这些问题都能逐步得到解决，
学生的学习兴趣和学习自主性也 能得到改善。

2．学生能力发展方面的问题


在学生能 力的发展方面，不少教师认为，传统优势下降，中学数学比较重视
的学生的抽象概括能力、推理论证能力 、空间想象力、运算求解能力以及这次课
改比较重视的数据处理能力并没有提高，反倒是有所降低了，并 没有达到我们预
期的结果。这一问题我们已在上面关于传统优势降低问题中作了分析。

3．多样性、选择性理念的初衷没有达成的问题


“课标”希望通过教 材中习题编排的选择性；体现弹性内容的选学材料；课
程的组合的灵活性，学生在作出选择后，可以根基 自己的意愿和条件向学校提出
调整的申请，经过测试获得相应学分可转换；以及选修系列3、4中专题的 开设
等，体现新课程的多样性、选择性这一基本理念。

但是，在实验过程中，因为 习惯于“大纲”课程对习题的处理，一般都要求
所有学生做所有的习题，这不仅体现不了多样性、选择性 ，更重要的是加重了部
分学生的负担，也影响了部分学生的学习自信心。对于弹性内容的材料，不少教< br>师还不适应这样的安排，认为没用，也就没有利用好这部分内容。至于课程组合
的灵活性，更是“ 没有感觉”。而选修3、4中的专题，一般只开设高考要考的
专题，甚至于不开设。随着对新课程设计理 念认识的逐步加深，对教学内容要求
熟悉程度的不断提高，随着自身数学素养的不断提升，随着客观环境 的改善，这
些问题都能不断得到改进。



（四）教师对“课标”中一些内容处理的变化比较认可引发的思考

在实验调查中 ，教师对于“立体几何、平面解析几何螺旋上升的安排”，从
整体到局部“先学空间几何体，再到点、线 、面”，“降低综合法的要求，用空
间向量处理立体几何”等内容处理上的变化教师比较认可；对于教材 渗透数学思
想方法与数学文化的处理也都认可。这些调查结果引发了笔者的一些感触。
< br>回忆在这一轮课改的前期研究中，“课标”研制组对学生的学习心理、
认知规律、几何课程的教育 功能和设计等方面作了研究。我们都知道推理能
力在数学学习中的重要而基础的地位，强调几何课程是培 养学生逻辑推理能

力的良好载体。但是，无论是进入平面几何课程还是立体几何课程的学 习时，
多数学生都会感到困难，甚至成为造成学习分化的一个内容。究其原因，难
教难学的重要 原因之一是以往几何课程的内容是以论证几何为主线，立体几
何是从局部到整体展开的，教材的编排过于 形式化，与大多数学生的认知水
平存在着较大的距离。针对上述问题，为了避免以往几何课程中以论证几 何
为主线、从局部到整体展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生认
知带来的困难，使 学生在较为自然的探索过程中学习几何的探索过程，“课
标”在立体几何内容处理上有了较大的变化：按 照从整体到局部的方式展开
立体几何内容，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究< br>几何的过程，并且注重三种语言的使用和转换训练。教材的编写依据“课标”
的要求，并基于几何 课程能将有关内容以“图”“文”并茂的形式生动形象
地表示出来的重要特点，作了相应的研究和编排。 这些变化在实验中得到了
认可，从一个侧面说明“课标”的前期研究是必要的，是有成效的。


此外，回忆10多年前“大纲”的研制情况，开始时大家对于增加向量、
尤其是用空 间向量处理立体几何问题有很大的争议。之后，老师们在实验过
程中逐渐适应了，也感受到了这样处理是 有益的。可以说，这次立体几何课
程的变化能得到认可与此也是有关的。

因此，新 课程实验中出现种种问题是必然的，其中，有些问题会随着新
课程的推进和成熟逐步得到解决，如上面提 到的“传统优势下降”“课标”
的一些初衷没有达成”等问题。有些问题需要在实验中继续关注，并提出 改
进建设性建议，如“不等式的内容选择和安排”“受模块结构课时限制，解
析几何分划到必修 、选修中进行”“不能按“课标”要求的课时进行教学”
“选修3、4中专题的开设”等问题。同时，在 实验过程中还会不断出现新
的问题，需要我们去面对、去研究，有很多工作还需深入。
新课程实施的过程是一个不断学习、探索、研究和提高的过程，在这过
程中，需要我们认真思考、交 流探讨、学习研究、与学生平等对话，在实践
和探索中不断前进。

相信在各个方面 的通力合作下，一定能克服改革进程中遇到的各种困
难，不断完善“课标”，建设具有中国特色的高水平 的数学课程，不断提高
教育水平，使我们的学生受到高水平的数学教育。