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沪教版(上海 )高中数学 无穷等比数列的各项和

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 23:09
tags:沪教版高中数学

高中数学厂房绿化题目-高中数学必修三教材电子版 百度网盘

2020年10月6日发(作者:伏来旺)


沪教版(上海 )无穷等比数列的各项和(1)
教学目标
1.理解无穷等比数列的各项和的定义;
2.掌握无穷等比数列的各项和的公式,会应用公式求无穷等比数列的各项和;
3.理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别;
4.通过在利用无穷等比数列的各项 和的公式解决一些简单的实际问题过程中,形成和提高
数学的应用意识.
教学重点及难点
教学重点:无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.
教学难点:正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
教学过程
(一)、引入
提问:
0.9
和1哪个数大? 可能你会认为
0.9?1
,
事实上,换一个角度来看:
?
?
0.9?0.99???9??? ?0.9?0.09?????0.00???09????

?
n?1
?< br>个0
?
?
n?1
?
个0
0.09,???,0.00 ???09,???
的各项和 现在就是求
0.9,
分析:求数列各项的和
S
,就是求数列全部的和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,
根据和的基本含义,要把 它们加起来,它的基础是前
n
项和
S
n
,当
n
越来 越大时,
S
n
就会
无限趋近这个各项和的
S
,所以这个S
应该是
S
n
的极限。
于是可以把数列
0. 9,0.09,?,0.00?09,?
各项和看作前
n
项和
S
n< br>当
n??
时的极
限。
?
n?1
?
个00.9,0.09,???,0.00???09,???
是首项为
0.9
,公比 为
1
的无穷等比数列,它的前n项和为
10
?
?
1
?
n
?
0.9
?
1?
??
?
?
n?1
?
个0
n
?
?
10
?
?
?
?
1
?
?
S
n
?0.9?0.09?????0. 00???09??1?
??
.
1
?
10
?
1?
10


n
?
?
1
?
n
?1
??
0.9?limS?lim1??lim1?lim
??
从而n
????
?1
.
n??n??n??n??
?
10
?
?
?
?
10
?
?
?
?
(二)、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问:在问题1的讨论中,我们 将
0.9
看成首项为
0.9
、公比为
0.1
的无穷等比数列 的前n
项和的极限.请同学们思考,是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在?
?
当q?1时,S
n
?na
1
,limS
n
不存在
,
n??
a
1
(1?q
n
)a
1
a
1
q
n
??

q?1
时,
S
n
?
1?q1?q1?q


0?|q|?1
时,无穷等比数列前
n
项和的极限如下:
a
1
(1?q
n
)a
1
a
1
q
n
?lim(?)

limS
n
?lim
n??n?? n??
1?q1?q1?q
a
1
a
1
q
n
a
1
a
1
q
n
?lim?lim??lim
. < br>n??
1?q
n??
1?q1?q
n??
1?q
n< br>∵
0?|q|?1
,∴
limq?0
.∴
limS
n
?
n??
n??
a
1
1?q

q?1或q??1
时,
limq
不存在,
?l imS
n
不存在.
n??
n
n??
强调:只有当无穷等比 数列的公比
q
满足
0?|q|?1
时,其前
n
项和的极限才 存在.
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式.
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问:通过刚才的讨论,你能否给无穷等比数列各项和下一个定义?请用数学语言来描
述一下.
我们把
0?|q|?1
的无穷等比数列的前
n
项的和
Sn

n??
时的极限叫做无穷等比数
列的各项和,并用符号
S< br>表示.
S?
a
1

0?|q|?1
).
1?q
强调:只有当无穷等比数列的公比
q
满足
0?|q|?1
时, 其前
n
项和的极限才存在.



3、无穷等比数列各项和的应用
11
?
1
?
例1、 (1)求无穷等比数列
1,?,,?,
?
?
?
39
?
3
?

S?
n?1
,?
各项的和。 < br>a
1
?
1?q
1
1?
1
3
?
3

4
?
1
?
(2)已知无穷等比数列
a
n
?
?
?
?
?
3
?
数列
?
a
2n?1
?
是以
n?1
,求数列
?
a
2n?1
?
各项的和。
11
为首项,为公比的无穷等比数列。
99

S?
a
1
?
1?q
1
9
1?
1
9?
1

8
小结:应用无穷等比数列求和公式,看清首项和公比。
例2、 化下列循环小数为分数:
(1)
0.29
; (2)
3.431
.
分析:设法将循环小数化成等比数列的前n项和,然后求极限.
??
2
?
n?1
?
个0
??
??
解:(1)
0.29?0.29?0.0029?????0.00???029????
< br>等式右边是首项为
0.29
,公比是
0.01
的无穷等比数列的各项的 和,所以
0.29?
??
0.2929
?
.
1?0.0 199
??
(2)
3.431?3.4?0.031?0.00031?0.0000 031????

等式右边是
3.4
加上一个首项为
0.031< br>,公比是
0.01
的无穷等比数列的各项的和,所以
3.431?3.4?< br>?
??
0.031431427
?3???3
.
1?0.
?
练习:
1)
0.1?
;(2)
0.13?

小结:关键将循环小数化成等比数列的前n项和,然后求极限.


例3、无穷等比数列
?
a
n
?
,其各项和为1,
(1) 求
a
1
的取值范围。
(2) 求
a
2
的取值范围。
(1)、
S?
a
1
?1,得a
1
?1?q
,又
?0?q?1
,< br>?a
1
?
?
0,1
?
?
?
1,2< br>?

1?q
a
1
?1,得a
1
?1?q< br>,则
a
2
?a
1
q?(1?q)q
,又
?0 ?q?1

1?q
?
?
1
?
?
(2)、
S?

?a
2
?
?
? 2,0
?
?
?
0,
?

4
小结: 强调
0?q?1

例4、如图,正方形
ABCD
的边长为1 ,联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
;又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形
A
2< br>B
2
C
2
D
2
;如此无限继续下去.
第1 个正方形的边长为
a
1
,第2个正方形的边长为
a
2
,…第 n个正方形的边长为
a
n

(1)求证
?
a
n
?
为等比数列;
(2)求所有这些正方形周长的和与面积的和.
分析:关键是求出第n个正方形
的边长与前一个正方形的边长的关系.
解:(1)、由题意得
第1个正方形的边长
a
1
?1
,第n个
正方形的边长 < br>A
A
2
A
1
A
3
D
1
D< br>3
D
2
D
C
3
B
3
B
1< br>C
2
C
1
?
AB
??
BC
?
a
n
?A
n
B
n
?
?
n?1n?1?
?
?
n?1n?1
?

2
??
2< br>??
22
B
2
B
C
a
n?1
22
??a
n?1

n?2
.
22
a
n
2

?
a
n?1
2?
?
a
n
?
为等比数列,即所有正方形的边长组成的数列为 < /p>


?
2
?
212
1,,,,???,
?
?
2
?
?
224
??
n?1
,???

(2)、所有正方形的周长组成的数列为
?
2
?
4,22,2,2 ,???,4?
?
?
2
?
?
??
这是首项为4、公 比为
n?1
,???

2
的无穷等比数列,故所有的正方形的周长之和
l

2
l?
1?
4
2
2
?8?42
.
所有正方形的面积组成的数列为
1111
1,,,,???,
n?1
,???

2482
1
这是首项为
1
、公项为的无穷等比数列,
2
故所有的正方形的面积之和
S


S?
1
1
1?
2
?2
.
小结:无穷等比 数列各项和在图形中的应用,关键是找到第n个图和第n-1个图中面积、
边长(或其他量)之间的关系 。
课堂练习:
1111
1.
1????
?
?(?)n?1
?
?
?

39273
2.
lim
[3?(
n??
1
n
)]?3
,则
a
的取 范围是
a?2
3.
111
[n(1?)(1?)< br>?
(1?)]?

lim
34n?2
n??
S
n
?

lim
S
n??
n?1
4.正项等比数列的首项为1,前
n
项和为
S
n
,则
2?32
2
?3
2
2
n
?3
n
??
??
?)?

5.< br>lim
(
2n
6
66
n??
f(n
2
)
6.已知
f(n)?1?2???n,(n?N)
,则
lim
?

2
n??
[f(n)]
*


7.若
n
[1?(1?r)]?1
,则r的取范围是
lim
n??
n
8.无穷等比数列{
tg
?
}中,(1)若它的各项和存在,求
?
的范围;若它的各项和为
3?1
,求
?

2
(
k
?
?
?
4
?
?
?k
?
?
?
4

?
?k
?
,
?
?k?
?
?
6
(k?Z)
)
9.以正方形ABCD的四个 顶点为圆心,以边长
a
为半径,在正方形内画弧,得四个交
点A
1
, B
1
,C
1
,D
1
,再在正方形A
1
B< br>1
C
1
D
1
内用同样的方法得到又一个正方形A
2< br>B
2
C
2
D
2

这样无限地继续下去,求所 有这些正方形面积之和。

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