数学：5.6《解斜三角形》教案(1)(沪教版高一下学期)

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5.6 (3) 解斜三角形

一、教学内容分析
本节课是高中数学第 五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定
理和余弦定理，知道了任意三角形的边 角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解
决实际生活的相关问题.
本小节的重难点 是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实
际问题数学化是关键.通过本节课 的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活.
二、教学目标设计
加深理解正弦定理和余 弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定
理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解
三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的 密切关系，激发学习数学的热情，增强学
习数学的动力.
三、教学重点及难点
教学重点
用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题.
教学难点
用适当的方法解斜三角形及计算问题.
四、教学流程设计

复习回顾



加深与理解


)
五、教学过程设计
运用

(

例题解析、巩固练习

一、复习引入


a

?ABC
中有：1、正弦定理及其变形： 在
课堂小结并布置作业
=
bc
=
sinAsinBsinC
a
：
b
：
c
=
sinA:sinB:sinC

2、正弦定理的两个应用：
（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；
（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素.
3、余弦定理及其变形：在?ABC
中有：
a
2
?b
2
?c
2
? 2bccosA

b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
< br>b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
c osA?,cosB?,cosC?.

2bc2ac2ab
4、 余弦定理的两个应用：
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（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；
（2）已知三边，求三个内角.
[说明]学生回答.
二、学习新课
1、例题解析
a
?
b
?
c
例1、已知
?
ABC中，
?
A
?60
，
a
?3
,求sin
A
?sin
B
?sin
C

ab
c
???
k
(
k
>o)
解：设
sin
A
sin
B
sin
C

则有
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，< br>c
?
k
sin
C

0
从而
a
?
b
?
ck
sin
A
?
k
sin
B
?
k
sin
C
??
k

sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A
?sinB
?sin
C
a
?
a
?
b
?
c
?2

sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
???
[说明]在
?
ABC中，等式
sin
A
sin
B
sin
C

又
sin
A
3
?2?
k
sin60
0
，所以
a
?< br>b
?
c
?
k
?
k
?0
?
恒 成立.
sin
A
?sin
B
?sin
C
这个k是
?
ABC的外接圆直径,即k=2R.
例2、
在?ABC中，c?43,a?26,b?6?23，求A,B,C

解：由已知，
a?c?b,
得
B
最大，由余弦定理得
co sB??
6?2csinB2
?0,?B?105
0
,再由正弦定理得，si nC??
4b2

0000
b?c,?C?45,于是A?30C?45B?105
又
例3如 图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知
车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6°20′，A C长为1.40m，计算BC的长（保留三
个有效数字）．
C
[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．
解：已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹
角A＝66°20′，
由余弦定理，得
60
A
620
?
B

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答：顶杆 约长1.89m.
[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．
例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄 CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，
活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一 条直线，连杆的端点A在A处，
设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时 针方向旋转80°，求活塞移
动的距离（即连杆的端点A移动的距离 ）（精确到1mm）

[说明]：
B
与
B
0
重合时，
A
与
A
0
重合，故
A
0
C
＝AB＋CB＝425mm，且A
0
A
＝
A
0
C
－AC．
解：已知△ABC中， BC＝85nun，AB＝34mm，∠C＝80°，
在△ABC中，由正弦定理可得：

因为BC＜AB，所以A为锐角

A＝14°15′
∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′
又由正弦定理：
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答：活塞移动的距离约为81mm．
例5、如图：在 斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15?，
向山顶前进100m后 ，又从点B测得斜度为45?，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜
度?.
解：在△ABC中，AB = 100m ,
?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?
100BC
?
?
sin15
?
∴BC = 200sin15? 由正弦定理：
sin30
在△DBC中，CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?
由正弦定理：
C
50
45?
D
?
A
例6、某船在距救生艇A处10 海里的C处遇险，测得该船的方位角为45?，还测得该船正沿
方位角105?的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前
往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间.
解：设所需时间为t小时，
在点B处相遇（如图）
在△ABC中，?ACB = 120?,
105?
C
AC = 100, AB = 21t, BC = 9t
B
45?
由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 ? 2×10×9t×cos120?
25
A
整理得：36t2 ?9t ? 10 = 0 解得：
t
1
?,t
2
??
（舍去）
50200sin15?
?cos? =
3?1
∴? = 42.94
?
15?
?
B
sin45?sin(90??
?
)
100
312
23< br>(9?)?
ABBC
32
?
33
??sin?CAB?
2
14
sin120
?
sin?CAB
21?
3
由正弦定理：
??CAB?arcsin
33
14

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例7、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿 北偏西10°的方向以1
0海里小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才
能用 2小时追上敌舰？
[说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：

∴我舰的追击速度为14海里小时.

又在△ABC中由正弦定理得：

故我舰行的方向为北偏东
(50??arcsin
53
)

14
三、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
2、建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建
立一个解斜三角形的数学模型．
3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
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4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
即解斜三角的基本思路

五、课后作业
略


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