广州初中高中数学教学内容-西安招聘高中数学老师
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7.7.1
数列的极限
一、填空题
1、若
lima
n
?
A
，则可表示为
lim|a
n
?A|?
________
n??n??
2、设数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?
n?1
，那么
lima
n
?
________
n??
n?1
3、写出两个数列，使其极限为2009：_____________
_______
4、给出极限式：（1）
lim
____________
n2009
3
n
2
n
；（2）
lim
；（3）
lim()
；（4）
lim(?)
中，其中值为0
的是
n??
2
n??
2n?1
n??
n?1
n??
3
二、选择题
5、若
lima
n
?A
，则（ ）
n??
（A）
a
n
?A
随
n
的增大而减小
（B）
a
n
?A
随
n
的增大而减小
（C）
a
n
与A越来越接近
（D）
a
n
无限趋近于A
6、下列数列中极限为2的是（ ）
n
2
?1
2
2n?12
(A)
a
n
?
（B）
a
n
?
（C）
a
n
?
2
（D）
a
n
?
2
n?1
n
n?1n?1
7、若四个数列的通项如下，则当
n??
时，数列极限不存在的是（ ）
5n?3(n?1)(n?1)1
n
(A)
a
n
?
（B）
a
n
?
（C）
a
n
?
?
（D）
a
n
?(?)
4n?1n2
?
1
?
1?
n
(1?n?2008)
8、数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?
?
，则
lima
n?
（ ）
n??
1
n
(n?2009)
?
()
?
2
(A) 1 （B）0
（C）0或1 （D）不存在
9、若数列
{a
n
}
的极限为
A
，则它的所有偶数项组成的新数列
{a
2n
}
的极限（ ）
(A) 存在且等于
A
（B）存在但不等于
A
（C）可能存在也可能不存在
（D）不存在
三、
解答题
10、已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?
3n?2
33
3
，试分别写出
|a
1
?|
，
|a
2
?|
，
|a
5
?|
，
222
2n?3
|a<
br>10
?
33
|
，
|a
100
?|
的
值，并判断它有没有极限。
22
11、判断下列关于数列极限的叙述是否正确，并说明理由。
（1）因为
·1·
11
11
?
，所以
lim?lim
。
n??
n
n??
2n
n2n
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（2）如果
lima
n
?A
，那么对一切正整数
n
，都有
a
n
?A
。
n??
*
12、数列
{a
n
}
满足：
n?N
都有
a
n
?2且
lim|a
n
?2|?0
，请你给出这样的两个数列。
n??
13、同
时满足如下三个条件：（1）
lima
n
?p?2
；（2）
lima
n
?5?q
；（3）
lima
n
?p?q?1
的数
列
{a
n
}
n??n??n??
是否存在？若存在，求出
p
,q
以及
lima
n
，并写出一个这样的数列；若不存在，说明理由。
n??
(?1)
n
?n
14、已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?
，判断这个数列是否存在极限，并说明理由。
2n?1
·2·
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7.7.2 极限运算法则（1）
一、填空题
1、“
lima
n
?A
，
limb
n
?B
”是“
lima
n
b
n
?A?B
”的_________
_____条件
n??
n??n??
2、若
lima
n
?
3
，
limb
n
?
n??
n??
a?2b
n
1
?
_________ ，则
lim
n
n??
3a
n
2
(n?1)(n?2)(n?3)
?
______
n??
8n
3
6?an
4、已知
lim?3
，则
a?
_________
n??
3?n
1
2
5、若数列<
br>{a
n
}
的通项公式
a
n
?
，则
l
im(a
1
?na
n
)?
_________
n??n(n?1)
6、已知
lim(2n?1)a
n
?3
，则
lim(na
n
)?
_________
3、
lim
n??n??
二、选择题
7、下列四个命题中，正确的是（ ）
22
(A)
若
lima
n
?A
,
则
lima
n
?A
（B）若
a
n
?0
，
lima
n
?A
，则
A?0
n??
n??n??
（C）若
lima
n
?A
，则
lima
n
?A
（D）若
lima
n?A
，则
limna
n
?nA
n??
n??
22
n??
n??
1
?
?
(1?n?1000)<
br>?
n
2
8、数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?
?
，则
lima
n
?
（
）
2
n??
n
(n?1001)
?
2
?
?
n?10
100
(A) 0 （B）1
（C）0或1 （D）不存在
9、下列四个命题中，正确的是（ ）
(A) 若
lim(a
n
?b
n
)?a?0
，则
lima
n
?0
且
limb
n
?0
n??n??n??
（B） 若
lim(a
n
?b
n
)?0
，则
lima
n
?0
或
limb
n
?0
n??n??n?
?
（C）若无穷数列
{a
n
}
有极限
A
，则
lima
n
?lima
n?1
n?
?n??
（D）若无穷数列
{a
n
}
有极限它的前
n
项和为
S
n
，则
limS
n
?lima
1
?lima
2
?
n??n??n??
?lima
n
；
n??
三、解答题
10、计算下列极限：
（1）lim(
n??
127n?423
??3)limlim[(3?)(2?)]<
br> （2）
（3）
2
n??n??
nn5?2nnn
2n
2
?n?3
(n?3)(n?4)
lim
（4）
lim
（5）
n??
?3n
2
?100n
n??
(n?1)(3?2n)
·3·
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an
2
?bn?100
?2
，求
a,b
的值。
11、已知
lim
n??
3n?1
12、求下列极限：
（1）
lim
1?2??n111
（2）
lim(1?)(1?)(1?)
2
n??n??
n234
1
(1?)
n
13、
在数列
{a
n
}
中，
a
1
?3
，且对任意
大于1的正整数
n
，点
(a
n
,a
n?1
)
在直线
x?y?3?0
上，求
lim
a
n
n??
(n?1)
2
14、已知
{a
n
}
为公差
d?0
的等差数列，且
lim
15、已知点
A(0,)
，
B(0,?)
,
C(4?
的值。
a
n
?2
，求
d
的值。
n??
n
2
n
2
n
2
,0)
,其中
n
为正整数，
设
S
n
表示
?ABC
外接圆的面积，求
limS
n
n??
n
·4·
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7.7.2 极限运算法则（2）
一、填空题
2?4??2n
?
_________
n?
?
n
2
3
n
?4
n
?
_________
2、计算：
lim
n?1
n??
3?4
n?1
n
3
、数列
a
n
?(1?2a)
，若
lima
n
存在，
则实数
a
的取值范围是______________
1、计算：
lim<
br>n??
2
n
1
?
4、若
lim
n?1
，则实数
a
的取值范围是______________
n??
2?a<
br>n
2
1?2??2
n
?
_________
5、计算：
lim
n
n??
2?100
二、选择题
6、下列四个命题中，正确的是（ ）
(A) 若
lima
n
?A
,
则
lima
n
?A
或
lima
n
??A
n??
22
n??
n??
（B）若
lima
n?p
，
limb
n
?q
，
a
n
?b
n
，则
p?q
n??n??
（C）若
lim(a
n
?b
n
)?0
，则
lima
n
?limb
n
n??n??
n??
（D）数列
{a
n
}
和
{b
n
}<
br>均无极限，但数列
{a
n
?b
n
}
可能有极限
11
(1?)]?
（ ）
n??
5n?2
2
(A) 0 （B）
（C）1 （D）2
3
a
n
?b
n
??b
，则正数
a
和
b
的大小关系为（ ）
8、若
lim
n?1n?1
n??
a?b
(A)
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b
（D）无法确定大小
7、
lim[n(1?)(1?)(1?)
1
3
1
4
三、解答题
9、计算下列极限：
（1）
lim
（2）
lim(
n??
1?4?7?
n??
1?5?9?
?(3n?2)
?(4n?3)
123
???
222
n?1n?1n?1
?
2n
)
2
n?1
（3）
lim
?
·5·
?
11
??
n??
1?33?5
?
?
?
1
?
(2n?1)(2n?1)
?
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1?a
n
(a?1)
（4）
lim
n??
1?a
n
10
、
已知数列
?
a
n
?
是由
正数构成的数列
a
1
?3
且满足
lga
n
?lga
n?1
?lgc
，其中
n
是大于1的整数，
c
是<
br>正数．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式及前n
和
S
n
；
（2）求
lim
2
n?1
?a
n
2?a
n?1
n
n??
的值．
?
a
1
1
n
?
?
11、已知等比数列
?
a
n
?
的
公比为
q
，且有
lim
?
?q?
?
2
，则
首项a
1
的取值范围.
n??
?
1?q
??
3?2n(1?n?6)
?
?
12、若a
n
?
?
，记
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，求：
3
(n?7)
?
?
2
n?1
（1）
lima
n
；
（2）
limS
n
.
n??n??
·6·
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7.8
无穷等比数列各项和（1）
一、填空题
1、将
0.23
化成分数___________
2、无穷等比数列
{a
n
}
的各项和是首项的3倍，则数列的公比为________
3、
已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?()
，前
n
项和为
S
n
，则
limS
n
?________
n??
??
1
2
n
1
，则
首项
a
1
的范围是________
n??
2
5、等比数
列
{a
n
}
中，
a
1
?a
2
?9
，
a
1
?a
2
?a
3
?27
，则
lim(a
1
?a
2
??a
n
)?
___
___
4、无穷等比数列
{a
n
}
中，
lim(a
1
?a
2
??a
n
)?
n??
二、选择题
6、下列各式中，正确的是（ ）
(A)
0.9?1
（B）
0.9?1
（C）
0.9?1?0.1
（D）
0.9?1
7、若无
穷等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，则数列
{an
}
的各项和存在的充要条件是（ ）
(A)
lima
n
存在 （B）
limq
存在
（C）
limS
n
存在
（D）
limS
n
?0
n??
n??
n
????
n??
n??
8、一个无穷等比数列
{a
n
} ，前
n
项和为
S
n
，
limS
n
?
6
，
a
1
?a
2
?
n??
16
，
则
a
1
?
（ ）
3
(A)
4或
18
（B）
?
或4 （C）
8或－4 （D）8或4
83
三、解答题
9、求无穷等比数列
{(?1)
n
1
}
各项的和.
n?1
3
11
1??
?
39
10
、
计算：
lim
n??
11
1
???
24
?
1
3
n?1
.
1
?
n?1<
br>2
11、已知数列
{a
n
}
为无穷等比数列，且
a<
br>1
?a
2
?
?a
n
??
1
，
求实数
a<
br>1
的取值范围.
a
1
·7·
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?
12、设
{a
n
}
为无穷等比数列，公比
|q|?1
，a
n
?
k(a
n?1
?
a
n?2
??
)
（
n?N
）,求实数
k
的范围.
3?2n(1?n?6)
?
?
13、若
a
n
?
?
，记
S
n<
br>为数列
{a
n
}
的前
n
项和，求：
3(n?7)
?
?
2
n?1
（1）
lima
n<
br>； （2）
limS
n
.
n??n??
1
4、已知正方形的边长为
a
，作正方形的内切圆，在此内切圆内作新的正方形，这样一直
无限地继续下去.
⑴ 求所有这些内切圆的周长之和；
⑵ 求所有这些内切圆的面积之和.
·8·
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7.8
无穷等比数列各项和（2）
一、填空题
1、无穷等比数列0.3
，
0.03
，
0.003
，
0.0003
，
?
各项和是________
2、一个无穷等比数列
{a
n<
br>}
的所有项和为52，
a
1
?a
3
?169
，，则它的公比为______
3、一无穷等比数列
{a
n
}
的首
项为一自然数，公比为
q
，且
1
为大于1的自然数，此数列的各项和为3，<
br>q
n??
则它的前两项和为________
a
1
?a2
?a
3
?10
，
a
4
?a
5
?a
6
?5
，4、无穷等比数列
{a
n
}
满足：
则
lim(a
1
?a
2
?
5、无穷数列
?a
n
)
的值为________
1
?
12
?
1
n
?
，
?
，
n
sin
，
?
的各项
和为________
sin
，
2
sin
222222
1
6、一个球自12米高的地方自由落下，触地后的回弹高度是下落高度的
，假设能无限次反弹，则此小
4
球运动所经过的总路程为________米
二、选择题
7、无穷等比数列
{a
n
}
中，若任何一项都
等于这项后面所有项的和，则等比数列的公比（ ）
1111
（B） （C）
?
（D）
?
4224
18
8、等比数列
{a
n
}
的公比
q??
，且
lim(a
1
?a
3
??a
2n?1
)?
，则
a
1
?
（ ）
n??
23
(A)
1
（B）2
（C）3 （D）4
1
2222
9、等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，
q?
，
T
n
?a
2
?a
4
?a
6
???
a
2n
，则
limT
n
?
（ ）
n??
2
1482
(A) （B）
（C） （D）
315157
(A)
三、解答题
10、已知
S
n
?
n
11、无穷等比数列
{tan
?
}
中，
121212
，求
limS
n
.
?
2
?
3
?
4
?
?
?
2n?1
?
2n<
br>（
n?N
?
）
n??
555555
（1）若它的各项
和存在，求
?
的范围；
3?1
，求
?
的值.
2
111
12、对于数列，
2
，
?
，
n
，<
br>?
，试从其中找出无限项构成一个新的等比数列，使新数列的各项和
222
1<
br>为，并求新数列的首项和公比.
7
（2）若它的各项和为
·9·
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13
、直角坐标系中，
一个粒子从原点出发沿
x
轴向右前进
1
个单位到点
P
1，
再向上前进个单位到点
P
2
，
再向左
1
2<
br>1
1
前进个单位到点又向下前进个单位到点
P
4
，
以
后前进方向按右、上、左、下的顺序，
P
，
3
2
3
2
2
每次前进的距离为前一次前进距离的一半，这样一直下去，求粒子到达的极限位置的坐标。
Y
P3
P2
P4P5
P1
X
14、
直线
7x?24y?14?0
与互相依次外切的半圆
C
1
，
C
2
，
C
3
，…
都外切，其中半圆
切，这些半
圆的圆心都在
x
轴的正半轴上，半径分别为
r
1
,
r
2
,
r
3
,…
（1）求半径
r
1
,
r
2
的值
；
（2）求数列
{r
n
}
的通项公式；
y
（3）求前
n
个半圆的弧长的总和
l
n
，并求
lim
n??
l
n
。
ox
·10·
C
1
与
y
轴相
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第8章
平面向量的坐标表示
附录 1.向量
一、填空题
1、 已知，D、E、F分别是
?ABC
的三边AB、BC、AC的中点，与
DF
向量平行的向量为
_______________
2、 在四边形ABCD
中，若
AB?DC
，则四边形ABCD的形状为________________
3、
a?0
是
a?0
的______________________条件
4、在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，设
AE?a,DA?b
，则与
a
相等的向量是
________________，与
b
平行的向量是________________
5、下列五个命题中
（1）若
a?b
，则
a??b
；（2）若
b
是
a
的
负向量，则
a?b?0
；
（3）
a?0
的充要条件是
a?
0
（4）若
a??b
，则
a?b
；（5）若
AB||CD<
br>，则AB||CD。
正确命题的序号是____________________
二、选择题
1、下列说法中，正确的是
（ ）
A、相等的向量即是模相等的相等
B、方向不同的向量也可能相等
C、平行的向量即为方向相同的向量
D、
0
平行于任一向量
2、
a?b
是
a??b
的
（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
3、下列命题，其中真命题的个数为
（ ）
（1）若
a??a
，则
a?0
（2）若
a?b
，则
a,b
所在的直线重合
（3）若
a?b
，则
a?b
或
a??b
（4）若
a?0
则
a?0
A、4个
B、3个 C、2个 D、1个
三、解答题
1、已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点。
（1）写出与
AD
相等的向量；
（2）写出
AO
的负向量；
（3）写出与
AO
平行的向量。
2、回答下列问题，并说明理由。
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）平行向量是否一定相等？
（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等？
（4）相等的非零向量，若起点不同则终点一定不同？
·11·
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3、如图,O是正六边形ABCDEF的中心,求与
BA
相等的向量;
BA
的负向量;与
BA
平行的向量.
E
F
. D
A O
B C
4、若向量
AB
与CD
不相等，则这两个向量有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，
试举
出一例
5、四边形
ABB
1
A
1
中，求证：“
AA
1
?BB
1
”是“四边形
ABB
1
A
1
是平行四边形”的充要条件。
·12·
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2.向量的加减法(1)
一、填空题
1、按下列条件求
a?b
的大小和方向：
（1）a?8
，向西，
b?5
，向西，则
a?b
=_________
____，方向___________
（2）
a?8
，向西，
b?5，向东，则
a?b
=_____________，方向____________ （3）
a?5
，向西，
b?8
，向东，则
a?b
=__
____________，方向____________
2、在平行四边形ABCD中，
AB?a,AD?b
则向量
AC?
______________________
3、在
?ABC
中，
AB?BC?CA
=____________
___________
4、已知线段AB，M为AB的中点，O为AB外一点，若
OA?a
,OB?b
，则
OM?
_____
5、在矩形ABCD中，
AB?
5,BC?2
，则向量
AB?AD?AC
的长度等于___________
二、选择题
1、下列各式中一定能成立的是
( )
A、
a?b?a?b
B、
a?b?a?b
C、
a?b?a?b
D、
a?b?a?b
2、若
a?b?c?0
，则
a,b,c
( )
A、一定可以构成一个三角形
B、都是非零向量时能构成一个三角形
C、一定不可能构成一个三角形
D、都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
3、设O为正六边形AFDBEC的中心，得到下列关于向量加法的运算：
（1）
O
A?OE?OC;
（2）
AB?DC?FE;
（3）
FA?EC?BD?EF
其中正确的运算的个数是
( )
A、0 B、1
C、2 D、3
三、解答题
1、甲往东北方向走了50m，然后又折向正西方向走了70m，求这时甲离出发点的距离和方向。
2、已知四边形ABCD
中，
AB?a,CD?b,CB?c
,试求
AD
。
·13·
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3、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
0
4、设向量<
br>a
和
b
的模各为4和3，夹角为
60
，
u?a?b<
br>，求
u
。
00
5、勘察队从A地按北偏东
32的方向行进
7.2km
到B地；再从B地按北偏西
18
的方向行进
6.5km
到C
地；再从C地按南偏西
84
的方向行进
8.1km
到D地；再从D地按南偏西
33
的方向行进
4.7km
到E
地，求出E地大致在A地的什么方向，距离是多少？
00
·14·
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2.向量的加减法(2)
一、填空题
1、在平行四边形ABCD中，AB?a,AD?b
，则用
a,b
表示
DB
=________
__________
2、平行四边形ABCD中，若
AC?x,BD?y
，则用<
br>x,y
表示
AB
=__________________
BC
=_____________________
3、
a?b?a?b
（
a,b
是非零向量）成立的一个充要条件是__________________
____
4、设O为正六边形AFDBEC的中心，若
OA?a,OD?d,OE?e
用
a,d,e
分别表示
（1）
OB
=_____________
（2）
DO
=______________
（3）
FO
=_______________
（4）
AF
=_____________
（5）
BD
=______________
5、已知向量
a,b,c的模分别为3，4，5，则
a?b?c
的最大值为______，最小值为______
二、选择题
1、若
m?n
的始点为A，终点为B，则下列关于点A，B的叙述中正确的是
( )
A、若使
n
的始点与
n
m
的终点重合，
则A为
m
的始点，B为
n
的终点
B、若使
n
的始
点与
m
的终点重合，则A为
n
的始点，B为
m
的终点 C、若使
n
的始点与
n
的始点重合，则A为
m
的始点，
B为
n
的终点
D、若使
n
的始点与
n
的始点重合
，则A为
n
的始点，B为
m
的终点
2、六边形ABCD
EF为正六边形，有下列关于
AC
的表达式：（1）
BC?CD?EC;
（2）
FE?ED;
（3）
BC?BA
，其中正确的个数是
( )
A、 0 B、1
C、2 D、3
3、设正六边形ABCDEF的中心为O，下列等式中成立的是
( )
A、
BE?EO?BO
B、
DF?EO?AD
C、
AD?FC?BE
D、
AB?BC?CD?DA
三、解答题
1、如图所示,已知向量
a,b,c
,试作出向量
a?b?c
a
b
c
<
br>2、已知
AB?a?3b,CB?2a?b,CD?7a?4b
,求
DA
·15·
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3、有一个边长为1的正方形ABCD,设
AB?a,BC?b,AC?c
,求
a?b?c
;
a?b?c
.
4、已知
a?4,b?5,a?b?7
,
求:(1)
a
与
b
的夹角;(2)
b?a
的值.
0
5
、一个质点O受两个力
OF
1
和
OF
2
的作用,若两个力的
夹角为
120
,且
OF
2
?4N
,作用在质点O上合
力
OF?27N
.求:(1)作用在质点O上另一个力
OF
1
的大
小;(2)
OF
1
与
OF
的夹角的大小.
3.实数与向量的乘积(1)
一、填空题
1、化简：
2a?3
b?(2a?3b)
=_______________________
2、已知ABCD
为平行四边形，若
AB?a,AD?b
，E为CD的中点，则
EB
=____
_______
3、在
?ABC
中，G是重心，D为BC边上的中点，若用一个实数
与
BG
相乘来表示
DB
，则
DB
=___________
_________
4、已知向量
a,b
不平行，实数
x,y
满足
向量等式
5xa?(8?y)b?4xb?3(y?9)a
，则
x?
___
___________________，
y?
____________________
___.
5、已知点C在
AB
所在直线的反向延长线上，且
|BC|?3A
B
，若用实数与
AB
的乘法来表示
AC
，则
AC
=
__________________
·16·
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二、选择题
1、
EF
是
?ABC
的一条中位线，
EF
BC
。若
EF?a,AB?b
，则
CA
等于 (
)
A、
?b?2a
B、
?b?2a
C、
b?2a
D、
b?2a
2、
已知
AD,BE
分别为
?ABC
的边
BC,AC
上的中线，
且
AD?a,BE?b
，则
BC?
( )
A、
3、若向量
a,b
是平行向量，且
a?0,b?0
，则下列哪个条件
可以表示
ab
( )
A、
a??b
B、
a?kb(k?0)
C、
a?kb?0(k?0,k?R)
D、
a?kb?0(k?0,k?R)
三、解答题
42242222
a?b
B、
a?b
C、
a?b
D、
?a?b
33333333
1
、设
x
为未知向量，
a,b
为已知向量，试解方程：
4x?24a?
b?x?3b?2a?0
2、在正六边形ABCDEF中，令
BF?a,BD?B
，试用
a,b
来表示
BC
和
BE
3、设平面上有点P与
?ABC
，已知
PA
?PB?PC?AC
，试问点P在
?ABC
的什么位置？
4、点A、B、C同在直线L上，点
O在直线L外，且
AB?
??
1
AC,OA?a,OB?b,OC?c
，试用
a,b
表示
3
c
。
·17·
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5、设O为
?ABC
中任意一点，D、E和F分别为AB、BC和AC的中点，
试证：
OA?OB?OC?OD?OE?OF
·18·
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3.实数与向量的乘积(2)
一、填空题
1、在
?ABC中，M为BC的中点，若
AB??4a?2b,AC?2a?6b
，则
AM
=_________.
2、在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC的三等分点，设
AB?a,AD?b
。若用
a,b
表示
DF
，则
DF
=___________________.
3、已知AD，BE和CF为的
?ABC
中线，G为重心，若
AD?m,AC?b，用
m,b
表示
CF
，则
CF
=__________
______________.
4、梯形ABCD中，
ABCD
且
AB?
2CD
，M，N分别为DC和AB的中点，已知
AB?a,AD?b
，试用
a
,b
表示下列向量，则
DC
=___________,
BC
=__
___________,
MN
=_____________.
5、
OA
DB
是以向量
OA?a,OB?b
为边的平行四边形，C为对角线的交点，M，N分别
为线段BC，CD上
的点，
BM?
11
BC,CN?CD
且，试用向
量
a,b
表示
OM
=______________，
33
ON
=_____________
MN
=_______________.
二、选择题
1、设
a?m(m?0)
与
a
反向
的单位向量
b
0
。则
a
用
b
0
表示为
（ ）
A、
a?mb
0
B、
a??mb
0
C、
a?
11
b
0
D、
a??b
0
mm
2、设
a
0
为单位
向量，（1）若
a
为平面内的某个向量，则
a?aa
0
；（2）若<
br>a
与
a
0
平行，则
a??aa
0
；
（3）若
a
与
a
0
平行，且
a?1
，则
a
?a
0
上述命题中，假命题的个数为
（ ）
A、0 B、1 C、2
D、3
3、若
p
1
p??
2
pp
2
，且
p
1
p
2
?
?
pp
1
，则
?
等于 （ ）
5
3
333
A、 B、
?
C、 D、
?
5
522
三、解答题
1、
AD,BE,CF
分别是
?ABC
的中线
，G为重心，若
AG?m,BC?a
，用
m,a
表示：
（1）
AB
（2）
CA
（3）
BE
（4）
CF
2、设
C
1
?h
1
a?k
1
b
，
C
2
?h
2
a?k
2
b
，a,b
是不平行的非零向量，如果
C
1
?C
2
?ma?
nb
，试求
系数
m,n
·19·
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3、设两个非零向量
e
1
,e
2
不平行
（1）如
果
AB?e
1
?e
2
,BC?2e
1
?8e
2
,CD?3e
1
?3e
2
，求证：A，B，D三点共线
（2）试确定实数
k
的值，使
ke
1
?e
2
与<
br>e
1
?ke
2
平行。
4、已知D、E是
?ABC
中AB和AC
边的中点，连接CD并延长到M，使DM=CD，连接BE，并延长至N，使
EN=BE，求证：
（1）M，A，N三点共线； （2）
MN2BC
5、任意四边形ABCD中，M，N分别是AD
，BC的中点，G为MN的中点，O为平面内的任意一点，求证：
（1）
GA?GB?GC?GD?0
；
（2）
OG?
1
(OA?OB?OC?OD)
。
4
·20·
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8.1向量的坐标表示及其运算（1）
一、填空题
1、如果
a
?
?
x
1
,x
2
?
,b?
?
y<
br>1
,y
2
?
，那么
a?b?
___________
__;
a?b?
___________；
ka?
__________?
k?R
?
，
a
的负向量
?a
=______
_____；
a??a?
____________.
2、
a?
?
x
1
,y
1
?
的单位向量
a
0
?
____________________.
3、向量
AB
的起点A的坐
标是（-6，5），终点B的坐标为（-4，-10），则
AB
坐标为___________
.
4、已知点A（2，-1），点B（-4，8），
AC?
??
1
CB
，则C点的坐标为_________________.
2
5、设向量
a?
?
?40,9
?
，则与它方向相反而模为205的向量的坐标____
______________.
二、选择题
1、若点P的坐标为（3，-4），
AB?
?
3,?4
?
则
( )
A、点P与点A重合 B、点P与点B重合
C、
OP?AB
D、点P在
AB
上
2、a?
?
1,?2
?
,b?
?
?3,1
?
，
m
0
是
a?b
的单位向量，则
m
0
的
坐标是 ( )
A、
(,?)
B、
(?
4
5
3
5
434343
,?)
C、
(?,)
D、
(,)
555555
3、已知
?ABC
的顶点坐标A（3，4），B（-2，-1），C（4，5），D在
BC上，且
?ABD
的面积是
?ABC
面
1
，则AD的长是
( )
3
72
A、 B、
32
C、
22
D、
2
2
积的
三、解答题
1、已知
3a?b?
?
7,?2
?
,2a?3b?
?
12,?5
?
，求
a,b
及a,b
。
2、已知
a?
?
3,4
?
,b?
??2,16
?
,c
0
是与
a?b
异向的单位向量，求<
br>c
0
的坐标。
·21·
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3、已知
AB?(3,?7),BC?
?
1,?
3
?
，又
OC??
4、已知点
A
?
?3,?4
?
和点<
br>B(5,?12)
，求
（1）
AB
的坐标及
AB
（2）若
DC?OA?OB,OD?OA?OB
，求
OC
与
OD
的坐标。
5、在平面直角坐标系中，已知O是原点，点A（3，-1），且B（-1，-1），求：
（1）
OA?2AB?OB
的模
（2）如果
xOA?yOB?2AB
，求实数
x,y
的值
3
AC
，求点C的坐标
4
·22·
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8．1向量的坐标表示及其运算（2）
一、填空题
1、已知AD为?ABC
的中线,G为重心,
AG?
?
DC
,则
??
____________________.
2
CB,BA?
?<
br>AC
,则
?
的值是_________________________.
3
3、已知AD为
?ABC
的中线,G为重心,点A的坐标为(6,-2),
点G的坐标为(4,0),则点D的坐标为
2、已知
AC??
___________
___________.
4、已知
a?
?
x?3,2x?1
?<
br>,b?
?
2,5
?
,且
a
平行与
b
,则
x
的值是___________________.
5、已知
AB?
?4i?3j,BC?2i?j
,
OC
与
AC
反向且
OC?
_________________________.
二、选择题
1、若
P
1
P??
2
AC
,则C点的坐标为
3
2
PP
2
,则下列各式中不正确的是
( )
3
311
A、
P
2
P??P
B、 C、 D、
PPP??PPPP?P
1
P
PP?2PP
121212
112
232
2、若有点M
1
(4,3)
和
M
2
(2,?1)
，点M
分向量
MM
2
1
的比
?
??2
，则
M
的坐标( )
A、
?
0,?
?
B、
?
6,7
?
C、
?
?2,?
?
D、
?
0,?5
?
3、若A，B两点的坐标分别为（4
，1）和（-2，4），直线AB与
x
轴的交点为P，且
AP?
?
P
B
，则
?
的
值
( )
A、-4 B、4
C、
?
三、解答题
1、已知
OA?2I?J
，点B的坐标为（1，3），
OC
是
AB
的位置向量，求点C的坐标。
2
、已知
a?
?
4,5
?
,b?
?
3,6
?
，求实数
k
，使得
a?kb
与
a?3b
平行
·23·
?<
br>?
5
?
3
?
?
?
7
?
3<
br>?
11
D、
44
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3、设
a?
?
?1,2
?
，点A（-
2，1），若
AB
平行于
a
，且
AB?35
，求向量
OB
的坐标。
4、已知平面上有A（-2，1），B（1，4），C（4，-3）三个点，又有
一点C在
AB
上，使
AC?
接DC，并延长到E，使
CE??
5、已知
向量
AB?
?
4,3
?
,AD?
?
?3,?1?
，点A（-1，-2）
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点p(2,y)
分
BD
所成的比为
?
，求
y
和<
br>?
的值。
1
CB
，连
2
1
ED
，求点E的坐标
4
·24·
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8.2向量的数量积（1）
一．填空题
1． 在Rt?ABC
中，
?A?90,AB?1,AC?1,
则
AB?BC?_
_______
。
2． 已知
|a|?3,|b|?4,a
与
b<
br>的夹角为
150
，则
a
在
b
方向上的投影是____
_______.
3． 若
a与b的交角为60
0
,|a|?|b|?1,
则a?(a?b)?________
4．
已知
|a|?|b|?4,且a?b??8,则a与b的夹角为___________.
5． 已知
|a|?10,|b|?36,且(3a)?(?b)?108,则a与b的夹角是
______
二．选择题
0
0
1
5
b、c
是任意的非零平面向量,且相互不平行,则①
(a?b)c?(c?a)b?0
1．设
a、
②
|a|?|b|?|a?b|
③
(b?c)a?(c?a)b
不与
c
垂直
④
(3a?2b)?(3a?2b)?9a?4|b|
2
中，是真命题的有
（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2．
若a?b?0,则a与b的夹角
?
的取值范围是
（ ）
2
B.(,
?
)C.(,
?
]D.[,?
]
2222
AB?BC?0,则?ABC的形状是
（ ） 3．
在?ABC中，
A.[0,
?
],
???
A.锐角三角形
B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
三．解答题
1．已知
a?s,b?t,
（1）若
a,b
的夹角为
?
3<
br>,
求
a?b,a?b
（2）若
s?0,t?0,a?b?a?b,
求
a,b
的夹角
2．已知
a?b?c?0,|a|?3,|b|?5,|C|?7,求a与b
的交角。
·25·
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8.2向量的数量积（2）
一、填空题
1.已知?ABC中，a
?5,b?8,C?60
0
,则BC?CA?_________
2.已知
平面上三点A、B、C满足|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?CA?
CA?AB?________
3.已知|a|?3,|b|?4,(a?b)?(a?3b
)?33,则a与b的交角为_________
二、选择题
1.a、b为非零向量，且|a?b|?|a?b|,则以下结论错误的是
（ ）
A.a?b?0
C.a?b
D.以a、b为邻边的平行四边形是矩形
2.已知a、b、c为非零的平面向量，甲：a?b?a?c,乙：b?c,则
（ ）
A.甲是乙的充分非必要条件B.甲是乙的必要非充分条件
C.甲是乙的既不充分有不必要条件D.甲是乙的充要条件
三、解答题
1.??已知|a|?8,|b|?10,|a?b|?16,求a与b的夹角。
2.??|a|?|b|?1,a?b,且2a?3b与ka?4b垂直，求k的值。
3.??已知a、b是两个非零向量，且a?3b与7a?
5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求a与b夹角。
4.??已知
a、b为单位向量，且|ka?b|?3|a?kb|(k?0)
????(1)用k表示a?b(2)
求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角
<
br>5.??若a、b是两个不平行的向量，当a?tb(t?R)的模取最小值时，求证：b与a?tb垂直
，
的值。
·26·
并求
t
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8.2向量的数量积（3）
一．填空题
1.???已知a?(3,1),b?(x,?3)且a?b,则x?_________
<
br>2.???设a与b的夹角为
?
，且a?(3,3),2b?a?(?1,1),则co
s
?
?_________
3.???设命题p:b与a平行，命题q:有
且仅有一实数
?
使得b?
?
a,则p是q的____条件。
4.??
?已知a?(3,1),b是不平行于x轴的单位向量，且a?b?3,则b?______
5.???i,j分别是x、y轴正方向上的单位向量，在Rt?ABC中，若AB?2i?j,AC?
3i?kj，则k的可能值的个数为________
二．选择题
1.
下面有关数量积的关系式：
①
0?0?0，
②
(a?b)c?a(b?c),
③
a?b?b?a
④
|a?b|?a?b,
其中正确的是???(
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①
③
5
2
53
2
)
?(2cos
?
,2sin
?
),OB?(5cos
?
,sin
?
),若
OA?OB??5,则S
?OAB
?(
)
A.B.C.2D.1
）3.已知a?e,|e|?1,满足：对任意t
?R,恒有|a?te|?|a?e|，则?（
A.a?e,
三．解答题
B.a?(a?e)C.e?(a?e)D.(a?e)?(a?e)
1
.若a?(
?
,2),b?(?3,5),且a与b的夹角为钝角，求
?
的取
值范围。
2.在?ABC中，AB?(1,1),AC?(2,k),若?ABC有一个角是直角，求实
数k的值
3.在?ABC中，A(2,?1),B(3,2
),C(?3,?1),BC边上的高为AD,求点D和AD的坐标
4.设a?(sinx,cosx),b?(cosx,cosx),x?R,函数f(x)
?a?(a?b),求函数f(x)
的最大值和最小正周期。
·27·
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8.3平面向量的分解定理
一．填空题
1.若a?(1,1),b?(1,?1)
,c?(?1,2),则用a、b表示c?_________
2.?ABC中，
?B?120
0
,AB?a,BC?b,|a|?2,|b|?3.则与AC反向的单位
向量用a、b表示为_________
3.已知OA?(?3,1),OB
?(2,3),OC?OA?OB,将OC按逆时针方向旋转90
0
，
得到OD,则O
D的坐标为_________
4.已知|OA|?1,|OB|?3,OA?O
B?0,点C在AB上，且?AOC?30
0
,设
OC?mOA?nOB,则
m
?_________
n
5.O为平面上的一定点，A、B、
C是平面上不共线的三点，动点P满足：
OP?OA?
?
(
ABAC
|AB|
?
|AC|
),则动点P的轨迹过?ABC的_______心。
二．选择题
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量基底的是
（ ）
①<
br>e2),e,5),e
13
1
?(?1,
2
?(5,7),<
br>②
e
1
?(3
2
?(6,10),
③
e1
?(2,?3),e
2
?(
2
,?
4
)
A.
①
B.
①③
C.
②③
D.
①②
③
2.四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上，（不包括端点A、C），则AP?(<
br>A.
?
(AB?AD)
?
?(0,1),B.
?
(A
B?BC)
?
?(0,
2
2
)
C.<
br>?
(AB?AD)
?
?(0,1),D.
?
(AB?BC)<
br>?
?(0,
2
2
)
3.已知?ABC,
O为平面ABC上的任一点，动点P满足OP?OA?
?
(AB?AC)
(
?
?
R
),则动点
P
的轨迹经过?
ABC
的
????
（）
A.重心B.内心C.外心D.垂心
三、解答题
1.平面内给定三个向量a?(3,2),b
?(?1,2),c?(4,1),求（1）3a?b?2c
(2)满足a?mb?nc的实数m、n的
值。
·28·
)
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2.设两个非零向量e
1
与e
2
不平行，（1）若AB?e
1
?e
2
,BC?2e
1
?8e
2
,CD?
3(e
1
?e
2
),求证：A、B、D三点共线。
（2）确定实数
k的值，使ke
1
?e
2
与e
1
?ke
2
平行。
3.已知两个向量AB?(1,1),BC?(?4,2)
(1)求?ABC的面
积；
（2）对于平面向量a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),定义一种运算：a*b?x
1
y
2
?x
2
y
1.
计算|AB*AC|的值，说明其与?ABC的面积的关系，并猜想a*b的几何意义。
4.?ABC中，AB?
a,AC?b,证明?ABC的面积S?
1
(|a|?|b|)
2
?(a?b
)
2
.
2
·29·
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8.4向量的应用
一.解答题
1． 求证对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2．
?ABC中，已知AH?BC,BH?AC,求证：CH?AB.
3．用向量的方法证明：
（1） 余弦定理；
（2）
cos(
?
?
?
)?cos
?
c
os
?
?sin
?
sin
?
.
4．已知两个力
f
1
与f
2
的夹角为60
0
,其中f
1
?(2,0),某质点在这两个力的作用下，由
A(1,1)移动到B(3,3),
(1)求f
2
,(2)求f
1
与f
2
的合力对质点所做的功。
5.已知a?(cos
33xx
?
2
x,sin
2
x),b?(cos
2
,?sin
2
),且x?[0,
2
]
.
(1)求a?b及|a?b|;
(2)若f(x)?a?b?2
?
|a?b|的最小值为?
3
2
,求实数
?
的值。
6.已知?ABC的面积为S(
1
2
?s?
3
2
),且|AB|?
4
3
S,AB?BC?1,记?AB
C?
?
.
(1)求
?
的取值范围；
(2)写出|
AC|关于
?
的函数关系式；
(3)求|AC|的最小值。
·30·
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第9章：矩阵与行列式初步
9.1矩阵的概念
一、填空题 ?
2x?y?2z?8
?
1、三元一次方程组
?
2x?y??2
的系数矩阵为___________增广矩阵为___________
?
3x?
y?4z?1
?
?
1111
?
??
2、关于
x,y
,z
的三元一次方程组的增广矩阵为
2?110
，其对应方程组为_________
__
??
?
?13?17
?
??
3、若方阵
A<
br>4?4
为单位矩阵，则
A
4?4
?______________
?
4、增广矩阵为
?
?
?
的线性方
程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．
18
?
?
2
x?my?5
?
103
?
5、关于
x
、
y
的二元线性方程组
?
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
?
?
011
?
?
，则
nx?3y?2
?
??
?
m
?
?
?
n
?
?
?
.
??
?
a
1
x?b
1
y?c
1?
01d
1
?
6、若方程组
?
的增广矩阵变换成
??
的形式，则方程组的解集为___
10d
ax
?by?c
?
2
?
?
222
二、选择题
?
1
?
3
?25
?
?
x?2y?3
的系数矩阵为
（ ）
2x?3y?7
?
?
?2?3
?
?12
??
13
??
1?2
?
A.
?
D.
?
B.
?
C.
?
?
???
?
?3?7
?
?
23
??
27
??
2?3
?
?
3x?2y?3?z
?
8、用矩阵解三元一次方程组<
br>?
?x?3y?z?4
，它的增广矩阵正确的是 （ ）
?<
br>2x?y?z??1
?
7、二元一次方程组
?
?
3?2?13
??
3
???
14
?
B.
?
?1
A.
?
?13
?<
br>21?1?1
??
2
???
?
3?2?1?3
??<
br>3
???
C.
?
?131?4
?
D.
?
?1
?
21?11
??
2
???<
br>三、解答题
9、 已知
A?
?
?2?31
?
?
314
?
1?1?1
?
?
?2?13
?
?
31?4
?
11?1
?
?
0
?
0
??
2x?y
?
x<
br>,B?
???
，若
A?B
，求
x,y
?2
?y
??
0
?
0x?2y
?
1
?
10、
已知
A?
?
?
cos
?
?sin
?
?
1cos
?
?sin
?
?
?
,B?
?
?
2
1
?
?
·31·
2
?
?
，若
A?B
，求
?
,
?
1
?
?
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11、
用矩阵变换解二元一次方程组：
?
?
2x?3y?3
?
6x?4y??4
?
x?y
?z?0
?
12、用矩阵变换的方法求解方程组：
?
?x?y?z?4
．
?
x?y?z?2
?
?
182025
?
13、
对下列矩阵按指定顺序进行行的变换：
??
15160
??
(1)①
?
(-1)+② (2)②
?
6+① (3)
①
?
(-2)+② (4) ②
?
3+①
14、某商场去年某种商品的销售情况如下：
件数 金额（元）
第一季度 200
20000
第二季度 50 6000
第三季度 220 21900
第四季度 105 11000
试用一个矩阵来表示上面的统计数据；另外，你从矩阵中能得到何种信息？
·32·
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9.2矩阵的运算（一）
一、填空题
?
02
??
01
?
1、
3
??
?2
??
?________
_______
3410
????
?
?5???4????0??
2????1???3
??
5????3???2
?
2、设
矩阵
A?
?
,B?,C?
?????
，
3A?2B?C=________
?
1????4???3
??
0????2???
3
??
4???1????1
?
?
1
??
1
??
2
?
3、若
x
1
??
?x
2
??
?
??
,则
x
1
?2x
2
?
___________
?
1
??
?1
??
3
?
?
30
??
?21
?
4、已知矩阵
A?
?
矩阵
,B?
???
,
使其满足2A-3X=B，矩阵X=
?
?21
??
22
?
?
01
??
11
?
5、
????
?______________
1
001
????
?
1?10
?
2?13
??
??<
br>,B?120
6、矩阵
A?
??
??
，则
AB?__
__________
30?1
??
?
103
?
??
?
1
?
??
7、计算：
?1
?
23?
1
?
?______________
??
?
?1
?
??
?
1????
??
2??????1
?
8
、已知
f(A)?A
2
?5A?3
?
，
A?
???
,
则
f(A)?
．
?
0???1
??
?3????3
?
二、选择题
?
x4
??
1
?
?
9、已知
A?
??
,B?
??
,A?B
，则
x?y?
?
?
?
?
（ ）
6yv3
????
A.13
B.14
C.15
D.16
?
1
1
??
11
?
10、设矩阵
A?
??
,B?
??
，则
AB
的运算结果是 （ ）
11?1?1
????
?
11
??
11
?
?
01
??
00
?
C.D.
A.
?
B.
????
???
?
?1?1
??
00
?
?
00
??
00?
?
10
?
2
11、已知矩阵
A?
??
，
f(x)?x?2x
，则
f(A)
等于 （
）
?
1?1
?
?
30
?
?
30
??
20
??
32
?
A.
?
D.
B.C.
??
?????
?
?22
?
?
2?2
??
0?2
??
0?2
?
三、
解答题
?
21
?
10?2
??
??
,B?40<
br>12、 矩阵
A?
??
??
，求
AB,BA
3?10
??
?
71
?
??
·33·
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?
10
??
41
?
13、已知
矩阵
A
，满足
A
??
?
??
，求
A
3231
????
14、设矩阵
A?
?
15、设
A?
?
?
12
??
x?3
??<
br>1?5
?
,B?,C?
?????
，且
AB?C
，求
x
，
y
?342y171
??????
?
12
??
10
?
?
,
B?
??
，问：(1)
AB?BA
吗?
1312
????
22222
(2)
(A?B)?A?2AB?B
吗?
(3)
(A?B)(A?B)?A?B
吗?
16、设
A?
?
?
10
?
2
3
n
?
,求
A,A
. 归纳
A
并证明
?
?
1
?
·34·
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9.2矩阵的运算（二）
一、填空题
?
131
?
??
?
2140
?
?
0?12
?
1、
?
=_______________
_______________
?
1?1341?31
??
??
?
40?2
?
??
?
0?1
??
3
?2、已知矩阵
A?
?
,B?
???
，求向量
B
经过
A
变换后的矩阵 ．
?
?10??
5
?
?
12
??
x1
?
3、设<
br>A?
?
,B?
???
,
当
AB?BA
时，
则
x,y
满足关系式为 。
432y
????
?
d1
?
?
1a
??
10
?
??
4、已知
?
1
?
，则
a?___,b?___,c?___
,d?___
???
?
?
0
?
b1
??
0c
?
?2?
?
A(n?1)
?
10
?<
br>2008
5、规定矩阵
A
n
?
?
n?1
，若
A?
??
,则
A?
______________
?AA(n?2)
?
0?1
?
x
2
1
6、已知函
数
f(x)?
满足对于任意的都有
f(t)?f()?1
,则矩阵
t
?R
1?x
2
t
122008
??
f()f()f()?
111
?
??
122008
?
f()f()f()<
br>?
A
2008?2008
?
?
222
?
中所
有元素之和等于________
??
??
?
122008
?)f()f()
??
f(
20082008
??
2008
二、选择题
7、设
A
、
B
、C是
3?3矩阵,
m
、
n?R
,则下列结论中错误的是（ ）
(A)、
A?B?C?C?B?A
(B)、
mA?Am
(C)、
mnA?Anm
(D)、
ABC?CBA
8、方程组
?
?
a<
br>1
x?b
1
y?c
1
?
a
1
x?2
b
1
y?3c
1
?
x?3
的解为
?
，则下
列方程组
?
的解是（ ）
?
a
2
x?b
2<
br>y?c
2
?
a
2
x?2b
2
y?3c
2
?
y?2
1
?
x?
?
?
x?6
?
x?9
?
x?3
2
（A）
?
（B）
?
（C）
?
（D）
?
?
?
y?
4
?
y?3
?
y?2
?
y?
1
?
3
?
三、解答题
?
1?????3????1
?
?
?1???1
??
2???1?????3
?
??
,B?
9、已知矩阵
A?
????
,C?
?
3?????1?????0<
br>?
，
?
1????1
??
?1???2???5
?
?
?1????3???7
?
??
在这三个矩阵中哪两个可乘？若可
乘，试求其乘积。
·35·
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10、举反列说明下列命题是错误的:
（１）若
A?0
,则
A?0
;
（2）若
AX?AY
,且
A?0
,则
X?Y
.
2
?
1??1
?
11、
（1）计算：
??
?
0??1
?
归法证明。
2
?
1???1
??
1???1
?
（2）观察（1）的计算结果，猜想<
br>?
，
??
；
?
?
n?2,n?N
?
的值，并用数
0???10???1
????
3n
12、某地消费券近日在上海引起领券“热潮”。甲、乙、丙三位市民顾客分别获
得一些景区门票的折扣消
费券，数量如表1。已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）。
数量 景区1 景区2 景区3 门票 景区1 景区2 景区3
甲
0 2 2 原价 60 90 120
乙 3 0 1 折扣后价 40 60 80
丙 4 1 0
表1
表2
（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵
A
和三个景区的门票折扣
后价格矩阵
B
；
（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？
（3）计算在对这3位市民在该次促消活动中，景区与原来相比共损失多少元？
·36·
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9.3二阶行列式（1）
一、填空题
sin
2
75°
cos
2
75°
1、计算：（1）
（2）
?_________，
?
___________．
22
sin15°cos15°
100101
99100
?______
（4）
?_________
?cosx?cosysinx?sinycos
?
tan
?
2、将代数式
abc?xyz
写成二阶行列式形式： 、
、
xx
sin
2
cos
2
3、方程
22
?0(x?
?
0,2
?
?
)
的解为<
br>_______________
11
（3）
4、
ABC<
br>中，已知
sinx?sinycosx?cosytan
?
?sec
?
2cosBsinA
1sinC
?0
，则此三角形为
_______
________
5、不等式
lgx
5
6
5
?
0
的解集为_________________．
3lgx?4
lgx?
6、若
?
a
n
?
为等比数列，且
a
9
?
3
，则
7、正偶数x满足
a
2
a
3
?a
1
5
a
16
?______________
x?2x?5
5x?1
?0
，则x=________________________
a1<
br>bc
8、实数a,b,c满足
{a,b,c}?{2,1,3}
则
9、
函数
y?
可能的值有______种
x
2
2
x
1
的最小值为
_______________
二、选择题
10、以下命题中，是正确的命题是
（ ）
ab
abcdab
ab
?0
C、A、
D、
＝＝ad?bc
?0
B、
cd
cdabcd
cd
11、若
2
22
x
x
54
A.x?1
B.x??1
C.x??1
D.x?2
12、下列行列式的值不等于
2a?3b
的是
（ ）
?2?6
2?32a3?a3
A.
B.
C.
1
D.
b?a
ba?b1b2
2
?
a
1<
br>x?b
1
y?c
1
?
a
1
x?2b
1
y?3c
1
?
x?3
13、方程组
?
的解为?
则下列一定是方程组
?
的解是
ax?by?c
ax?2by?3c
y?2
?
?
222
?
222
（
）
??2
，则
x
为
（ ）
·37·
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1
?
x?
?
?x?3
?
x?9
?
x?6
?
2
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
?
y?
2
?
y?3
?
y?4
?
y?
1
?
3
?
三、解答题
14、用行列式方程组
?
2x?10y?3
?
3x?2y?19
（1）
?
（2）
?
5x?4y?1x?y?8
??
?
57
?
s
?
t
?3
?
8y?3x?20?0
（3）
?
（4）
?
79
2y?3x?0
?
??4
?
?
st
1x
1
15、求函数
y?
?11
,x?(,8]
值域
3
x
n0
1
16、求数列
a
n
?
4
最大项的值和最大项项数
2
n?156
·38·
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9.3二阶行列式（2）
一．填空题
1、方程组
?
2
?
13x?7y?10
的解为
________________
?
19x?15y?2
2、将
2x?x?3
表示成二阶行列式
________________
?
3x?ay?a
3、关于x，y的
方程组
?
(a?R)
有唯一解的充要条件________________
ax?3y?2
?
?
ax?(2a?1)y?a
2
?2a?14、
使得方程组
?
有无穷多组解的实数
a
的值为_______________
?
x?ay?2a
?
ax?by?a
2
?b
22
5、 关于
x,y
的方程组
?
(a?b
2
)
的解集为
________________
?
bx?ay?2ab
?
(m?1)x?y?1
6、 已知关于x,y
的方程组
?
有唯一解，则实数
m
的范围是
___
_____________
?
x?(m?1)y?2
x2
7、
?0
，则x=_________________
x?2x?3
lgx2
8、
4、解不等式
?0
____________________
2lg?3
二、选择题
7、已知互不相同的三个实数
x,y,z?
?
1,2,
3
?
，则行列式
8、自然数
x
满足
x0
yz
可能的值有（ ）
A.3个 B.4 个 C.5个 D.6个 <
br>2x?1
4
3
x?3
?0
，则满足条件的
x
有 （ ）
A.0个 B.1 个
C.2个 D.3个
?
mx?3y?6
?
9、若二
元一次方程组
?
2
有无穷多组解，则
m,n
的值为
（ ）
x?y?n
?
?
3
A.m?2,n?2
B.m??2,n?2
C.m?2,n??3
D.m??2,n??2
10、
a?3
是方程组
?
?
ax?2y?3a?0
无解的 ( )
?
3x?(a?1)y?a?7
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三、解答题
11、不解方程组，判断下列二元一次方程组解的情况
?
2x?3y?7
?
2x?3y?7
?
2x?3y?7
(2)
?
(3)
?
(1)
?
4x?5y?134x?6y?134x?6y?14
???
·39·
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?
x?my?2m?0
12、解关于
x,y
的二元一次方程组
?
，并对解的情况进行讨论
mx?y?m?1?0
?
13、关于
x,y
的二元一次方程组
?
14、解关于
x,y
的二元一次方程组
?
?<
br>4mx?(3m?1)y?2m
，有唯一解，求实数
m
的取值范围。
2x?my?5
?
?
(m?1)x?(2m?1)y?3m
，并对解的情况进
行讨论。
(3m?1)x?(4m?1)y?5m?4
?
15、解关于x,y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：
?<
br>a?11?2a
??
x
??
3a
?
?
?3a?11?4a
?
?
?
?
y
?
?
?
?
?
5a?4
?
?
??????
·40·
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9.4三阶行列式（1）
一．填空题
2?1?51、计算
34
5
?2?__________________
3
2?3
，则实数
a?__________
1
a?111
2、若
a?10
a03
a0
3、计算
A? b
0
f
0a
0
b
0
e
0 ? ?a
d
x10
4、满足
6
c
=_____________________
?b?c0
11?0
的
x
的范围是_______________
a?b
1
=________________．
0
401
ab0
5、分解因式：
a?bab
a?ba
2
?b
26、已知某三阶行列式的元素为4个0，5个1，且行列式的值不为0，请写出这样的一个行列式
_
______________
7、设
A(0,0),B(1,2),C(3,5)
，则
S
ABC
?____________
8、设三点<
br>A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
，则
A,B,C
共线的充
要条件___________
9、已知△
OAB
的三个顶点分别为
O(0
,0)
、
A(1,3)
、
B(2,1)
，则△
OAB
的面积为
二、选择题
132a
10、
a?1
是行列式
3a1?0
的
（ ）
311
A. 充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D. 非充分非必要条件
201
11、若行列式
01k?0
，则
k
的值为
（ ）
111
1
2
A.0
B.1
C.
D.
2
3
三．解答题
ac1
13、已5. 已知
a
、
b
、
c
是△
AB
C
的三边，若
b
·41·
a1 ?0
，试判定△
ABC
的形状．
cb1
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x
2
14、
已知a,b
?R
，不等式
b
x
1
?a
a
x
1
>
0的解为1
cosx?1sinx
15、 函数<
br>y?0
?3
1
0
1
cosx
,求它的最大值以及此时
x的值
16、已知
A,B
两点坐标分别为（1，2），（－2，1），
P(x,y)
是一个动点，且使
APB
的面积为2，写出
用
x
表示
y
的解析式
y?
f(x)
3
17、
计算行列式
1
0
9
4 304
2
与
k9k2k
的值，并比较计算结果，试得出行列式的一个运算性质．
5?711
5?711
·42·
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9.4三阶行列式(2)
一、填空题
sin3xcos3x
1、
sinx
x
x
2
?
_______________________
2
cosx
0
ab
e
h
c
0
2、行列式<
br>d
g
f
中元素
f
的余子式是__________代数余子式
是
_______________
i
1
k
第1行第2列
元素的代数余子式为－10，则
k?__________
?2
5
4
3
0
的实数解是
______________
xc
f?bB?eE?hH
，其中
B
、
E
、
H<
br>为此三阶行列式中的代数余子式，则
B
、
i
4?3
3、三阶行
列式
2
1
x
4、方程
1
2
x
2
x
?2
ab
5、已知三阶行列式
de
gh
6、把
E
、
H
的值为
B?
____________，
E?
_______ ，
H?
________．
a
1
a
2
1
1
2
7、把
3
8、把
2
3
c???d
e???f
a
1
313
3 0?2
0?2
表示成一个三阶行列式________________
? 2 ?
2
1 31 13
a???ba???b
表示成一个三阶行列式：____________．
?3?
e????fc???d
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
的
c
2
的代数余子式应为
（ ）
c
3
?
a
2
2
a
3
?
a
1
a
3
表示成一个三阶行列式___________
___
二、选择题
9、行列式
b
1
c
1
A.
a
1
b
1
a
3
b
3
0
B.
a
1
a
2
b
1
b
2
C.?
a
2
b
2
a
3
b
3
D.?
a
1
a
3
b
1
b
3
?ma
0
m
nab
?nb
展开的值为
（ ）
0
10、行列式
c
?c
A.0
C.?mnabc
D.2mnabc
三、解答题
a
11、按第一行和第一列分别展开行列式：
a?1
?11
0
0
2
3a?2
·43·
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lg
2
x32
12、解不等式：
2lgx?11?0
014
1sinAcosA
13、已知<
br>A,B,C
是
ABC
的三个内角，且满足
0
sinBcosC?0
，判断
ABC
的形状。
0sinCcosB
2
1
14、设三阶行列式
3x
中元素
c
的代数余子
式为
y
，求
y
的值域
x
4?11
c1
1tanxcotx
15、设函数
f(x)? 0sinxcosx
，求
f(x)
的最小正周期．
0cosxsinx
·44·
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9.4三阶行列式（3）
一、填空题：
?
124
?
??
1、已知
1525?0
，则x=__________________
?
?
?
1xx
2
?
??
?
x?y?2a
?<
br>2、用行列式解方程组：
?
y?z?2b
________________．
?
z?x?2c
?
a
3、如果
d
b
eh
c
i
a
g
?2b
?2e
?2h
1<
br>2
1
2
1
2
c
f?
___________
___________
i
f?t?0
,那么
d
g
?x?y?tz?t?1
?
4、关于
x,y,z
的方程组
?
x?ty?z?2t?2
有唯一解，则实数
t
的取值范围是___________
?
x?y?z?t?10
?
二、选择题
a
1
5、
系数行列式
D?a
2
b
1
b
2
b
3
a
3
?
a
1
x?b
1
y?c
1
z?d
1
?
c
2
?0
是方程组
?
a
2
x?b
2
y?c
2
z?d
2
，有无穷多解的
（ ）
?
ax?by?cz?d
c
3
333
?
3
c
1
A. 充分非必要条件
B.必要非充分条件 C.充要条件 D. 非充分非必要条件
?
x?y?z?0<
br>?
6、方程组
?
2x?3y?z?0
的解的情况为
（ ）
?
4x?5y?4z?0
?
A.有唯一一组解
B.无解
C.有无数多组解 D.可能无解，可能有无数多组解
?
a
1
x?b
1
y?c
1
z?d
1
?
7、一位同学对三元一次方程组
?
a
2
x?b
2
y?c
2
z?d
2
（其中实系数
a
i
,
b
i
,c
i
(i?1,2,3)
不全为零）的解
?
ax?by?cz?d
333
?
3
的情况进行研究后得到下列结论：
结论1：当
D?0
，且
D
x
?D
y
?D
z
?0
时，方程组有无穷多解；
结论2：当
D?0
，且<
br>D
x
,D
y
,D
z
都不为零时，方程组有无穷多解；
结论3：当
D?0
，且
D
x
?D
y
?D<
br>z
?0
时，方程组无解。
但是上述结论均不正确。下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ） ?
x?2y?3z?0
?
x?2y?0
?
2x?y?1
???
（1）
?
x?2y?3z?1
；
（2）
?
x?2y?z?0
；
（3）
?
?x?2y?z?0
。
?
x?2y?3z?2
?
2x?4y?0
?
x?3y?z?2
??
?
(A)
（1）（2）（3）
(B)
（1）（3）（2）
(C)
（2）（1）（3）
(D)
（3）（2）（1）.
三、解答题
8、判断下列方程组是否有唯一解，如果有唯一解，求出解。
?
x?3y?z?1
?
?
2x?y?z?0
?
4x?5y?z?2
?
·45·
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?
2x?y?5
?
9、
用行列式解方程组：
?
x?3z??14
?
5y?z?10
?
10、
求关于
x
、
y
、
z
的方程组：
?
x?y?mz?1
?
?
x?my?z?m
?
x?y?z?3
?
有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的解．
?<
br>ax?y?2z?8
?
11、关于
x,y,z
的方程组
?x?by?2z?b
有唯一解，求
a,b
的取值范围
?
x?2by?2z?a
?
<
br>12、甲、乙、丙三人合作加工一批零件，若甲、乙两人合作，甲做9天，乙做8天能够完成；若甲、丙两
人合作，甲做10天，丙做10天能够完成；若乙、丙合作，乙做12天，丙做12天能够完成．若甲、
乙、丙三人单独做，则各需几天完成？
·46·
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第10章：算法初步
10.1算法的概念
一、填空题
1、算法的三种基
本结构是______________________________________________
。
2、算法的特点有____________________________________
__________________。
3、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关 数据组成传输信息．设定
原
a
i
?{01
信息为
a
0
a
1
a
2
，
，传输信息为
h
0
a
0
a
1
a
2
h
1
，其中
h
0
?a
0<
br>?a
1
，h
1
?h
0
?a
2
，?
运
，}
（
i?01，，2
）
算规则为：
0?
0?0
，
0?1?1
，
1?0?1
，
1?1?0
，
例如原信息为111，则传输信息为01111．传
输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错
，则下列接收信息一定有误的是（ ）
① 11010 ②01100 ③10111
④00011
二、解答题。
4、写出一个求三个数A，B，C的平均数的算法。
5、任意输入两个数，设计一个算法，求出其中的较大的数。
6、写出一个算法，它可以完成如下功能：
（1）输入n个整数，统计其中0的个数。
（2）设计一个算法，判断一个整数是奇数还是偶数。
（3）设计一个算法，它能够完成如下功能：
将任意定义域为R的函数，表示为一个奇函数与一个偶函数之和。
7、设计一个算法，求100以内能被3整数的数。
8、写出解关于x的不等式，
ax?b?0
(a,b?R)
的算法。
·47·
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9、描述一元二次方程
ax?bx?c?0
求解的算法
10、一个大油瓶装 8kg油，还有两个空油瓶，一个能
装5kg,另一个能装3kg,请设计一种算法，将这8kg
油平均分成两份.
11、一个父亲有一笔钱，要分给他的十个儿子。第一个儿子拿走总数
的一半，又多一元；第二个儿子拿走
剩下的一半，又多一元；以后每个儿子都拿走剩下的一半多一元，到
第十个儿子时，只拿到一元，求
这个父亲原有多少钱？请你写一个算法来解决这个问题，并写出该父亲原
有多少钱。
2
·48·
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10.2程序框图(1)
一、填空题
1、执行如图的程序框图，那么输出S=_________
2、执行如图的程序框图，如果输入n为100，那么输出S=_______，T=_______
3、执行如图的程序框图，若
p
＝0.8，则输出的
n
＝
4、根据如图的框图，该程序运行后输出的结果为 .
5、右图是某算法的程序框
图，该算法所表示的分段函数为
f
?
x
?
?
.
6、右图是计算
1111
的值的一个框图，其中菱形框内填入的条件是
．
?????
24620
( 第1题图 ) （ 第2题图 ）
（ 第3题图 ）
开始
a≤3
是
b←2
b
输出b <
br>输出y
输入x
开始
开始
s?0
i?1
否
a←
1,b←1
是
x?0
是
s?s?
否
y?1
x?
0
否
1
2i
i?i?1
y?0
y??1
否
是
输出s
a←a+1 结束
结束
结束
(
第4题图 ) （ 第5题图 ）
（ 第6题图 ）
二、选择题
7、如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?
（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
8、如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是 （
）
A、求三个数中最大的数 B、求三个数中最小的数
C、按从小到大排列 D、按从大到小排列
·49·
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开始
K=1
S?0
k≤50?
否
是
S?S?2k
输出
S
k?k?1
结束
（第7题）
三
、解答题： （ 作下列问题的框图 ）
9、输入两个数，计算它们的和并输出。
10、输入两个数，输出它们中较大的数。
11、 求值：
S?1?2?3???300
开始
输入a,b,c
是
a>b
否
a←b
是
a>c
否
a←c
输出a
结束
（第8题）
·50·
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10.2程序框图(2)
1、给出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第1个数是
1，第2个数比1大1，第3个数比第2个数
大2，第4个数比第3个数大3，依此类推。要求计算这3
0个数的和，现已给出了该问题算法的程序
框图 (见第2题图)
，请在图中空白处填上合适的语句，使之能完成该题算法的功能 。
(1)_____________ (2)_____________
开始
开始
s=0, p=1, i=1
i=1
sum=0
(1)
否
是
s?s?p
输出s
i<=100
否
是
（1）
（2）
(2)
结束
i=i+1
输出
结束
( 第1题图 ) ( 第2题图 )
开始
开始
输入
n
s?0,n?1,i?1
S
?
0，T
?
0
否
n?0
是
输出
s
1
否
s?s?n
n
结束
n?n?2
n?n?1
S，T
输出
i?i?1
T?T?n
结束
n?n?1
2、（第3题图）是为求1至100中所有自然数的平方和而设计的程序框图，将空白处补上。
(1)______________________________
(2)_________________________________
3、 阅读程序框图
，若输入的
n
是100，则输出的变量
S
和
T
的值依次是_
__________
4、题目给出的是计算
1?
·51·
s?s?
111
????
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
3521
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二 、解答题： （ 作下列问题的框图 ）
?
x
2
?1,x??
1
?
5、函数
y?
?
x?1,?1?x?1
求函数值,
?
?
3x?3,x?1
6、求
S?1?
7、求 满足
1?
8、求满足
2?4?6???(2n)?10000
的最小的正整数n
9、求
a
1
,a
2
,
11<
br>??
35
?
1
2k?1
111
??
?
??100
的最小的正整数n
23n
,a
50
中的最小数并同时给出该数的序号
·52·
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11.1 直线的点方向式方程
一．填空题
1．过点
(?1,
2)
,方向向量是
d?(?1,2)
的直线的点方向式方程为___________
____
2．过点
(0,1)
,方向向量是
d?(0,1)的直线的点方向式方程为_______________
3．直线
l
过点
A(1,3),B(?2,?1)
，则直线
l
的点方向式方程为___
_________________
4．直线
x?3y?2
??0的一个方向向量可以是____________________
43
二．选择题
5．已知
d
1
,d
2
分别是直线l
1
,l
2
方向向量，那么
l
1
l
2
是
d
1
?d
2
的 （ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．平行四边形ABCD中，直线AB的一个方向向量是
d?(?2,4)
，那么CD所在直线的一个方向向量为
（ ）
A.
(?3,9)
B.
(3,?9)
C.
(3,?6)
D.
(?1,)
7．下面是直线
y?1?0
的一个方向向量的是
（ ）
A.
(0,?1)
B.
(0,1)
C.
(1,?1)
D.
(2,0)
三．解答题
8．根据下列条件，求直线
l
的点方向式方程：
（1
）直线
l
过点
P(4,?3)
且与向量
d?(2,7)
平行
（2）直线
l
过点
A(4,2),B(7,4)
9．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,4),C(2,6)
，求四条直线AB,BC,CD,DA
所在直
线的点方向式方程。
·53·
1
2
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10．在三角形ABC中，已知
A(0,?1),B(7,0),C(?1,4)
，
G
为
ABC
的重
心，D为BC的三等分点，且
BD?
1
DC
，求直线的点方向式方程。
2
11．已知
C(?1,?1),D(6,4)
两点，且M为
A(2
,3),B(?4,1)
两点的中点，求过点M且与直线CD平行的
直线的点方向式方程。
12．
ABC
的三个顶点的坐标为
A(1,1),B(5,4),
C(3,8)
，过点A作直线
l
，它把
ABC
的面积分成
1
:3
两
部分，求直线
l
的方程.
·54·
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11.1
直线的点法向式方程
一．填空题
1．过点
(2,?3)
,法向
量是
n?(3,4)
的直线的点法向式方程为_______________
<
br>2．过点
(1,?2)
,法向量是
n?(?1,0)
的直线的点法向式
方程为_______________
3．若点
A(?3,2),B(1,?4
)
，则线段
AB
的垂直平分线的点法向式方程为_______________
4．若直线
4x?3y?5?0
的一个法向量为
(a?2,a)<
br>，则
a
的值为_______________
二．选择题
5．若直线
l
的方程是
3x?4y?5?0
，
则
l
的一个法向量是 （ ）
A.
(3,4)
B.
(?3,4)
C.
(3,?4)
D.
(4,3)
6．与直线
4x?3y?5?0
有相同法向量，且在x轴上截距为－2的直线的点法向式方程为
（ ）
A.???4x?3(y?2)?0
B.???4(x?2)?3y?0
C.???4x?3(y?2)?0
D.???4(x?2)?3y?0
7．若直线
l
1<
br>:(2?a)x?ay?3?0
和
l
2
:x?ay?3?0
，
则
a?1
是
l
1
的法向量恰是
l
2
的方向
向量
的
（ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
三．解答题
8．已知原点在直线
l
上的射影是
A(3,2)
，求
l
的点法向式方程。
9
．
ABC
的三个顶点的坐标为
A(1,3),B(?2,?1),C(3,?3)
（1）求BC边上的高所在的直线方程；
（2）求AC边的垂直平分线的方程。
·55·
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10．已知直线
x?2y?1
的一个法向量为
n?(a
,a?2)
，求实数
a
的值。
?
32
11．已知<
br>ABC
的两个顶点的坐标为
A(?2,1),B(4,?3)
，且
AB
C
的垂心坐标为
H(0,2)
，分别求BC,AC
边所在直线方程。
12．求过点（1，2）且以直线
2x?3y?7?0
的方向向量为法向量
的点法向式方程。
·56·
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11.1 直线的一般式方程
一．填空题
1．若直线
l
与直线
2x?3y?4?0
垂直
，且经过点
(0,3)
,则直线
l
的一般式方程是
________
________________
2．过点
A(?2,5)
，且平行于
直线
l:4x?3?9?0
的直线的点法向式方程是_______________,一般式
方程
是____________________
3．直线
3x?4y
?7?0
的点方向式方程是_________________,点法向式方程是_________
______
4．已知
A(1,?1),B(?5,6)
两点，点C(5
,a)在直线AB上，则实数a的值_________________
二．选择题
5．若直线
l
的方程
ax?by?c?0
中，
ab?0,ac?0
，则此直线必不过 （ ）
A.
第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
6．若直线
x?2y?c?0
与两坐标轴围成的三角形面积不大于3，则
c
的取值范围是（ ）
A.c??23
B.c?23
C.c??23
或
c?23
D.?23?c?23
7．若点
M(x,y)
在直线<
br>x?2y?1?0
上移动，则
f(x,y)?2?4
的最小值是 （
）
xy
A.
2
B.2
C.22
D.42
2
三．解答题
8．已知过
A(?2,m),B(m,4)
两点的直线与直线<
br>2x?y?1?0
平行，求
m
的值。
9．求过点
P(?2,?1)
且与直线
l:
·57·
x?1y?2
垂直的直线一般式方程
?
34
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10．求直线
2x?3y?6?0
关于点
A(1,?1)
对称的直线方程。
11．若直线
l
1
:(3?a)x?(2a?5)y?3?0
和
l
2:(1?2a)x?(a?3)y?4?0
，若
l
1
的方向向量恰为l
2
的法
向量，求a的值。
?
12．将直线
3x?4y?6?0
绕其与
x
轴的交点A逆时针旋转
90
后
得到直线
l
，求
l
的一般式方程。
·58·
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11.1
直线方程
一．填空题
1．已知
A(2,2),B(a,0),C(0,
b)(ab?0)
三点共线，则
2．若直线
l
的一个法向量
n?(2,3)
，点
A(?2,1)
和点
B(m,4)
是直线l
上的两点，则
m?___________
3．若直线<
br>(3a?2)x?y?8?0
不经过第二象限，则实数a的取值范围为____________
_
4．若
ABC
的三个顶点的坐标为
A(2,1),B(?2,
3),C(6,?7)
，则AC边上的中线所在的直线方程为
_______________
__；AC边上的高所在的直线的方程为_________________.
二．选择题
5．直线
x?5?0
一个方向向量为
（ ）
A.
(1,0)
B.
(0,1)
C.
(?5,0)
D.
(?1,?1)
6．直线
2x?y?3?0
关于
x
轴对称的直线方程为
（ ）
11
?
的值为_________________
ab
A.2x?y?3?0
B.2x?y?3?0
C.2x?y?3?0
D.2x?y?3?0
7
．经过点
(?3,?12)
和
(9,4)
的直线在两坐标轴上的截距和为
（ ）
A.14 B.2
C.-2 D.-14
三．解答题
8．三角形的顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求
（1）
BC边上中线所在的直线方程
（2） BC边上高所在的直线方程
（3） BC边上中垂线所在的直线方程
（4） ∠A的内角平分线的方程
9．求垂直于直线2x-3y+4=0且被坐标轴截得的线段长为
13
的直线L的方程
·59·
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10．求过点P(4,2)作直线L交坐标轴的正向于A,B两点，
求（1）
APBP取得最小值时L的方程
（2）三角形AOB的面积最小时，求L的方程
11．过定点A(0,1)作一直线L,使它夹在两条已知直线x-3y+10=0和
2x+y-8=0之间的线段被点A平分，求
直线L的方程。
12．求证：直线2x+(1-cos2a)-sina=0
(a
?k
?
,k
?Z
) 和两坐标轴围成的图形面积是定值。
·60·
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11.2 直线的倾斜角和斜率(1)
一．填空题
1
．过点
A(?2,1),B(3,?4)
的直线的倾斜角为________________
___
2．直线
l
的倾斜角为
?
，
l
上有两点为
A(1,3),B(4,y)
，则
y?________
6
3．直线
3x?y?2?0
的一个方向向量为________
________;倾斜角为__________________
4．直线
x
?tan
?
4
的倾斜角
?
?_______,
斜率
k_________
二．选择题
5．过点（－3，2）和（2，1）的直线的倾斜角为 （
）
(?)
6．经过点（0，0）和点
(?3,1)
的直线的斜率和倾斜角的积为
（ ）
1
5
111
C.
?
?arctan
D.
?
?arctan(?)
555
A.?
53532323
?
B.?
?
C.?
?
D.?
?
61839
??
??
7．已
知点
A(?sin76,cos76)
和点
B(cos76,sin76)
，
则AB的倾斜角为（ ）
A.121
?
B.31
?
C.166
?
D.14
?
三．解答题
8．求下列方程所表示的直线的斜率与倾斜角：
(1)x?5?0
(2)2y?3?0
(3)5x?6y?3?0
9．写出经过下列两点的直线的点斜式方程
(1)A(?3,0),B(2,?2)
·61·
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(2)P(2,?2),Q(0,1)
10．当
?
?
?
?
11．已知直线
l
的倾斜角的正弦是
?
?
?
,0
?
时，求经过
P(0
,0),Q(cos
?
,sin
?
)
两点的直线的斜率。
?
2
?
3
，且直线
l
过三点
A(x,?3),B(
2,y),C(5,3)
，求
x,y
的值。
5
12．
ABC<
br>的三个顶点的坐标为
A(?3,0),B(1,2),C(3,9)
，过点C作直线l
，它把
ABC
的面积分成相
等两部分，求直线
l
的方程.
·62·
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11.2
直线的倾斜角和斜率(2)
一．填空题
1．直线
x?ay?2?0(a?0)
的倾斜角是_______________
2．直线
xcos
?
?y?1?0
的倾斜角的范围是__
___________________
3．点
A(2,?1)
和B(?3,?2)
，直线
l:ax?y?1?0
与线段
AB
相交
，则
a
的取值范围是
____________________
4．若
n?(a,b)(ab?0)
是直线
l
的一个法向量，则
l
的斜率
k?______________
，倾斜角
?
?_____
_________
二．选择题
5．若
?
?(
?
2
,
?
)
，则直线
y?cot
?<
br>x?1
的倾斜角为 （ ）
A.
?
2
?
?
B.
?
2
?
?
C.
3
?
3
?
?
?
D.?
?
22
6．直线
ax?by?1?0
，在
y
轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线
3x?y?3?0
的倾斜角的2倍
，
则
（ ）
A.a??3,b??1
B.a?3,b?1
C.a?3,b??1
D.a??3,b?1
7．以(2,－1)为一个方向向量，且在
x
轴上的截距比在
y
轴上的截距大
2的直线的方程是（ ）
A.x?2y?2?0
B.x?2y?2?0
C.x?2y?4?0
D.x?2y?4?0
三．解答题
8．求过点（1，2）和点（m，3）的直线的斜率与倾斜角。
9．已知直线
l
过点
P(?1,2)
，且与以
A(?2,?3),B(3,0)
为端点的线段AB有公共点，求直线
l
的斜
率的取
值范围。
·63·
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10．已知直线
l
的方程为
xsin
?
?3y?2?0
（1）求直线
l
的斜率
（2）当
?
变化时，求
l
的倾斜角的取值范围。
1
1．已知直线
l
的倾斜角为
arcsin
3
，若该直线与坐标轴围成
的三角形面积为6，求直线
l
的方程。
5
12．直线
l<
br>1
过点
P(2,1)
，且
l
1
的倾斜角是直线
l
2
：
3x?4y?8?0
的倾斜角的一半，求
l
1的方程。
·64·
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11.2 直线的倾斜角和斜率(3)
一．填空题
1． 点
A(4,6),B(?3,2),C(4,?5)
,则过点
A
且平行于直线BC的直线
l
的点方向式方程为
_________________
____________
2． 已知直线
l
过点
A(5,?4
)
,若该直线在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线
l
的方程为
_____
___________________
3．
过两点(-3,2)和(2,1)的直线的倾斜角为__________________
4． 如果直线
xcos
?
?y?2?0(
?
?R)
的倾斜角为
?
,那么
?
的取值范围是________________
二．选择题
5． 已知直线
l:f(x,y)?0
。
如果直线
l
外一点
P
的坐标为
?
x
0
,y
0
?
，那么
f(x,y)?f(x
0
,y
0
)?0
（ ）
A.过点P且与直线
l
相交；
B.过点P且与直线
l
重合；
C.过点P且与直线
l
平行；
D.过点P且与直线
l
垂直。
6． 设点
P(a,3)
在直线
f(x,y)?0
上的射影是
Q(1,a)
，则
f(x,y)
可以是 （ ）
A.2x?y?3
B.x?2y?3
C.2x?y?11
D.x?2y?11
7． 若三点
A(m,2),B(?4,2
n),C(5,1)
在同一直线上，则
m
的值等于 （
）
2
27
A.2
B.
C.2
或
D.2
或
7
72
三．解答题
8． 过定点M（0，1）作一直线
l
，是它夹在两
已知直线
l
1
:x?3y?10?0
和
l
2
:2x
?y?8?0
之间的线
段被点M平分，求直线
l
的方程。
9．
求过点
P(3,?4)
，且在两坐标轴上截距相等的直线
l
的方程。
·65·
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10. 直线
l
1
:a
1
x?b1
y?2?0
（实数
a
1
,b
1
不同时为0）
与直线
l
2
:a
2
x?b
2
y?2?0
（
实数
a
2
,b
2
不同时为
0）的交点为（1，2），求经过
P(a
1
,b
1
),Q(a
2
,b
2)
两点的直线的方程。
11. 已知过点
P(1,a)
的直线与
x
轴，
y
轴分别交于
A,B
两点，若
P
恰为线段
AB
的中点，求此直线的斜
率于倾斜角。
12. 已知
ABC
的点
A(3,?1)
，
AB
边
上的中线所在的直线方程为：
6x?10y?59?0
，角
B
的平分线所在的直线方程为：
x?4y?10?0
，求
BC
边所在的直线方程。
·66·
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11.3 两直线的位置关系（1）
一．填空题
1．
过点
P(2,3)
且与
8x?6y?5?0
平行的直线方程是_______
____________________
2． 过点
P(1,?1)
且与
2x?3y?5?0
垂直的直线方程是_______________________
____
3． 直线
l
1
:(m?2)x?(m?3)y?5?
0,l
2
:6x?(2m?1)y?5?0
，当
m?_______
时，
l
1
l
2
；当
m?_______
时，
l
1
?l
2
；
4． 直线
y??x?b和
5x?3y?31?0
的交点在第一象限，那么
b
的取值范围是___
_______
二．选择题
5． 直线
l
1
l
2
是直线
l
1
与
l
2
的斜率相等的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．
直线
mx?y?n?0
和
x?my?1?0
互相平行的充要条件是
（ ）
A.m?1,n?1;
B.m??1,n??1;
C.m?1,n??1
或
m??1,n?1
D.m?1,n?1
或
m??1,n??1
7． 三条
直线
l
1
:4x?y?4?0,l
2
:mx?y?0,l
3
:2x?3my?4?0
，它们构成一个三角形，则
m
的取值
范围是
（ ）
Am.?R
B.m?2
的实数
112
C.m?4,m??
的实数
D.m?4,m??,m??1,m?
的实数
663
三．解答题
8． 两直线
l
1
:x?(m?1)y?m?2?0,
l
2
:2mx?4y?16?0
。当
m
为何值时，
l
1
与
l
2
（1）相交（2）平
行（3）重合
9． 两直线
l
1
:(3?m)x?(2m
?1)y?7?0,l
2
:(2m?1)x?(m?5)y?6?0
。如果
l
1
?l
2
，求
m
的值。
·67·
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10. 直线
l
与直线
3x?4y?5?0
平行，并与两坐标轴所构
成的三角形面积为12，且此三角形在第三象限，
求直线
l
的方程。
11. 一直线被两条直线
l
1
:4x?y?6?0,l
2
:3x?5y?6?0
截得的线段中点恰好是坐标原点，求这条直线
的方程。
12.
ABC
中，BC边上的高所在的直线的方程为
x?2y?1?0，
?BAC
的平分线所在的直线方程为
，求点A和点B的坐标。
y?0
，若点
B
的坐标为（1，2）
·68·
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11.3
两直线的位置关系（2）
一．填空题
1． 直线
x?3?0
和
直线
x?y?2?0
的夹角是_______________________
2．
要使直线
kx?y?2?0
与直线
2x?y?4?0
的夹角为
3． 过点
A(1,
4．
过点
A(3,5),
且与直线
3x?2y?7?0
成
二．选择题
?
5． 直线
kx?y?1?0
与直线
3x?
y?0
的夹角为
60
，则
k
的取值为 （ ）
?
，则
k?_______
4
3
?
),
且与直线
x?3y?0
成角的直线方程是____________________
_____
3
3
?
角的直线方程是________________________
4
A.3
或0
B.?3
或0
C.3
D.?3
6． 直线
l
1
:y?x,l
2
:ax?y?0
，期中
a
为
实数，当这两条直线的夹角在
?
0,
围是
（ ）
?
?
?
?
内变动时，
a
的取值范
12
??
?
3
??
3
?
,3C.
A.
?
0,1
?
B.
??
?
?
3
??
3
,1
?
?
?1,3
D.1,3
????
??
??
7． 直线mx?4y?2?0
与
2x?5y?n?0
垂直，垂足为
(1,p)，则
m?n?p
的值为
（ ）
A.20
B.24 C.0 D.-1
三．解答题
8． 求与两直线
3x?4y?7?0,12x?5y?6?
0
夹角相等，且过点（4，5）的直线方程。
9． 等腰三角形两腰所在直线方程分别是
7x?y?9?0
和
x?7y?7?0
，它的底边所在直线经过点
P(3,?8),
求
底边所在直线的方程。
·69·
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10.
ABC
中，已知点
A(3,
?1)
和点
B(10,5)
，
?B
的平分线所在的直线方程为
x?4y?10?0
，求BC
边所在的直线方程。
11. 已知等腰直角三
角形
ABC
的直角边BC所在的直线方程为：
x?2y?6?0
，顶点
A
的坐标为（0，6），
求斜边AB的直角边AC所在的直线方程。
12. 求
点
P
?
?3,5
?
关于直线：
3x?4y?4?0
的对称点。
·70·
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11.4 点到直线的距离（1）
一．填空题
1．
与直线
6x?8y?3?0
垂直，且与原点距离等于1的直线方程是____________
____
2． 点
?
4,a
?
到直线
4x?3
y?1?0
的距离不大于3，则
a
的取值范围是_________________
3． 点
P
?
2,3
?
到直线
mx?(
m?1)y?3?0
的距离等于4，则
m?___________
4． 直线
l
1
过点（1，0），直线
l
2
过点（
3，4），且
l
1
l
2
。若
l
1
与
l
2
的距离是2，则
l
1
的方程是
__________
_____________；
l
2
的方程是__________________
___
二．选择题
5． 点
P(?1,a)
到直线
3x?y?6?0
的距离为
10
，则
a
的值为
（ ）
A.19
B.?1
C.19,?1
D.9?10,9?10
6． 若直线
3x?y?4?0
和直线
6x?2y?1?0
是同一个圆的两条切线，则该圆的面积等于
（ ）
A.
81818181
?
B.
?
C.
?
D.
?
401664160
7．
在过点（2，1）的直线中，与原点距离最远的直线的方程是 （ ）
A.x?2y?5?0
B.2x?y?5?0
C.2x?3y?7?0
D.3x?2y?8?0
三．解答题
8． 过点
P(1,2)
作直线，使点
A(2,3),
B(4,?5)
到它的距离相等，求直线的方程。
9． 直线
l
的方程为
xcos
?
?ysin
?
?2?0
，其中
?
为实
数，点
的最大值。
·71·
?
3,1
到直线
l
的距离为
f
?
?
?
，求
f
?
?
?
?
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10. 求过点A(2,3)且被两平行直线
3x?4y?7?0
和
3x?4y?8?0
截得长为
32
的线段的直线方程。
11. 已知两点A(0,1)和B(1,0)，直线
y?k(x?1)
与线段AB有
公共点，求
k
的取值范围。
12. 过
A(?4,0),B(0,
?3)
作两条平行直线
l
1
,l
2
，若
l
1
与
l
2
的距离为4，求
l
1
与
l
2
的方程；若
l
1
与
l
2
的距离为
m(
m?0)
，求
l
1
与
l
2
的方程。
·72·
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11.4 点到直线的距离（2）
一．填空题
1． 点（－2，6）关
于直线
3x?4y?5?0
对称点的坐标为________________
2． 在直线
x?6
上有点P，它到
A(?3,6)
和
B(
5,?1)
的距离之和最小，则P点坐标为________________
3． 若
2x?y?3?0
，则
x
2
?y
2
?4x?6y?13
的最小值为__________________
4．
两直线
l
1
:x?ysin
?
?1?0,l
2
:2
xsin
?
?y?1?0
。当
?
?_____________时，
l
1
l
2
；当
?
?__________
___
，
l
1
?l
2
。
二．选择题
5． 已知无论k为何实数，直线
(2k?1)x?(k?2)y?(k
?8)?0
，恒通过一个定点，则这个定点为
（ ）
A.(0,0)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(?2,3)
6． 若点
P(a,b)
与
Q(b?1,a?1)
关于直线
l
对称，则直线
l
的方程为 （ ）
A.x?y?0
B.x?y?0
C.x?y?1?0
D.x?y?1?0
7．
若
?
?
2
?
?
?0,
则直线
y?xcot
?
的倾斜角等于 （ ）
A.?
?
B.
?
2
?
?
C.
?
2
?
?
D.
?
?
?
三．解答题
8． 求直线
l
1
:x?y?2?0
关于直线
l:3x?y
?3?0
对称的直线
l
2
的方程。
9． 一光线从点
A(?2,1)
射出，绕
x
轴反射后到达
x?y?0
，又经过直线
x?y?0
反射后回到A
点。
⑴ 求入射线方程
⑵
光线从
A
点发出回到
A
点的总路程。
·73·
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10. 已知
ABC<
br>的顶点
A(3,?1)
，
?B,?C
的平分线所在的直线方程分别是<
br>x?0,y?x
，求
BC
边所在
的直线方程。
11. 已知直线
l:y?4x
和定点
P(6,4)
，在
l
上求一点
Q，使过
P,Q
的直线及
l
与
x
轴在第一象限内围成的三角形面积最小。
12. 过点
P(2,1)
的直线
l
交
x
轴，
y
轴的正半轴于
A,B
两点，求使
⑴
?ABC
面积最小时
l
的方程；
⑵
PA?PB
最小时
l
的方程。
·74·
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12.1
曲线与方程(1)
一、填空题：
1、已知曲线
c
的方程是
2x?3y?9
若点
p(a,1
)
在曲线
c
上，则
a?
______________
2
2、若方程
y?x?3x?c
的曲线经过坐标原点，则
c?
_______________________
222
3、若a,b,r满足条件_____________
时，方程
(x?a)?(y?b)?r
的曲线经过坐标原点_________
4、直线
l:y??
5、相交直线
y?
二、选择题：
1
x
曲线
c:(y?1)
2
?3(x?1)
点 M(2, 0)关于直线
l
的对称点是否在曲线
c
上？
2
3
x与y?3x
的夹角平分线的方程为
y?x
___________ (填对或错)
3
___________（填是或否）
x
2
y
2
??1
的曲线上的点是
（ ） 6、在方程
49
A) (1, 3) B)
(?1,3)
C)
(
2sin
?
,3cos
?
) D)
(?2,3)
7、方程
y??x
2
?2x?1
的图形是下图中的
（ ）
A)B) C)D)
8、已知坐标满足方程
F(x,y)?0
的点都在曲线
c
上，则下列命题中正确的是（
）
A) 曲线
c
上的点坐标都适合方程
F(x,y)?0
B) 不在其曲线
c
上的点的坐标必不适合方程
F(x,y)?0
C) 凡坐标不适合方程
F(x,y)?0
的点都不在曲线
c
上
D) 不在在曲线上点的坐标有些 适合方程
F(x,y)?0
三、解答题：
9、到原点的距离等于3的动点轨迹方程是
y?9?x
吗？为什么？
10、已知点A（0，2） B（
(?1,0)
⑴
问线段AB的方程是不是
2x?y?2?0
，为什么？
⑵
线段AB的中垂线方程是不是
2x?4y?3?0
，为什么？
·75·
2
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11、下列各题中如图所示的曲线
C
的方程是不是下列的方程？为什么？
⑴
曲线
C
为射线OA；方程为
log
x
y?1
⑵ △MNK的三个顶点的坐标分别为M（1，1）
N（3，1）
为
y?x
·76·
K（1，3） NK边上的中线为c ：方程
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12.1 曲线与方程(2)
一、填空题：
1.
到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程_____________________________
2. 与点
(2?3)
连线的倾斜角为
?
的点N的轨迹方程______________________
3
3. 点M
到点A（4，0）和B
(?4,0)
的距离平方和为64，则点M的轨迹方程是_______
__________________
4.
适合方程
sin
2
?
x?tan
?
y?0
的点
(x,y)
的集合是_____________________
5. 方程
x?y?1
所表示的曲线所围成的封闭图形的面积
s?
_
_______________
二、选择题
6、下列各组方程表示同一曲线的是
（ ）
A)
y?x
,
y?
C)
y?x
,
7、动点
(x,y)
到 轴的距离和到
y轴之和等于3，则动点的方程为 （ ）
A)
x?y?3
B)
x?y??3
C)
x?y?3
D)
x?y?3
x
2
B)
y?x,
y
2
?x
2
y
?1
D)
y?lgx
2
,
y?2lgx
x
（x?4)?(x?y)?0
表示的曲线是
（ ） 8、方程
A) 两个点 B) 四个点 C)
两条直线 D) 四条直线
三、解答题：
9、定长为4的线
段AB的端点分别在
x
轴，
y
轴上滑动，求AB中点的轨迹方程
10、已知AB两点的坐标是
?
1,0
?
?
?1,0
?
动点M满足
MA?MB
，求动点M的轨迹方程
·77·
22222
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11、已知等腰三角形底边的两个端点的坐标为
B(4,2)
C(?2,0)
求第三个顶点A的轨迹方程
12、已知动点P到
F(4,0)
的
距离与它到点
F(?4,0)
的距离的比为2，求P点的轨迹方程
13、在
ABC
中已知
?BAC?
方程
?
3
顶点B
?3,0
C
???
3,0
顶点A在
x
轴上方，求顶点A的轨迹
?
·78·
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12.1
曲线与方程(3)
一、填空题：
1.
已知平面两定点
A(?1,0)
B(1,0)
点
P(x,y)
到A、距离之和为2，则P点的轨迹方程为
_______________________
___
2. 曲线
C:2x?3y?1
关于点（1，2）对称曲线
C
的方程为____________________
3. 曲线
C:y?
4.
点M是曲线方程
x?y?2
上的动点 ，N是定点（4，1） P是线段MN的三等分点（靠
近M）的
轨迹方程______________________________
5. 已知点P在曲线
C:x?y?1?0
上运动，当点P到直线
l:2x?
y?5?0
的距离最小时，则定点P
的坐标为___________ ，最小距离为
__________________
二、选择题：
6.
已知
ABC
是等腰三角形，若它的底边两端点坐标分别是B（4，2）
C
(?2,0)
则顶点A的轨迹方程
是
（ ）
A)
3x?y?4?0
B)
3x?y?1
=0
C)
3x?y?4?0(x?1)
D)
3x?y?1?0(x?1)
2
7. 已知O为坐标原点
线段OP的中点M在曲线
C:y?2x?1
上运动，则线段OP端点P 的轨迹方程是
（ ）
22
A)
y?x?2
B)
y?4x?1
C)
y??2x?1
D)
以上都不对
2
2
22
1
2
x?1
关于直
线
x?1
对称的曲线
C
的方程为_____________________
2
22
8. 下列命题中
⑴
经过点A（3，0）且垂直于
x
轴的曲线方程是
x?3
⑵
与坐标平面上第二、第四象限的角平分线的距离为
2
的点的轨迹方程是
x?y?1
2
⑶
已知
ABC
的顶点B、C的坐标分别是（0，0） （6，0），若BC上的中线AD之长为4
，则顶点
22
A的轨迹方程是
x?y?6x?7?0
⑷
P点在曲线
C:y?3
上，P沿着向量
d
=（
运动到
Q
则
Q
点的轨迹方程为y=1
1，2）
其中正确命题的个数有
（ ）
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
三、解答题：
9. 已知
ABC
的两顶点是A(6,0) B(
?6,0
)
,若顶点
C
在曲线
x?y?36
上移动，则
ABC
的重心的
轨迹方程
·79·
22
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10. 已知曲线
C:y?x?1
和定点A(3,1) B为曲线
C
上任意一点，若
AP?2PB
，当点B在
曲线
C
上
运动时，求点P的轨迹方程
22
11.
已知A(
?2
,0 ) B(2,0) 点C在曲线
x?y?1
上运动 ，求以AB、BC为邻边的平行四边形ABCP
的顶点P的轨迹方程
12. 设点A是
x
轴上一动点，一条直线过点
C
（2，3），且垂
直于AC交
y
轴于点B
，过A、B分别做
x
轴和
y
轴的垂线且交于点P，求点P的轨迹方程
22
·80·
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12.1 曲线与方程(4)
一、填空题：
1、
曲线
x?y?2x?y?3?0
与
x
轴的交点坐标为_______________________
2、
y?kx
与
y?7x
交于O、A两点，OA中点的横坐标为2，则
k?
________
3、
直线
y?kx?3
与曲线
x?y?2kx?3y?0
的两个交点关于
y
轴对称，则
k?
________
，交点
22
2
22
坐标为___________________
4、 直线
2x?y?1?0
被取曲线
y?x
2
?3
截得的线段长为_________________
5、 直线
x?y?m?0
与
x
2
?y
2
?2
有且只有一个
交点，则实数
m
的值为_______
二、选择题：
6、 若直线
y?x?b
与曲线
y?x
2
?x?2
有两个不同的交点，则 （
）
A) b＜1 B b＞1 C b≤1
D b≥1
7、 经过直线
x?3y?10?0
和
y?3x
的交点,且与原点的距离为1的直线方程是
（ ）
A)
3x?4y?5?0
B)
4x?3y?5?0
C)
x??1
D)
(3x?3y?5)
(x?1)?0
8、
直线
y?kx?3
与曲线
x?1?y?0
的公共点最多有
（ ）
A) 0个 B) 1个 C) 2
个 D） 3个
三、解答题：
9、 已知方程<
br>y?k(x?2)
和
x
2
?y
2
?1
，当实
数
k
为何值时，两方程表示的曲线有两个交点？
一个交点？没有交点？
10、已知直线
y?kx?
3
2
与曲线
y
2
?2y?x?3?0
只有一个交点，求实数
k
的值
·81·
只有
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11、已知直线
l:y?x?b
被曲线
y?
12、已知直线
l:y?x?t
与曲线
c:
2x?y?b
(1)
当
t
为何值时直线
l
与曲线
c
有公共点？
(2) 当
t
为何值时，曲线
c
截直线
l
所得的线段最长，
最大值是多少？
22
1
2
x
截得的弦长为
42
，求实数b 的值
2
·82·
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12.2
圆的方程 (1)
一、填空题：
1、 根据条件写出相应的圆方程
3
，半径R
?3
_____________________________
,3
）
2
（2）圆心C（
(2,1)
），过点A
(?1,2)
_________________________
（1）圆心C（
?
（3）与
x
轴相交于A（1，0） B(5，0 )
两点且半径为
5
_________________________
2、已知圆
(x?a)?(y?b)?r
r
＞0 ，在下列情况下，实数
a
、
b
、
r
分别满足的条件
（1）圆过原点
_________________________________________
（2）圆心在
x
轴
________________________________________
（3）圆与
x
轴相切
_______________________________________
（4）圆与坐标轴相切______________________________________
3、过点A（
5,?5
）且与圆
(x?1)?(b?2)?25
相切的直线方程______________
4、使圆
(x?2)?(y?3)?2
上的点与点（
0,?5
）距离最大的点的坐标是 __________
5、已知直线
y?x?m
和曲线
y?1?x
2
有两个交点，则实数
m
的取值范围_______
二、选择题：
6、已知圆
x?y?3
若点M为（
2cos
?
,2sin
?
），则点M与圆位置关系
（ ）
A) M在圆外 B) M在圆上 C)
M在圆内但不是圆心 D) M是圆心
7、由
y?x
和圆
x?y?4
所围成的图形的面积是 （ ）
22
22
22
22
222
3
?
3
?
?
B)
?
C)
D)
42
4
22
8、设直线
2x?y?3?0
与
y
轴的交点为P，点P把圆
(x?1)?y?25
的直径分成两段，其长
A)
度之比为
（ ）
A)
73747576
或
B)
或
C)
或
D)
或
37475767
三、解答题：
9、已知圆
c
与直线
l
1
:x?2y?7?0
，
l
2
:x?2y?3?0
都相切，并且圆心
c
在直线
7x?6y?6?0
上，求圆
c
的方程
10、已知圆
c
过原点，且在
x
轴，
y
轴上截得的弦长分别是4和2，求圆
c
的方程
11、已知A、B两点相距10厘米，动点P到点A的距离是它到点B距离的3倍，求点P的轨迹
·83·
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22
12、已知直线
l:y?x?b
被圆
c
x?y?9
所截得的线段的长不小于2，求实数
b
的 取值范围
13、自点A
(?3,3)
发出光线
l
射到
x
轴上，被
x
轴反射，其反射光线所在直线与圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
相切，求光线
l
所在的直线方程
14、已知点A（2，0） B (6，4)
C（8，2）判断
ABC
的形状，并求
ABC
外接圆的方程
·84·
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12.2 圆的方程 (2)
一、填空题：
1、“A=C≠0 且B=0‘是’
Ax?Bxy?cy+Dx?Ey?F?0
表示圆方程”的_______条件
22
2、直线
Ax?By?0
与圆
x?y+Ax?By?0
的位置关系____________________
22
3、如果直线
x?y?c?0
与圆
x?y+2x?2
y?c?0
没有公共点，则
c
的取值范围___
2222
4、已知圆
x?y+2x?2y?2?0
和
x?y?x?2y?1?0
相交于A、B两点，则直线AB的方程
_____________________
5、圆
x?2x?y?4y?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有____个
二、选择题：
6、如果圆
x?y+Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
﹥0 ) 关于直线
y?x
对称，那么
（ ）
A)
D＝E B) E＝F C) D＝F D)
D＝E＝F
222
7、方程
x?y+ax?2ay?2a?a?1?0
表示圆，则
a
的取值范围是 （ ）
A)
a??2或a?
8、 若
a?0
圆
x?y-2ax?2ay+a=0
与圆
x?y+2ax?2ay?0
的位置关系是
（ ）
A) 相交
B) 相离 C) 外切 D) 内切
三、解答题：
9、求过点
(2,?1)
，圆心在直线
2x?y?0
上 且与直线
x?y?1?0
相切的圆方程
222
10、已知圆
x?y+6x?8y?25?r
与
x
轴相切 ，求这个圆截
y
轴所得的弦长
22
11、已知直线
x?my?1?0
和圆
x?y?6x?5?0
，求
m
的值，使直线与圆分别相交；相切
·85·
222
22
22
22
22
22
222
B)
??a?2
C)
?2?a?0
D)
?2?a?
333
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12、已知圆
x?y?2x?2y?3?0
和圆
5x?5y?x?7y?12?0
关于直线
l
对称，求直线
l
的
方程
22
13、已知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线
x?2y?3?0
相交于P、Q两点，O为原点，若OP
?
OQ,
求实数
m
的值
14、已知圆满足：
(1) 截
y
轴所得的弦长为2
（2）被
x
轴分成两段圆弧，长的比为3 ：1
（3）圆心到直线
x?2y?0
距离为
求该圆的方程
2222
5
5
·86·
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12.2 圆的方程 (3)
一、填空题：
1、圆
x?y?4x?2y?F?0
与
y
轴交于A、B两点，圆心为C，若
?ACB?90
则F的值为
______________________
2222
2
、圆
x?y?2axsin
?
?2bycos
?
?acos
?
?0
在
x
轴上截得弦长为_____________
22
3、圆
x?y?4x?5?0
的弦
AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是______________
22
4、从定点A(8，10)向圆
x?y?4
任意引一割线交圆于
P
1
、
P
2
两点，则弦
PP
12
的
中点轨迹方程
______________________
22
22
5、若
x
、
y
满足
ax?by?c?0
（
a?b?0
）则
x?y
的最小值_____________
二、选择题：
6、在满足
?x?3
?
?
?
y?3
?
?6
的所有实数对
?
x,y
?
中
22
22
0
y
的最大值是 （ ）
x
A)
33
B)
2?3
C)
3?22
D) 6
22
7、若圆
x?y?ax?by?c?0
关于
x?2y?0
对称，则 （ ）
A) a=2C B) a=2b C) a+2b=0
D) a=b
22
8、已知圆的方程为
x?y?6x?8y?0
，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，
则四边形ABCD的面积为
（ ）
A)
106
B)
206
C)
306
D)
406
三、解答题：
9、已知直线
xsin
?
?ycos
??m?0
（常量
?
?(0,
求实数
m
的值
22
10、已知直线
l
与直线
4
x?3y?18?0
垂直，且它被圆
x?y?2x?4y?20?0
所
截得的线段的长
为8，求直线
l
的方程
11、已知圆C 与
y
轴相切，圆心点C在直线
x?3y?0
上
，且直线
y?x
被圆C所截得的线段的长
为
27
，求圆C的方程
·87·
?
2
） ）被圆
x?y?2
所截的线段的长为
22
4
3
，
3
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12、已知动直线
kx?y?1?0
和圆
x
2
?y
2
?1
相交于A、B两点，求弦AB的中点的轨迹方程
13、求经过直线
x??2
与圆
x
2
?y
2
?2x?4y?11?0
的交点的所有圆中具有最小面
积的圆的方程
14、直线
y?k
?
x?22
?
与圆
o:x
2
?y
2
?4
相交于A、B两点，O为原点，ABC
的面积为
s
求
s?f(k)
（2）求
s
的最大值，并求取得最大值时
k
的值
·88·
1） （
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12.3 椭圆的标准方程（1）
一、填空题：
x
2
y
2
??1
一点Ｐ到焦点
F
1的距离为３，１、已知椭圆则点Ｐ到另一焦点
F
2
的距离是__________
____
2516
22
２、椭圆与
5x?ky?5
的一个焦点是（０，２），那么
k?
_____________
３
、平面内两点分别是Ｂ（
?6,0
）Ｃ（６，０），动点Ａ到这两个定点的距离之和是１２，则
动点Ａ的轨
迹方程为_______________
x
2
y
2
??1
的焦点分别为Ａ、Ｂ，一条直线经过Ａ与
椭圆交于Ｐ、Ｑ两点，连接ＰＢ、４、已知椭圆
259
ＱＢ所得的
PQB
周长
为___________
x
2
y
2
??1
的一个焦点为
F
1
，点Ｐ在椭圆上，如果线段
PF
1
的中点
Ｍ在
y
轴上，那么点Ｍ的５、椭圆
123
纵坐标是____________
__
二、选择题：
x
2
y
2
??1
表示曲线是椭圆”的 （ ）
６“
m?2
”是“方程
m?25?m
Ａ）充分不必要条件
Ｂ）必要不充分条件
Ｃ）充分必要条件 Ｄ）既非充分也非必要条件
x
2
y
2
??1
（
m?0
）７、已知椭圆
的方程，如果此椭圆的焦点在
x
轴上，那么它的焦距为（ ）
16m
2
Ａ）
216?m
2
Ｂ）
24?m
Ｃ）
2m
2
?8
Ｄ）
m?4
８、椭圆的焦距为２，且经过（０，３），则椭圆的标准方程为
（ ）
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
??1
Ｂ）<
br>??1
Ｃ）
??1
或
??1
Ｄ）以上答案都错
Ａ）
9810998109
二、解答题：
９、写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)
椭圆经过（
0,-2
）（
6,0
）两点
(2) 两个焦点坐标分别
是（
0,4
）（
0,-4
），椭圆上点Ｐ到两焦点距离之和等于１０
2626
,?
）
33
99
25
10、已知动点Ｍ
到定点Ａ（
?,0
）与Ｂ（
,0
）的距离和是，求点Ｍ的轨迹方程
44
2
(3) 焦距等于４，且椭圆经过点Ｐ（
·89·
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x
2
y
2
??1
表示椭圆，求实数
m
的取值范围
11、若方程
mm
2
?2
x
2
?y
2
?1
的右焦点
F
交椭圆于Ａ、Ｂ两点，求弦ＡＢ的长 12、斜率为１的直线
l
过椭圆
4
13、已知<
br>ABC
的周长是３６，且Ｂ（
?8,0
）C(
8,0
)
(1)求A点的轨迹方程
（2）若点P（
-
25
，t） 在（1）中的轨迹上，求
PB
和
PC
的值
4
·90·
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12.3 椭圆的标准方程（2）
一、填空题：
x
2
y
2
??1
的两个焦点，过
F
1<
br>的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若
F
2
A?F
2
B?12
１、已知
F
1
,F
2
为椭圆
259
则
AB?
__________________________
x
2<
br>y
2
??1
的右焦点且与圆
x
2
?y
2?9
相切的直线方程为___________
２、过椭圆
169144
x
2
y
2
??1
上，求一点Ｐ，使点Ｐ与椭圆两个焦点的连线互相垂直______ ３、在椭圆
259
４、过点Ｍ（
2,3
），Ｎ（０，２）且对称轴为坐标轴的椭圆标准方程为_______
______
５、椭圆
ax?by?1
与直线
y?1?x
交于Ａ、Ｂ两点，且原点与ＡＢ中点连线的斜率为
22
2
则
2
a
?
________________
b
二、选择题：
６、若方程
16x?ky?16k
表示焦点在
y
轴上的椭圆，则实数
k
满足 （ ）
Ａ）
k?16
Ｂ）
k?16
Ｃ）
k?16
Ｄ）
0?k?16
7、在
ABC
中，A(
?1,0
) C(1,0 ),
a?b?c
且
2sinB?sinA?sinC
则点B的轨迹方程为
（ ）
22
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
x?0
B)
??1
x?0
A)
4334
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
x?0
D)
??1
x?0
C)
4334
x
2
y
2
??1
的两个焦点
F
1
,F
2
的连线为直径作圆，交椭圆于
M点，则
F
1
MF
2
的面积为 8、以
2516
（ ）
A) 16 B) 25
C) 41 D) 9
三、解答题：
9、已知椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称，该椭圆经过两点A(
3,?2
)
B(
?23,1
) ，求椭
圆的标准方程
x
2
y
2
21
10、已知椭圆
2
?
2
?1
经过点A(
2,1
) 且截得直线
x?y?1
所得弦的中点为（
,
）
，求椭圆
ab
33
的标准方程
·91·
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?
x
2
y
2
??1
上，
F
1
,F
2
是焦点，若
?F
1
PF
2
?
，求
F
1
PF
2
的面积 11、P在
94
6
x
2
y
2
??1
的两个焦点，P为椭圆上的点，P，
F
1
,F
2
是一个直角三角形的三12、已知
F
1
,F
2
为椭圆
94
PF
1
个顶点，且
PF
，求 的值
?PF
12
PF
2
13、在面积为1的
PMN
中，
tanM?
1
tanN??2
以线段MN中点为原点建立直角坐标系：
2
（1）求M，N，P点坐标
（2）求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程
·92·
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12.4 椭圆的性质（1）
一、填空题：
1、若椭圆的方程为
16x?25y?400
，则此椭圆的长半轴长________；短半轴长________；焦距为
________.
2、已知椭圆的对称轴坐标轴，若两个顶点的坐标分别为（0，13）（
?12,0
），则此椭圆的焦点坐标为
_________
3、若椭圆的两焦点三等分长轴，则短轴长与长轴长之比为______
0
4、若椭圆的短轴长为4，在
x
轴上的一个焦点与短轴的两端点连线之间的夹角为
6
0
，则此椭圆的标准
方程__________
5、人造地球卫星运动轨迹是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面P公里，远地点距地面q
公
里，若地球的半径为r公里，则这个运行轨迹的短轴的长为_______
二、选择题：
6、焦距为8, a：b =3：
（ ）
A)
125
B) 24 C ) 24
2
D)
18
3
7、椭圆C的一个顶点为（
0，
，焦点在
x
轴上，其右焦点到直线
x?y?22?0
的距离为3，则椭
-1
）
圆C的方程是
（ ）
22
5
的椭圆中，过焦点
F
1
的弦为AB，则三角形
ABF
2
的周长为
x2
x
2
y
2
2x
2
222
2
?y?1
B)
?y?1
C)
?y?1
D)
x??1
A)
343
3
8、连结椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为（ ）
A) 2 B)
23
C)
23
D) 4
3
三、解答题：
9、已知椭圆的原点为中心，长
轴长是短轴长的2倍，且过点（
?2,?4
），求此椭圆的标准方程
10、已知椭圆的中心在坐标原点，它在
x
轴上的一个焦点F 与短轴
B
1
B
2
两端点的连线互相垂直，且点
F和长轴上较近的端点A的距离是
10?5
，求此椭圆方程
·93·
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11、已知椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线
x?3y?6?0
与两坐标轴的交点，求此椭圆的标准方
程
x
2
y
2
??1
的焦点分别是
F
、
F
2
过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若要使
12、已知椭圆
4520
ABF
2
的 面积为20，求此直线AB的方程
13、已知A、B、C是长轴长为4，焦点在
x
轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆
中心O，且
ABBC?0
BC?2AC
，求椭圆的标准方程
·94·
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12.4
椭圆的性质（2）
一、填空题：
x
2
y
2
1、过椭圆
2
?
2
?1
上任意一点P作
x
轴的垂线，垂足为Q，则PQ的中点轨迹方程是_________
ab
2、
若直线
y?kx?2
和椭圆
2x?3y?6
有两个公共点，则
k
的取值范围_______
22
3、 椭圆
x?4y?80
与直线
y?kx?2
交于不同的两点P、Q，若P、Q的中点的横坐标为2，则
22
k?
______
x
2
y
2
??1
的弦AB被点P(1, 1) 平分，则AB所在直线的方程为________ 4、
若椭圆
94
x
2
y
2
5、
椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）中，左焦点F（
?2,0
），右顶点A（a, 0 ），短轴上方的顶点B（
0,
ab
b ）
当a、b、c成等比数列时，
?ABF
的大小是_________
二、选择题：
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
与
??1
（０＜
k
＜９＝的关系是
（ ） ６、椭圆
2599?k25?k
Ａ）有相同的长轴和短轴 Ｂ）有相等的焦距
Ｃ）有相同的焦点 Ｄ）有相同顶点
x
2
y
2
??1
上点到直线
l:3x?2y?16?0
的最短距离为 （ ）
７、椭圆
47
24585
248
Ａ） Ｂ）
Ｃ） Ｄ）
55
55
x
2
y
2
??1
于Ａ、Ｂ两点
，若弦ＡＢ被
x
轴８、过点Ｐ（
?3,1
），作倾斜角为
?
的直线
l
交于椭圆
259
或
y
轴平分，则倾斜角
?
的值为
（ ）
?
5
?
5
?
?
5
?
或0
D)
0或或
A) 0 B)
或
C)
26626
三、解答题：
9、已知椭圆C的焦点分别为
F(-22,0)
F(22,0)
长轴长为6，直线
y?x?2
交椭圆C于A、B
12
两点，求线段AB的中点坐标
x
2
y
2
10、已知椭圆
2
?
2
?1
a＞b ＞0 与直线
x?2y?2?0
交于 A、B两点，
AB?5
，
且AB的
ab
1
中点坐标为（
n,
），求此椭圆方程
2
·95·
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11、已知过点M（
?2,0
），的直线与椭圆
x?2y?2
交于
P
12
的中点为Ｐ，设
1
、P
2
两点，线段
PP
直线
l
的斜率为
k
1
(k
1
?0)
，直线ＯＰ的斜率为
k
2
，求证
k
1
k
2
的值为定值
22
12、椭圆
x?4y?4
的长轴上的一个顶点为Ａ，以Ａ为直角顶点，
作一个内接于此椭圆的等腰直角三
角形，求这个三角形的面积
22
x
2
y
2
?1
和直线
y?x?1
相交于Ａ、Ｂ两点，如果以ＡＢ为直径的圆过椭圆左13、已知椭圆
2
?
2
aa?1
焦点，求椭圆方程
14、已知椭圆的焦点为
F
1
(?3,0)
F
2
(3,0)
且椭圆与直线
x?y?9?0
有公共点，求其中长轴最短
的椭圆方程
·96·
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12.4
椭圆的性质（3）
一、填空题：
x
2
y
2
??1
的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程__________ 1、以椭圆
2516
x
2
y
2
??1
上的一个动点，
F
1
是椭圆的左焦点，那么
PF
1
的最大值为
2、如果点P是椭圆
3620
__________, 最小值为_____________
3、
ABC
的两个顶点 A、B的坐标分别是（
?6,0
）（
6,0
），AC、BC边所在直线的斜率之积等于
?
则
顶点C的轨迹方程为__________________________
4
，
9
x
2
y
2
??1
上的一点P到两焦点距离之积为
m
，则
m
最大值为_________
4、椭圆
259
x
2
y
2
??1
恒有公共点，那么实数
m
的取值范围为____________
5、如果直线
y?kx?1
与椭圆
5m
二 、选择题：
（0）
（0）
6、椭圆的两焦点
F
F
，P在椭圆上，若
2
4，
1
-4，
（
）
PF
1
F
2
的面积最大值为12，则椭圆方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
y
2
x
2
??1
B)
??1
C)
??1
D)
??1
A)
2516259
169259
y
2
x
2
2<
br>x
与椭圆的一个交点M在
x
轴上的
?
2
?1
（
m?0
）7、已知椭圆C的方程 ，
如果直线
y?
2
16m
射线恰为椭圆
的右焦点，则
m
值为 （ ）
A) 2 B)
22
C) 8
D)
23
x
2
y
2
??1
两焦点分别为
F
1
,F
2
P为椭圆上一点，则使
?F
1
PF
2
为锐角的P点的横坐标的范8、椭圆
259
围为
（ ）
A)
（
?
47474747
,)(,??)
）
B)
(??,?
5555
4747
)(,5)
D) 以上答案都错 C)
(?5,?
55
三、解答题：
x
2
?y
2
?1
上的两点，O为原点，若直线在
y
轴上的截距为4，且OA、OB 的斜9、设A，B
是椭圆
4
率之和为2，求直线AB的斜率
22
10、设AB为过椭圆
x?4y?4
中心的弦，
F
为焦点，求
22
11、求椭圆
x?2y?1
中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程
·97·
FAB
的最大面积
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22
12、已知动圆C过顶点A（
?3,0
），且定圆B
:(x?3)?y?64
的内部与定圆B相切，求动圆的圆心
C的轨迹方程
x
2
?y
2
?1
上的点，定点A(
a
, 0)
a?R
求
PA
的最小值的表达方式 13、P是椭圆
2
22
14、已知
ABC
的顶点A、B在椭圆
x?3y?4
上，C在直线
l:y?x?2
上，且AB∥
l
（1）当AB边通过坐标原点时，求AB的长及
ABC
的面积
（2）当
?ABC?90
，且斜边AC的长最大时，求AB 所在的直线的方程
0
·98·
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