高中数学(沪教版)知识点归纳(同名12824)

高中数学知识点归纳

高一(上)数学知识点归纳
第一章 集合与命题
1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、
并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。
2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、
真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解
交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意
义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个
简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件
的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点
是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的
子集，记作A
?
B.(2)相等的集合:如果A
?
B,且B
?
A，那么A=B.(3).真子集：
A
?
B且B中至少有一个元素不属于A，记作A
?
B.
5.集合的运算：(1)交集：
A?B?{xx?A且x?B}.

(2 )并集:
A?B?{xx?A或x?B}.
（3）补集：
C
U
A?{ xx?U且x?A}.

6.充分条件、必要条件、充要条件
如果
P
?Q
,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
如果
P
?Q
,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P与命题Q是等价命题。
有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。
2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。
3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图
叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。
2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。
3.证明A是B的充要条件：（1）充分性的证明：A
?
B.(2)必要性的证明：
B
?
A.
4.原命题与它的逆否命题同真（假），因此它们是等价命题，逆命题与否
命题互为逆否命题。
第二章 不等式
1.主要内容：不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、
分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不
等式的解法、基本不等式、不等式的证明。
2.基本要求：掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质，掌握一元二次不
等式的解法，掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法，会解简单的无
理不等式和高次不等式，掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思
路，并会用这些方法证明简单的不等式。
3.重难点：重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法，基本不等式及
其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法，解不等式的应用，比较
法、综合法、分析法证明简单的不等式。
不等式的基本性质:1.如果
a?b,b?c;那么a?c.

2. 如果
a?b,那么a?c?b?c.

3.如果
a?b,c?0,那么ac?bc:如果a?b,c?0,那么ac?bc.

4.如果
a?b,c?d,
那么a?c?b?d.

5.如果
a?b?0,c?d?0,那么ac?bd.

6.如果
a?b?0
，那么
0?
11
?.

ab
7.如果
a?b?0
，那么
a
n
?b
n
(n?N
?
)
.

8.如果
a?b?0
,那么n
a?
n
b(n?N
?
,n?1).

一元二 次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据
?
与0的关系来求解，注意
解的区间的表 示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整
式不等式。
两个基本不等式 ：1.对于任意实数
a和b,
有
a
2
?b
2
?2a b,
当且仅当
a?b
时等号
a
2
?b
2
?ab
，当且仅当
a?b
时等号 成立。 2.对任意正数
a和b,
有
2
a
2
?b
2
和ab
分别叫做正数
a、b
的算术平均数和几何平均数。 成立。我们把
2
第三章 函数的基本性质
1.主要内容：函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大
值或最小值。
2.基本要求：理解函数的概念，能使用函数的记号
y?f(x)
表示
y是x的函数
，会
求函数值
f(a)
，会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义，会求两
个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数
的最大值和最小值。
3.重难点：重点是函数关系的建立，函数奇偶性、单调性、周期性等的判定，以
及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。难点是求函数
的值域、最大值和最小值。
注意：⑴函数的运算中一定要考虑函数自变量的定义域，定义域会随着函数的运
算改变而改变。
⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。
⑶偶函数的性质：
f(x)
=
f(?x)
.
⑷奇函数的性质：
f(x)??f(?x)
.
⑸单调性和最值性。
⑹零点的概念，实际上，函数
y?f(x)
的零点就是方程
f( x)
=0的解，也
就是函数
y?f(x)
的图像与
x
轴的交点的横坐标.

第四章 幂函数、指数函数和对数函数(上)
1.主要内容：幂函数的概念及其在
(0,??)
内的单调性。指数函数及其性质，
2.基本要求：掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在
(0,??)
内的单调性会画 幂
函数的图像，掌握指数函数的图像及其性质。
3.重难点：重点是幂函数性质的探求，指数函数的图像和性质；难点是幂函数性
质的运用指数函数的单调性。
注意：1.幂函数的定义：一般地，函数
y?x
k(k为常数，k?Q)
叫做幂函数。
2.指数函数的定义：一般地，函数< br>y?a
x
(a?0且a?1)
叫做指数函数。其
中x是自变量，函数的定义域是R. 幂函数与指数函数的形式一定要区分开。
指数函数的性质：1.指数函数
y?a
x
的函数值恒大于零.性质
2.指数函数
y?a
x
的图像经过点（0，1）.
3.函数
y?a
x
（
a
>1）在
(??,??)
内 是增函数；
函数
y?a
x
(0<< br>a
<1)在
(??,??)
内是减函数.


高一(下)数学知识点归纳
第四章 幂函数、指数函数和对数函数(下)
1.主 要内容：幂函数的概念及其在
(0,??)
内的单调性。对数；反函数；指数函数、
对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。
2.基本要求：掌握幂函数的定义域及 其性质，特别是在
(0,??)
内的单调性。会画
幂函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、幂的运算性质，
掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像
上的关系。指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和对
数方程。
3.重难点：幂函数性质的探求及其运用。对数的意义与运算性质，反函数的概念，
指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。

说明：①幂函数
y?x
?
(
?
?Q,
?
是常数)
的定义域
D
由 常数
?
确定，但总有
（0，+?）?D.D不外乎是（0，+?）,[0,+?),( -?,0)?(0,+?),(-?,+?)
四种。当
D?(??,0)U(0,??)或D= (-?,+?)时
，幂函数
y?x
?
是奇函数或偶函数，因此研
究幂 函数的性质，主要是研究幂函数在
(0,??)
上的性质。当
?
?0时，y? x
?
在（0，+?）+?）
是增函数；当
?
?0时，y?x
?
在（0，
上是减函数，
幂函数的图像都经过
(1,1)
。
②指数函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
有些同学常会与幂函数
y?x
?
(
?
?Q,
?
是常数)

混淆。
③换底公式
log
b
N?
log
a
N.(其中a?0,a?1,b?0,b?1,N?0)

log
a
b< br>④函数
y?f(x)
的定义域是它的反函数
y?f
?1
(x)
的值域；函数
y?f(x)
的值域
就是它的反函数
y?f
? 1
(x)
的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线
y?x
对称。 < br>⑤对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
与指数函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
互为反函数。
⑥在解对数方程时必须对求得的 解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程
变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。
第五章 三角比
第1节 任意角的三角比
1.主要内容：正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重
合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧
长公式，扇形的面积公式。任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、
正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角比
的关系，单位圆。
2.重难点：任意角的三角比的定义，由角的范围求三角比的取值范围和由三角比
的取值范围求角的范围。

第2节 三角恒等式
1.主要内容：同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、
两角和与差的正弦、余弦和正切，两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、
余弦和正切。【理】三角比的积化和差与和差化积。
2.重难点：三角恒等变形，如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，三角公式
的变式训练。
第3节 解斜三角形
1.主要内容：已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积。正弦定理、余弦定理、
扩充的正弦定理。解斜三角形。
2.重难点：正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。
第六章 三角函数
第1节 三角函数的图像与性质
1.主要内容：正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、
奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦
函数、余弦函数和正切函数的图像。
2.重难点：掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。在此基础上类似地
研究并掌握余弦函数和正切函数。研究三角函数式的性质，设法把已知函数表
达式转化为形如
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)< br>的表达式。
第2节 反三角函数与最简三角方程
1.主要内容：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的三
角方程。
2.重难点：掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法，在此基础上，研究并掌握
反余弦函数和反正切函数。含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三角
函数的图像分析方法。

高二(上)数学知识点归纳
第七章 数列与数学归纳法
1.主要内容：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项

与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。
第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤，
数学归纳法的应用。
第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用
的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。
2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义，
会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比数
列的通项公式。
第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的
等式，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
第3节数列的极限：掌握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，掌握无
穷等比数列前n项和的极限公式。
3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计算
数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式。
第2节数学归纳法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用及通过
归纳猜想命题的一般结论。
第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。
公式 ：(1)等差数列
{a
n
}
的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
(2)等差数列
{a
n
}
的前n项和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
.
22
(3)等比数列
{a
n
}
的通项公式：< br>a
n
?a
1
q
n?1
.

(4)等比数列
{a
n
}
的前n项和公式：
S
n
? na
1
(q?1)

a?a
n
q
a
1(1?q
n
)
或S
n
?
1
(q?1)

S
n
?
1?q1?q
(5)当
q?1时，l imq
n
?0
,
lim
1
?0
(
n??< br>)
n
a
1
(q?1)
.
1?q
(6)无穷等比数列各项的和：
S?
第八章 平面向量的坐标表示

1.主要内容：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平面
向量分解定理，平面向量的数量积及其坐标表示，平面向量的夹角，平面向量
的平行和垂直。
2.基本要求：理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模，单位向量，位
置向量，负向量，向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角，向量
的加减法，向量的数乘，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的投影等。
掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标表示方法，
线段的定比分点公式和中点公式。会判别两个向量的平行关系和垂直关系，会
运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。理解基向量和
平面向量分解定理。
3.重难点：重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。难
点是向量的夹角的概念和向量的数量积。
?
?
x?
注意：(1)有向线段的 定比分点的坐标公式：
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
（
?
??1
）
y
1
?
?
y
2
1?
?
(2)向量
a与向量b
的夹角
?
的取值范围是
0?
?
?
?
.
(3)向量
a与向量b
的数量积：
a?b?abcos
?

(4)向量
a与向量b
垂直的充要条件是：
a?b?0

(5)向量
a?(x,y)
的模的计算公式：
a?x
2
?y
2
.
第九章 矩阵和行列式初步
1.主要内容：矩阵及矩阵有关运算，二阶行列式、三阶行列式，二元、三元线性
方程组的矩阵表示，二元、三元线性方程组的解的讨论。

2.基本要求：理解矩阵的意义，会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行列
式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，掌握二阶、三阶行列
式的对角线展开法则，掌握三阶行列式按照某一行（列）的代数余子式展开的
方法，会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三
元线性方程组的解的情况进行讨论，会根据二元线性方程组的解的情况判断直

角坐标系平面内两条直线的位置关系。
3.重难点：重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组，难点是对含字母系数
的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。
注意：(1)经过往年高考试题分析代数余子式这个知 识点常考，一般是出在填空
?
a
1
x?b
1
y?c
1
题； (2)二元一次方程组
?
（
?
）的解的判别：（i）D≠ 0,方程组
ax?by?c
22
?
2
（
?
）有唯一 解.（ii）D=0：①
D
x
、D
y
中至少有一个不为零，方程组 （
?
）无
解；②
D
x
?D
y
?0
，方程组（
?
）有无穷多解。
第十章 算法初步
1.算法的表述：主要有三种表述方法：（1）通常语言（2）程序框图（3）计算机
程序
2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。
3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。

高二(下)数学知识点归纳
第十一章 坐标平面上的直线
1.主要内容：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方
程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离，两直线的夹角以及两
平行线之间的距离。
2.基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直
线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。熟练判断点与直线、直线与直线的
不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3.重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示
进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件
求出直线方程。熟练运用待定系数法。
(1)图形与方程

图形
直线l
方 程

ax?by?c?0
(
a,b
不同时为零) ①
(2)直线的几何特征与二元一次方程的代数特征
几何特征
点A在直线上
直线l的法方向
直线l平行的向量
倾斜角
(3)直线的已知条件与所选直线方程的形式
直线的已知条件
已 知直线
l
经过点
A(x
0
,y
0
)
且与向 量
d
=（u,v）平行
已知直线
l
经过点
A(x
0
,y
0
)
且与向量
n
=（a,b）垂直
已知直 线
l
经过点
A(x
1
,y
1
)
和点
B(x
2
,y
2
)

已知直线
l
的斜率 为k,且经
过点
A(x
0
,y
0
)



(4)两直线的位置关系：
l
i
:y?k
i
x?b
i
(i?1,2).

位置关系
l
1
与l
2
相交
代 数 特 征
点A的坐标（x,y）是方程①的解。
r
法向量
n?(a,b)

r
方向向量
d?
（
b
,
?a
）
a
斜率k=
?

b
所选择直线方程的形式
点方向式方程
x?x
0
y?y
0
?

uv

点法向式方程
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0


一般式方程
ax?by?c?0


点斜式方程
y?y
0
?k(x?x
0
)

系 数 关 系

k
1
?k
2

l
1
与l
2
平行
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

l
1
与l
2
重合
l
1
与l
2
垂直
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2


k
1
?k
2
??1

(5)点到直线的距离公式< br>d?
ax
0
?by
0
?c
a?b
22

(6)两直线的夹角公式
cos
?
?
a
1
a< br>2
?b
1
b
2
a
1
?b
1
22
a
2
?b
2
22

?
(7)直线的倾 斜角
?
的范围是
0?
?
<
?
,当直线
l< br>的斜率不存在时，直线的倾斜
.

2
第十二章 圆锥曲线
1.主要内容：直角坐标系中，曲线C是方程F（x,y）=0的曲线及方程F（x,y）
=0是曲线C的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线
的标准方程及它们的性质。
2.基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是
否在曲线上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这
些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用
直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析
法解决相应的几何问题。
3.重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究
几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几
何问题。



4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格
图
形
椭 圆 双 曲 线 抛 物 线

几
何
条
件

标
准
方
程

对
称
轴

顶
点
坐
标

焦
点
坐
标
渐
近
线
方
平面内到两个定点
F
1
,F
2
的距离和等于
平面内与两个定 点
F
1
,F
2
的距离之差的绝

平面上与一定点< br>F
和
一条直线
l
（
F
不在
l
上）的 距离相等
常数
2a(2a?F
1
F
2
)

对值等于常数
2a(2a?F
1
F
2
)

x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)

2
?
2
?1(a?0,b?0)
2< br>ab
ab
y
2
?2px

x
2
?2py
(p?0)


(p?0)

其中
c
2
?a
2
?b
2
其中
c
2
?a
2
?b
2

x
轴，长轴为2
a

y
轴，短轴为2
b


原点都对称
x
轴，
y
轴，

x
轴
y
轴
(?a,0)

(a,0)

(0,?b)

(0,b)

(?a,0)

(a,0)


原点

(?a
2
?b
2
,0)

(a
2
?b
2
,0)

(?a
2
?b
2
,0)

(a
2
?b
2
,0)


p
(,0)

2

p
(0,)

2


y??
b
x

a

程
准
线
方
程


x??
p

2
y??
p

2
第十三章 复数
1.主要内容：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复
数的相等，复数的共轭。⑵复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数的
坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。⑶复数的运算：
加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于1的平方根的应用），复数
的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。
2.基本要求：掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，会进行复数的四则
运算法则，会求复数的平方根，会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数
的模，会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论
z?z?z
的结论，
会求复数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。
3.重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。
2

高三数学知识点归纳
第十四章 空间直线与平面
1.主要内容：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画
简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理，
等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关系，
空间平面与平面的位置关系。
2.基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线所
成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。
3.重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、

平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线，
运用平面的基本性质进行说理证明问题。
知识结构图



空
间
直
线
与
平
面
两条直线的位置
关系
相交
平面的基本性质

3个公理及3个推论
直线和平面的位置
关系



平行
平面和平面的位置关系
相 交




第十五章 简单几何体
图形的性质
?
多面体
??
?简单几何体
??
--
?
体积和表面积的计算

旋转体
??
?
直观图的画法
?

1.“斜二 侧”画图法：图中的x轴、y轴、z轴分别表示现实中的前后方向、左
右方向、铅垂方向。现实中1cm 长的线段，在x轴、y轴、z轴方向上的直
观图中的长度分别是0.5cm、1cm、1cm.
2.祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相
等则这两空间 图形的体积必然相等。
3.多面体和旋转体共同性质和度量公式：

柱体
锥体
球
多面体
棱柱
棱锥
球
旋转体
圆柱
圆锥
球
主要特征
侧棱或母线平行，两底面平行
侧棱或母线共点，只有一个底面
球面上的点到球心的距离相等
体 积
S?h

1
Sh

3
4
3
?
r

3
4.设几何体的底面周 长为
c
（有两个不同底面时，周长分别记为
c
1
，c
2），母线
或斜高长为
h
'
.
(1)圆柱和直棱柱 的表面积分别为
S
圆柱
=
?
c
2
2
?ch
'
，
S
直
?
ch
'
+地面面积
? 2

(2)圆锥和正棱锥的表面积分别为
S
圆锥
?
?
c
2
?ch
'
2
，
S
正
?
1< br>'
ch
+底面面积
2
(3)半径为
r
的球的表面积 为
S
球
?
4
?
r
2
.
5.球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。
第十六章 排列组合和二项式定理
1 .乘法原理：如果完成一件事需要
n
个步骤，第1步有
m
1
种不同的 方法，第2
步有
m
2
种不同的方法，……，第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事
共
有
N?m
1
m
2
?m
n
种不同的方法。
2.加法原理：如果完成一件事有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，
在第2类办法中有
m
2
种不同的方法，……，在第n 类办法中有
m
n
种不同的

方
法，那么完成这 件事共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法 。
3.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m
?n
)个元素，按一定的次序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4.排列数公式：
P
nm
?n(n?1)(n?2)?(n?m?1).

特别地：
P< br>n
n
?n(n?1)(n?2)???3?2?1?n!
. 此外排列数公式还可写成

P
n
m
?
n!
.
(n?m)!
5.组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m
?n
)个元素组成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合。
P
n
m
n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
6.组合数公式：
C?
m
?.
（其中
m?n
）此外组合
m!
P
m
m
n
m
?
数公式还可以写成
C
n
n!
.

m!(n?m)!
m
n?m
m
m
m?1
7.组合数性质：①
C
n=
C
n
. ②
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
8.二项式定理：一般地，对于任意正整数
n
有
0n1n?11rn?rr nn
a?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b< br>
(a?b)
n
?C
n
rn?rr
ab.< br>（
n?N
?
）
T
r?1
?C
n
9.二项式系数的性质：①
(a?b)
n
的二项式展开式中，与首末两项“等距离”
的两项的二项式系数相等。
②(a?b)
n
的二项式展开式中 ，所有二项式系数的和等于
2
n
.

10.本章数学思想：化归思想和分类计数法。

第十七、十八章 概率论初步、基本统计方法
知识结构图：

样本空间
?

随机事件A、B
对立事件
A

P(A)

事件的和
A?B

独立事件的积
A?B

P(A?B)

P(A?B)

样本空间
?

随机变量
?

分布律
数学期望
方差
标准差

知识点：基本事件、随机事件、试验、必然事件、不可能事件、对立事件、随机
事件的概率、 概率的基本性质、随即事件的频率、频率的“大数定律”性质、互
不相容事件、独立事件、事件和的概率 、独立事件积的概率、随机变量、数学期
望。
1.在古典概率中，事件A出现的概率为
P(A)?
事件A所包含的基本事件数

试验中所有的基本事件数
2.必然 事件记作
?
，其概率为1；不可能事件记作
?
，其概率为0.
3.E和F叫做对立事件，如果⑴
E?F??;
⑵
E?F??

P(A)?P(A)?1

4.频率的大数定律：频率在大数次试验中稳定于某一个常数（概率）。
5.总体;统计问题中，研究对象的全体。总体的每一个对象叫做个体。
6.总体均值
?
?
1
(x
1
?x
2
???x
N
)

N
7.中位数：把总体的各个个体依从小到大的顺序排列，当N为奇数时，位于该数
列正中位置的数。当N为偶数时，位于正中位置两个数的平均数。
8.总体方差公式：< br>?
2
?
1
[(x
1
?
?
)
2
?(x
2
?
?
)
2
???(x
N
?
?
)
2
]
，总体方差
?
2
反
N
映的是数据的离散程度。其中
?
叫做总体标准差。
9.总体 均值的点估计值公式：
x?
x
1
?x
2
???x
n

n
(x
1
?x)
2
?(x
2
? x)
2
???(x
n
?x)
2
总体标准差的点估计值公式：
s?

n?1
10.抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样。