【精品】最新2018年《普通高中数学课程标准》(共143页)

【精品】最新2018年《普通高中数学课程标准》（共143页）



普通高中
数学课程标准








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前言

党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推
进教育公 平，培齐德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
基础教育课程承载着党的教育方针和教育思想 ，规定了教育目标和教育内容，是国家意志在教
育领域的直接体现，在立德树人中发挥着关键作用。 < br>2003年，教育部印发的普通高中课程方案和课程标准实验稿，指导了十余年来普通高中课程改
革的实践，坚持了正确的改革方向和先进的教育理念，基本建立起适合我国国情、适应时代发展要
求的普 通高中课程体系，促进了教育观念的更新，推进了人才培养模式的变革，提升了教师队伍的
整体水平，有 效推动了考试评价制度的改革，为我国基础教育质量的提高作出了积极贡献。但是，
面对经济、科技的迅 猛发展和社会生活的深刻变化，面对新时代社会主要矛盾的转化，面对新时代
对提高全体国民素质和人才 培养质量的新要求，面对我国高中阶段教育基本普及的新形势，普通高
中课程方案和课程标准实验稿还有 一些不相适应和亟待改进之处。
2013年，教育部启动了普通高中课程修订工作。本次修订深入总结 21世纪以来我国普通高中课
程改革的宝贵经验，充分借鉴国际课程改革的优秀成果，努力将普通高中课 程方案和课程标准修订
成既符合我国实际情况，又具有国际视野的纲领性教学文件，构建具有中国特色的 普通高中课程体
系。
一、修订工作的指导思想和基本原则
（一）指导思想
以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时
代中 国特色社会主义思想为指导，深入贯彻党的十八大、十九大精神，全面贯彻党的教育方针，落
实立德树人 根本任务，发展素质教育，推进教育公平，以社会主义核心价值观统领课程改革，着力
提升课程思想性、 科学性、时代性、系統性、指导性，推动人才培养模式的改革创新，培养德智体
美全面发展的社会主义建 设者和接班人。
（二）基本原则
1．坚持正确的政治方向。坚持党的领导，坚持社会主义办 学方向，充分体现马克思主义的指导
地位和基本立场，充分反映习近平新时代中国特色社会主义思想，有 机融入坚持和发展中国特色社
会主义、培育和践行社会主义核心价值观的基本内容和要求，继承和弘扬中 华优秀传统文化、革命
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文化，发展社会主义先进文化，加强 法治意识、国家安全、民族团结、生态文明和海洋权益等方面
的教育，培养良好政治素质、道德品质和健 全人格，使学生坚定中国特色社会主义道路自信、理论
自信、制度自信和文化自信，引导学生形成正确的 世界观、人生观、价值观。
2．坚持反映时代要求。反映先进的教育思想和理念，关注信息化环境下的 教学改革，关注学生
个性化、多样化的学习和发展需求，促进人才培养模式的转变，着力发展学生的核心 素养。根据经
济社会发展新变化、科学技术进步新成果，及时更新教学内容和话语体系，反映新时代中国 特色社
会主义理论和建设新成就。
3．坚持科学论证。遵循教育教学规律和学生身心发展规律 ，贴近学生的思想、学习、生活实际，
充分反映学生的成长需要，促进每个学生主动地、生动活泼地发展 。加强调查研究和测试论证，广
泛听取相关领域人员的意见建议，重大问题向权威部门、专业机构、知名 专家学者咨询，求真务实，
严谨认真，确保课程内容科学，表述规范。
4．坚持继承发展。对 十余年普通高中课程改革实践进行系统梳理，总结提炼并继承已有经验和
成功做法，确保课程改革的连续 性。同时，发现并切实面对改革过程中存在的问题，有针对性地进
行修订完善，在继承中前行，在改革中 完善，使课程体系充满活力。
二、修订的主要内容和变化
（一）关于课程方案
1 ．进一步明确了普通高中教育的定位。我国普通高中教育是在义务教育基础上进一步提高国民
素质、面向 大众的基础教育，任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教
育和职业发展作准 备，为学生的终身发展奠定基础。普通高中的培养目标是进一步提升学生综合素
质，着力发展核心素养， 使学生具有理想信念和社会责任感，具有科学文化素养和终身学习能力，
共有自主发展能力和沟通合作能 力。
2．进一步优化了课程结构。一是保留原有学习科目，调整外语规划语种，在英语、日语、俄语< br>基础上，增加德语、法语和西班牙语。二是将课程类别调整为必修课程、选择性必修课程和选修课
程。在保证共同基础的前提下，为不同发展方向的学生提供有选择的课程。三是进一步明确各类课
程的功 能定位，与高考综合改革相衔接：必修课程根据学生全面发展需要设置，全修全考；选择性
必修课程根据 学生个性发展和升学考试需要设置，选修选考；选修课程由学校根据实际情况统筹规
划开设，学生自主选 择修习，学而不考或学而备考，为学生就业和高校招生录取提供参考。四是合
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理确定各类课程学分比例，在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进 行重构，由必修课程
学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分，既保证基础性，又兼顾选 择性。
3．强化了课程有效实施的制度建设。进一步明确课程实施环节的责任主体和要求，从课程标准 、
教材、课程规划、教学管理，以及评价、资源建设等方面，对国家、省（自治区、直辖市）、学校分< br>别提出了要求。增设“条件保障”部分，从师资队伍建设、教学设施和经费保障等方面提出具体要求。增设“管理与监督”部分，强化各级教育行政部门和学校课程实施的责任。
（二）关于学科课程标准
1．凝练了学科核心素养。中国学生发展核心素养是党的教育方针的 具体化、细化。为建立核心
素养与课程教学的内在联系，充分挖掘各学科课程教学对全面贯彻党的教育方 针、落实立德树人的
根本任务、发展素质教育的独特育人价值，各学科基于学科本质凝练了本学科的核心 素养，明确了
学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力，对知识与技能、过程 与方法、
情感态度价值观三维目标进行了整合。课程标准还围绕核心素养的落实，精选、重组课程内容， 明
确内容要求，指导教学设计，提出考试评价和教材编写建议。
2．更新了教学内容。进一步 精选了学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，
以主题为引领，使课程内容情境化，促 进学科核心素养的落实。结合学生年龄特点和学科特征，课
程内容落实习近平新时代中国特色社会主义思 想，有机融入社会主义核心价值观，中华优秀传统文
化、革命文化和社会主义先进文化教育内容，努力呈 现经济、政治、文化、科技、社会、生态等发
展的新成就、新成果，充实丰富培养学生社会责任感、创新 精神、实践能力相关内容。
3．研制了学业质量标准。各学科明确学生完成本学科学习任务后，学科核 心素养应该达到的水
平，各水平的关键表现构成评价学业质量的标准。引导教学更加关注育人目的，更加 注重培养学生
核心素养，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，帮助教师和学生把握教与 学的深
度和广度，为阶段性评价、学业水平考试和升学考试命题提供重要依据，促进教、学、考有机衔接 ，
形成育人合力。
4．增强了指导性。本着为编写教材服务、为教学服务、为考试评价服务的 原则，突出课程标准
的可操作性，切实加强对教材编写、教学实施、考试评价的指导。课程标准通俗易懂 ，逻辑更清晰，
原则上每个模块或主题由“内容要求”“教学提示”“学业要求”组成，大部分学科增加 了教学与评价案
例，同时依据学业质量标准细化评价目标，增强了对教学和评价的指导性。
本 次修订是深化普通高中课程改革的重要环节，直接关系育人质量的提升。普通高中课程方案
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和课程标准必须在教育教学实践中接受检验，不断完善。可以预期，广大教育 工作者将在过去十余
年改革的基础上，在丰富而生动的教育教学实践中，不断提高课程实施水平，推动普 通高中课程改
革不断深化，共创普通高中教育的新辉煌，为实现国家教育现代化、建设教育强国作出新贡 献。

一、课程性质与基本理念
（一）课程性质
数学是研究数量关系和 空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通
过符号运算、形式推理、模型构建 等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人
类生活和社会发展紧密关联。数学不仅是 运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着
思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学 是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越
来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日 常生活的各个方面。随着现代科学技术特别
是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数 据的能力都得到很大的提升，伴随着
大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映 的信息进行数字化处理，这使
数学的研究领域与应用领域得到极大拓展。数学直接为社会创造价值，推动 社会生产力的发展。
数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代 的作用。数
学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。
数学教育承载着落实立德树人根 本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生
活和进一步学习所必需的数学知识、技能、 思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学
眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学 语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和
创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感； 在学生形成正确人生观、价值观、世界观
等方面发挥独特作用。
高中数学课程是义务教育阶段 后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性和发展性。必
修课程面向全体学生，构建共同基础；选 择性必修课程、选修课程充分考虑学生的不同成长需求，
提供多样性的课程供学生自主选择；高中数学课 程为学生的可持续发展和终身学习创造条件。
（二）基本理念
1.学生发展为本，立德树人，提升素养
高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任 务，培育科学精神和创新意识，提升数学
学科核心素养。高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获 得良好的数学教育，不同的人在数
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学上得到不同的发展。
2.优化课程结构，突出主线，精选内容
高中数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征 和学生的认知规律，发展学生数学学科核
心素养。优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择 ；突出数学主线，凸显数学的内在
逻辑和思想方法；精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识技能 之间的关系，强调数学与生
活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数 学文化的渗透。
3.把握数学本质，启发服考，改进教学
高中数学教学以发展学生数学学科 核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引
导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、 自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学
的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和 创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的
深度融合，提高教学的实效性。不断引导学生感悟数学的科 学价值、应用价值、文化价值和审关价
值。
4.重视过程评价，聚焦素养，提高质量
高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科
学合理的 学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成。评价既要关注学
生学习的结果， 更要重视学生学习的过程。开发合理的评价工具，将知识技能的掌握与数学学科核
心素养的达成有机结合 ，建立目标多元、方式多样、重视过程的评价体系。通过评价，提高学生学
习兴趣，帮助学生认识自我， 增强自信；帮助教师改进教学，提高质量。

二、学科核心素养与课程目标
（一）学科核心素养
学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的 正确价值观念、必备
品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特 征的思维品质、
关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和 发展的。
数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这 些
数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
1.数学抽象
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数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学 研究对象的素养。主要包括：从数
量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系， 从事物的具体背景中抽象出
一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本 思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数
学产生、发展、应用的过程中。数 学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级
的系统。
数学抽象主要表现为 ：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认
识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体
到抽象的活 动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；
运用数学抽象的 思维方式思考并解决问题。
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推 出其他命题的素养。主要包括两类：一类是
从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从 一般到特殊的推理，推理形式主要有
演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方 式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数
学活动中进行交流的基本思维品质。
逻辑推理主要 表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，
理解命题体系，有逻辑 地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题； 能够在
比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的
思维品质和理性精神，增强交流能力。
3.数学建模
数学建模是对现实问题进行数 学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的
素养。数学建模过程主要包括：在实际情 境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立
模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模 型，最终解决实际问题。
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数学模型搭建了数学与外部世界 联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解
决实际问题的基本手段，也是推动数学发展 的动力。
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟
数学与现 实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科
学、社会、工程 技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
4.直观想象
直观想象是 指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理
解和解决数学问题的素 养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；
利用图形描述、分析数学问题 ；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思
路。
直观想象是发现和提 出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学
推理、构建抽象结构的思维基础 。
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，
运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空 间想象能力；增强
运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的 本质。
5.数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的 素养。主要包括：理解
运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运 算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
通过高 中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；
通过运算促进数 学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
6.数据分析 数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于
研究对 象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行
推断，获得结 论。
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数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据 时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”
相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术 、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数
字化学习 的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依
托数据探索事物 本质、关联和规律的活动经验。
（二）课程目标
通过高中数学课程的学习，学生能获得进一 步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本
技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提 高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解
决问题的能力（简称“四能”）。
在学习数学 和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数
学运算、数据分析等数 学学科核心素养。
通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养 成良好的
数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提 高
实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

三、课程结构
（一）设计依据
1．依据高中数学课程理念，实现“人人都能获得良 好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的
发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。
2．依据高中课程方案，借鉴国际经验，体现课程改革成果，调整课程结构，改进学业质量评价。 3．依据高中数学课程性质，体现课程的基础性、选择性和发展性，为全体学生提供共同基础，
为满 足学生的不同志趣和发展提供丰富多样的课程。
4．依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线 、知识之间的关联，重视数学实践和数学
文化。
（二）结构
高中数学课程分为必修 课程、选择性必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何
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与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修
课程。数学文化融入课程内容。高中数学课程结构如下：

说明：数学文化是指数学的思想 、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括
数学在人类生活、科学技术、社会发展中的 贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。
（三）学分与选课
1．学分设置
必修课程8学分，选择性必修课程6学分，选修课程6 学分。
选修课程的分类、内容及学分如下。
A 类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三 个专题，其中微积分2.5学分，空间向量
与代数2学分，概率与统计1.5 学分。供有志于学习数理类(如数学、物理、计算机、精密仪器等)专
业的学生选择。
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B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型 四个专题,其中微积分2学分，空间向
量与代数1学分，应用统计2学分，模型1学分。供有志于学习经 济、社会类(如数理经济、社会学
等)和部分理工类(如化学、生物、机械等) 专业的学生选择。
C 类课程包括逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析三个专题，每个专题2学分。供有
志于学习人文类(如语言、历史等)专业的学生选择。
D类课程包括美与数学、音乐中的数学、美术 中的数学、体育运动中的数学四个专题，每个专
题1学分。供有志于学习体育、艺术(包括音乐、美术) 类等专业的学生选择。
E 类课程包括拓展视野、日常生活、地方特色的数学课程，还包括大学数学先 修课程等。大学数
学先修课程包括三个专题:微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计，每个专 题6 学分。
2．课程定位
必修课程为学生发展提供共同基础。是高中毕业的数学学业水平 考试的内容要求，也是高考的
内容要求。
选择性必修课程是供学生选择的课程，也是高考的内容要求。
选修课程为学生确定发展方向提 供引导,为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提
供选择,为大学自主招生提供参考。
3．选课说明
如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程，参加高中毕业的数学学业水平考试。
如果 学生计划通过参加高考进入高等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程。参加数
学高考。 如果学生在上述选择的基础上，还希望多学习一些数学课程，可以在选择性必修课程或选修课
程中， 根据自身未来发展的需求进行选择。
在选修课程中可以选择某一类课程，例如，A 类课程; 也可以选择某类课程中的某个专题，例如，
E 类大学先修课程中的微积分;还可以选择某些专题的组合，例如，D 类课程中的美与数学、C类课
程中的社会调查与数据分析等.

四、课程内容
（一）必修课程
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必修课程包括五个主题，分别 是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与
数学探究活动。数学文化融入课程内容。
必修课程共8学分144课时，表1给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。
表1 必修课程课时分配建议表
主题 单元
集合
主题一
预备知识
常用逻辑用语
18
相等关系与不等关系
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
函数概念与性质
主题二
函数
幂函数、指数函数、对数函数
52
三角函数
函数应用
平面向量及其应用
主题三
复数
几何与代数
立体几何初步
主题四
概率与统计
主题五
数学建模活动与数
学探究活动
机动

主题一 预备知识
以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合 、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函
数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为 高中数学课程做好学习心理、学习方式
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建议课时
42
概率
6
统计
数学建模活动与数学探究活动
6
6

和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。
【内容要求】
内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次 方程和一元二
次不等式。
1．集合
在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言 和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的
语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的 语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。
（1）集合的概念与表示
①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。
②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。
③在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（2）集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
2．常用逻辑用语
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻 辑思维的基本语言。
本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会 常用逻辑用语
在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
内容包 括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词
命题的否定。
（1）必要条件、充分条件、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
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（2）全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
3．相等关系与不等关系
相等关 系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，
可以帮助学生通 过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式。
内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。
（1）等式与不等式的性质
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
（2）基本不等式
理解基本不等式
ab?
或最小值的问题。
4．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想 方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函
数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中 数学的相关内容，理解函数、方程和不等式
之间的联系，体会数学的整体性。
内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。
（1）从函数观点看一元二次方程
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在 性及根的个数，了解函数的零点与
方程根的关系。
（2）从函数观点看一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借
助一元 二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（参见案例1）。
【教学提示】
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a?b
(a,b?0)
。结合具体实例， 能用基本不等式解决简单的求最大值
2

初中阶段数学知识相对具体， 高中阶段数学知识相对抽象。教师应针对这一特征帮助学生完成
从初中到高中数学学习的过渡，包括知识 与技能、方法与习惯、能力与态度等方面。
在集合、常用逻辑用语的教学中，教师应创设合适的教学情 境，以义务教育阶段学过的数学内
容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应 数学内容。应引导学生理解
属于关系是集合的基本关系，了解元素A与元素A组成的集合{A}的差异， 即
A?{A}
,A与{A}不相同。
在梳理过程中，可以针对学生的实际布置不同的任 务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织
教学活动。
在相等关系与不等关系的教学中， 应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探
索等式与不等式的共性与差异。
在 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中，可以先以讨论具体的一元二次函数
变化情况为情 境，引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式概念；
然后进一步引导学生 探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结
出用一元二次函数解一元二 次不等式的程序。
教学中，要根据内容的定位和教育价值，关注数学学科核心素养的培养。要让学生逐 渐养成借
助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感 悟
高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习。
【学业要求】
能够在现实 情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学
会用三种语言（自然语 言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的
基本关系与基本运算。在数学 表达中的作用。
能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟函数学知识之间的关联，认识函数的重要性 。掌握
等式与不等式的性质。
重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。
主题二 函数
函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本 的数学语言和工具，
在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。
【内容要求】
·15·

内容包括：函数概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。
1．函数概念与性质
本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻 画变量之间依赖关系
的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数 图象揭示函数
的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
内容包括：函数概念、函数性质、
（1）函数概念
①在初中用变量之间的依赖关系描 述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完
整的函数概念（参见案例2），体会集合语言 和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的
要素，能求简单函数的定义域。
②在实 际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，
理解函数图象的 作用。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
（2）函数性质
①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际
意义。
②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
（3）
*
函数的形成与发展（[1]标有*的内容为选学内容，不作为考试要求。）
收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人
物 、关键事件及其对人类文明的贡献。
2．幂函数、指数函数、对数函数
幂函数、指数函数与 对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本
单元的学习，可以帮助学生学会 用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数
中所蕴含的运算规律；运用这些函数建 立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问
题中的作用。
内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。
（1）幂函数
·16·
*[1]
函数的形成与发展。

通过具体实例，结合
y?x,y?
（2）指数函数
1
,y?x2
,y?x,y?x
3
的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
x
①通过对有理指数幂
a(a?0,且a?1,m,n为整数，且n>0)
、实数指数幂
a
x
（a>0,且，a≠1，
x∈R）含义的认识，了解指数幂 的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
③能用描点法或借助计算 工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊
点。
（3)对数函数
①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
② 通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，
探索并了解 对数函数的单调性与特殊点。
③知道对数函数
y?log
a
x
与指数函数
y?a
互为反函数（a＞0，且a≠1）。
x
m
n
④
*
收集、 阅读对数概念的形成与发展的历史资料
，
撰写小论文
，
论述对数发明
的过程以及对数对简化运算的作用
。
3．三角函数
三角函数是一类最典型的 周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角
三角形中边角关系的基础上，借助单 位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用
几何直观和代数运算的方法研究三角函数的 周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等
性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系； 利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函 数的基本关系式、三角恒等变换、三
角函数应用。
（1）角与弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例3）。
（2）三角函数概念和性质
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义， 能画出这些三角函数的图象，
了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利 用定义推导出诱导公式
·17·

（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。
②借助图象理解正弦函数在、余弦函数
[0,2?]
上 、正切函数在
(?
?
2
??
,)
上的性质。
2 2
③结合具体实例，了解
y?Asin(
?
x?
?
)
的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响。
（3）同角三角函数的基本关系式
22
理解同角三角函数的基本关系式
si nx?cosx?1,
sinx
?tanx
。
cosx
（4）三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推 导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、
正切公式，了解它们的内在联系。 < br>③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组
公式 不要求记忆）。
（5）三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角 函数构建刻画事物周期变化的数学模型
（参见案例4）。
4．函数应用
函数应用不 仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习，
可以帮助学生掌握运用 函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的
基本过程；运用模型思想发现 和提出、分析和解决问题。
内容包括：二分法与求方程近似解、函数与数学模型。
（1）二分法与求方程近似解
①结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系。 < br>②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的
思路 并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一
般性。
（2）函数与数学模型
·18·

①理解函数是描述客观 世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择
合适的函数类型刻画现实问题的变 化规律。
②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长
速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。
③收集、阅读 一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数
刻画实际问题的，感悟数 学模型中参数的现实意义。
【教学提示】
教师应把本主题的内容视为一个整体，引导学生从 变量之间依赖关系、实数集合之间的对应关
系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念；通过梳理 函数的单调性、周期性、奇偶性（对
称性）、最大（小）值等，认识函数的整体性质；经历运用函数解决 实际问题的全过程。
函数概念的引入，可以用学生熟悉的例子为背景进行抽象。例如，可以从学生已知 的、基于变
量关系的函数定义入手，引导学生通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对 应关
系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次。
函数单调性的教学，要引导学生正确地使用 符号语言刻画函数最本质的性质——单调性（参见
案例5）。在函数定义域、值域以及函数性质的教学过 程中，应避免编制偏题、怪题，避免繁琐的技
巧训练。
指数函数的教学，应关注指数函数的运 算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数到有理指
数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数 的运算法则和变化规律。
对数函数的教学，应通过比较同底数的指数函数和对数函数（例如
y ?2
和
y?log
2
x
），认识
它们互为反函数。
三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观，探索三
角函数的 有关性质（参见案例6）。在三角恒等变换的教学中，可以采用不同的方式得到三角恒等变
换基本公式； 也可以在向量的学习中，引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
函数应用的教学，要引 导学生理解如何用函数描述客观世界事物的变化规律，体会幂函数、指
数函数、对数函数、三角函数等函 数与现实世界的密切联系（参见案例7）。
鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题。例如，利用 计算器、计算机画出幂函数、指数
函数、对数函数、三角函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研 究函数的性质，求方程的近
·19·
x

似解等（参见案例8）。
可以组织学生收集、阅读函数的形成与发展的历史资料，结合内容撰 写报告，论述函数发展的
过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直 观等多个角度，
理解函数的意义与数学表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，知道函数抽象概 念的意义。
能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性；掌握一些基本函数类 （一
元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的背景、< br>概念和性质。
能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题；能够从函数的 观点认识方
程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不 等式。
重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。
主题三 几何与代数
几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与 代
数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
【内容标准】
内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。
1．平面向量及应用
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象 ，也是几何研究对象，
是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学 问题的基本工具，
是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。本单 元的学习，
可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定 理以
及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用。
（1）向量概念 < br>①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向
量相 等的含义。
·20·

②理解平面向量的几何表示和基本要素。
（2）向量运算
①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共
线的含义。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（3）向量基本定理及坐标表示
①理解平面向量基本定理及其意义。
②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。
④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。
⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。
（4）向量应用与解三角形
①会用向 量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学
和实际问题中的作用 。
②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。
③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
2．复数
复数是一类重要的运算 对象，有广泛的应用。本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理
解引入复数的必要性，了解数系的 扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。
内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示。
（1）复数的概念
①通过方程的解，认识复数。
②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。
（2）复数的运算
·21·

掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。
（3）*复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了
解 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。
3．立体几何初步
立体几何研究现实世界中物体 的形状、大小与位置关系。本单元的学习，可以帮助学生以长方
体为载体，认识和理解空间点、直线、平 面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与
判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几 何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、
操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形 的性质，建立空间观念。
内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。
（1）基本立体图形
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组 合体的结构特征，能
运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。
（2）基本图形位置关系
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上 ，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理 。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②从上述定义和 基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与
平面、平面与平面的平行和 垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
◆两个平面平行，若果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
·22·

◆两个 平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一
个平面垂直。 < br>③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与
平面 、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。
◆若果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。
（3）*几何学的发展
收集、阅读几何发展的历史资料，撰写小论文，论述几何发展的过程、重要结果、主要人物、
关键事件 及其对人类文明的贡献。
【教学提示】
在平面向量及其应用的教学活动中，应从力、速度、 加速度等实际情境入手，从物理、几何、
代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的 方法探索实数运算与向量运算的共
性与差异，可以通过力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向 量的坐标表示；可以引导学
生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向 运动所作的功，利用
向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等。对于向量的非正交分解只要求 学生作一般了
解，不必展开。
在复数的教学中，应注重对复数的表示及几何意义的理解，避免 繁琐的计算与技巧训练。对于
有余力的学生，可以安排一些引申内容，如复数的三角表示等。可以适当地 融入数学文化，让学生
体会数系扩充过程中理性思维的作用（参见案例10）。
立体几何初步 的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象
的原则，提供丰富的实物 模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构
特征，进一步掌握在平面上表示 空间图形的方法和技能。通过对图形的观察和操作，引导学生发现
和提出描述基本图形平行、垂直关系的 命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释
命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一 些命题，对相应的判定定理只要求直观感知、操作确
认，在选择性必修课程中将用向量方法对这些定理加 以论证。
·23·

可以使用信息技术展示空间图形，为理解和掌 握图形几何性质（包括证明）提供直观。教师可
以指导和帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活 动的课题（参见案例11）。
可以组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料，结合内容撰写报告，论 述几何学发展过程中
的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的
几 何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系。
能够理解复数的概念，掌握复数代数表示式的四则运算。
能够通过直观图理解空间图形，掌握 基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简
单的实际问题。能够运用图形的概念描述图形的 基本关系和基本结果。能够证明简单的几何命题（平
行、垂直的性质定理），并会进行简单应用。
重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养。
主题四 概率与统计
概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解
决问题的方 法。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。
【内容要求】
内容包括：概率、统计。
1．概率
本单元的学习，可以帮助学生结合具体实例，理 解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算
古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和 理解。
内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性。
（1）随机事件与概率
①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系（参见案
例12）。 了解随机事伴的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算。
②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率。
③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。
④结合实例，会用频率估计概率。
（2）随机事件的独立性
·24·

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型，利用独立性计算概率。
2．统计
本单元的学习，可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表 示方法、
数据统计特征的刻画方法，通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性； 体
会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，< br>积累数据分析的经验。
内容包括：获取数据的基本途径及相关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体。
（1）获取数据的基本途径及相关概念
①知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、 社会调查、试验设计、普查和抽样、互
联网等。
②了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性。
（2）抽样
①简单随机抽样
通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机 抽样方法：抽签
法和随机数法。会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系。
②分层随机抽样
通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性 ，掌握各层样本
量比例分配的方法。结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差（参见案例 13）。
③抽样方法的选择
在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。
（3）统计图表
如根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合 理使用统计图表
的重要性。
（4）用样本估计总体
①结合实例，能用样本估计总体 的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数
的统计含义。
⑦结合实例，能 用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的
统计含义。
·25·

③结合实例，能用样本估计总体的取值规律。
④结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义（参见案例14）。
【教学提示】
在概率的教学中，应引导学生通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义 。在随机事件
和样本空间的教学中，应引导学生通过古典概型，认识样本空间，理解随机事件发生的含义 ；理解
古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，知道只有在这种特征下，
才能定义出古典概型中随机事件发生的概率。教学中要适当介绍基本计数方法（如树状图、列表等），< br>计算古典概率中随机事件发生的概率。
在统计的教学中，应引导学生根据实际问题的需求，选择 不同的抽样方法获取数据，理解数据
蕴含的信息，根据数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达 数据，并从样本数据中提取需
要的数字特征，估计总体的统计规律，解决相应的实际问题．对统计中的基 本概念（如总体、样本、
样本量等），应结合具体问题进行描述性说明，在此基础上适当引入严格的定义 ，并利用数字特征（平
均值、方差等）和数据直观图表（直方图、散点图等）进行数据分析。
统计学的教学活动应通过典型案例进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较
为系统的数 据处理全过程，在此过程中学习数据分析的方法，理解数据分析的思路，运用所学知识
和方法解决实际问 题。
可以鼓励学生尽可能运用计算器、计算机进行模拟活动，处理数据，更好地体会概率的意义和统计思想。例如，利用计算器产生随机数来模拟掷硬币试验等，利用计算机来计算样本量较大的数
据 的样本均值、样本方差等。
【学业要求】
能够掌握古典概率的基本特征，根据实际问题构建 概率模型，解决简单的实际问题。能够借助
古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，以及随机事件的 概率。
能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，并从中提取需要的数字特征推< br>断总体，能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题。
能够区别统计思维与确定性思维的 差异、归纳推断与演绎证明的差异。能够结合具体问题，理
解统计推断结果的或然性，正确运用统计结果 解释实际问题。
重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。
主题五 数学建模活动与数学探究活动
·26·

【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问
题的过程。 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确
定参数、计算求解 ，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建摸活动是基本数学思维运用
模型解决实际问题的一类 综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。
数学建模活动的基本过程如下：

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。
具体表现 为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，
通过自主探索、 合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实
践活动，也是高中阶段 数学课程的重要内容。
数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展，在必修课程中，要求学生 完成其中的一
个课题研究．
【教学提示】
课题可以由教师给定，也可以由学生与教 师协商确定，课题研究的过程包括选题、开题，做题、结
题四个环节。学生需要撰写开题报告，教师要组 织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、
·27·

文献综 述、解决问题思路、研究计划、预期结果等。做题是解决问题的过程，包括描述问题、教学
表达、建立模 型、求解模型、得到结论、反思完善等。结题包括撰写研究报告和报告研究结果，由
教师组织学生开展结 题答辩。根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制
作的实物、研究报告或小论 文等多种形式（参见案例15）
在数学建模活动与数学探究活动中，鼓励学生使用信息技术。
【学业要求】
经历数学建模活动与数学探究活动的全过程，整理资料，撰写研究报告或小论文 ，并进行报告、
交流。对于研究报告或小论文的评价，教师应组织评价小组，可以邀请校外专家、社会人 士、家长
等参与评价，也可以组织学生互评。教师要引导学生遵循学术规范，坚守诚信底线。研究报告或 小
论文及其评价应存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。学生可以采取独立完成或者小组合作（2~3人为宜）的方式，完成课题研究（参见案例19）。
重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观形象素养。
（二）选择性必修课程
选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、概率与统计 、数学建模活动与数学
探究活动。数学文化融入课程内容。
选择性必修课程共6学分108课 时，表2给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根
据实际作适当调整。
表2选择性必修课程课时分配表
主题
主题一
函数
主题二
几何与代数
主题三
概率
概率与统计
统计
26
单元
数列
30
一元函数导数及其应用
空间向量与立体几何
44
平面解析几何
计数原理
建议课时
·28·

主题四
数学建模活动
数学建模活动
与数学探究活动
与数学探究活动
机动
主题一 函数
在必 修课程中，学生学习了函数的概念和性质，总结了研究函数的整本方法，掌握了一些具体
的基本函数类， 探索了函数的应用。在本主题中，学生将学习数列和一元函数导数及其应用。数列
是一类特殊的函数，是 数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有
着广泛的应用。导数是微积分 的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想，
导数定量地刻画了函数的局部变化， 是研究函数性质的基本工具。
【内容要求】
内容包括：数列、一元函数导数及其应用。
1．数列
本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念； 探索并掌
握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式：能运用等差数列、等比数列 解
决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性。
内容包括，数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。
（1）数列概念
通过 日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数
列是一种特殊 函数。
（2）等差数列
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
（3）等比数列
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
·29·
4
4

②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
（4）*数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
2.一元函数导数及其应用
本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念 ，掌握导数的基本运算，运
用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题。
内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、*微积分的创立与发展。
（1）导数概念及其意义
①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解 导数概念的实际背景，知
道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。
②体会极限思想。
③通过函数图象直观理解导数的几何意义。
（2）导数运算 < br>①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x
2
，y=x
3
，y=
1
，y=
x
的导数。
x
②能利用给出的基本初等函数的导 数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简
单的复合函数（限于形如f（ax+b））的 导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助 几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
对于多项式函数，能求不超过 三次的多项式函数的单调区间。
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 能利用导数求某些函数
的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值， 体会导数与单调
性、极值、最大（小）值的关系。
（4）*微积分的创立与发展
收 集、阅读对最积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些量要历史人物（牛顿、莱布尼
·30·

茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，采取独立完成或者小组合作的方式。完 成一篇有关微积分创
立与发展的研究报告。
【教学提示】
在数列的教学中，应引导 学生通过具体实例（如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），
理解等差数列、等比数列的概念、 性质和应用，引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系。应特
别强调数列作为一类特殊的函数在解决实 际问题中的作用，突出等差数列、等比数列的本质，引导
学生通过类比的方法探索等差数列与一元一次函 数、等比数列与指数函数的联系，加深对数列及函
数概念的理解。
在教学中可以组织学生收集 、阅读数列方面的研究成果，特别是我国古代的优秀研究成果，如“杨
辉三角”、《四元玉鉴》等，撰写 小论文，论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及
其对人类文明的贡献，感悟我国古代数 学的辉煌成就。
在一元函数导数及其应用的教学中，应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念 ，例如
斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等，应引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时
变化率的过程，了解导数是如何刻画瞬时变化率的，感悟极限的思想；应引导学生通过具体实例感
受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。学生对导数概念的理解不可能一步
到位 ，导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终。一般地，在高中阶段研究与
导数有关的 问题中，涉及的函数部是可导函数。
在教学中可以组织学生收集、阅读微积分创立与发展的历史资料， 撰写小论文，论述微积分创
立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够结合具体实例，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数 的解析表达式；
通过等差数列和等比数列的研究，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律 事物的数
学模型。掌握通项公式与前n项和公式的关系；能够运用数列解决简单的实际问题。
能够通过具体情境，直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达
现实世界必 备的思维品质。理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单
函数和简单复合函 数的导数。能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简
单的实际问题。知道微积 分创立过程，以及微积分对数学发展的作用。
重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养。
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主题二 几何与代数
在必修课程学习平面向量的基础上，本主 题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中
图形的位置关系和度量关系。解析几何是数学发展过 程中的标志性成果，是微积分创立的基础。本
主题将学习平面解析几何，通过建立坐标系，借助直线、圆 与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；
用代数方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合。
【内容要求】
内容包括：空间向量与立体几有、平面解析几何。
1．空间向量与立体几何
本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的 方法理解空间向量的概念、
运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的 方法研究空间基本图
形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方 法解决简单的
数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用。
（1）空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直 角坐标系的必要性，会
用空间直角坐标系刻画点的位置。
②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。
探索并得出空间两点间的距离公式。
（2）空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
（3）向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。
（4）空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。
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②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
④能用向量方法解决点 到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题（参
见案例16）和简单夹角问题，并 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的
作用。
2．平面解析几何
本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、围、椭圆、抛物线、双曲线的
几 何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，
运用平面 解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线
斜 率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
（3）圆锥曲线与方程
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。
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