2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)

2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义
知识点总结及例题讲解
一、集合的含义
1. 集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A.
3.常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号

集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
N
N
*
或N
＋

Z Q R
B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，
均可构成集合，故选B.]

判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是 否满足确定性，如果此组对
象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中 元
素的互异性、无序性.


1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

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(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)
2
(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②2?Q；③0∈N
*
；④|－5|?N
*
.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
C．4
B．2或4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数 ，所以0∈N
*
错误；④|
－5|＝5为正整数，所以|－5|?N
*
错误．故选B.
(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.]

判断元素与集合关系的两种方法
?1?直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合
中是否出现即可.
?2?推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合
中元素所具有的特 征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.



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2．集合A中的元素x满足
6
0,1,2 [∵∈N，
3－x
6
∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
集合中元素的特性及应用
[探究问题]
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
提示：a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
提示：a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a
2
，若a∈A，求实数a的值．
a∈A
[思路点拨] A中含有两个元素：1和a―――→

2
求a的值
a＝1或a＝a―――→检验集合中元素的互异性
2
[解] 由题意可知，a＝1或a
2
＝a，
(1)若a＝1，则a
2
＝1，这与a
2
≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a
2
＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0 ，
满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.

1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务
必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造
成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．

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1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若 考查的对
象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．
2．集合中的元素具有三个特性， 求解与集合有关的字母参数值(范围)时，
需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

1．思考辨析
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
C [∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x
2
－9＝0在实数范围内的解
C.3的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不 超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能
构成一个集合．B项，方程x
2< br>－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互
异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近 似值的全体，元素不具有确定
性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高 具有确
定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]
4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

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若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.

二、集合的表示方法
1．集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元 素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写
在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而
不属于集合 A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性
质．此时，集合A可以用它的特征 性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方
法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
2．区间的概念
设a，b是两个实数，且a＜b：
(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；
(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；
(3)集合{x|a≤ x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都
称为半开半闭区间；
(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用
区间表示为(－∞ ，＋∞)；
(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集
合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．

用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；

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②方程x
2
＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
?
x＋y＝1，
④方程组
?
的解．
?
x－y＝－1
(1)B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大 于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x
2
＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． < br>③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的
集合是{ (0,1)}．
?
x＋y＝1，
?
x＝0，
④解方程组
?
得
?

?
x－y＝－1，
?
y＝1.
?< br>x＋y＝1，
∴用列举法表示方程组
?
的解集为{(0,1)}．
?
x－y＝－1

用列举法表示集合的步骤
?1?求出集合的元素；
?2?把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
?3?用大括号括起来.


1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2 ,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4
个元素，求集合B.
[解] 对任意a ∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－
2,0,1,2,3 ∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．

用描述法表示集合
【例2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合：




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(1)方程x
2
－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)设方程x
2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x
2
－2＝0，因此，用
描述法表示为A＝ {x∈R|x
2
－2＝0}．方程x
2
－2＝0有两个实数根2，－2，因< br>此，用列举法表示为A＝{2，－2}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x ∈Z，且10描述法表示为B＝{x∈Z|1011,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为
{ 11,12,13,14,15,16,17,18,19}．

集合中的元素具有无序性、 互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素
的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔 开；用描述法表示集合
时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集< br>合.


2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x
2
＋y
2
－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x
2
－10图像上的所有点组成的集合．
[解] (1 )方程x
2
＋y
2
－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)
2＋(y＋3)
2
＝0，解得x＝2，
y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x
2
－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x
2
－
10}．

集合的表示法的应用
角度一 方程、不等式问题
【例3】 若集合A＝{x|ax
2
＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝( )
A. －4 B. 0 C. 4 D. 0或－4

B＝
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?
a≠0，
A [依题意，得关于x的方程ax＋ax－1＝0只 有一个实根，所以
?
?
Δ＝0，
2

?
a≠0，
即
?
2
解得a＝－4，选A.]
a＋4a＝0，
?

在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理， 通过对元素个数与
特性的验证分析，探索参数的取值范围.


3．若集合 A＝{x|ax
2
＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值
范围是 ________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0时， 一元
二次方程ax
2
＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a
2
－4a ＜0，即a(a－4)＜0，依题意，
?
a>0，
?
a<0，
得?
或
?
解得0?
a－4<0，
?
a－4>0，
角度二 对参数分类讨论问题
【例4】 已知集合A＝{x|ax
2
＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合．
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，A中有且只有一个元素，
即对应方程ax
2
＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．
当a＝0时，对应方程为一次方程，
此时
?
1
?
A＝?
－
2
?
，符合题意；
??


当a≠0时，
对应方程ax
2
＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意．
综上所述，a的取值集合为{0,1}．
(2)由题意知，A中至多有一个元素，
即对应方程ax
2
＋2x＋1＝0 无根或只有一根，由(1)知，当a＝0或1时，A

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中有且只有一个元素，符合题意；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，
对应方程ax
2
＋2x＋1＝0无实根，
即A中无元素，符合题意．
综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．

识别集合含义的两个步骤
?1?一看代表元素：例如{x|p?x?}表示数集，{?x，y?|y＝p?x?}表示点集.
?2?二看条件：即看代表元素满足什么条件?公共特性?.
提醒：一般地，集合{x|f? x?＝0}表示方程f?x?＝0的解集；,{x|f?x?＞0}表示不
等式f?x?＞0的解集；, {x|y＝f?x?}表示y＝f?x?中x的取值的集合；,{y|y＝f?x?}表
示y＝f?x? 中y的取值的集合.


4．若A＝{x|ax
2
＋2x＋1＝0，a∈R}＝?，求a的取值范围．
[解] 因为A＝?，则集合A无元素，即关于x的方程ax
2
＋2x＋1＝0无实数
?
a≠0，
解，所以a≠0，且Δ＜0，即
?
解得a＞1，所以a的 取值范围为{a|a
?
4－4a＜0，
＞1}．

1．?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法
比较简单；若集合中的元 素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的



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情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是 数、还是有序实数对(点)、
还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中 用了其他字母来描述元素所具有的属性
时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．

1．下列说法正确的是( )
A．0∈?
C．?中元素的个数为0
B．?＝{0}
D．?没有子集
C [空集是不含任何元素的集合，故?中元素的个数为0.]
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
C．5
C [x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)|y＝2x－1} 的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x
－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x －1的点组成的集合，故选D.]
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1且x≠2}＝________.

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B．3
D．9

[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
三、集合的基本关系
1.维恩图
一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图
来形象地表示集合之 间的关系，这种示意图称为维恩图．
维恩图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念

思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包
含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C.
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若AB，BC，则AC.
③若A?B，A≠B，则AB.


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理解子集、真子集、空集的概念
【例1】 已知集合A＝{x|x
2
－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B， 求实数a
的值．
[解] A＝{x|x
2
－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
?
1
?
(2)当a≠ 0时，B＝{x|ax＝1}＝
?
a
?
，
??
11
∵
a
≠0，要使A?B，只有
a
＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.

集合A的子集可分三类：?、A本身、A的非空真子集，解题中易忽略?.

1．已知集合A＝{x|1取值范围．
[解] (1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
?
a<1，
(2)当a<1时，要使A?B，需
?
2a－3≥1，
?
a－2≤2，
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．


这样的实数a不存在．
集合的子集、真子集的确定
【例2】 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证
你的结论．
[解] (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b， c}，{b，
d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d} ，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2
n
个子 集，2
n
－1个真子集．如?，
有一个子集，0个真子集．

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为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序 有点类似于从1到100
数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.


2．适合条件{1}?A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16 C．31 D．32
A [这样的集合A有{1} ，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，
{1,2, 5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1, 2,4,5}，{1,3,4,5}共
15个．]

集合间关系的应用
【例3】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0, 1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝
{(0,1)}； ⑥0＝{0}
A．1
C．3
B．2
D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1 ，n∈N
*
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
*
}．
(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为
同一集合，任何一个集合 是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对
于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任 何元素，并且空集是任何非空集
合的真子集，所以?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1 的集合，而{(0,1)}
是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1 )}不相等；对于⑥，0
与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B. ]
(2)[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A
与B之间无包含关系．

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②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故
AB.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
*
，因此集合M含
有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
M. 法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N

判断集合间关系的方法
?1?用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另 一集合B，
若是，则A?B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元
素是 否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；,若既有A
?B，又有B?A，则A＝B .
?2?数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直
观地进行 判断，但要注意端点值的取舍.


3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2 }和集合N＝{x∈R|x
2
－x＝0}关系的
维恩图是( )

B [解x
2
－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N
图如选项B所示．]

1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中 的元素，即由x∈A，能推出x∈B，
这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A ?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为
若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则 A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B ，但
M，其对应的维恩

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x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要
求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2
n
个子集，有2
n
－1个真子集，有2
n
－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏
掉 ．

1．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x
2
－1＝0}
C．{(x，y)|x
2
＋y
2
＝0}
B．{x|x＞6或x＜1}
D．{x|x＞6且x＜1}
D [A.{x∈R|x
2
－1＝0}＝{1，－1}，
B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，
C．{(x，y)|x
2
＋y
2
＝0}＝{(0,0)}，
D．{x|x＞6且x＜1}＝?，故选D.]
2．集合P＝{x|x
2
－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T
C
．
P
＝
T
B．P∈T
D
．
PT
A [集合P＝{x|x
2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P?T，故选A.]
3．下列正确表示集 合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x
2
＋x＝0}关系的维恩图是
( )

B [由N＝{x|x
2
＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1 ,0,1}，∴N
B.]
4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若 A?B，则实数a的取值范
围________．
[4，＋∞) [∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A?B，

第 15 页 共 30 页
M，故选

∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]


四、交集和并集
1．交集

2．并集

思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
提示：(1)“x∈A 或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，
但x?A；x∈A，且x∈B.用 维恩图表示如图所示．

(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∪A＝A
A∪?＝A


第 16 页 共 30 页
A∩B＝B∩A
A∩A＝A
A∩?＝?

交集的概念及其应用
【例1】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
B．{x|1≤x≤2}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝ 3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元
素的个数为( )
A．5
C．3
B．4
D．2
(1)A (2)D [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，

故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]

1．求集合交集的运算的方法
(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是 无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴
表示不等式时，含有端点的值用实心点表示， 不含有端点的值用空心点表示．


1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0 ,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2}
C．{0}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－ 1≤x<2}，B＝{x|x( )

第 17 页 共 30 页
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}

A．－1C．a≥－1
B．a>2
D．a>－1
D [因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合 ，
如图所示，易知a>－1.]


并集的概念及其应用
【例2】 (1)设集合M＝{x|x
2
＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x
2
－2x＝0，x∈R}，
则M∪N＝( )
A．{0}
C．{－2,0}
B．{0,2}
D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D (2)A [M＝{x|x
2
＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x
2
－ 2x＝0，x∈R}
＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]

求集合并集的两种基本方法
?1?定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
?2?数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助
数轴分析法求解.


3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.

第 18 页 共 30 页

{0,1,2,3,4,5} [A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]

集合交、并运算的性质及综合应用
[探究问题]
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么
关系？
提示：A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.
【例3】 已知集合A＝{x|－3＝A，试求k的取值范围．
等价转化
分B＝?和B≠?
[思路点拨] A∪B＝A――――→B?A――→

求交集
建立k的不等关系――→得k的范围
[解] (1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
?
－3只需
?< br>4≥2k－1，
?
k＋1≤2k－1，
5
综合(1)(2)可知k≤< br>2
.


5
解得2≤k≤
2
.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A?B.
k≤－4，
?
?
?
－3≥k＋1，所以
?
即
?
5
k≥，
?
2k－1≥4，
?
?
2


所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3
第 19 页 共 30 页

?
－3[解] 由题意可知
?
解得k＝3.
?
2k－1＝5，
所以k的值为3.

1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或” 与通常所说的“非此即彼”
有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括 下列
三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少
属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B 的元素，而不是部分，
特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B
＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直 接根据集合的“交”“并”定义求解，
但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限 的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴
分析法求解，但要注意端点值取到与否．



1．思考辨析
(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．
( )
(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集.

(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C.
(4)A∩B?A∪B.
( )
( )
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是
( )

第 20 页 共 30 页

A．{0,1}
C．{－1,2,3}
B．{0}
D．{－1,0,1,2,3}
D [由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P
＝{0 ,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{2} C．{－1,2} D．{1,2,3}
B [∵B＝ {x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．] < br>4．设A＝{x|x
2
＋ax＋12＝0}，B＝{x|x
2
＋3x＋ 2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，
－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
[解] (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b
＝－5， < br>∴A＝{x|x
2
－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x
2
＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
五、补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个
集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个 相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解
不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不 等式，则全集为整数集Z.
2．补集
文字语言
符号语言
对于一个集合 A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的
集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?
U
A
?
U
A＝{x|x∈U，且x?A}

第 21 页 共 30 页

图形语言



补集的运算
【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?
U
A＝{2,4, 6}，?
U
B＝{1,4,6}，
则集合B＝________；
(2)已 知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?
U
A＝________.
(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{ 1,3,5,7}，
?
U
A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6, 7}．
又?
U
B＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知?
U
A＝{x|x<－3或x＝5}．]

求集合的补集的方法
?1?定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
?2?Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.
?3?数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意
端点问题.


1．(1)设集合A＝{x∈N
*
|x≤6}，B＝{2,4} ，则?
A
B等于( )
A．{2,4} B．{0,1,3,5}

第 22 页 共 30 页

C．{1,3,5,6} D．{x∈N
*
|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6 }，则?
U
A＝______.
(1)C (2){x|0*
|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B
＝{2, 4}，所以?
A
B＝{1,3,5,6}．故选C.

(2)如图，分别在 数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，?
U
A＝{x|0或x≥6}． ]

集合交、并、补集的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7 }，B＝{x|2R
B，?
R
(A∪B)
及(?
R
A)∩B.
[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：

由图 知?
R
B＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2R
(A∪B)＝{x|x≤2，
或x≥10}．
因为?
R
A＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?
R
A)∩B＝{x|2
解决集合交、并、补运算的技巧
?1?如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举 出来，然后结合
交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
?2?如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在
数轴上，然后进行交、并 、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.


2．全集U＝{x|x<10，x ∈N
*
}，A?U，B?U，(?
U
B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3} ，
(?
U
A)∩(?
U
B)＝{4,6,7}，求集合A，B.
[解] 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．

第 23 页 共 30 页

由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
法二(定义法)：(?
U
B)∩A＝{1,9}，(?
U
A)∩(?
U
B)＝{4,6,7} ，∴?
U
B＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴B＝{2,3,5,8}．
∵(?
U
B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1,3,9}.
与补集有关的参数值的求解
[探究问题]
1． 若A，B是全集U的子集，且(?
U
A)∩B＝?，则集合A，B存在怎样的关
系？
提示：B?A.
2．若A，B是全集U的子集，且(?
U
A)∪B＝U，则 集合A，B存在怎样的关
系？
提示：A?B.
【例3】 设集合A＝{x|x＋m ≥0}，B＝{x|－2U
A)∩B
＝?，求实数m 的取值范围．
结合数轴
[思路点拨] 法一：由A求?
U
A―――――→

?
U
A∩B＝?
建立m的不等关系
等价转化
法二：??
U
A?∩B＝?――――→B?A
[解] 法 一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?
U
A＝{x|x<－m} ．
因为B＝{x|－2U
A)∩B＝?，

所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．

第 24 页 共 30 页

法二(集合间的关系)：由(?
U
A)∩B＝?可知B?A，
又B＝{x|－2结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

由集合的补集求解参数的方法
?1?如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合
知识求解. ?2?如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，
一般利用数轴分析法求 解.


1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集
是不同的．
2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受
阻时，改用逆向思维，如若 直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求?
U
A，
再由?
U
( ?
U
A)＝A求A.

1．思考辨析
(1)全集一定含有任何元素．( )
(2)集合?
R
A＝?
Q
A.( )
(3)一个集合的补集一定含有元素．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?
UA)∪B为( )
A．{1,2,4}
C．{0,2,3,4}
B．{2,3,4}
D．{0,2,4}
D [∵?
U
A＝{0 ,4}，B＝{2,4}，∴(?
U
A)∪B＝{0,2,4}．]

第 25 页 共 30 页

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1 }，则(?
R
S)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1}
C [因为S＝{x|x>－2}，
所以?
R
S＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?
R
S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．] < br>4．已知全集U＝{2,0,3－a
2
}，U的子集P＝{2，a
2
－ a－2}，?
U
P＝{－1}，
求实数a的值．
[解] 由已知，得－1∈U，且－1?P，
2
?
3－a＝－1，
因此
?
2

?
a－a－2＝0，
B．{x|x≤－4}
D．{x|x≥1}

解得a＝2.
当a＝2时，U＝{2,0，－1}，
P＝{2,0}，?
U
P＝{－1}，满足题意．
因此实数a的值为2.

近2年高考真题
1.(2019全国Ⅰ理)已知集合
M?{x?4?x? 2}，N?{xx?x?6?0
?
，则
M
2
N
=
A．
{x?4?x?3
?
B．
{x?4?x??2
?
C．
{x?2?x?2
?

{x2?x?3
?
D．
2.(2019
全国Ⅱ理
)
设集合
A={x|x
2
-5x+6>0}
，
B={ x|x-1<0}
，则
A∩B=
A
．
(-∞
，
1)
C
．
(-3
，
-1)
2
B
．
(-2
，
1)
D
．
(3
，
+∞)

3.(2019全国Ⅲ理
)
已知集合
A?{?1,0,1,2}，B?{xx?1}
，则
A
A
．
?
?1,0,1
?
B
．
?
0,1
?
C
．
?
?1,1
?

B?

D
．
?
0,1,2
?

4.
（
2 019
江苏）已知集合
A?{?1,0,1,6}
，
B?{x|x?0,x? R}
，则
AB?
.
B
5.
（
2019
浙江）已知全集
U?
?
?1,0,1,2,3
?
，集合A?
?
0,1,2
?
，
B?
?
?1,0,1< br>?
，则
?
U
A

第 26 页 共 30 页

=
A
．
?
?1
?
B
．
?
0,1
?
?
C
．
?
?1,2,3
?
D
．
?
?1,0,1,3
?

6.(2019天津理1)设 集合
A?{?1,1,2,3,5},B?{2,3,4},C?{x?R|1?x?3}
，则
(AC)B?

A.
?
2
?
B.
?
2,3
?
C.
?
?1,2,3
?
D.
?
1,2,3,4
?

答案解析

2


1.解析：依题意可得，
M?{x|?4＜x＜2}，N?{x|x?x?6＜0} ?{x|?2＜x＜3}，
．
所以
MIN?{x|?2＜x＜2}

故选
C
．

2.
解析：由
A?xx?5x?6?0 ?(??,2)
?
2
?
(3,??)
，
A?
?xx?1?0
?
?(??,1)
，则
AB?(??,1)
.故选
A.
3.
解析

因为
A?
?
? 1,0,1,2
?
，
B?{x|x剟1}?{x|?1
2
x?1}< br>，

所以
AB?
?
?1,0,1
?
．故选< br>A
．

4.解析 因为
A?
?
?1,0,1,6?
，
B?
?
x|x?0,x?R
?
，
所以< br>AB?
?
?1,0,1,6
??
x|x?0,x?R
?
?
?
1,6
?
.
B?{?1}
.故选A． 5.解析：
?
U
A
U
A?{?1,3}
，
?
6.解析 设集合
A?
?
?1,1,2,3,5
?
，
C?x?R1?x ?3
， 则
A
又
B?
?
2,3,4
?
， 所以
?
AC
?
故选D.







第 27 页 共 30 页
??
C?
?
1,2
?
.
B?
?
1,2
??
2,3,4
?
?
?
1,2,3,4
?
.

1< br>．
(2018
北京
)
已知集合
A?{x||x|?2}
，
B?{?2,0,1,2}
，则
A
A
．
{0
，
1}
B?

B
．
{–1
，
0
，
1} C
．
{–2
，
0
，
1
，
2} D
．
{–1
，
0
，
1
，
2}
2
2
．
(2018
全国卷Ⅰ
)
已知集合
A?{xx? x?2?0}
，则
?
R
A?

A
．
{x?1?x?2}

C
．
{x|x??1}{x|x?2}

B
．
{x?1≤x≤2}

D
．
{x|x≤?1}{x|x≥2}

3．(2018全国卷Ⅲ)已知集合
A?{x|x?1≥0}
，
B?{0,1,2}
，则
A
A．
{0}
B．
{1}
C．
{1,2}
D．
{0,1,2}

B?

4．(2018天津)设全集为R，集 合
A?{x0?x?2}
，
B?{xx≥1}
，则
AI(?
R
B)?

A．
{x0?x≤1}
B．
{x0?x?1}
C．
{x1≤x?2}
D．
{x0?x?2}

5．(2018浙江)已知全集
U?{1,2,3, 4,5}
，
A?{1,3}
，则
?
U
A=

A．
?
B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}

答案解析

1
．
A
【解析】
A?{x||x|?2}?(?2,2)
，
B?{?2,0,1,2}，∴
A
2
B?{0,1}
，故选
A
．

2
2
．
B
【解析】因为
A?{xx?x?2?0}
，所以
?
R
A?{x|x?x?2≤0}

?{x|?1≤x≤2}
，故选B．
3．C【解析】由题意知，
A?{x| x?1≥0}
，则
AB?{1,2}
．故选C．
4．B【解析】因为
B?{xx≥1}
，所以
?
R
B?{x|x?1}
，因为
A?{x0?x?2}
，

第 28 页 共 30 页

所以
AI(?
R
B)?
{x|0?x?1}
，故选B．
5 ．C【解析】因为
U?{1,2,3,4,5}
，
A?{1,3}
，所以?
U
A=
{2，4，5}．故选C．


高考模拟题

1、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设全集< br>U?x?5?x?5
，集
合
A?xx?4x?5?0
，集合
B ?x?2?x?4
，则
C
U
(A?B)?
（ ）
A.

B.

C.

2
??
?
2
?
??

D.
2、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知集合
M?{x|x?1}
，
N? {x|ax?1}
，若
N?M
，则实数
a
的取值集合（ ）
A．
{1}
B．
{?1,1}
C．
{1,0}
D．
{1,?1,0}

3、（ 佛山市2019届高三教学质量检测（二））若集合
A?{x|?5?x?2},B?{x|x
2
?9?0},求A?B?
（ ）
A．
{x|?3?x?2}
B．
{x|?5?x?2}

C．
{x|?3?x?3}
D．
{x|?5?x?3}

4
、（广州市
2019
年普通 高中毕业班综合测试（二））己知集合
A
＝

，则
（

）

A.x|x<2
或
x
≥
6} B.x|x
≤
2
或
x
≥
6 C.x|x<2
或
x
≥
10} D.x|x
≤
2
或
x
≥
10
5、（揭阳市201 9届高三第二次模拟）已知集合
M?
?
x|?1?x?1
?
，
N?x|y?2x?1
，
则
M
??
N?
（ ） < br>?
1
2
??
1
2
?
1
?
D ．
N?
?
?
x|?1?x?
?

?
2?
???
A．
N?
?
?
x|?x?1
?
B．
N?
?
x|?x?1
?
C．
N?
?
x|0?x?1
?


6、（深圳市2 019届高三第二次（4月）调研）已知集合
M?{x|x?0},N?{x|x?4?0},
则
MUN?
( ).

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2

A.
(??,?2]U(0,??)
B.
(??,?2]U[2,??)
C.
[3,??)

D.
(0,??)

7、（雷州市2019届高三上学期期末）设集合
A?{x| x?2}
，
B?{x|x(3?x)?0}
，则
A?B?

A．
{x|x?2}
B．
{x|x?3}
C．
{x|2?x?3}
D．
{x|2?x?3}

2
8
、（茂名市
2019
届高三上期末）已知集合
A
＝｛1
，
3
，
5
，
7
｝，
B
＝｛
x
｜
x
一
7x+10
≤
0
｝，
则
A
∩
B
＝（ ）

A
、
{1
，
3
｝


B
、｛
3
，
5}

C
、
{5
，
7
｝


D
、
{1
，
7
｝

9、（清远市2019 届高三上期末）设集合
M?
?
x?R0?x?2
?
，
N?< br>?
x?Z(x?3)(x?1)?0
?
，
则
M?N?

A．
?
0,2
?
B．
?
?1,3
?
C．
?
1
?
D．
?
0,1,2
?

N
＝
{x|x
（< br>x+2
）
10
、（广州市天河区
2019
高考二模）已知全集
U
＝
R
，
M
＝
{x|x
＜﹣
1}
，＜
0}
，
则图中阴影部分表示的集合是（ ）


A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}

答案
1、A 2、D 3、A 4、D 5、A 6、A 7、B 8、B 9、D 10、A



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